《1.2.1 常数函数与幂函数的导数(2)》教学案1

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高中数学人教B版选修2-2《1.2.1常数函数与幂函数的导数》(第2课时)优秀教案

1.2.1常数函数与幂函数的导数（第2课时）（一）教学目标1.知识与技能熟练掌握常数函数与幂函数的求导公式，以及对公式的应用.2.过程与方法通过自主探究，合作交流，培养学生理解与解决问题的能力，提升学生的数学建模和数学运算素养.3.情感、态度与价值观通过学生主动参与，合作交流，提高学生的学习兴趣，激发求知欲望.（二）教学重点和难点教学重点：熟练掌握常数函数和幂函数的公式导数方法.教学难点：常数函数和幂函数的求导公式应用.（三）教学方法从学生的认知规律出发，启发和诱导学生进行探究与研讨，充分调动学生的学习积极性，发挥其主体作用.（四）教学过程复习巩固常数函数与幂函数的导数公式？设计意图：巩固常数函数与幂函数的导数公式.应用举例例1：求下列函数的导数：（1）sin4y π= ；（2）y =；（3）y =. 例2：质点运动方程是51S t=，求质点在2t =时的速度. 例3：设曲线32y x =在点3(,2)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为13，求a .设计意图：巩固所学知识，进一步激发学生学习激情，提升学生分析问题和解决问题的能力.课堂检测1. 若函数5()f x x =，则[](2)___f '-=2. 求曲线3y x =在点（1,1）处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积.3. 曲线4y x =上哪一点的切线与直线41y x =-平行？设计意图：检测和评价学生对本节课所学内容的掌握情况，在巩固新知的同时，进一步促进认知结构的内化. 归纳总结1. 解决的题型有哪几种？2. 解决问题时需要注意什么？设计意图：巩固本节课所学知识，培养学生运用所学知识和方法解决实际问题的能力. 布置作业。

1.2.1常数函数与幂函数的导数

1.2.1常数函数与幂函数的导数预习案一、自学教材，思考下列问题1.导数的概念2.导数的几何意义二、一试身手利用导数的定义求下列函数的导数：（1）f（x）=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2导学案一、学习目标（1）知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力（3）情感态度价值观提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神二、学习过程（1）课内探究问题1：常数函数的导数是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x=（5）y问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a y x =的导数是什么？（2）典型例题例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．（3）当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（）Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y2 1 (2)y (3)yxx=+==213632')1(xxy=⨯=-解：33122222)(2)'()'1(':)2(xxxxxy-=-=-===----解xxxxxy2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(xxxxy====-解：（4）课堂小结本节课学习了常数函数与幂函数的导数.拓展案一、选择题1．()f x与()g x是定义在R上的两个可导函数，若()()f xg x，满足()()f xg x''=，则()f x与()g x满足（）Ａ．()()f xg x=Ｂ．()()f xg x-为常数Ｃ．()()0f xg x==Ｄ．()()f xg x+为常数二、填空题2．设32()391f x x x x=--+，则不等式()0f x'<的解集是．3．曲线1yx=和2y x=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题4．求过曲线cosy x=上点π132P⎛⎫⎪⎝⎭，且与过这点的切线垂直的直线方程．答案：典型例题例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．当堂检测1.答案：Ｂ2.答案：Ｃ3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x=+===213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：拓展案1.答案：Ｂ2.答案：(13)-，3.答案：344.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32-=-． ∴过点P． ∴所求的直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π2032x -+=．。

【数学】1.2.1《常数函数与幂函数的导数》课件(新人教B版选修2-2)

x − ( x + ∆x ) = , =− x( x + ∆x )∆x x + x ⋅ ∆x
∆y 所以 y`= lim = lim − =− . ∆x → ∆x ∆x → x x + x ⋅ ∆x
究出数探画函 y = 的象据象描它图 .根图 , 述的 x 变情 ,并出线点 , )处切方 . 化况求曲在 ( 的线程
根函的义函 y = f ( x)的数据数定 ,求数导 , ∆y , 就求当 x趋于时所于那是出 ∆ 近趋的 ∆x 个值定 .
面们几常函的数下我求个用数导 .
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = ∆x ∆x O x c−c = = , ∆x 图 . − ∆y 所以 y`= lim = lim = . ∆x → ∆x ∆x → y`= 表示函数 y = c图象( . − )上每一点处的切线的斜率都为 .若y = c表示路程关于时间的函数, 则 y`= 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 , 即一直处于静止状态.
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = = ∆x ∆x
. 函数 y = f ( x ) = x 的导数
x + ∆x − x ∆x
( =
=
x + ∆x − x x + ∆x + x ∆x x + ∆x + x
(
)(
)
)

x + ∆x + x
,
∆y 所以 y`= lim = lim ∆x → ∆x ∆x →

高二数学选修2-2(B版)_《常数函数与幂函数的导数》导学案2

1.2.1常数函数与幂函数的导数一、学习目标1、能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数2、在教学过程中，注意培养学生探求规律的能力二、学习过程（1）课内探究问题1：常数函数的导数是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数y=x y=x 2 y=x 3 1yx y x问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a yx 的导数是什么？（2）典型例题例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′例2质点运动方程是51ts =, 求质点在2=t 时的速度．（3）当堂检测1.已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（）A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角3.求下列函数的导数321(1) y 2 1 (2)y (3)y x x =+==213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：（4）课堂小结本节课学习了常数函数与幂函数的导数. 课后作业：1．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()()f x g x ，满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（）A ．()()f x g x =B ．()()f x g x -为常数C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数 2．设32()391f x x x x =--+，则不等式()0f x '<的解集是．3．曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是．4．求过曲线cos y x =上点π132P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与过这点的切线垂直的直线方程．参考答案：典型例题例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．当堂检测1.答案：B2.答案：C3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x=+===213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：课后作业： 1.答案：B 2.答案：(13)-，3.答案：344.解： sin y x '=-，曲线在点π132P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32-=-． ∴过点P∴所求的直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π203x -=．。

学案7：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数

1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数的四则运算法则学习目标1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．基础知识1．基本初等函数的导数公式表(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．做一做1－1 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y＝1x 2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 做一做1－2 下列结论中正确的是( )． A ．(log a x )′＝a x B ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5x ln 5 2．导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________． (2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝________________. 名师点拨(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分． (2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ). (3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则． (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x ，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导．做一做2 下列求导运算正确的是( )． A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x . 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．知识拓展对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．做一做3 函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．重点难点1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数． 2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1. 典型例题题型一利用公式求函数的导数例题1 求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导．题型二利用四则运算法则求导例题2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三求复合函数的导数例题3 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n (x ∈N ＋)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)； (4)y ＝x cos x 2.反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．例题4 求函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数．错解：y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x )．随堂练习1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝x B ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x C ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin x D ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos x x 的导数是( )．A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )． A ．121＋a ＋121－x B ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.参考答案基础知识·梳理1．nx n－1a x ln a1x ln a cos x－sin x做一做1－1 【答案】B由求导公式可知，①③④⑥正确．做一做1－2 【答案】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )做一做2 【答案】B由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x 2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 做一做3 【答案】y′＝22x ＋3【解析】函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟例题1 解：(1)y′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2 x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y′＝cos x .例题2 解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x ·sin x cos x ′＝(x ·sin x )′·cos x －x ·sin x (cos x )′cos 2x ＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .(3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11. (4)方法1：y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法2：y ＝1－2x ＋1，y′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.例题3 解：(1)y′＝[(2x ＋1)n ]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5′＝5·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 4·⎝⎛⎭⎫x 1＋x ′＝5x 4(x ＋1)6. (3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′ ＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)． (4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x ＝cos x 2－2x 2sin x2.例题4 错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u 与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x ×(－1)＝－e －x ，所以y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )．随堂练习·巩固 1．【答案】D 2．【答案】B【解析】f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 3．【答案】C【解析】y′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. 4．【答案】D【解析】由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′ ＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x.5．【答案】－3 9【解析】∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－2(4a ＋b )＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.。

人教B版选修2《常数函数与冥函数的导数》教案及教学反思

人教B版选修2《常数函数与幂函数的导数》教案及教学反思一、教学目标1.理解常数函数的导数等于零的概念。

2.理解幂函数的导数公式，掌握求解幂函数的导数的方法。

3.能够用幂函数的导数公式解决与幂函数相关的实际问题。

4.培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重点1.常数函数的导数等于零。

2.幂函数的导数公式及其应用。

三、教学难点1.掌握幂函数导数公式的证明和应用。

2.能够用所学知识解决实际问题。

四、教学准备1.教师：教案、教材、笔记本电脑、投影仪等。

2.学生：数学工具箱、笔记本电脑等。

五、教学过程1. 导入环节•引导学生回顾常数函数和幂函数的定义及特点。

•自学P35-37的知识铺垫，了解导数的概念和定义，初步了解求导数的运算法则。

•出示问题“当一辆物品从左向右匀速行驶时，车速为常数，那么在这段时间内车速的变化率是多少？”，激发学生思考。

2. 正文环节2.1 常数函数的导数等于零•通过实例“求常数函数y=3的导数”，引出常数函数的导数等于零的规律。

•由此再引出常数函数的图像等一些特殊性质。

2.2 幂函数的导数公式•口头说明幂函数的导数公式，即幂函数y=x n的导函数为y’=nx(n-1)。

•通过“用图像求解函数y=x2和函数y=x3的导数”这两个实例，引导学生掌握求幂函数导数的方法和技巧。

2.3 幂函数导数公式证明•依次讲述两种推导方法——绘制切线和使用极限，解释导数的本质含义。

•通过将两种方法的求导结果进行对比，说明两种方法得出的导数公式是一致的。

2.4 幂函数导数公式的应用•嵌入实际问题，帮助学生了解和掌握幂函数导数公式在实际问题中的应用。

•展示如何运用幂函数导数公式求解实际问题，如求物体从高处落地经过的时间等。

3. 总结环节•让学生自主总结学习的内容和收获，激励学生思考问题，并展示其学术成果。

六、教学反思•教学重点突出：在掌握了常数函数的导数规律后，引出了幂函数的导数公式，并详细介绍了公式的推导、应用。

学案6：1.2.1常数函数与幂函数的导数

1.2.1常数函数与幂函数的导数学习目标：（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式.（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程.学习过程：提出问题已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x . 问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α为正数)的形式，其导数有何规律？例题探究：例1：求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．例2：若质点P的运动方程是s＝3t2(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．例3：设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．课堂检测：1．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定2．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4－13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．4．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．5．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．6.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．参考答案学习过程：提出问题问题1：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx＝0， ∴y ′＝0lim x ∆→Δy Δx＝0. 问题2：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x. 问题3：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1， (5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x， ∴(x α)′＝αx α－1.例题探究：例1：解：∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上， ∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30，k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1. 又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20，则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 20＋12＝0，解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32. ①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)，即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332，切线为y －12＝6＋332(x －1)，即(6＋33)x －2y －5－33＝0.③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)，即(6－33)x －2y －5＋33＝0.综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0. 例2：解：∵s ′＝(3t 2)′＝(23t )′＝2313t -， ∴v ＝23×138-＝23×2－1＝13， ∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s. 例3：解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52 ＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.课堂检测：1．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1， ∴x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．【答案】B【解析】由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.3．【答案】(4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0【解析】y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2， ∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3， ∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．4．【答案】4x －4y －1＝0【解析】y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)，则0x x y ='＝2x 0. ∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ， ∴k ＝0x x y ='＝2x 0＝1.∴x 0＝12. ∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 5．【答案】4【解析】y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )，令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 6.解：(1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14，与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.。

课件11：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用

x；(4)y＝ log1 x . 3
解：(1)y′＝(lg x)′＝xln110.
(2)y′＝12x′＝12xln 12＝－12xln 2.
(3)y′＝(x
x)′＝(
x
3 2
)′＝32
x
1 2
＝32
x.
1
1
(4)y′＝( log1 x )′＝ 1＝－xln 3.
3
xln 3
类型2：求函数在某点处的导数
∴x0＝116，∴y0＝14. 则所求切线方程为 y－14＝2x－116，即 16x－8y＋1＝0.
(2)设切点 P1(x1，
x1)，则切线斜率为
y
x x1
＝ 2
1， x1
∴切线方程 y－ x1＝2 1x1(x－x1)，
又切线过点 P(0，1)，∴1－ x1＝2 1x1(－x1)，
即 x1＝2，x1＝4.
C．若 y＝1x，则 y′＝－x12
D．若 y＝
x，则
y′＝
x 2
【解析】 ∵(cos x)′＝－sin x，∴A 不正确； ∵(sin x)′＝cos x，∴B 不正确； ∵( x)′＝21 x，∴D 不正确．
【答案】C
2．给出下列命题： ①y＝ln 2，则 y′＝12； ②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2；其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
＝1x、y＝ x的导数公式推导及基本初等函数的导数公式的应用．
知识1：常用函数及基本初等函数的导数公式
问题导思：如何用定义求函数 y＝f(x)＝C 的导数？类似地你
能求出函数 y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x2，y＝f(x)＝1x，y＝f(x) ＝ x的导数吗？

学案10：1.2.1　常数函数与幂函数的导数　~1.2.2　导数公式表及数学软件的应用

1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学习目标1.了解基本初等函数的导数公式．2.理解函数y ＝C (C 为常数)、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 的导数公式的推导过程．3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．新知提炼基本初等函数的导数公式表自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( )2．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定4．已知f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．题型探究题型一运用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x2；(4)y ＝1x 2；(5)y ＝log 3x .方法归纳用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．跟踪训练 1.已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．2．求下列函数的导数： (1)y ＝1x 5；(2)5x 3；(3)y ＝3x ；(4)y ＝log 2x .题型二求函数在某点处的导数例2 (1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数； (2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln5)处的导数．方法归纳求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤(1)由已知函数解析式先求f′(x)；(2)求f′(x0)的值．跟踪训练求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．互动探究在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．跟踪训练已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．素养提升1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．失误防范在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝e x很好记，但对于公式(log a x)′＝1x ln a(a＞0且a≠1)和(ax)′＝a x lna (a ＞0)的记忆就较难．当堂检测1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－2)＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e3．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′（2），则m ＝________．4．抛物线y ＝x 2的一条切线方程为6x －y －b ＝0，则切点坐标为________．参考答案新知提炼0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1x ln acos x －sin x 自我尝试1．(1)× (2)× (3)× 2．C 3．B 4．－32题型探究题型一运用导数公式求函数的导数例1 [解] (1)y ′＝3x 2.(2)因为y ＝x 32，所以y ′＝32x 12＝32x .(3)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x . (4)因为y ＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x 3.(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 跟踪训练 1. 1【解析】因为f (x )＝ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.2．解：(1)y ′＝(1x 5)′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2； (3)y ′＝3x ln 3； (4)y ′＝1x ln 2. 题型二求函数在某点处的导数例2 [解] (1)因为y ＝a x ，所以y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a .(2)因为y ＝ln x ，所以y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.方法归纳求函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数的方法与步骤 (1)由已知函数解析式先求f ′(x )； (2)求f ′(x 0)的值．跟踪训练解：f ′(x )＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x 3，所以f ′(1)＝－12×1＝－12，所以函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3 [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.互动探究解：假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1，设切点为(x ′0，y ′0)，则y ′|x ＝x ′0＝2x ′0，令2x ′0＝－1，则x ′0＝－12，y ′0＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 跟踪训练解：设切点为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线为x －y ＋c ＝0，其斜率为1.所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1，即x 0＝1，所以切点为(1，0)．所以1－0＋c ＝0，所以c ＝－1.当堂检测1．D【解析】因为f ′(x )＝(1x )′＝－x －1－1＝－x －2，所以f ′(－2)＝－x －2|x ＝－2＝－14.2．A【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 3．－4【解析】f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .因为g ′(2)＝1f ′（2），所以m ＝－4.4．(3，9)【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝6，所以x 0＝3，y 0＝9，即切点坐标为(3，9)．。

课件5： 1.2.1常数函数与幂函数的导数

2(5 t)2 2 52
2(10t t 2 )
平均变化率为： s 2(10t t 2 ) 2(10 t)
t
t
t 0 时，f (5) lim 2(10 t) 20 t 0
＊导数是瞬时变化率＊表示何意义？
∴ f (5) 表示的是物体在第 5 s 时的瞬时速度为20m/s。
y tan x
y cot x
导数
y x 1
y cos x
y sinx
y
1 cos2 x
y
1 sin 2
x
小结
＊计算导数的步骤：
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率 y f (x0x) f (x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
第一章导数及其应用
§1.2.1常数函数与幂函数导数
高中数学必选修2-2
复习回顾
＊导数的定义：
函数 y f (x)在 x0 处的导数 f (x0 )：
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) lim
x1 x0
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
＊导数的几何意义：
（2）函数值的增量：y f (2 x) f (2) x x
平均变化率： y
x 2 x
x
2 x
1 1
x
x
2 x
∴
f (2) lim( 1 1) 1 1 1
x0 2 x
22
（3）函数值的增量：
y
f (x0 x)
f (x0 )

(完整word版)1.2.1常数函数与幂函数的导数

1.2.1常数函数与幂函数的导数（预习案)编者：周敏(一）学习目标:1。

能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2.掌握基本初等函数公式,会求简单函数的导数（二)知识链接：1.导数的概念2。

导数的几何意义3.利用定义求函数)(xfy 的导数的步骤是：(三)一试身手:利用导数的定义求下列函数的导数：（1)f（x)=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 (4）f（x）=x21.2。

1常数函数与幂函数的导数(学案）（一)学习目标：1。

能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2。

掌握基本初等函数公式，会求简单函数的导数（二)重点和难点：能用所给基本初等函数的导数公式求简单的函数的导数（三)学习探究:探究问题1：常数函数的导数是什么？探究问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数(1）y=x（2)y=x2（3）y=x3(4）1yx（5）y x12探究问题3:通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？探究问题4：幂函数a y x 的导数是什么？（四）典例示范：例1 求 (1)y=x 12 （2)41y x=(3)y =4）y=1变式训练：求下列函数的导数:（1）y ＝x 8； (2）y ＝x 错误!。

例2质点运动方程是51t s =，求质点在2=t 时的速度．(五）当堂检测:1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ )Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（ ) Ａ．90° Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y 2 1 (2)y (3)y x x =+==213632')1(x xy =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解31.2。

人教新课标版-数学-高二-1.2.1 常数函数与幂函数的导数- 导数公式表及数学软件的应用

1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一几个常用函数的导数 (1)若y ＝f (x )＝C ，则f ′(x )＝________. (2)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x )＝________. (3)若y ＝f (x )＝x 2，则f ′(x )＝________. (4)若y ＝f (x )＝x 3，则f ′(x )＝________.(5)若y ＝f (x )＝1x ，x ≠0，则f ′(x )＝________＝________(x ≠0)．(6)若y ＝f (x )＝x ，x >0，则f ′(x )＝_________＝12x (x >0)．知识点二基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝________ y ＝x n (n ∈N ＋) y ′＝________，n 为正整数 y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q )y ′＝________，μ为有理数y ＝a x (a >0，a ≠1) y ′＝________ y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝________ y ＝sin xy ′＝________y ＝cos xy ′＝________特别提醒：(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆 ①将x u 与a x 对比记忆，两公式最易混淆；②将a x 与log a x 对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记； ③将sin x 与cos x 对比记忆，注意正、负号问题．(2)函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x ，当a ＝e 时，(e x )′＝e x .类型一利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数． (1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π2－x )．反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 12； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝log 2x ； (4)y ＝2sin x 2cos x2.类型二导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________．(2)已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率． (2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知函数y ＝kx 是曲线y 1＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知A 、B 、C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1、m 、4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 的值为________．1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定3．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.4．求过曲线y ＝sin x 上点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程．5．求下列函数的导数． (1)y ＝(x 32＋1)(x 32－1)＋1； (2)y ＝(cos x 2＋sin x2)2－1；(3)y ＝3log 23x .1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．答案精析知识梳理知识点一(1)0 (2)1 (3)2x (4)3x 2 (5)－x －2－1x 2 (6)12x 12-知识点二0 nx n －1 μx μ－1 a x ln a 1x ln acos x －sin x 题型探究例1 解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.(3)∵y ＝x 2x＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10.(5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .跟踪训练1 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35-＝355x2.(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.(4)y ′＝(2sin x 2cos x2)′＝(sin x )′＝cos x .例2 (1)(1，－4)解析由抛物线方程，得y ′＝x ， ∴k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，∴A (1，－4)．(2)解设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为 k 1＝0|x x y ='＝cos x 0，k 2＝0|x x y ='＝－sin x 0.要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．跟踪训练2 1e例3 解设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短． ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.跟踪训练3 94解析如图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大，则点B 到直线AC 的距离应最大，可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B 处的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大．∵y ′|x ＝m ＝12m ，又A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)， ∴k AC ＝2－14－1＝13，∴12m ＝13，∴m ＝94.当堂训练 1．C 2.B 3.1e4．解曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处切线的斜率π6|x k y ='=＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π6)，即123x ＋18y －23π－9＝0. 5．解 (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.(2)∵y ＝cos 2x 2＋sin 2x 2＋2sin x 2·cos x2－1＝sin x ，∴y ′＝cos x .(3)∵y ＝log 2x ，∴y ′＝1x ln 2.。

高中数学第一章导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用课件新人

[小组合作型]
利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x. 【精彩点拨】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】 (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x－25. (4)y′＝(3x)′＝3xln 3. (5)y′＝(log5x)′＝xln1 5.
3．已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a ＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1. 【答案】 1
y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0)
y＝ln x y＝sin x y＝cos x
y′＝________
y′＝________ y′＝________ y′＝_
axln a
ex
1 xln a
1 x
cos x －sin x
1．给出下列命题：
【解析】 ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝xln1 3，
【导学号：05410008】
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－xln1 3. 【答案】 3x2－xln1 3
利用公式求函数在某点处的导数质点的运动方程是 s＝sin t， (1)求质点在 t＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求 s′(t)，再求 s′π3. (2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数，故先求 v(t)，再求导．

20-21版：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用（创新设

第一章——
1.2 导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
学习目标
1.理解各个公式的证明过程,进一步理解运用定义求导数的方法. 2.掌握常见函数的导数公式. 3.灵活运用公式求某些函数的导数.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
8
2.基本初等函数的导数公式 y＝f(x)
y＝c(c为常数) y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x＞0,μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a＞0,a≠1)
y＝logax(a＞0,a≠1,x＞0)
y′＝__f′___(_x_)_
y′＝__0_ y′＝ nxn－1 ,n为正整数
y′＝ μxμ－1 ,μ为有理数
1234
3 A. 6
1 C.2 x
B.0 3
D. 2
解析
∵f′(x)＝(
x)′＝21
x,∴f′(3)＝2
1
3＝
3 6.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
25
1234
3.设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,
则直线 l 的倾斜角的范围是( A.0，π4∪34π，π C.π4，34π
y′| x＝π6
＝cosπ6＝
3 2.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
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∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2 3,
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6,
即 2x＋ 3y－ 23－3π＝0.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用