专题四多边形与三角形

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三角形与多边形

多边形1．多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n 条线段组成的多边形就叫做n 边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE .三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边．(3)多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B ，∠C ，∠D ，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．谈重点多边形外角的理解多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角．(4)多边形的对角线： ①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC ，AD 就是五边形ABCDE 中的两条对角线．②拓展理解：一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形．一个n边形一共有n (n －3)2条对角线．析规律多边形的对角线条数与顶点数的关系 ①从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；②所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的．(5)凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC (或BC )所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．【例1】填空：(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．解析：(1)一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n (n －3)2条对角线； (2)一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形，所以n －2＝4，n ＝6，这个多边形是六边形．答案：(1)10 10 20 7 35(2)六2．正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．析规律正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．【例2】下列说法正确的个数有( )．(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2)各边都相等的多边形是正多边形；(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；(4)正确，因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．故选A.答案：A3．多边形的内角和(1)公式：n 边形内角和等于(n －2)×180°.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；③从n 边形的一个顶点出发，可以画(n －3)条对角线，它们将n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形的内角和等于180°×(n －2)．所以多边形内角和等于(n －2)×180°.析规律多边形内角和公式的推导推导多边形内角和公式的方法很多，但都是将多边形内角和转化为三角形内角和进行推导的，这也是研究问题的一种思路方法，将多边形问题转化为三角形问题解决．(3)应用：①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．【例3】选择：(1)十边形的内角和为( )．A ．1 260°B ．1 440°C ．1 620°D ．1 800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )．A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条解析：(1)运用多边形内角和公式计算：180°×(10－2)＝1 440°，故选B ；(2)一个多边形的内角和为720°，即180°×(n －2)＝720°，解得n ＝6，所以该多边形是六边形，六边形有6×(6－3)2＝9条对角线，故选D. 答案：(1)B (2)D4．多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.③n 边形外角和＝n ×180°－(n －2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．解技巧多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．【例4】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变．答案：(1)六720 360 (2)180°0°5．多边形内角和公式的应用多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n－2)×180°求出．(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数．破疑点多边形内角和的理解①用内角和除以180°得到的是n－2的值，不是边数，边数是n，这点要注意．②熟记多边形内角和公式是这部分内容应用的关键．【例5－1】若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．解析：设每一份为x°，那么四个角分别为3x°，4x°，5x°，6x°.根据四边形内角和是360°，列出方程3x＋4x＋5x＋6x＝360，解得x＝20，然后求出各角；也可以用360°÷18＝20°，每一份是20°，然后求解．答案：60°，80°，100°，120°【例5－2】一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．解析：根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程(n－2)×180＝1 440，解方程得n＝10.所以这个多边形为十边形．答案：10【例5－3】一个多边形的内角和不可能是( )．A．1 800°B．540°C．720°D．810°解析：因为边数只能是整数，所以多边形的内角和必须是180°的整数倍，故选D.答案：D6.多边形外角、外角和公式的应用多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数．同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换．破疑点多边形外角和与外角的关系多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360°，而多边形所有外角的和是360°的2倍，是720°，这点要注意．【例6－1】如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出∠A.答案：125°【例6－2】如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于( )．A．140°B．40°C．260°D．不能确定解析：方法一：因为四边形内角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB ＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法二：可求出与∠B，∠ADC同顶点的两外角和为220°，根据四边形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出∠1＋∠2的度数．答案：A7.正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．解技巧利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360°，由360°除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.【例7－1】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．解析：由多边形内角和定理知，八边形的内角和是1 080°，每个内角都相等，所以1 080°÷8＝135°.答案：135°【例7－2】一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．解析：多边形的外角和是360°，每个外角都是30°，所以360°÷30°＝12，所以该多边形是十二边形，内角和是1 800°，本题也可根据共顶点的内、外角互补，求出内角和．答案：12 1 800°【例7－3】一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n－2)×180°，因为每一个内角都是144°，所以内角和为144°×n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；方法二：因为每一个内角都等于144°，所以每一个外角都是36°.根据多边形外角和为360°，用360°÷36°＝10，也可以得出这个多边形为十边形．解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×144°，解得n＝10.答：这个多边形的边数为10.8．边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n －2)×180°，多边形对角线的条数也是一定的，是n (n －3)2，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n －3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量．在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合．因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：已知一个多边形内角和是1 080°，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n －2)×180＝1 080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数．【例8－1】过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．A ．8B ．9C ．10D ．11解析：过多边形一个顶点的所有对角线将一个多边形分成(n －2)个三角形，所以n －2＝8，解得n ＝10，即这个多边形是十边形，故选C.答案：C【例8－2】多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析：根据每一个内角都是150°，求出这个多边形是十二边形，它的一个顶点引出的对角线的条数是n －3＝12－3＝9，故选C.答案：C【例8－3】一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．分析：设边数为n ，根据对角线的条数是边数的4倍，列方程求出边数，再代入多边形内角和公式求出内角和．解：设这个多边形的边数为n ，根据题意，得n (n －3)2＝4n ，解得n ＝11，所以这个多边形的内角和为：(n －2)×180°＝(11－2)×180°＝1 620°.9.将多边形截去一个角问题的探讨在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：(1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.(2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.(3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.析规律分类解决问题对于其他多边形(三角形除外，因为三角形只有两种情况)也有这样的三种情况，并且截法相同，解法也相同．【例9－1】一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为( )．A ．15或17B ．16或17C ．16或18D ．15或16或17解析：因截法不同，所以有三种可能，①当不过任何一个顶点时，截完后边数会增加1，因此原来多边形应为十五边形；②当过一个顶点时，截完后边数不变，所以这种情况下原来的多边形为十六边形；③当过两个顶点时，边数比原来减少1，所以原来就是十七边形，所以原来的多边形的边数为15或16或17，故选D.答案：D【例9－2】一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．A．13 B．15 C．17 D．19解析：一个多边形截去一个角，因截线不过任何顶点，所以新得到的多边形边数比原来的多边形的边数应该增加1.因为新得到的多边形内角和是2 520°，根据多边形内角和公式列方程得(n－2)×180°＝2 520°，解得n＝16，新多边形为十六边形，所以原多边形为十五边形，故选B.答案：B【例9－3】如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880°，那么原来的多边形的边数是( )．A．10 B．9 C．8 D．7解析：现在的多边形的内角和是 2 880°，根据多边形内角和公式(n－2)×180°＝2 880°，求出n＝18，所以原来的多边形的边数就是18÷2＝9，因此是九边形，故选B.答案：B10.多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．破疑点多边形内角和与边数的关系内角和除以180°所得到的整数并不是边数(或角的个数)n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．【例10－1】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．分析：因为这个多边形的内角和少加了一个内角，所以内角和实际要大于2 670°，并且加上这个角后就是180°的整数倍，2 670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14，n ＝16，因少加一个角，所以实际有16＋1＝17个角，所以边数是17条，少加的内角是180°－150°＝30°.解：因为2 670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14＋1，n＝17.所以这个多边形的边数是17.少加的内角是180°－150°＝30°.【例10－2】若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．分析：由已知可知，600°是多加了一个外角后的内角和，减去多加的角就应是180°的整数倍，因此600°÷180°＝3……60°，因此n－2＝3，所以n＝5，这个多边形为五边形，边数是5，代入多边形内角和公式即可求出内角和．因为多加了一个角，并且多加的角是余数60°，也可以用600°减去余数(60°)得到内角和度数．解：由题意，得600°÷180°＝3……60°，所以n－2＝3，n＝5.所以这个多边形的边数是5.所以这个多边形的内角和为：180°×(5－2)＝540°.答：这个多边形的边数是5，内角和是540°.多边形及其内角和习题第1题. 各角都相等的n 边形的一个外角可能取得的值是（）Ａ．(2)180n n -︒ Ｂ．360n ︒ Ｃ．180n ︒ Ｄ．以上都不对第2题. 一个多边形的内角和比它的外角的3倍少180°，则这个多边形的边数是（）第3题. 过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是（）第4题. 若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为（）第5题. 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．第6题. 图中是三种将多边形(3)n ≥分成三角形的不同方法．第7题第8题求证：第9题. 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（）第10题. 如果五边形的五个外角的比是1:3:2:4:5，则五边形中最大的内角与最小的内角的比是．第11题. 如图，一个顶角为40o的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则 12∠+∠= 度．第12题. (1)n +边形的内角和比n 边形的内角和大第13题. 正六边形的一个内角的度数是o 1A2A 3A4A 5A n 1A 2A 3A 4 5A n A 1A 2A 3A 45A n A参考答案1答案：Ｂ．2答案：73答案：104答案：9．5答案：(3)42n n n -=11n = 1620︒．6答案：2n -，1n -，n ．7答案：十，六．8答案：提示：由OB ，OC 是ABC ∠和BCD ∠的平分线，得1180()2BOC ABC BCD ∠=︒-∠+∠ 再由四边形内角和等于360︒，得360()ABC BCD A D ∠+∠=︒-∠+∠代入上式．9答案：9．10答案：13:5．11答案：220；12答案：180o13答案：120；三角形1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b . 三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点三角形的中线的理解三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、。

精品 2014年八年级数学上册-三角形初步认识 04 多边形及其内角和

第04课多边形及其内角和知识点：多边形的定义:_______________________________________________________的图形称为n 边形.多边形分为:____多边形和____多边形.画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形______这条直线的_________,这样的多边形叫做凸多边形,类似地,画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形________这条直线的_________.这样的多边形叫做凹多边形.凸多边形的特征:凸多边形的每个内角可为锐角或直角或钝角.多边形的边,内角,外角.(1)组成多边形的各条线段叫做多边形的边.(2)__________________________________叫做多边形的内角.(3)_________________________________________叫做多边形的外角.多边形的对角线(1)_________________________________________叫做多边形的对角线.(2)多边形的对角线的条数:①从n 边形的一个顶点可以引________条对角线。

将多边形分成________个三角形.②n 边形共有___________条对角线.正多边形:各个角_______，各条边_______的多边形叫正多边形.如正三角形，正四边形，正六边形等等.从n 边形的一个顶点出发，可以引______对角线,它们将n 边形分成______个三角形,n 边形的对角线共有__________n 边形的内角和等于_________多边形的外角和与它的边数_______（填“有”或“无”）关系．_________________________________________________________________________________________例1.如图，已知五边形ABCDE，若剪去一个角，求剩下多边形内角和。

专题04 多边形及其多边形内角和(知识点串讲)(解析版)

专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。

【精品】第九章三角形、多边形

第9章三角形与多边形一、教学目标本章的主要内容是三角形和多边形的有关概念及其边角的性质。

教材先从瓷砖的铺设提出问题,接着研究三角形和多边形的有关边角的性质,最后探究正多边形在拼地板中的运用及其隐含的数学道理。

本章的教学目标是:1．了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高、角平分线）等概念。

2．会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。

3．了解三角形的稳定性。

4．了解几种特殊的三角形与多边形的特征，并能加以简单地识别。

5．探索并掌握三角形的外角性质与外角和。

6．理解并掌握三角形的三边关系。

7．探索、归纳多边形的内角和外角和公式，并能运用于解决计算问题。

8．体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法。

9．在直观感知、操作确认的基础上，体验证明的必要性，初步学会说理.10．欣赏丰富多彩的图案,体验数学美，提高审美情趣.二、教材特点1．本章由“瓷砖的铺设"导入,接着研究三角形和多边形的性质,最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题，体现了数学来源于实践,又应用于实践的特点。

2．在呈现方式上，改变“结论——例题——练习”的陈述模式，而是采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用多种探究方法：对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法；对“三角形的三边关系"采用画图的方法；对“多边形的内角与外角和”采用计算与归纳说理的方法.3．在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来,让学生体验证明的必要性，学会初步说理。

4．渗透计算器的应用，有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和外角和。

5．通过教材的“问题型”呈现和探索性、开放性习题的练习,力图改变学生的学习方式，让学生自主探索、合作学习。

6．第1课时认识三角形（1）教学目的1。

理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.2。

会将三角形按角分类.3。

理解等腰三角形、等边三角形的概念。

赣榆县一小四年级数学下册四巧手小工匠——认识多边形三角形知识点总结1 青岛版六三制

三角形由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形具有稳定性三角形内角和是180°组成三角形的两个条件：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边三角形分类按角来分锐角（0°<A<90°）直角（90°）钝角（90°<A<180°）锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角是直角（其他两个角一定都是锐角）钝角三角形：有一个角是钝角（其他两个角一定都是锐角）锐角三角形的三条高（三条虚线）直角三角形的三条高（一条虚线加两条直角顶点边底CBA三角形ABC:A边）钝角三角形的三条高（三条虚线）按边分底直角边CBA直角边CBCBA 底边等边三角形（三条边都相等，每个角都是等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）※已知三角形两条边各长a、b（a>=b），求第三边长度c的范围方法：a-b<c<a+b例：已知一个三角形两边分别长5cm和9cm，第三边的长度范围是多少？解：9-5<c<9+5(没有等号) 4<c<14如果第三边长度是整数，那么第三边可能是5、6、7、8、9、10、11、12、13cm例：已知一个三角形两边分别长5cm和5cm，第三边的长度范围是多少？解：5-5<c<5+5(没有等号) 0<c<10如果第三边长度是整数，那么第三边可能是1、2、3、4、5、6、7、8、9cm※已知三条线段的长度，判断能不能组成三角形方法：将最短的两条线段长度相加，如果比最长的那条线段长，那么能组成三角形例：已知三条线段分别是7cm、4cm、2cm，它们能不能组成三角形？2+4<7 不能例：已知三条线段分别是5cm、5cm、5cm，它们能不能组成三角形？5+5>5 能（等边三角形/正三角形）例：已知三条线段分别是10cm、10cm、20cm，它们能不能组成三角形？10+10=20 不能※多边形内角和问题三角形：180°四边形：360°在四边形内部画一条线，将其分成两个三角形，内角和=180°×2=360°五边形:540°在五边形内部画两条线，将其分成三个三角形，内角和=180°×3=540°六边形:720°在六边形内部画三条线，将其分成四个三角形，内角和=180°×4=720°第八单元垂线与平行线1 认识射线和直线项目内容1.生活中有哪些物体可以近似地看成线段、射线、直线?2.笔直的马路给我们( )的形象,绷紧的琴弦可以近似地看作( ),电筒的光柱类似( )。

专题四三角形模型归纳

专题四三角形模型归纳
专题四三角形模型归纳
引言
本文将对三角形模型进行归纳总结，包括三角形的定义、分类、性质和应用等方面内容。

三角形的定义
三角形是由三条线段相连而成的多边形，其中每条线段称为一
条边，相邻两条边的交点称为一个顶点。

三角形的顶点总数恰好是
3个。

三角形的分类
根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：
1. 等边三角形：三条边的长度相等。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等。

3. 直角三角形：其中一个角为直角（90度）。

4. 钝角三角形：其中一个角大于90度。

5. 锐角三角形：其中所有角都小于90度。

三角形的性质
三角形有许多重要的性质，包括：
1. 角的和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

2. 外角定理：三角形的一个内角和与它相邻的外角之和等于180度。

3. 相似三角形：具有相同角度的三角形，对应边的比例相等。

4. 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的应用
三角形广泛应用于几何学和实际生活中。

它们可以用于测量地理距离、计算航空航天器的轨迹、建筑设计等领域。

结论
通过对三角形的定义、分类、性质和应用的归纳总结，我们更深入地了解了三角形的特点和作用，为进一步研究和应用三角形提供了基础。

请注意，本文的内容仅供参考，具体问题需要根据实际情况进行具体分析和解决。

中考数学全程复习方略第十六讲三角形与多边形课件

(1)求∠CBE的度数. (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.
第二十页，编辑于星期六：六点三十五分。
【思路点拨】(1)先根据直角三角形两锐角互余求出
∠ABC=90°-∠A=50°,由邻补角定义得出∠CBD=130°.再根
据角平分线定义即可求出∠CBE.
(2)先根据(1)得出∠CEB,再根据平行线的性质即可求出
(2)区分性质与判定:已知直角三角形可得两锐角互余,此为性质;已知两锐角互余可得直角三角形,此为判定.
第十八页，编辑于星期六：六点三十五分。
【核心突破】例2(2018·宜昌中考)如图,在Rt△ABC中
,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角
∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
第十九页，编辑于星期六：六点三十五分。
第三条线段,那么这三条线段能组成一个三角形,否则不能组成一个三角形.
第八页，编辑于星期六：六点三十五分。
2.已知两边求第三边:设三角形的两边长分别为a,b(a>b),则第
三边长c必须满足条件:a-b<c<a+b,由此便可确定第三边长
的范围.
3.证明线段不等关系:若是和的大小关系则采用三角形的两边之和大于第三边,若是差的大小关系则采用三角形两边之差小于第三边.
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
第十三页，编辑于星期六：六点三十五分。
3.长度分别为3,4,5,7的四条线段首尾顺次相接,相邻两线段的夹角可调整,则任意两端点的距离最大值为 ____9____.
第十四页，编辑于星期六：六点三十五分。
4.(2019·株洲芦淞区一模)已知关于x的不等式组

专题04 多边形及其多边形内角和(专题测试)(解析版)

专题04 多边形及其多边形内角和专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）1．（2018春黄浦区期中）如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．2．（2017春东源县期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )A．90°B．135°C．270°D．315°【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故选：C．3．（2018春正定县期末）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则为A．B．C．D．【答案】D【解析】试题解析：正方形的内角为，正五边形的内角为，正六边形的内角为，，故选D.4．（2018春二道区期末）如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为()A．60°B．108°C．120°D．240°【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选：D．【名师点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B＋∠C＋∠D的度数是解决本题的突破点．5．（2018春呼兰区期末）若一个多边形的内角和为540°，那么这个多边形对角线的条数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】分析: 先根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的对角线的条数与边数的关系求解.详解: 设所求正n边形边数为n，则（n-2）•180°=540°，解得n=5，∴这个多边形的对角线的条数==5．故选：A.6．（2018春官渡区期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠AED的度数是（）A．120°B．110°C．115°D．100°【答案】A【解析】详解：∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°，∴∠5=360°﹣75°×4=360°﹣300°=60°，∴∠AED=180°﹣∠5=180°﹣60°=120°．7．（2017春南山区期末）过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C【详解】解：由规律可知，如此操作后得到的三角形数量比该多边形的边数少2，则该多边形的边数为5+2=7，为七边形，故选择C.【名师点睛】本题考查了几何图形中的找规律.8．（2018春金安区期末）如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是( )A．30°B．15°C．18°D．20°【答案】C【详解】∵正五边形的内角的度数是15×（5-2）×180°=108°，正方形的内角是90°，∴∠1=108°-90°=18°．故选：C【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．9．（2018春雨花台区期末）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】180°-144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．10．（2018春武清区期末）一个多边形的内角和等于1260°，则从此多边形一个顶点引出的对角线有（）A．4条B．5条C．6条D．7条【答案】C【详解】根据题意，得（n-2）•180=1260，解得n=9，∴从此多边形一个顶点引出的对角线有9-3=6条，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°．11．（2018春白云区期末）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得1000°，则这个多边形是( )A．六边形B．七边形C．八边形D．十边形【答案】C【详解】解：设多边形的边数是n．依题意有（n-2）•180°>1000°，解得：n>759，则多边形的边数n=8；故选：C.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．12．（2018春泰兴市期中）若一个边形的每一个外角都是36°，则这个边形对角线的条数是（）A．30 B．32 C．35 D．38【答案】C【解析】分析：多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数，进而求得对角线的条数．详解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，∴多边形的边数为360°÷36°=10．∴对角线的条数是×10×（10-3）=35（条）．故选C．【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°，正确理解n边形的对角线条数是n（n-3）是关键．二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2018春新华区期末）如图，小亮从点O出发，前进5m后向右转30°，再前进5m后又向右转30°，这样走n次后恰好回到点O处，小亮走出的这个n边形的每个内角是__________°，周长是___________________m.【答案】150, 60【解析】分析：回到出发点O点时，所经过的路线正好构成一个外角是30°的正多边形，根据正多边形的性质即可解答.详解：由题意可知小亮的路径是一个正多边形，∵每个外角等于30°，∴每个内角等于150°.∵正多边形的外角和为360°，∴正多边形的边数为360°÷30°=12（边）.∴小亮走的周长为5×12=60.14．（2019春南明区期末）如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．【答案】40︒．÷=，【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：4559︒÷=︒．则左转的角度是360940故答案是：40︒．【名师点睛】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．15．（2018春三元区期末）小明同学在计算一个多边形(每个内角小于180°)的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是2018°，则少算了这个内角的度数为________．【答案】142°【解析】分析：n边形的内角和是（n−2）•180°，少计算了一个内角，结果得2018°，则内角和是（n−2）•180°与2018°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n−2）•180°≥2018°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．详解：设多边形的边数是n，依题意有（n−2）•180°≥2018°，解得：n≥，则多边形的边数n＝14；多边形的内角和是（14−2）•180＝2160°；则未计算的内角的大小为2160°−2018°＝142°．故答案为：142°16．（2018春莲都区期末）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形三等角四边形ABCD中，，则的取值范围______．【答案】【详解】解：四边形的内角和是，，，又，．故答案是：．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和，注意到∠D的范围是解题的关键．17．（2018春长春市期中）如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ______.【答案】30°【解析】∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，即∠1+∠EAC+∠ACD=180°，∵五边形是正五边形，∴∠EAC=108°，∵∠ACD=42°，∴∠1=180°-42°-108°=30°.三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2018春武义县期中）如图,在六边形ABCDEF中,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,求∠F的度数.【答案】∠F=134°.【详解】如图，连接AC，∵CD∥AF，∴∠DCA+∠CAF=180°，∵AB⊥BC，∴∠BCA+∠BAC=90°，∴∠BCD+∠BAF=∠BCA+∠DCA+∠BAC+∠CAF=270°，∴∠BAF=270°-∠BCD=270°-124°=146°，∵六边形的内角和=(6-2)×180°=720°.∴∠F=720°-2×146°-90°-124°-80°=134°.【名师点睛】本题是考查多边形的内角和、平行线的性质、直角三角形两锐角互余的性质的综合题，运用整体思想把∠BCD与∠BAF，∠CAF与∠DCA，∠BCA与∠BAC分别看成一个整体是解题的关键. 19．（2018春吴兴区期中）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分打上阴影）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180．()2将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520，求原多边形的边数．【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17．【详解】()1如图所示：()2设新多边形的边数为n，n-⋅=，则()21802520n=，解得16①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，故原多边形的边数可以为15，16或17．【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．20．（2018春桃城区期中）（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．【答案】（1）150°、120°、90°．（2）12．【详解】（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．【名师点睛】本题考查的知识点是多边形内角和，解题的关键是熟练的掌握多边形内角和.21．（2019春盘龙区期末）如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD，求图形中的x的值．【答案】x＝85°解：∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣60°＝120°，∴（5﹣2）×180°＝x+150°+125°+60°+120°，∴x＝85°．【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和知识点，属于基础题．。

认识多边形的分类与特点

认识多边形的分类与特点多边形是几何学中的重要概念，它是由多条边组成的平面图形。

根据边的数量和长度，多边形可以分为不同的类型，并且每种类型都有其特点和属性。

本文将介绍常见的多边形分类与特点。

1. 三角形三角形是最简单的多边形，由三条边和三个内角组成。

根据边的长短和角的大小，三角形可以进一步细分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

锐角三角形的三个内角都小于90度，直角三角形其中一个内角为90度，而钝角三角形则有一个内角大于90度。

2. 四边形四边形是由四条边和四个内角构成的图形。

根据边的长度和内角的大小，四边形可以分为多个子类型。

矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角都是90度。

正方形是一种特殊的矩形，其四条边长度相等且内角都为90度。

平行四边形的对边平行且长度相等。

菱形的四个边长度相等，但内角不一定为90度。

3. 五边形五边形是由五条边和五个内角组成的多边形。

根据边的长度和内角的大小，五边形可以进一步细分。

最常见的五边形类型是正五边形，其五条边长度相等且内角都为108度。

4. 六边形六边形拥有六条边和六个内角。

最常见的六边形类型是正六边形，其六条边长度相等且内角都为120度。

5. 多边形多边形还可以拥有更多的边，如七边形、八边形等等。

这些多边形的分类原则与前面介绍的类似，依据边长和内角大小进行划分。

每种多边形都有其独特的特点和性质。

例如，正多边形的内角都相等，外角相等且和为360度；而不规则多边形的边长和内角都各不相同。

多边形的面积和周长计算方法也因类型的不同而略有不同。

总之，多边形是平面几何中重要的图形概念，根据边的数量和长度，多边形可以分为不同的类型。

在定位图形、计算面积和周长时，了解多边形的分类与特点能够帮助我们更好地理解和解决问题。

初中数学《三角形、四边形与多边形》单元教学设计以及思维导图

三角形、四边形与多边形
如图，
=
）探索结论时，计算验证；程．
2．思考：三角形、四边形、六边形等外角和是多少？
3．推理得出n边形的外角和是多少？使用专门制作的几何画板课件探究、演示．
第三课时：三角形的稳定性研究
活动一：了解三角形的稳定性
1．个人自学课本67页内容，了解三角形的稳定性；
2．写一篇数学短文，介绍三角形的稳定性和四边形的不稳定性，并举出几个生活或生产中利用三角形的稳定性或四边形的不稳定性的例子．
活动二：制作活动挂架或放缩尺
学习小组的几个同学合作，制作活动挂架或放缩尺；。

专题四几何计算人教版八年级数学上册教材

求∠1 的度数.
（1）证明：∵FG∥AE，∴∠2 ＝∠FGC. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠FGC. ∴AB∥CD.
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
（2）若FG⊥BC 于点H，BC 平分∠ABD，∠D=100°，
求∠1 的度数. （2）解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D＝180°. ∵∠D＝100°，∴∠ABD＝180°-∠D＝80°. ∵BC 平分∠ABD，∴∠ABC＝ ∠ABD＝40°. ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠ABC＝90°. ∴∠1＝90°-40°＝50°．
16. 如图，△ABC 为正三角形，点 B，C，D，E
在同一直线上，且 CG=CD=DF=DE，则
∠E= 15
°.
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
17. 如图，点 F 在线段 AB 上，点 E，G 在线段 CD 上，FG∥AE，∠1=∠2.
（1）求证：AB∥CD；（2）若FG⊥BC 于点H，BC 平分∠ABD，∠D=100°，
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
13. 如果等腰三角形的一个角是 80°，那么它的底角是（ A ） A. 80°或 50° B. 50°或 20° C. 80°或 20° D. 50°
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
专题四几何计算人教版八年级数学上册教材
（3）如图 3，若△ABC 中∠B 的平分线 BO 与△ABC 外角平分线 CO 交于点 O，过点 O 作 OE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. 这时图中还有等腰三角形吗？如果有，分别写出他们.EF 与 BE， CF 之间的数量关系又如何？请说明理由.

中考数学专题复习三角形与多边形

第一部分夯实基础
第四章三角形
第2节三角形与多边形
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·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.

第12讲相似多边形与三角形相似的条件

第12讲相似多边形与三角形相似的条件目标导航课程标准1.了解相似多边形和相似比的定义。

2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。

3.掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。

4.了解相似三角形的概念。

5.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。

6.能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。

7.了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。

知识精讲知识点01 相似多边形的定义1．相似多边形的定义、的两个多边形叫做相似多边形。

2．记法相似符号：“∽”，读作“”。

在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。

知识点02 相似多边形的性质及判定1．相似多边形的性质相似多边形的、。

2．相似多边形的判定、的两个多边形叫做相似多边形。

知识点03 相似三角形的概念1．概念三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2．符号语言如图所示，在ABC ∆和C B A '''∆中，A A '∠=∠ ，B B '∠=∠，C C '∠=∠，C A ACC B BC B A AB ''=''=''，ABC ∆∴∽C B A '''∆。

3．相似三角形的“三性”（1）对应性：两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

找对应元素的方法同全等三角形。

（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：ABC ∆∽C B A '''∆，它们的相似比为k ；如果写成C B A '''∆∽ABC ∆，那么它们的相似比是k '，且kk 1=' （3）传递性：若ABC ∆∽C B A '''∆，C B A '''∆∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆知识点04 相似三角形的判定定理（一）相似三角形的判定定理1 1．定理的两个三角形相似。

多边形证明(复习讲义)(三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形)(解析)-中考数学重难点题型专题汇总

题型四--多边形证明（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01三角形全等及性质一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形5．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．6．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．7．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．8．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．四、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．五、直角三角形与勾股定理9．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．10．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形1.如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．2.如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF =EC ，AB =DE ，∠B =∠E.求证：∠A =∠D ．【答案】证明：∵BF =EC ，∴BF +CF =EC +CF ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠E BC =EF ，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠A =∠D ．3.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．4.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE =BC ．5.(2022·浙江省杭州市)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM 上，EF ⊥AC 于点F ，连接CM ，CE.已知∠A =50°，∠ACE =30°．(1)求证：CE =CM ．(2)若AB =4，求线段FC 的长．【答案】(1)证明：∵∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，∴MC =MA =MB ，∴∠MCA =∠A ，∠MCB =∠B ，∵∠A =50°，∴∠MCA =50°，∠MCB =∠B =40°，∴∠EMC =∠MCB +∠B =80°，∵∠ACE =30°，∴∠MEC =∠A +∠ACE =50°，∴∠MEC =∠EMC ，∴CE =CM ；(2)解：∵AB =4，∴CE =CM =12AB =2，∵EF ⊥AC ，∠ACE =30°，∴FC =CE ⋅cos30°=3．6.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．7.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．8.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出∠ADE ，再利用平行线的性质求出∠ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1） BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2） 65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．9.（2021·福建中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点，,⊥⊥DE AC DF AB ，垂足分别为E ，F ，且,DE DF CE BF ==．求证：B C ∠=∠．【答案】见解析【分析】由,⊥⊥DE AC DF AB 得出90DEC DFB ∠=∠=︒，由SAS 证明DEC DFB ≌，得出对应角相等即可．【详解】证明：∵,⊥⊥DE AC DF AB ，∴90DEC DFB ∠=∠=︒．在DEC 和DFB △中，,,,DE DF DEC DFB CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DEC DFB ≌，∴B C ∠=∠．【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．10.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．考点02相似六、相似三角形的判定及性质11．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．12．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．13．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．七、相似多边形14．定义对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．15．性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．八、位似图形16．定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．27．性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或–k ；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．18．找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．19．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．11.（2021·云南中考真题）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是,BC AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ，若6BF ，则BE 的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE=12AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到12DE EFAB BF==，求出EF，可得BE．【详解】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，∴DE=12AB，DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴12 DE EFAB BF==，∵BF=6，∴EF=3，∴BE=6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF．12.（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AE AC的值．【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果．【解析】∵BC∥DE，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =AE AC ，即4AB =DE 4=AE AC ，∴AB •DE ＝16，∵AB+DE ＝10，∴AB ＝2，DE ＝8，∴AE AC =DE BC =84=2，故答案为：2．13.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH =⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，∴DEH FEH ∠=∠，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．14.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）若AB ＝23，AD ＝4，求EC 的长；（3）若AE ﹣DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠FAE ＝β，求tan α+tan β的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC ＝x ，证明△ABF ∽△FCE ，可得AB CF =BF EC ，由此即可解决问题．（3）首先证明tan α+tan β=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BC AB ，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ，解直角三角形求出a ，b 之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由翻折可知，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB+∠EFC ＝90°，∠EFC+∠CEF ＝90°，∴∠AFB ＝∠FEC ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF==2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)2=a−x∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=考点03多边形十、多边形20．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．21．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2360°. 22．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．15.（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．16.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∴36BCA BAC ∠=∠=︒,∴1083672ACD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．17.（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；C.过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；D.三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．18．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720 ，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．19．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【详解】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯-=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．20．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒-︒=︒故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．21．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2)×180°．【详解】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n-2)×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2)×180°”考点04平行四边形十一、平行四边形的性质23．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.24．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．25．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．26．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE 平分∠BAD ，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE 为等腰三角形，即AB=BE ．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD ≌△CDB ；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD ≌△COB,△AOB ≌△COD ；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O 的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE ≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E 为AD 上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S △BEC =S △ABE +S △CDE .（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE ·BC=AF ·CD ．十二、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．十三、矩形的性质与判定27．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S △ABD =4S △AOB ．（如图）28．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．十四、菱形的性质与判定29．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．30．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．十五、正方形的性质与判定31．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；=4S△AOB．（3）面积=边长×边长=2S△ABD32．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．十六、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等（8）有三个角都是直角．十七、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4.22.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC ．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．23.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．24.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，根据SAS 证明△BEC ≌△DFC ，可得CE=CF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．25.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．求证：DE=BF．【答案】证明见试题解析．【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE ，AB ∥CD ，故四边形DEBF 是平行四边形，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，又E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴DF=BE ，又AB ∥CD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE=BF ．考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定．26.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE 是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．。

第十七讲三角形与多边形

【例1】(1)(2013·温州中考)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( A.1,2,4 ) B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
(2)(2012·长沙中考)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,
任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个
∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=120°-40°=80°.
【名师助学】1.在三角形中解决角的问题,一般要将角转化到同一个三角形中利用三角形内角和定理、外角的性质 ,从整体上求解.
2.证明角的不等关系时,经常用三角形外角性质来证明.
3.注意事项:
(1)三角形的一个外角等于和它“不相邻”的两个内角的和,
热点考向二
三角形的内角和定理及其推论
【例2】(1)(2012·云南中考)如图,在△ABC中,∠B=67°, ∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
(2)(2011·怀化中考)如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2 C.∠A>∠2>∠1
内部三条高不相交,但三条高所在的直线相交高在三角形的_____,
于三角形外一点.
二、三角形与多边形的性质大于第三边, 1.三角形三边之间的关系:三角形任意两边的和_____ 小于第三边. 任意两边的差_____ 180° 2.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于______. 3.三角形的外角定理及推论: 等于与它不相邻的两个内角的和. (1)三角形的一个外角_____ 大于与它不相邻的任何一个内角. (2)三角形的一个外角_____

初中数学《平面图形的认识》单元教学设计以及思维导图

平面图形的认识适用年级七年级下（青岛版）所需时间课内6课时，课外1课时，每周4课时本单元共分四个专题：专题一：三角形；专题二：多边形；专题三：圆；专题四：多边形的密铺。

本单元所涉及的平面图形，上一学段学生都已接触过，因此要注意与学生已学知识的衔接。

学生经历三角形、多边形、圆等有关概念的形成，抽象过程，把握他们的实质，初步形成几何建模意识；对于图形的性质、定理要使学生经历实验、观察、探索、猜想、交流、发现的过程，对发现的结论，能有料理的表达，将数学直观和说理结合起来，使学生从尝试用自己的语言叙述逐步过渡到用较规范的数学语言表述，并尝试进行合情推理和验证。

重点：三角形、多边形、圆的有关概念；三角形三边关系，三角形按边分类; 多边形的内角和、外角和公式,并能运用这些公式解决问题;多边形密铺。

难点：三角形三边关系，三角形按边分类，多边形的内角和公式的推导、多边形的密铺。

主要学习方式和预期的学习成果:小组合作学习\研究性学习报告主题单元规划思维导图主题单元学习目标：知识与技能：1．了解三角形、多边形、圆的有关概念2．掌握三角形的角平分线、中线和高线，能画出任意三角形的角平分线、中线和高线，3.了解多边形的内角和外角和公式，会用多边形的内角与外角和公式进行简单的计算和说理；会用圆的面积与周长公式进行有关简单问题的计算。

4. 经历探索多边形密铺条件的过程，知道任意的三角形、四边形和正六边形都可以单独密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计。

过程与方法：1. 经历从具体情境中抽象出平面图形的的过程，认识数学与实际生活的紧密联系，感受图形世界的丰富多彩2. 经历三角形、多边形、圆的有关性质的探索，了解三角形三边关系，多边形的内角和公式，进一步发展学生的空间观念，合情推理意识，主动探究的习惯以及清晰、条理的语言表达能力。

情感态度与价值观：1. 经历多边形密铺条件的的探索过程尝试从不同角度解决问题，形成初步的创新意识，同时在数学活动中积累数学学习的经验，体会与他人合作的重要性。

2023年中考数学复习----多边形基础知识与例题讲解

2023年中考数学复习----多边形基础知识与例题讲解一、多边形1、多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n−．2、多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3、正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn−⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．典型例题讲解1、（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2、021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∴36BCA BAC ∠=∠=︒,∴1083672ACD ∠=︒−︒=︒，故选：A ．本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．3、021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．4、21·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720 ，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．5、021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【详解】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯−=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．6、021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒−︒=︒故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．7、021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．【详解】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n-2) ×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2) ×180°”是解题的关键．。

六年级数学全册知识点教材分析三角形四边形和多边形的认识与计算

六年级数学全册知识点教材分析三角形四边形和多边形的认识与计算六年级数学全册知识点教材分析三角形、四边形和多边形的认识与计算在六年级的数学学习中，三角形、四边形和多边形是非常重要的几何形状。

它们不仅出现在几何题目中，而且在实际生活中也随处可见。

本文将对六年级数学全册中关于三角形、四边形和多边形的知识点进行教材分析，并从认识和计算两个方面进行探讨。

一、三角形的认识与计算三角形是由三条线段连接而成的几何形状。

在六年级的数学教材中，我们首先学习了三角形的基本认识，包括三角形的定义、特点和分类。

三角形根据边的关系可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；根据角的关系可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。

通过了解这些特点和分类，我们可以更好地理解和认识三角形。

在计算方面，六年级的数学教材还教授了三角形的周长和面积的计算方法。

通过计算三角形的边长和高，我们可以求得三角形的周长；通过计算三角形的底和高，我们可以求得三角形的面积。

这些计算方法的掌握不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够提高我们对三角形的认识和理解。

二、四边形的认识与计算四边形是由四条线段连接而成的几何形状。

在六年级的数学教材中，我们进一步学习了四边形的认识和分类。

四边形根据边的性质可以分为平行四边形、矩形、菱形和正方形等；根据角的性质可以分为直角四边形、钝角四边形和锐角四边形等。

通过对这些分类的学习，我们可以更好地认识和区分不同类型的四边形。

在计算方面，六年级的数学教材还强调了四边形的周长和面积的计算方法。

根据不同类型的四边形，我们可以运用相应的计算公式来求解周长和面积问题。

例如，对于矩形和正方形，我们可以直接使用长度和宽度相乘来计算面积；对于平行四边形，我们可以利用底和高的乘积来计算面积。

这些计算方法的掌握能够帮助我们更好地解决与四边形相关的实际问题。

三、多边形的认识与计算多边形是由多条线段连接而成的几何形状。

在六年级的数学教材中，我们也学习了多边形的认识和分类。

讲多边形内角和与外角和(三角形)讲义

多边形内角和与外角和一、知识提要1. 三角形的内角和等于180°。

2. 直角三角形两锐角互余。

3. 三角形的外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和。

4. 三角形的外角定理推论：三角形的任意一个外角大于与它不相邻的一个内角。

5. 多边形外角和等于360°。

6. n 边形内角和等于（n -2）180°。

二、精讲精练1．对于三角形的内角，下列判断中不正确的是( ) A ．至少有两个锐角 B ．最多有一个直角 C ．必有一个角大于60° D ．至少有一个角不小于60° 2．在△ABC 中，∠A =39°，∠B =41°，则∠C 的外角度数为（） A ．80° B ．100° C ．90° D ．70°3．等腰三角形有一个外角是100°，那么它的底角等于（） A ．80° B ．50° C ．80°或50° D ．无法确定 4．借助一副三角尺的拼摆，不能画出的度数是（） A ．15° B ．75° C ．105° D ．155°5．从一个五边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各个顶点，可以将这个五边形分割成三角形的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是（） A ．正五边形 B ．正六边形 C ．正八边形D ．正十边形7．已知一个n 边形的n 个内角与一个外角的总和为1345°，那么这个多边形的边数为（） A .6B .7C .8D .9 8．若等角n 边形的一个外角不大于40°，则它是（）边形A ．n =8B ．n =9C ．n ＞9D ．n ≥99．如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺，那么至少．．需要( ) A ．三个正三角形，两个正方形 B ．两个正三角形，三个正方形 C ．两个正三角形，两个正方形 D ．三个正三角形，三个正方形F21DCEBA FED10．使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是( ) A ．正六边形地砖 B ．正五边形地砖 C ．正方形地砖 D ．正三角形地砖11．若四边形ABCD 的相对的两个内角互补，且满足∠A ：∠B ：∠C =2：3：4，则∠A =________，∠B =________，∠C =________，∠D =________．12．若一个n 边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3：1，那么，这个多边形的边数为________．13．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是________．14．正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n =_____． 15．一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为______．16．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为，每个内角的度数为．17．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________． 18．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是边形．19．假若将n （n ≥3）边形切去一角，则切去后的多边形的内角和与n 边形的内角和之间的关系为_______．20．从一个多边形得一个顶点出发，连结其余各顶点，把该多边形分割成10个三角形，则这个多边形是边形．21．如图，将△DEC 沿DE 翻折过来得△DEF ，则∠F 和∠1、∠2之间存在的什么样的关系式？请予以说明．22．已知：如图所示，现有一六边形铁板ABCDEF ，其中∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D＝∠E ＝∠F =120°，AB =10 cm ，BC =70 cm ，CD =20 cm ，DE =40 cm ，求AF 和EF 的长．23．如图，BC ⊥CD ，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6. （1） CO 是△BCD 的高吗？为什么？（2） ∠5的度数是多少？（3）求四边形ABCD 各内角的度数.24．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料进行密铺．问：（1）能否全用正五边形的材料进行密铺，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料进行密铺的方案，如果能，请把想到的方案画成草图．（3）请再画出一个用两种不同的正多边形材料进行密铺的草图．ODC BA654321三、测试提高【板块一】三角形的内角和与外角1. 直角三角形两锐角的平分线所夹的角是( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．135°2. 如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形或直角三角形B ．钝角三角形或锐角三角形C ．直角三角形或钝角三角形D ．直角三角形【板块三】多边形内角和与外角和3. 一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是( )边形.A ．8B ．7C ．6D ．5 4. 一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是( )边形. A ．5 B ．4 C ．3 D ．不确定 5. 一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是( )边形.A ．7B ．6C ．5D ．4四、课后作业1．一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )A ．115°B ．120°C ．125°D ．130° 2．四边形的四个内角可以都是（）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不能确定3．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°，则这个多边形的外角是（） A ．30°B ．36°C ．40°D ．45°4．下列图形中不能密铺的是（）A ．平行四边形B ．任意四边形C ．正五边形D ．任意三角形 5．如图，∠1=32°，∠2=53°，∠3=61°，则∠4= ．6．若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角大小关系是______．7．正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n =_____. 8．若多边形的每一个外角都是15°，则这个多边形的边数是_______． 9．一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，那么这个多边形是______边4321EDCBA423x°1形．10．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A、∠B、∠C的大小．11．一个n边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角度数之比是1：3，求这个n边形的边数．12．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值.13．已知一个多边形有两个内角为直角，其余各角的外角都等于45°，那么这个多边形的边数是多少？14．小明家刚购买了一套新房，准备用地板砖密铺新居地面，要求地板砖都是正多边形，每块地板砖的各边长都相等，各个角也相等.某家装饰市场有如下五种型号的地板砖.它们每个角的度数分别是60°、90°、120°、108°、135°.这些地板砖哪些适用？哪些不适用？说说你的理由.。