G第八章相量法
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第8章-相量法
拉 cos ej e-j
公
2
式
sin
ej
e-j 2
F* a jb F ej F
2. 复数运算
设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 ①加减运算 —— 采用代数形式
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标形式
设 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1F2 F1 ej1
F2 ej2 F1
F ej(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
模相乘 角相加
F1F2 F1 F2
Im F1F2
argF1F2 argF1 argF2
F2 θ2 θ1 F1
2
2
us
2Us cos wt u
1 2
U sme jwtu
U
e-jwt
sm
u
i
2I cos wt i
1 2
I
m
e
jwt
i
Ime-jwti
取Usmejwtu
Imejwti
代入方程
Ri L
di dt
1 C
idt us
RImejwti jwLImejwti
1
jwC
Ime jwti
高频
HF
330MHz
短波
100m10m 天波与 地波
甚高频 VHF 30-
300MHz 米波
[理学]第08章 相量法_OK
![[理学]第08章 相量法_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/20d5f97b680203d8cf2f2421.png)
即表示 di/dt 的相量为
•
j I I /i / 2
32
3、正弦量的积分
设i 2I cos(t i ), 则
•
idt Re[ 2 I e jt ]dt
•
Re[ ( 2 I e jt )dt]
•
Re[ 2 ( I e jt )]
j
2
I
c os (t
i
/
2)
即表示 ∫idt 的相量为
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos( t+ ), I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
t
Ψ
)
dt
T cos2( t Ψ ) dt
T 1 cos 2( t Ψ ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
23
二、正弦量的相量
如果复数 F | F | e j中的辐角 t ,
则F 就是一个复指数函数。
根据欧拉公式可展开为
F F e j(t ) F cos(t ) j F sin(t )
显然有 Re[F] F cos(t )
所以正弦量可以用上述形式的复指数函数描述， 使正弦量与其实部一一对应起来。 如以正弦电流 i 2I cos(t i ) 为例
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
第8章 相量法_电气09级
*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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8-23
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
i , Im , I
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8-23
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
第8章相量法-文档资料
总结：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、
同函数、同符号，且在主值范围比较。 15
五. 有效值
1. 周期交流量有效值的定义：
交直流同一段时间流过R，发出的热量相等，直流 电的大小为交流电的有效值。
直流I R
交流i R
一个周期时间T内
W直 RI 2T
2. 周期交流量有效值
I def 1 T i 2dt
则相位差 ： φ = (ωt+Ψ1 ) – (ωt+Ψ2 )= Ψ1 – Ψ2
注意：
=初相位之差
相位差是个很重要的量，同频率的两正弦量虽然各 自随时间作正弦的变化，但相位差不变。
12
2. 相位差的意义：
相位差可以表示正弦量到达最大值 的先后次序。 i
i1 i2
0
t
|y1| |y2|
φ
注：y < 0
iC C
+
uC
iL L
+
uL
_
iC
C
duC dt
根据KCL、KVL建
_
uL
L diL dt
立方程：微分方程。
所以求解电路的正弦稳态响应，在数学上即是求非
齐次微分方程的特解。
4
三. 研究正弦电路（正弦量激励）的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十 分重要的地位。
t 落后i1 3 /2？
φ = /2，正交；
因此规定： |φ| (180°)。
思考：是否可以比较一个电压和一个电流的相位差？
事实上，在今后的分析中我们就是利用电压和电流的 14
相位差来判断电路的性质。
第8章( 8.1-8.3) 相量及相量分析法
例
i(t)
+ u(t) -
R
已知： u( t ) U m sin(wt y u ) 解: L
求：稳态解 i(t)
1. 经典法: 一阶常系数 di(t ) Ri (t ) L U m sin(wt y u ) 线性微分方程 dt 自由分量(齐次方程通解)： A e-(R/L) t
全解：
第8章 相量及相量分析法 8.1-8.3 重点：
复数及其运算 相位差
相量和相量图 正弦量的相量表示
电路元件VCR 的相量形式
电路定律的相量形式
8 .1 .1 正弦量的基本概念 正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
u (t ) 2U cos(wt y ) U Uy
例1. 已知
解： I 10030o A
o
i 141.4 cos(314t 30 ) A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
U 220 60o V
14
例2. 已知 I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
y
Re
a
Re
A a jb
A A e jy | A | y
11
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标
(2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
复数 e jy = cos y + jsin y = 1∠y A e jy A逆时针旋转一个角度y ，模不变
第八章-相量法
θ
arctan
b a
或
o
aห้องสมุดไป่ตู้
a | F | cos
b| F | sin
Re
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
i2(t)3co1s0(π0 t300)
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 WR2IT
交流 i R
W0TRi2(t)dt
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均方根值
F (t)2 Ijy e e jw t2 I e jw t
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
i(t)2Icowts(Ψ) II Ψ
相量的模表示正弦量的有效值
注意
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
周期T 和频率f
t
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
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正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
第8章 相量法
.
.
UR
相量模型
R
.
I
U
相量图
二 . 电感 时域 i(t) + u (t) L 频域
I = I∠ 0 o
.
.
.
i (t ) = 2 Icosωt
I
di (t ) u (t ) = L dt = 2ω LI sin ωt = 2ω LIcos(ωt + 90o )
u, i 0 波形图
U = ω LI ∠90o
O
两种表示法: 两种表示法:
a
θ
Re O
直角坐标表示 极坐标表示
θ 称为辐角
a Re
A=a+jb A=|A|ejθ =|A| θ
两种表示法的关系: 两种表示法的关系:
( j = 1 为虚数单位 )
| A |= a 2 + b 2 b θ= arctg a
或
a =| A | cosθ b =| A | sinθ
.
.
Im
.
U
.
Im
.
U
.
U2
U2
U1
41.9
60
U1
30
Re
60
41.9
30
Re
小结
① 正弦量 时域 正弦波形图 相量 频域 相量图
相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路. ② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路.
8.4 电阻,电感和电容元件上电压 电阻, 和电流的相量关系
一. 电阻 i(t) + uR(t) R
π/2 π/2 π ejπ/2 =j , e-jπ/2 = -j, ejπ= –1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子. 都可以看成旋转因子.
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第8章 相量法
*不同频率正弦量无固定的相位关系
j > 0， u 领先( 超前 )i ，或 i 落后( 滞后 ) u
u, i u i
u
0
t j i
j < 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
特殊相位关系： u, i 0
t
u i
u, i i
u
0
t
j = 0， 同相：
u, i u i 0
j = ( 180o ) ，反相：
1. 正弦量的三要素： 以电流为例 i
R
i(t ) Im cos( t i )
正弦量的三要素
(1) Im— 幅值 ( 振幅、 最大值)
( t + i ): 称为i(t)相位角或相位
d — 角频率，单位：弧度/秒(rad/s) (2) ( t i ) dt 与正弦量的周期T和频率f 的关系：
j = 90°，称为正交
t u 领先 i 90°或 i 落后 u 90°
规定： | j | (180°)
3. 正弦量的有效值 (effective value)
i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：
2. 正弦量的相量 复函数
F (t ) 2Ie j(t ) 2Icos( t ) j 2Isin( t )
则
i 2 I cos( t ) Re [F (t )] Re[ 2Ie j ( t ) ] Re[ 2( Ie j )e j t ]
'
0
F +1
由于
e
j > 0， u 领先( 超前 )i ，或 i 落后( 滞后 ) u
u, i u i
u
0
t j i
j < 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
特殊相位关系： u, i 0
t
u i
u, i i
u
0
t
j = 0， 同相：
u, i u i 0
j = ( 180o ) ，反相：
1. 正弦量的三要素： 以电流为例 i
R
i(t ) Im cos( t i )
正弦量的三要素
(1) Im— 幅值 ( 振幅、 最大值)
( t + i ): 称为i(t)相位角或相位
d — 角频率，单位：弧度/秒(rad/s) (2) ( t i ) dt 与正弦量的周期T和频率f 的关系：
j = 90°，称为正交
t u 领先 i 90°或 i 落后 u 90°
规定： | j | (180°)
3. 正弦量的有效值 (effective value)
i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：
2. 正弦量的相量 复函数
F (t ) 2Ie j(t ) 2Icos( t ) j 2Isin( t )
则
i 2 I cos( t ) Re [F (t )] Re[ 2Ie j ( t ) ] Re[ 2( Ie j )e j t ]
'
0
F +1
由于
e
第8章 相量法
重点掌握正弦稳态电路 的解题思路。
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
相量法
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
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U 2 460
U 3 U1 U 2 (5.19 j 3) (2 j 3.45)
3.19 j 0.45 3.22 8.03
u3 (t ) 3.22 2 cos(t 8.03)
三、电路元件R、L、C的VCR的相量形式：
1、 正弦交流电阻电路
i1(t ) 5 2 cos(t 53.1)
i2 (t ) 10 2 cos(t 36.9)
解：
I 1 553.1 3 j4
I 2 10 36.9 8 j6
例2：写出下列正弦量的时域形式：
U 1 3 j 4
U 2 8 j6
i (t ) 2 I cos( t y i ) di 1 u( t ) Ri L idt L dt C I U R I jLI jC
（1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
则： F1
F2
e j 1 2 1 2
0
θ2
+1
即：
F1 F1 F2 F2 F1 arg( ) arg(F1 ) arg(F2 ) F2
三、旋转因子 1、旋转 90
0
因子：
e
j 90
e
j90
cos 90 j sin 90 j
u1 (t ) 5 2 cos(t 126.9)
u2 (t ) 10 2 cos(t 36.9)
二、相量运算 1 . 正弦量的代数和
i1 i2
i1 2 I1 sin(ωt ) 设 i2 2 I 2 sin(ωt 2 )
求两个电流之和
i
j
i i1 i2
. I
1
合成电流时域计算：正弦函数计算
i
2I1 sin(ωt ) 2I 2 sin(ωt 2 )
. I
2
. I
t=t0
1
任一时刻合成电流瞬时值等于二个 电流瞬时值之和。 合成相量等于二个电流相量之和。 正弦交流电瞬时表达式计算→相量计算 （复数计算）。
（1）时域分析： （2）频域分析
i(t ) 2I cos(t i )
I I i
U U u
U RI
u(t ) Ri(t )
2IR cos(t i )
2U cos(t u )
∴ U=IR
u=i （波形）
RIi
+j
0
+1
(相量图)
Wi
由
T
i Rdt ,
得:
2
0
WI
T
I 2 Rdt I 2 RT
（有效值又称 为均方根值）
0
Wi WI
周期交流电流有效值:
1 I T
T
i dt
2
0
同理，周期交流电压有效值为
1 U T
T
u 2 dt
0
正弦交流电流的有效值
设电流
i I m sin t
,则正弦交流电流的有效值为:
任意一个相量乘上+j后, 逆时针转90°， 若乘上-j （相当于除 j）, 顺时针转90°. j180 0 2、旋转 180 因子：
e
e
j180
cos 180 j sin 180 1
任意一个相量乘上-1后, 顺时针转180°.
四、两个复数相等的条件
若：F 1 F2
注
① 正弦量 时域 正弦波形图 相量 频域 相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 N
线性
1 2
N
线性
非 线性
不适用
③ 相量法用来分析正弦稳态电路。
8.4 电路定理的相量形式
一、KCL：
时域:
对于任一集中参数电路，在任一时刻，流
出（或流入）任一节点的电流代数和等于零。
k 1
idt Re 2 Ie j t dt I j t Re 2 e j
I I idt yi 2 j
di j I I y i 2 dt
例
i(t) R + u(t) C -
用相量运算： 相量法的优点：
第八章 相量法
南昌航空大学电工电子教研部
教学目的和要求：
1、理解相量法的原理及使用条件；
2、掌握正弦信号的周期、频率、角频率、瞬时值、振
幅、有效值、相位和相位差； 3、熟练掌握正弦信号的三角函数、相量和相量图的表
示方法；
4、掌握基尔霍夫定律的相量形式，各种电路元件伏安 关系的相量表示形式。
重点：
则： F1 ] Re[F2 ] Re[ 且 Im[F1 ] Im[F2 ]
或： F1 F2 且 arg(F1 ) arg(F2 )
8.2 正弦量
随时间按正弦规律变化的电流或电压统称正弦量
1. 正弦量的三要素
(1)幅值 (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω
i(t)=Imcos( t+)
i Im
0
t t 2
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
(3) 初相位y
2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
t |t 0
180
0
2. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i) 则 相位差 ： = ( t+ u)- ( t+ i)= u- i 等于初相位之差 规定： | | (180°)。
u 领先 i /2； i 落后 u /2。
i 0
t
3、 周期交流电量的有效值
i
R
有效值物理意义：周期交流电流 i (t ) 流过电阻 R 时，在一个周 期内消耗的能量等于某一大小的直流电流 I 在同一电阻相同时 间内消耗的能量。称这一直流电流 I 为交流电流 i (t )的有效值。 交流电能量: 直流电能量:
F1 a1 jb1 F2 a2 jb2
F F1 F2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
F2
乘法运算 j1 F F e 1 1 设： j 2 F2 F2 e 则：
F F1 F2 F1 F2 e
j (1 2 )
j θ2 F1
>0， u超前i 角，或i 落后u 角； u, i u i
u i
O
t
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角。
特殊相位关系：
＝ 0， 同相：
u, i u i 0 = /2： = (180 源自 ，反相：ou, i
u
t
u, i
u
0
i t
线性电路中，若所有激励为频率相同的正弦量，则根
据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应为同频率的 正弦量。
2、正弦量相量表示：
设F F e j
t
则F F e
j (t )
F cos(t ) j F sin(t )
j (t )
正弦量 F cos(t ) Re[F] Re[ F e
ik (t ) 0
n
k 1
2 I k cos(t ik ) 0
n k 1
n
频域:
以相量表示正弦量，有 I k 0
在正弦稳态电路中，对于任一节点，流出（或
流入）该节点的电流相量代数和等于零。
二、KVL：
时域:
对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回 路，按一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。
8.3 相量法的基础
i1
0
i
i1 240sin(314t 300 ) A i2 230sin(314t 60 ) A
三角函数计算！ 一、正弦量的相量表示 1、正弦稳态电路：
i2
i i2 i2 240sin(314t 300 ) 230sin(314t 600 )
i (t ) 11.18 2 cos(t 10.3)
例2 图示电路，已知：
+ u1(t) -
u1 (t ) 6 2 cos(t 30)
u2 (t ) 4 2 cos(t 60)
求 u3(t)
u2(t) +
u3 (t )
U1 630
解： 正弦量以相量表示，有
1、正弦信号的周期、频率、角频率、瞬时值、振幅、有效 值、相位和相位差 2、正弦信号的三角函数、相量和相量图的表示方法 3、基尔霍夫定律的相量形式，各种电路元件伏安关系的相 量表示形式
难点：
1、正弦信号的三角函数、相量和相量图的表示方法 2、各种电路元件伏安关系的相量表示形式
8.1 复 数
一、复数表示形式
F
|F2|F1
F2
0
θ2
+1
F1 F2 1 2
即：
F1 F2 F1 F2
arg(F1 F2 ) arg(F1 ) arg(F2 )
除法运算
设：
F1 F1 e
F 1 F2 F 1 F2