四川省广安市邻水县2017_2018学年高二数学上学期期中试题PDF无答案

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2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：．【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0．所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39，所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。

2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

四川省广安市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文

四川省广安市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文一．选择题：（本题60分）1. 如图所示,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点B 1的坐标是( )A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)2.如图所示，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1＜k 2＜k 3B ． k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 23.用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 4.若方程224250x y kx y k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是( )A.114k << Ｂ.114k k <>或 C.114k k ==或 D.k R ∈ 5．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（） A ．若a α⊥，a b ⊥，则b α∥ B ．若a α∥，a b ⊥，则b α⊥ C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥ D ．若a α∥，b α∥，则a b ∥ 6.与直线l ：3x －5y ＋4＝0关于x 轴对称的直线的方程为( )A. 5x －3y ＋4＝0B. 3x ＋5y ＋4＝0C. 3x －5y －4＝0D.5x ＋3y ＋4＝07.直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．不能确定8．设点A （2，－3），B （－3，－2），直线l 过点P （1,1）且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对9.读下边的程序，当输入x 的值为-1时，则输出的y 的值为( )A ．-1B ．2C ．1D ．310. 一束光线从点P （-1,1）出发，经x 轴反射到圆C:x 2+y 2-4x-6y+12=0上的最短路程是( ) A. 4 B. 5 C. D.11. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( ).A. B. C. D.12. 已知两点A(a,0),B(-a,0)（a>0），若曲线0323222=+--+y x y x 上存在点P ，使得∠APB=90°，则正实数a 的取值范围为（） A. ( 0. 3 ) B. [ 1, 3 ] C. [ 2,3 ] D. [1,2] 二．填空题（本题20分）13．直线022=++y x 与直线01=+-y ax 互相垂直，则实数a 等于． 14.执行下面的框图，若输入的n 是6，则输出p 的值是．15.若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为16. 已知圆0962:22=+--+y x y x C ，P 是x 轴上的动点，PA 、PB 分别切圆C 于A 、B 两点，则四边形CAPB 的面积的最小值是____________.三．解答题17．（本小题10分）直线l 过点P （-1，3）．（1）若直线l 的倾斜角为45°，求l 的方程;（2）若直线l 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积．18. （本小题12分）直线l 经过圆()1122=++y x 的圆心C ，(1)若l 与直线x ＋y ＝0垂直，求直线l 的方程； (2)若l 与直线032=-+y x 平行，求直线l 的方程.19. （本小题12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（1）求证：PA ⊥CD ；（2）若PA =PD =AD ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．20. （本小题12分）如图在侧棱垂直底面的三棱柱中，、分别是和的中点.（1）证明：平面；（2）设，，求三棱锥的体积.21.（本小题12分）已知圆心在直线y=4x 上，且与直线l ：x+y-2=0相切于点P （1，1）（1）求圆的方程.（2）直线kx-y+3=0与该圆相交于A 、B 两点，若点M 在圆上，且有向量OM +=(O 为坐标原点)，求实数k.22. （本小题12分）已知圆O ：222x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB=2π时，求k 的值.（2）若12k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若EF 、GH 为圆O ：222x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M （1），求四边形EGFH 的面积的最大值.答案一．选择题：1-5 C B B B C 6-10 B C A C A 11-12 C B四．填空题13．2 14. 120 15. 2316. 22五．解答题17．()()()()()844214004120413,11=⨯⨯=∴-=+-+=-∴=∆OABS B A y x x y k ，，，有由即：由已知有：解：18.()()()0222-201110,1-=++=+-∴y x y x C ，故所求直线为由题意有：斜率为直线方程为，由题意有：斜率为解：由已知有19.（1）证明：因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA ．故PA ⊥CD ．… （2）证明：在△PAD 中，因为，所以PA ⊥PD ．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且CD ∩PD =D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ．20. （I ）连结交于点，连结.由题知，分别为，中点，所以.,.（II ）在直三棱柱中，. 又，为的中点，所以.又，.，，，，故，.所以.21. 解：（1）设圆的方程为222)4()(r a y a x =-+-因为直线相切，圆心到直线的距离r a a d =-+=2|24|，且圆心与切点连线与直线l 垂直1)1(114-=---a a 可得a=0，r=，所以圆的方程为：…………………6分(2)直线与圆联立：⎩⎨⎧=+=+-20322y x y kx ，得：076)1(22=+++kx x k ，Δ=02882>-k ,解得27k 27-<>或k .设A()B()，22122117,16k x x k k x x +=+-=+,22116ky y +=+ M()代入圆方程：2)()(221221=+++y y x x ，求得k=……………………………………12分22.解：（1）∴=∠2πAOB 点O 到l 的距离r d 22=∴122+k⇒k = （2）由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设1(,2)2P t t - 其方程为：1()(2)02x x t y y t -+-+= 即：221(2)02x tx y t y -+--= 又C 、D 在圆O ：222x y +=上 ∴1:(2)202CD l tx t y +--= 即 ()2202yx t y +--= 由02220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 得 121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线CD 过定点1(,1)2-（3）设圆心O 到直线EF 、GH 的距离分别为12,d d . 则222123||2d d OM +==∴||EF ==||GH ==∴2212135||||224222S EF GH d d ==-+-=-= 当且仅当221222d d -=- 即12d d ==时，取“=” ∴四边形EGFH 的面积的最大值为52。

2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题

年高二上学期期中考试数学试题2017.11本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝()A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于()A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()1)m －2180(．B 1)m －3240(．A 1)m＋330(．1)m D －3120(．C 5.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝()A ．－4B ．－6C ．－8D ．87．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝()A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则()A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b 的最小值是()A ．2－2B.2－1C ．3＋22D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.14.已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________．三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 ,求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18.（本小题满分12分）。

精选2017-2018学年高二数学上学期期中试题(含解析)

2017-2018学年第一学期期中试卷高二数学第一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为__________．【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为__________．【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．【答案】【解析】当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，，三点的圆的方程为_________．【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则，解得，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_________．【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面说法正确的有_________．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.【答案】①④【解析】①若，，符合面面垂直的判定定理，则真确；②若，，，则可能平行，也可能相交，故②不正确；③若，，，则可能平行，也可能异面；③不正确；④若，，，符合线面平行的性质定理，则.正确；填①④.9. 直线关于直线对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_________．【答案】【解析】∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_________．【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为，高为，则它的侧面积为_________．【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是_________．【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则................14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：。

2017-2018年四川省广安二中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2017-2018学年四川省广安二中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在直角坐标系中，直线2x﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．不存在2．（5分）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、204．（5分）命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．45．（5分）利用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=4的值的时候需要做乘法和加法的次数分别为（）A．B．C．D．6．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=07．（5分）下列四个数中，最大的是（）A．11011（2）B．103（4）C．44（5）D．258．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣89．（5分）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）A．垂直B．相交C．异面D．平行10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q （4，0）到动直线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）A．B．C．1 D．9二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是．14．（5分）经过点（1，2）且与直线2x+y﹣1=0垂直的直线方程为．15．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．16．（5分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分）17．（10分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m，p是q的充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩分成6段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后，画出如图的频率分布直方图．根据图形信息，解答下列问题：（1）估计这次考试成绩的众数和及格率．（2）估计这次考试成绩的平均分．19．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．附：方差s2=[（x1）2+（x2）2+…+（x n）2]．20．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．21．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．22．（12分）已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l 与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．2017-2018学年四川省广安二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在直角坐标系中，直线2x﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．不存在【解答】解：∵直线2x﹣1=0与x轴垂直，因此其倾斜角为．故选：B．2．（5分）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，∴甲输棋的概率为：P=1﹣=．故选：C．3．（5分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，高三年级抽取的人数是400×=20人，故选：D．4．（5分）命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选：C．5．（5分）利用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=4的值的时候需要做乘法和加法的次数分别为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（（（（（3x+4）x+5）x+6）x+7）x+8）x+1，因此利用“秦九韶算法”计算多项式f（x）当x=4的值的时候需要做乘法和加法的次数分别是：6，6．故选：A．6．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．7．（5分）下列四个数中，最大的是（）A．11011（2）B．103（4）C．44（5）D．25【解答】解：由题意可得：A，11011（2）=1×20+1×21+1×23+1×24=27，B，103（4）=1×42+0×4+3=19，C，44（5）=4×5+4=24，D，25，．比较可得：最大的数为11011（2）故选：A．8．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．9．（5分）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）A．垂直B．相交C．异面D．平行【解答】解：∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，∴n在平面a上，m与平面a相交∵A∈m．A∈a∴A是M和平面a相交的点∴m和n 异面或相交，一定不平行．故选：D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．11．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．12．（5分）已知动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q （4，0）到动直线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）A．B．C．1 D．9【解答】解：动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），∴a+bm+c ﹣2=0．又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，∴=3，解得m=0．∴a+c=2．则+=（a+c）=≥=，当且仅当c=2a=时取等号．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣1，﹣4）．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣2，﹣1，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣1，﹣4）．14．（5分）经过点（1，2）且与直线2x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0．【解答】解：因为直线2x+y﹣1=0得斜率是﹣2，则与它垂直直线的斜率是：，又直线经过点（1，2），所以要求直线方程是y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0，故答案为：x﹣2y+3=0．15．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．16．（5分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．也可以考虑利用向量法求解．故答案为：．三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分）17．（10分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m，p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：p：﹣2≤x≤6．∵p是q的充分条件，∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的子集∴，解得：m≥4，∴实数m的取值范围是[4，+∞）．18．（12分）从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩分成6段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后，画出如图的频率分布直方图．根据图形信息，解答下列问题：（1）估计这次考试成绩的众数和及格率．（2）估计这次考试成绩的平均分．【解答】解：（1）由众数概念知，众数是出现次数最多的，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为85，这次考试成绩的及格率1﹣（0.005×10﹣0.01×10）=0.85；（2）这次考试成绩的平均分约为：45×（0.005×10）+55×（0.01×10）+65×（0.025×10）+75×（0.025×10）+85×（0.03×10）+95×（0.005×10）=73．19．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．附：方差s2=[（x1）2+（x2）2+…+（x n）2]．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴（92+96+80+80+x+85+79+78）=85，解得x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3．（2）甲班7位学生成绩的方差为：S2=[（﹣6）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+02+72+112=40．（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在9（0分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则甲班至少有一名学生的概率P（M）=．20．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．21．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【解答】（本题满分12分）证明：（1）连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA．（2）∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1．解：（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B 1C和BC的中点，∴NE B1B，∴NE A 1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A 1N AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°．22．（12分）已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l 与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）设圆A的半径为r，圆与直线相切，可得r=d=∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20．（2）当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得x=﹣2，符合题意；当当斜率k存在时，设出直线l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当时，QM=．AQ=，即圆心到直线y=k（x+2）的距离为1．可得：，解得k=∴直线l的方程为x=﹣2或y=（x+2）．（3）∵AQ⊥BP，∴=（）•=．①当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得P（﹣2，﹣），，又，∴．②当斜率k存在时，设直线l的方程，由解得P（，），则，∴=﹣5综上所得，是定值，且这个定值．。

【精品】2018学年四川省广安市邻水中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018-2019学年四川省广安市邻水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（在每小题给出四个选项中，只有一项符合题止要求，共60分）1．（5分）已知直线l过不同的两点A（5，﹣3），B（5，y），则l的斜率为（）A．0B．5C．不存在D．与y的取值有关2．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）3．（5分）已知圆（x﹣1）2+（y+1）2=4关于直线mx+y﹣2m=0对称，则m的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣4．（5分）命题P：∀x∈N，x∈z的否定为（）A．∃x0∈N，x0∈Z B．∃x0∈N，x0∉Z C．∃x0∉N，x0∈Z D．∀x0∉N，x0∉Z5．（5分）“x≠y”是“sinx≠siny”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要6．（5分）已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4B．8C．12D．167．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2B．C．3D．28．（5分）不论m如何变化，直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）=0恒过定点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）9．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．C．4D．10．（5分）已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（）A．[0，3）B．（0，2）C．[2，3）D．[0，4]11．（5分）如图，圆F：（x﹣1）2+y2=1和抛物线，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求|AB|•|CD|的值是（）A．1B．2C．3D．无法确定12．（5分）已知A（1，0），将线段OA，AB各n等分，设OA上从左至右的第k个分点为A k，AB上从下至上的第k个分点B k（1＜k＜n），过点A k且垂直于x轴的直线为l K，OB K交l K 于P K，则点P K在同一（）A．圆上B．椭圆上C．双曲线上D．抛物线上二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）双曲线y2﹣4x2=4的实轴长为．14．（4分）m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直的条件．（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分条件，也不必要条件其中之一）15．（4分）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为．16．（4分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．三、解答题（本大题共6个，74分解答应写出文字说明，以及相应的步骤）17．（12分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3），A（3，0），过点C作CD⊥AB于D．（1）求CD所在直线方程．（2）求线段CD的长度．。

四川省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(三)

四川省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2} D．∅2．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣ B．﹣C．D．3．若直线l1：ax+2y﹣8=0与l2：x+2y+4=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．1或2 C．1 D．1或﹣24．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0 C．12 D．245．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣6．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．188．直线2xcosα﹣y﹣3=0（α∈[，]）的倾斜角的变化范围是（）A．[，]B．[，]C．[，）D．[，]9．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l10．如图：在三棱锥A ﹣BCD 中，P ∈AC ，Q ∈BD ，若V A ﹣BPQ =6，V B ﹣CPQ =2，V Q ﹣PCD =8，则三棱锥A ﹣BCD 的体积V A ﹣BCD 为（）A ．22B ．34C ．32D ．4011．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个12．已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，）C ．（0，）D ．（，2）二、填空题（每小题5分，满分20分）13．过原点与（﹣3，）的直线的倾斜角α=______．14．点A （a ，6）到直线3x ﹣4y=2的距离等于4，a=______．15．已知P （﹣2，1），Q （2，t ）．点M 为直线y +1=0上的动点．若存在以PQ 为直径的圆过点M ，则实数t 的取值范围为______．16．棱长为3的正方体内部有一个半径为1的小球．当小球在正方体内部自由运动时，则在正方体内部小球所不能到达的空间的体积为______．三、解答题（共70分）17．已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC ．18．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （5，0），C （3，4）．（1）求过点A 且与直线BC 垂直的直线方程．（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．20．如图：AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°．∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC（2）作BG∥CD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线．21．已知直线l：y=3x和点P（8，3），点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求△OMQ的面积S的最小值．（O为坐标原点）．22．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，且AA1=AB=BC=2．M、N分别为A1B、B1C1中点．（1）求三棱锥A1﹣MNC的体积．（2）求证：AB⊥BC（3）（文科做）求AC与平面A1BC所成角的大小．（理科做）求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．参考答案一、单项选择题．1．A 2．A 3．C．4．A．5．B．6．D．7．A．8．B 9．D．10．D．11．A．12．D．二、填空题．13．解：过原点与（﹣3，）的直线的斜率：﹣．设直线的倾斜角为：α，则tanα=，可得：α=120°．故答案为：120°．14．解：∵=4，化为|3a﹣26|=20，解得a=2或，故答案为：2或15．解：以PQ为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径为，∵点M为直线y+1=0上的动点，存在以PQ为直径的圆过点M，∴|+1|≤，∴t≤1．故答案为：t≤1．16．解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8（1﹣×）=8﹣，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×1的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为12×[13﹣（×π×12×1）]=12﹣3π．其他空间小球均能到达．故小球不能到达的空间体积为：8﹣+12﹣3π=20﹣．故答案为：20﹣．三、解答题17．证明：取PC的中点M，连结FM，EM．∵F，M是PD，PC的中点，∴FM CD，∵四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，∴AE CD，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，又AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．18．解：（1）k BC==﹣2，∴与直线BC垂直的直线斜率为．∴过点A且与直线BC垂直的直线方程为y﹣2=（x﹣1），化为：x﹣2y+3=0．（2）|BC|==2．直线BC的方程为：y﹣0=﹣2（x﹣5），化为2x+y﹣10=0．∴点A到直线BC的距离d==，==×=6．∴S△ABC19．解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣ [1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣20．证明：（1）∵E，F分别是AC，AD的中点，∴AE=EC，AF=FD；∴EF∥CD又∵AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，⇒CD⊥平面ABC，∵⇒EF∥平面ABC⇒平面BEF⊥平面ABC得证解：（2）连接GD，作AB的平行线，连接AM，MD（如图所示），延长EF交MD于N．∵E，F分别是AC，AD的中点，∴AE=EC，AF=FD；BG∥CD∥AM∴EF∥CD，FN∥AM．N必为MD的中点，∵EN∥BG，EN=BG．∴BGNE是平行四边形．同理：BGCD是平行四边形．∴平面BGDC∩平面BGEN=BG∴作BG∥CD，BG是平面BEF与平面BCD的交线．证毕．21．解：设点Q（a，3a），a＞0，点M坐标为（b，0），b＞0，则直线PQ的斜率为，解得b=，∴M的坐标为（，0），故△OMQ 的面积S=××3a=，即21a 2﹣2Sa +2S=0．由题意可得方程21a 2﹣2Sa +2S=0有解，故判别式△=4S 2﹣168S ≥0，即S ≥42，故△OMQ 的面积S 的最小值等于42．22．解：（1）连结AB 1，∵直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB=AA 1=BC ， ∴四边形ABB 1A 1，BB 1C 1C 是正方形，∴AB 1⊥A 1B ，BC ⊥BB 1，又平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1BC ∩平面A 1ABB 1=A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BC ，又BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AB 1⊥BC ，又BB 1⊂平面ABB 1A 1，AB 1⊂平面ABB 1A 1，BB 1∩AB 1=B 1， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∵M 为A 1B 的中点，∴V=V B ﹣MNC =V M ﹣BCN =V =V =•BC==．（2）由（1）得BC ⊥平面ABB 1A 1，又AB ⊂平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥AB ．（3）（文科）连结CM ．由（1）可得AB 1⊥平面A 1BC ，∴∠ACM 为AC 与平面A 1BC 所成角．∵AB=BC=AA 1=2，∴AM==，AC=2，∴sin ∠ACM=， ∴∠ACM=30°，即AC 与平面A 1BC 所成角为30°．（理科）以B 为原点，以BC ，BB 1，BA 为坐标轴建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，则B （0，0，0），A （0，0，2），C （2，0，0），A 1（0，2，2），B 1（0，2，0）．∴=（2，﹣2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），∵AB 1⊥平面A 1BC ，∴=（0，2，﹣2）是平面A 1BC 的一个法向量，设平面A 1AC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，∴，令z=1得=（1，0，1），∴cos＜，＞===﹣．∴＜，＞=120°，∵锐二面角A﹣A1C﹣B的大小为60°．。

四川省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(五)

四川省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（五）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（）A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∈α2．直线的倾斜角为（）A．B．C． D．3．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=04．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．6．若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．9．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．8411．等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C﹣BM﹣A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°12．在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．﹣=．14．经过点（1，0），且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为．15．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点．16．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为．三、解答题（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD平行四边形，AD⊥平面SAB．（1）若SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA⊥平面ABCD（2）若点E是SB的中点，求证：SD∥平面ACE．19．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．20．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD ∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）证明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案一、单项选择题1．B．2．D．3．B．4．C．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．B 11．C．12．B．二、填空题13．解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：14．解：两直线x=1与x+y=2的交点坐标为（1，1），∴圆心是（1，1），∵圆经过点（1，0），∴r=1，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．15．解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点，解方程组可得∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）16．解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，故圆心（﹣1，2）在直线ax﹣by+2=0上即： +b=1则==（）+（）≥故的最小值为故答案为：．三、解答题17．解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，从而（Ⅱ）由已知可得故a1=4从而18．证明：（1）∵AD⊥平面SAB，SA⊂平面SAB，∴SA⊥AD，∵SA=3，AB=4，SB=5，∴SA2+AB2=SB2，即SA⊥AB，又AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．（2）连接BD，设AC∩BD=O，连接OE，∵BO=OD，BE=ES，∴SD∥OE，又SD⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE．19．解：（1）依题意，直角△ABC的直角顶点为∴AB⊥BC，故k AB•k BC=﹣1，又∵A（﹣3，0），∴k AB==，k BC=﹣=﹣．∴边BC所在直线的方程为：y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）∵直线BC的方程为，点C在x轴上，由y=0，得x=2，即C（2，0），∴斜边AC的中点为（0，0），故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点）．设直线OB：y=kx，代入，得，∴直角△ABC的斜边中线OB的方程为．20．解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），…∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…又直径|CD|=，∴∴（a+1）2+b2=40 ②…由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…21．证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．…解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（6+2）=4，于是S ABCD=×（6+2）×4=16．在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，∴PD=2OD=6，PA===6，=S ABCD×PA=×16×6=32．…∴V P﹣ABCD22．解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．。

四川省广安市2017-2018学年高二上学期期末考试文数试卷含解析

广安市2017年秋高二期末试题数学(文史类)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )【答案】B故选2. 某市2017年各月的平均气温(单位：数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是( )D.【答案】B3. ( )D.【答案】C故选4. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从70( )A. 100B. 150C. 200D. 250【答案】AA考点：分层抽样视频5. ( )C. D.【答案】C，由正方体的几何特征得：6.真命题共有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】C2，故选C．考点：1、四种命题；2、命题真假判定．7. 四进制数( )A. 30B. 27C. 23D. 18【答案】B8. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为( )B. C. D.【答案】B【解析】，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，，，，，，，，，故选B．考点：古典概型．视频9. 执行如图的程序，如果输出的结果是4，则输入的只可能是( )A. 2B.【答案】A则输入的只可能是10. ( )D.【答案】C【解析】故选由图求解即可。

11. 垂直于平面，则“( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】BB．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．视频12. 的左、右顶点，点上，的离心率为( )D.【答案】D.考点：双曲线离心率.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ________.抛物线方程焦点在轴，焦点坐标为14. ________.考点：直线方程的求解.15. 在长方体____________.【答案】116. 在区间上随机地选择一个数，则方程____________.【答案】解关于的不等式组可得所求概率点睛：本题是一道关于几何概型的概率计算的题目，解题的关键是掌握几何概型的概率计算三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(1)(2).【答案】【解析】试题分析：⑴根据为假，则为真，即可求出实数的取值范围；⑵根据是的充分不必要条件，建立条件关系，即可求出实数的取值范围；.(2)∴实数的取值范围是18. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图)(1)求频率分布图中的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在随机抽取2人，求此2人评分都在.【答案】【解析】试题分析：⑴利用频率分布直方图中的信息，所以矩形的面积为，得到能，利用古典概型公式解答；解析：(1)(2)由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为80的概率的估计值为(3)受访职工中评分在人)，记为人)从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：，，，，，，，，，又因为所抽取2119. 已知，圆(1)(2).【答案】..................试题解析：半径为2.（1（2）过圆心，则根据题意和圆的性质，故所求直线方程为考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线距离；3.直线与圆相交弦长公式.20. 下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变.(【答案】(1)见解析【解析】试题分析：⑴利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；⑵利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果；，∴政治成绩的方差(2)∵，，，，，，，∴变量的线性回归方程为点睛：本题主要考查了线性回归方程，属于基础题。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果．【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2，故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6），此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为．【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。

2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷

第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）下列说法正确的是（）
（A ）一个命题的逆命题为真,则它的否命题为假
（B ）一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题为真
（C ）一个命题的否命题为真,则它的逆命题为真
（D ）一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真
（2）如果命题“()p q ”是假命题，则正确的是（）
（A ）,p q 均为真命题（B ）,p q 中至少有一个为真命题
（C ）,p q 均为假命题（D ）,p q 中至多有一个为真命题
（3）命题“p :x R ,使得2220x x ”的否定是（）
（A ）x R ,使得2220x x （B ）x R ,使得2220
x x （C ）x R ,使得2220x x （D ）x R ,使得2220
x x （4）“数列{}n a (*N n )满足1n n a a q (其中q 为常数)”是“数列{}n a (*
N n )是等比数列”的（）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件
（5）数列}{n a 中,11a ,22a ,且数列}11
{n
a 是等差数列,则3a 等于（）
（A ）31
（B ）3（C ）1
5（D ）5
（6）已知数列9,,,121a a 是等差数列，数列9,,,,1321b b b 是等比数列，则2
12
a a
b 等于（）
（A ）107
（B ）57
（C ）103
（D ）21。