平面结构的位移计算

在求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得 内力或位移的唯一解答，必须补充位移连续条件。
如右图示超静 定单跨梁，若只满 足平衡条件，内力 可以有无穷多组解 答，例如：FyB可以 取任意值。
9kNm
12kN
A
B
7.5kNm
2m
2m
FyB 3.75kN
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三. 实功和虚功的概念：
1. 实功：
FP1
力FP1在由该力引起的位 移 即：1 上所作的功称为实功。
§6-1 概述
一. 静定结构的位移：
静定结构在荷载，温度变化，支座移动以及制造 误差等外干扰因素的作用下，结构的某个截面或结点 通常会产生水平线位移，竖向线位移以及转角位移。
1. 截面和结点的位移：
B B
FP
C C CV
C
A
CH
刚架受荷载作用
FP BH B B BV
A
C C
桁架受荷载作用 1
A C t1 B
在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载
FP 1 ， 则虚功方程为 ：
1 FRKCK (M FS 0 FN )ds K
所以: 1
(M FS 0 FN )ds FRKCK
K
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下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以 具体说明。
1. 欲求 CV ，则在C截面加上竖向单位载荷 FP 1, 则该静定刚架就产生了一组平衡力系。
q(s)w(s)ds FP ii FR KCK
i
K
(M FS 0 FN )ds
实际结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：
q(s)w(s)ds FPii FRKCK
i
K
(M FS 0 FN )ds
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小结：
1)只要求两个条件：力系是平衡的，给定的位移和 变形是符合约束条件的微小连续变形。
FP
B
C C
B CVBiblioteka ACHAFR 2
给定位移及变形
FP 1 C
M
FN
M
FN
FR1 FS ds FS
虚设平衡力系
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2. 位移计算一般公式------单位荷载法
外力虚功：W 1 CV FRK CK K
内力虚功：Wi
( M FS 0 FN )ds
所求位移：1 CV (M FS 0 FN )ds FRKCK K
AB AH BH
A，B截面的相 对水平线位移
b)
FP FP
A g BV B AV
AB AV BV
A，B截面的相 对竖向线位移
c)
3
d)
FP
ALR
A
ALR 铰结点A 左、右截面的相对转角位移
e)
A
l
AV
B FP BV
FP
AB
AV
l
BV
杆件AB的转角位移
2) 上述虚功原理适用于各类结构（静定，超静定， 杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性体。
3)考虑了杆件的弯曲，剪切及轴向变形。
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二. 位移计算的一般公式
变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和 虚位移原理。 虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位 移原理：虚设位移求未知力。
用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位 移这一几何问题转化为静力平衡问题。
1
W 2 FP11
Δ1
也 功从。右零图线中性，增大外至力是从1 。零开W始线12 F性P增11大也至称F为P1，静位力移实
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2. 虚功：
力 FP 在由非该力引起的位移Δ上所作的功，叫作
虚功。
右图简支梁，先加
上 FP1，则两截面
1，2之位移分别为
FP1
1 1
•
•
1
•
FP2
2•
2
•
•
2
1 ，2。然后加 FP2 ，则1，2截面产生新的位移
3. 小结
1）M , FS , FN , FRK ——单位载荷 FP 1在结构中产生
的内力和支座反力，
ds, 0ds, ds,C1,C2及ΔCV——给定的位移和变形。
力和位移无关。
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2）正负号规则：
若 M 及 d ds使杆件同侧纤维伸长，则乘积
为正，反之为负；
乘积 FS 0ds 及 FN ds 的正负号分别由力与应变
CV
C
c
t
2
CH
温度变化 t2 t1
A
CB
CV
C c
B
支座B下沉
2. 广义位移：
通常把两个截面的相对水平线位移，相对竖向线
位移以及相对转角位移叫做广义位移。
FP
AV BV
A，B截面的
a)
AB
相对竖向线位移
AVA B BV
AV BV
A，B截面的
竖向线位移之和
2
AH
A
BH
B
q
W q(s)w(s)ds FPii FRKCK
i
K
微段 ds 的内力虚功 dWi ：
dWi Md FSd FN d M ds FS 0ds FN ds (M FS 0 FN )ds
整根杆件的内力虚功为：
Wi dWi (M FS 0 FN )ds 13
根据虚功方程 W = Wi ，所以有：
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二. 位移计算的目的：
1）验算结构的刚度：结构的设计规范中要求:
结构的次梁跨中挠度: 结构的主梁跨中挠度: 结构的楼盖跨中挠度: 机械的吊车梁跨中挠度:
( 1 1 )l 200 300 1 l 400
( 1 1 )l 200 300
( 1 1 )l 500 600
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2）为求解超静定结构的内力和位移计算作准备
ds
q(s)ds
FR1 FP1
ds
FR 2
C1 w(s) 2
3 C2
第一状态
1
第二状态
（给定平衡力系）没有因果关系 （给定位移和变形）
M
M
d ds ds
FS
FS
FN ds FN
ds
0
d 0ds
ds
d ds
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外力虚功：
W q(s)w(s)ds FP11 FP22 FP33 FR1C1 FR2C2
W = Wi 。
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条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定的位移及变形。
以上两种状态彼此无关。
2）力系是平衡的，给定的位移及变形是符合 约束条件的微小连续变形。
3）上述虚功原理适用于弹性体和非弹性体。
下面讨论 W 及 Wi 的具体表达式：
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q(s)
FP 2
FP 3
1 和２。
8
FP1
1 1 •
•
1
•
FP2
2•
2
•
•
2
实功：
1 2
FP
11
1 2
FP
22
虚功： FP11
FP 22
虚功强调作功的力与位移无关，即它们之间没有 因果关系。
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§6-2 变形体虚功原理 及位移计算的一般公式
一. 变形体的虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又 设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连 续变形，则外力在位移上所做的外力虚功W恒等于各 个微段内应力的合力在变形上所做的内力虚功 Wi ， 即: