6[1].3 格林公式

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格林公式的应用

格林公式的应用格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的曲线积分与对应的面积积分之间的关系。

格林公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、地理等多个领域。

本文将介绍格林公式的基本概念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。

格林公式是由德国数学家格林（Green）于1828年提出的，它建立了曲线积分与面积积分之间的联系。

在二维平面上，设D是一个有界闭区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：∮C (f(x, y)dx + g(x, y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y) dxdy其中，∮C表示沿着曲线C的曲线积分，∬D表示在区域D上的面积积分，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示f 和g对x和y的偏导数。

格林公式的应用可以帮助我们求解各种与曲线积分和面积积分相关的问题。

下面将通过几个具体的例子来说明格林公式在实际中的应用。

**例1：计算曲线积分**考虑曲线C：x2 + y2 = 1，逆时针方向，要计算曲线积分∮C (x2dx +y2dy)。

首先，根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分。

设D 为曲线C所围成的区域，那么根据格林公式，有：∮C (x2dx + y2dy) =∬D (∂y2/∂x - ∂x2/∂y) dxdy 计算偏导数，得到∂y2/∂x = 0，∂x2/∂y = 0，因此面积积分为0。

格林公式

1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y

§11.3 格林(Green)公式

y
下面证明如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的

第四节格林公式

d
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1

D2

D3

) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO

xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2

2 cos
d 8
3

2 0
3 cos d . 2

格林公式高斯公式斯托克斯公式

格林公式高斯公式斯托克斯公式摘要：1.引言：介绍格林公式、高斯公式和斯托克斯公式2.格林公式：详细解释格林公式的概念、应用和例子3.高斯公式：详细解释高斯公式的概念、应用和例子4.斯托克斯公式：详细解释斯托克斯公式的概念、应用和例子5.结论：总结三种公式的特点和重要性正文：在数学领域，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是三种非常重要的公式。

它们各自有其独特的概念和应用，为数学研究提供了丰富的理论支持。

下面我们将逐一介绍这三种公式。

格林公式，又称为高斯公式，是向量分析中的一个重要公式。

它描述了向量场的旋度与散度之间的关系。

具体来说，格林公式表达了一个向量场在某点的旋度等于该点处向量场的散度与一个常数的乘积。

这个公式在物理学、工程学等领域有广泛的应用，可以用来求解很多实际问题。

高斯公式，又称为高斯定理，是向量分析中的另一个重要公式。

它描述了向量场的散度与通过该向量场线积分的通量之间的关系。

具体来说，高斯公式表达了一个向量场在某点的散度等于通过该点处的向量场线积分的通量除以该点的面积。

这个公式在物理学、工程学等领域也有广泛的应用，可以用来求解很多实际问题。

斯托克斯公式是向量分析中的一个基本公式，它描述了向量场的旋度与向量场的旋度之间的关系。

具体来说，斯托克斯公式表达了一个向量场在某点的旋度等于该点处向量场的旋度与一个常数的乘积。

这个公式在物理学、工程学等领域有广泛的应用，可以用来求解很多实际问题。

综上所述，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式在向量分析中扮演着非常重要的角色。

它们各自的概念和应用使得向量分析更加丰富和完整，为数学研究提供了丰富的理论支持。

格林公式积分方向

格林公式积分方向【原创实用版】目录1.引言2.格林公式的概述3.积分方向的概念4.积分方向的性质5.积分方向的实际应用6.结论正文1.引言在数学领域，格林公式是一种用于计算空间曲线表面积分的公式，被广泛应用于物理学、工程学等学科。

然而，在实际应用中，人们往往需要对格林公式进行积分方向的处理，以便更好地解决实际问题。

本文将围绕格林公式积分方向展开讨论。

2.格林公式的概述格林公式，又称高斯公式，是一种用于计算空间曲线表面积分的公式。

其表达式为：∮∮_S F·dS = _V div F dV其中，S 表示曲面，V 表示曲面包围的体积，F 表示曲面内的矢量场，dS 表示曲面元素的面积元，dV 表示体积元素的体积元，div F 表示矢量场 F 的散度。

3.积分方向的概念在应用格林公式进行积分时，积分方向的选择至关重要。

积分方向是指在计算积分时，积分的顺序和方向。

合理的选择积分方向，可以使积分过程简化，结果更加精确。

4.积分方向的性质积分方向具有以下性质：（1）一致性：积分方向应该是一致的，即在计算过程中保持不变。

（2）可逆性：积分方向应该是可逆的，即在计算过程中可以相互转换。

（3）方向性：积分方向应该是有方向的，即在计算过程中要考虑矢量场的方向。

5.积分方向的实际应用在实际应用中，选择合适的积分方向可以简化计算过程，提高计算精度。

例如，在计算流体在管道内的阻力时，选择沿着流体流动方向的积分方向，可以使积分过程简化，结果更加精确。

6.结论总之，格林公式积分方向在实际应用中具有重要意义。

合理的选择积分方向，可以简化计算过程，提高计算精度。

格林公式积分方向

格林公式积分方向格林公式是多元函数微积分中一个重要的定理，它通过对有界闭区域上的某个连续可微函数的积分，与该函数在区域边界上的取值相关联。

对于不熟悉格林公式的读者，本文将通过生动的例子和详细的解释来介绍格林公式的积分方向。

首先，我们来了解一下什么是格林公式。

格林公式是由英国数学家格林（George Green）于1828年首次提出的，它是高斯散度定理和斯托克斯定理的特殊情况。

格林公式的基本思想是将一个有界闭区域D分割成无穷小的微元，然后通过对这些微元的边界进行积分，得到了函数在区域D上的积分与函数在边界上的积分的关系。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明格林公式的积分方向。

假设我们有一个二维有界区域D，它由一个简单的闭曲线C所包围。

在我们的例子中，我们的目标是计算一个向量场F在D中的环流（环绕曲线C1的积分）。

根据格林公式，我们可以将环流表示为曲线C的边界的面积积分。

为了确定格林公式的积分方向，我们需要通过右手定则来确定曲线C 的法向量的方向。

假设我们从区域D的内部向外看，如果曲线C的方向是顺时针的，那么法向量的方向将指向区域D的外部。

相反，如果曲线C的方向是逆时针的，那么法向量的方向将指向区域D的内部。

确定了法向量的方向后，我们就可以按照该方向来进行积分。

需要注意的是，格林公式的积分方向对于最终的计算结果是非常重要的。

选择错误的积分方向可能会导致计算出错或得到错误的结果。

因此，在进行格林公式的计算时，我们必须要正确决定曲线C的方向，并根据该方向来确定法向量的方向。

最后，我们总结一下关于格林公式积分方向的一些建议。

首先，我们应该清楚地了解格林公式的原理和应用场景。

其次，我们需要根据具体问题确定曲线C的方向，并根据该方向确定法向量的方向。

最后，2我们在进行计算时要仔细检查积分方向是否与问题要求一致，以确保得到正确的结果。

总的来说，格林公式是多元函数微积分中的重要定理，它通过积分与边界的关系，实现了从区域上的积分到边界上的积分的转换。

格林公式高斯公式斯托克斯公式

格林公式高斯公式斯托克斯公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学领域中三个著名的公式，它们在计算曲线、曲面和体积的积分时非常有用。

下面将对这三个公式进行简要介绍。

1. 格林公式（Green's theorem）：格林公式是一个关于曲线积分和双重积分的定理。

它将曲线积分与曲面的面积积分联系起来。

根据格林公式，如果C是一个简单闭合曲线，它围绕一个平面区域D，且具有光滑的边界，如果P和Q是具有连续一阶偏导数的函数，则有以下关系式成立：∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式是一种有力的工具，用于计算曲线周围的环量和曲面上的通量。

2. 高斯公式（Gauss's theorem）：高斯公式是一个重要的曲面积分定理，也被称为高斯-斯托克斯公式的一部分。

该定理描述了通过一个连续可微的矢量场F流入或流出封闭曲面S的总量。

根据高斯公式，如果S是一个封闭曲面，其边界为曲线C，且F是一个具有连续二阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∬S F·dS = ∮C F·dr这个公式在电学、磁学和流体力学等领域中常被应用，用于计算场的通量与曲线周围的环量之间的关系。

3. 斯托克斯公式（Stokes's theorem）：斯托克斯公式是一个关于曲线积分和曲面积分的定理，也是高斯-斯托克斯公式的一部分。

根据斯托克斯公式，如果曲线C是一个光滑的边界，围绕一个光滑曲面S，且F是一个具有连续一阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学和计算机图形学等领域中广泛应用，用于计算曲线周围的环量与曲面上的旋度之间的关系。

总之，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学中重要的积分定理，它们在各种科学和工程问题的计算中发挥着关键作用，提供了一种将曲线、曲面和体积的积分相互联系起来的方法。

格林公式及其应用格林公式

格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。

它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。

格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。

下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。

1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。

下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。

1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。

1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。

2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。

下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。

2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。

例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。

格林公式及其应用-课件

OB
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都有这样的性质：积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2

格林公式

证明
2xydx x2dy 0. L
14
证明 2xydx x2dy 0. L
证: 因 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
得 L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D 15
例3 计算
xdy ydx L x2 y2
Q dxdy
D x
d
dy
2 ( y) Qdx
证
Q dxdy
Q( x, y)dy
c
1 ( y) x
D x
L
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
CAE
d
E
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
y y
Q ( x2 y4 ) 2x x x
O
x
P Q 原积分与路径无关
y x
29
(x,y) P x, ydx Q x, ydy
( x0 , y0 ) x
x0 P( x, y0)dx
y
Q(x, y)dy
y0
( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy L
B(1,1)( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy
思考题解答 1. L由两部分组成
外边界：BCDAB
内边界：EGFE
y
D
C
G
E
F
oA
Bx
38
பைடு நூலகம்

巧记格林公式

巧记格林公式格林公式是一个重要的数学公式，它建立了闭合曲线积分和二重积分之间的联系。

为了巧记格林公式，可以采取以下方法：1. 理解公式意义：首先，要明确格林公式的基本意义。

它表示对于一个闭合曲线围成的平面区域，其上的线积分（即沿曲线的积分）可以转化为该区域的面积分（即在该区域上均匀分布的积分）。

这样，我们可以通过计算面积分来得到线积分的结果。

2. 记忆公式：为了记忆格林公式，可以将其拆分为两部分：一部分是线积分，另一部分是面积分。

具体来说，对于一个闭合曲线L围成的平面区域D，格林公式可以表示为：∮L Pdx+ Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy。

其中，∮L表示线积分，Pdx+ Qdy表示线积分的被积表达式，∬D表示面积分，(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy表示面积分的被积表达式。

3. 记忆技巧：为了更好地记忆格林公式，可以采用以下技巧：•记住公式中的符号和表达式：要熟悉格林公式中的符号和表达式的含义和用法，如∮、L、P、dx、Q、dy等。

•理解公式中的微分形式：格林公式中的微分形式(dxdy)表示面积分中的元素，而(∂Q/∂x- ∂P/∂y)则是与线积分和面积分相关的表达式。

•掌握公式的应用场景：通过实际应用场景来加深对格林公式的理解和记忆，例如在计算闭合曲线线积分时，可以尝试使用格林公式将其转化为面积分进行计算。

4. 练习使用：为了熟练掌握格林公式，需要多做练习题。

通过实际应用来加深对公式的理解和记忆，并逐渐熟悉公式的应用场景和技巧。

总之，要巧记格林公式，需要理解其意义、掌握符号和表达式的含义、理解微分形式以及练习使用。

通过不断地应用和实践，可以逐渐熟练掌握格林公式，并将其应用于更广泛的数学和物理问题中。

格林(Green)公式及其应用

格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定理中发挥了重要作用，如黎曼定理和克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中的推广，它描述了高维空间中向量场和标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式或应用，它们在特定情况下可能更加方便或有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多格林公式的变种。这些变种可能在某些特定情况下更加适用，例如在处理非线性问题或复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格林公式在各个领域的应用越来越广泛。未来，我们可以进一步探索格林公式的各种应用，如数值计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过程。

格林公式数学高考知识点

格林公式数学高考知识点格林公式是高中数学中的一道经典题目，常出现在高考中。

它是由英国数学家格林（George Green）在19世纪提出的，被广泛应用于电磁学、流体力学以及其他领域的偏微分方程求解中。

首先，我们来了解一下格林公式的基本原理。

格林公式是一个关于有界闭区域内曲面和该区域内部的一个函数的积分公式。

具体来说，如果一个曲面S是由一条闭合的简单光滑曲线C围成，并且函数P(x,y)和Q(x,y)在S和其内部取得了定义，那么格林公式可以用下式表示：∯S(Pdx + Qdy) = ∬D(Qx - Py)dA这里的∯S表示曲面S的面积分，∬D表示平面D的二重积分，P和Q是x和y的偏导数，x和y是S上的参数。

通过格林公式，我们可以将对有界闭区域内函数的曲面积分转化为对该区域内部的函数偏导数的二重积分。

这种转化对于一些实际问题的求解非常有用。

例如，当我们需要计算一个闭合曲线围成区域内的电场强度时，可以使用格林公式将面积分转化为二重积分，从而更容易求解。

在应用格林公式时，我们需要熟练掌握曲面和内部函数的具体形式，以及相关的计算技巧。

比如，当曲面S是一个圆环，而函数P(x,y)和Q(x,y)是关于x和y的多项式时，我们可以通过将圆环分解为多个简单的曲线并分别计算，最后再将结果相加得到最终的积分值。

这种方法在高考中经常使用，需要考生掌握。

除了上述基本形式，格林公式还可以推广到三维空间中。

在三维空间中，格林公式的表达式变为：∯S(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) = ∬D[(∂R/∂y) - (∂Q/∂z)]dA +∬D[(∂P/∂z) - (∂R/∂x)]dB + ∬D[(∂Q/∂x) - (∂P/∂y)]dC这里的∯S表示曲面S的面积分，∬D表示曲线D的二重积分，P、Q和R都是关于x、y和z的偏导数。

三维空间中的格林公式是解决一些与曲面和空间曲线相关的问题时常用的工具。

比如，在求解一个闭合曲面内的电场强度分布问题时，可以利用格林公式将曲面积分转化为对应区域内函数偏导数的三重积分，从而能够方便地进行计算。

第六章格林函数法

R4 ρ2 ρ02 2R20cos R
1
4π
0cos ρ
2 0
ρ2
20cos
32
R ρρ02 R20cos R4 ρ2 ρ02 2R20cos
3 2 R
1 4π
R
R2 ρ02
2 0
R2
2R0cos
32
代入相应积分公式，可得
uM
0
R
f
M
GM;M
n
0
dS
f M 1
利用余弦定理，有
rMM0 02 ρ2 20cos
0rMM1 0 R2 0 2 ρ2 2 R2 0 cos
R4 ρ2 ρ02 2R20cos
其中γ是OM0与OM之间的夹角。
G G n R R
G
M;M
0
1 4πrMM
0
R 0
4πrMM1
1
1
R
4π 02 ρ2 20cos
及
Δg 0, g U，
在D内，在B上
基本解在前面已经求出，有边界区域齐次方程解的求法在下一节介绍。
三维问题解的积分公式
假设格林函数已经求出，下面研究三维拉普拉斯算子第一边值问题解的积分表示。
若 u 满足如下定解问题
Δu f x,y,z, u x,y,z，
在内，在S上
则解 u 的积分公式为
U Ar
其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得
A 1
8
于是，最后得到双调和方程的基本解
U r
8
6.3 格林函数
二维格林函数的定义
定义2 满足
ΔG2G0， x x0, y y0 ,
在D内，在B上

第六章格林函数法

第六章格林函数法本章利用高等数学中的格林(Green)公式导出调和函数的积分表达式，引进格林函数(又叫点源函数)，它是一种广义函数.利用格林函数求解稳态的边值问题，这种方法叫格林函数法，它是解数学物理问题时常用的方法之一.§2.6.1 格林（Green ）公式调和函数的积分表达式2.6.1.1 格林公式设D 是以分片光滑的曲面S 为其边界的有界区域，函数P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z )是在D 上连续，在区域D 内有连续偏导数的任意函数，则成立奥一高公式 V z R y Q x P D d (∂∂+∂∂+∂∂∫∫∫=∫∫++SS z n R y n Q x n P d )],cos(),cos(),cos([,这里d V 是体积元，n 是曲面S 的外法线方向，d S 为S 上的面积元.由此可以导出格林第二公式或格林公式：S nu v n v uV u v v u D S d d )()(∫∫∫∫∫∂∂−∂∂=Δ−Δ. 事实上，设函数u (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )以及它们的所有的一阶偏导数在闭区域S D D U =上是连续的，u 、v 在D 内具有连续的二阶偏导数.令 P =x v u ∂∂, Q =yv u ∂∂, R =z v u ∂∂, 代入奥一高公式得到格林第一公式：V z v z u y v y u n v x u S n v uV v u DD S d d d )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂−∂∂=Δ∫∫∫∫∫∫∫∫ 这里是三维拉普拉斯(Laplace)算子，Δn∂∂表示曲面S 的外法线方向导数.如果引进梯度算子＝∇k j v v v z yi x ∂∂+∂∂+∂∂ ，那么格林第一公式缩写成 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔDS D V v u s n v uv v u d d d )()(，类似地，如果令 P =x u v ∂∂， Q =y u v ∂∂， R =zu v ∂∂，就有 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔD D SV u v S n u v V u v d d )()(d 注意到向量的数性积的可交换性，上两式相减，得格林第二公式(又叫格林公式)：S nu v n v u V u v v u D S d d )()∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫（ . 2.6.1.2拉普拉斯方程的基本解在三维空间内，记),()()()(222N M r z y x r =−+−+−=ςηξ表示点M (x ，y ，z )、)(ςηξ，，N 之间的距离，利用复合函数求导的链式法则，对空间中任意固定的一点N ，函数r1除点N 外关于变量（x , y , z ）处处满足拉普拉斯方程0=Δu ；注意到函数r1的特征，同样对于任意固定的一点M (x , y , z ),函数r1除点M 外，关于变量),,(ςηξ处处满足拉普拉斯方程，即0)1(=Δr，（N M ≠）. 函数r1在求解拉普拉斯方程和泊松(Poisson)方程时有极重要的作用，通常把函数r1称为三维拉普拉斯方程或者泊松方程的基本解.同样，对于二维空间，函数),(1ln )()(1ln 1ln 22N M r y x r =−+−=ηξ 叫做二维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解.2.6.1.3 调和函数的积分表达式仍以三维空间为例，利用格林公式不难得到三维空间调和函数的积分表达式.定理:（调和函数的积分表达式）设函数u (x , y , z )在闭区域D 上有连续的一阶偏导数，且u (x , y , z )在区域D 内调和（即0=Δu 在D 内成立），那么对于D 内任意固定的一点就有),,(0000z y x M ,])1(1[41)(0S nr u n u r M u S d ∂∂−∂∂=∫∫π D M ∈0 ,这里M 为点(x , y , z )，并有2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .事实上，设为区域D 内任意固定的一点，M (x ,y ,z )为),,(0000z y x M D 上的一个动点，动点M 到定点M 0的距离2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .注意到函数r 1除点M 0外，处处调和，M 0挖去.以M 0点为球心，充分小的正数（ρ>0),用表示这个小球的球面.记区域D 0M K ρ0M S ρ0M K ρ1=D \ (通常称区域D 内挖去点M 0M K ρ0).这时区域D 1的表面为.U S 0M S ρ于是函数u , v =r1在闭区域011M S S D D ρU U =上可用格林公式，就有∫∫∫∫∫∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−ΔS S n u r n r u D S n u r n r u V u r r u M S 01)1)1((1)1((]1)1([ρd d d 因为在区域D 1内0)1(,0=Δ=Δru ，上式左边等于零，由此得 01)1()1)1((00=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∫∫∫∫∫∫S S n u r S S n r u S n u r n r u M M S ρρd d d 现在讨论上式左边的后两项积分.注意到，对区域D 1而言，小球面0M S ρ的外法线方向应指向球心M 0 , 与半径r 的方向刚好相反，因此在球面上有0M S ρ2211)1(1(ρ==∂∂−=∂∂rr r n r ，这样上式第二项积分有 )(44)(1)1(1212200M u M u s S u S S n r u M M ππρρρρρ===∂∂∫∫∫∫d d , 这里用到积分中值定理，M 1为球面上的某一点.0M S ρ对于上式第三项积分，用积分中值定理有||22044112M n u M n u S n u r M S ∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∂∂∫∫πρπρρρd 这里M 2为上的某一点.0M S ρ 因为nu ∂∂在M 0点的邻域内是有界的，让0→ρ，则M 1、M 2趋于球心M 0 ,所以第三项积分趋于零，由此得0)(4)1)1((0=+∂∂−∂∂∫∫M u S n u r n r u Sπd . 从而得到有界区域D 内调和函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u S d )1(1(41)(0∂∂−∂∂=∫∫π, D M ∈0. 这个公式说明，调和函数u 在区域D 内任意一点M 0处的值可以由它的边界S 上的值和它在边界S 上的法向导数nu ∂∂的值来确定，这对解边值问题提供了方便.推论：若u 在有界区域D 内是二阶连续的可微函数，则有积分表达式∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=DS V r u S n r u v u r M u d d ππ41))1(1(41)(0，. D M ∈0这是因为在闭区域1D 上用格林公式，有 S n u r S n r u S n u r n r u V u D r S M d d d )11(()1)1((101∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−∫∫∫∫∫∫∫ρ 类似上述的讨论，上式右端当0→ρ时，区域,其余都一样.D D →1对于二维情形，由于基本解为r1ln ，所以不难得到在二维有界区域D 内调和的函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u C d )1(ln )1[ln(21)(0∂∂−∂∂=∫π, D M ∈0. 这里C 为区域D 的边界.对一般的在区域D 内有二阶连续可微函数u ，则积分表达式为S u r l n r u n u r M u DC d d Δ−∂∂−∂∂=∫∫∫)1(ln 21])1(ln )1[ln(21)(0ππ, .D M ∈0这两个公式的证明作为习题留给读者自己去证明.§2.6.2 拉普拉斯（Laplace ）方程的狄里克雷问题2.6.2.1 边值问题的提法数学物理的不少问题都会归结为求拉普拉斯方程的解，根据边界条件的不同提法，可以把它的定解问题分为三类：第一边值问题，又称狄里克雷(Dirichlet)问题.求区域D 内调和，而在D 的边界S 上取已知值f 的函数u ，即狄里克雷问题的提法为：0=Δu ，在D 内,|u s =f 1(M ) ，在S 上.第二边值问题，又称诺伊曼(Neumann)问题，它的提法为： 0=Δu ，在D 内,),(|2M f nu S =∂∂ S M ∈. 第三边值问题，又称洛平(Robin)问题，它的提法为：，在D 内,0=Δu ),(3M f u n u S=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂βα S M ∈. 这里α、β为已知常数，且不同时为零；f 、f 、f 为已知函数.)(1M )(2M )(3M 如果以上的提法，针对求有界区域D 内的解，称为内问题，如果求区域的外部的解，称为外问题.对于狄里克雷问题、诺伊曼问题解的存在性，要用到积分方程的理论，由于已超出本书的范围，这里不再赘述，感兴趣的读者可以查阅相关的书籍，例如由沈乃录主编的《积分方程》一书，将会给你一个满意的解答.2.6.2.2 狄里克雷问题的格林函数格林函数法我们重点来解狄里克雷问题.从调和函数u 的积分表达式出发，在区域D 内的调和函数u 的积分表达式为：S n r u nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=)/1(1(41)(0π， D M ∈0. 这里由于狄里克雷问题0=Δu ，在D 内,|u s =f (M ) ，在∈M S 上.所以，积分表达式中的第二项u 在边界面S 上的值已知，用f (M )代替，就有S n r M f nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=))/1()(1(41)(0π， D M ∈0, 这样求解的关键是如何从上式中消去带nu ∂∂（未知的）这一项. 由格林公式出发，要在区域D 内求一个函数g ，它在区域D 内调和（即0=Δg ），则格林公式为：S n u g ng uS d ∫∫∂∂−∂∂=)(0 用π41乘以上式，再和积分表达式相加，就有 S n g r M f n u g r M u S d ∫∫−∂−∂∂−=])/1()()1[(41)(0π， D M ∈0如果上式中在边界面S 上有g r −1＝0，即=S g |r1，那末狄里克雷问题的解就是：S ng r M f M u S d ∫∫−∂−=])/1()([41)(0π， D M ∈0. 综上所述，欲解狄里克雷问题：0=Δu ，在D 内,|u s =f(M) ，在∈M S 上就转化为解另一个狄里克雷问题：0=Δg ，在D 内,=S g |r1 ， ∈M S, 这里，);(0M M r r =);(0M M g g =，∈M S ，D M ∈0一般说来，函数也不是好求的，它与边界曲面S 的形状有关，但是不管怎么讲，给出了一个解狄里克雷问题的思路，并且对于一些特殊的区域D ，例如球体、半空间、圆域、半平面等可以用初等的方法求出函数g (M ; M );(0M M g 0)来.为了更清楚，我们令函数 );();(1);(000M M g M M r M M G −= 注意到基本解的特征，);(10M M r g (M ；M 0)的要求，对于函数G (M ；M 0)有两个基本性质：(1)除点D M ∈0外，函数G (M ；M 0)在区域D 内调和，即 0);(0=ΔM M G , M , M 0D ∈ 且0M M ≠ ;(2)在边界面S 上， ,0);(0=M M G ∈M ,S D M ∈0 . 通常把函数G (M ；M 0)称为拉普拉斯方程0=Δu 关于区域D 的狄里克雷问题的格林函数.用求格林函数G (M ；M 0)的方法解狄里克雷问题称为格林函数法.如果格林函数G (M ；M 0)求得，那么狄里克雷问题的解也就有了，并且为S M M G nM f M u S d );()(41)(00∫∫∂∂−=π , D M ∈0.对于二维的情形，完全类似地，可以得到 S nG M f M u C d ∫∂∂−=)(21)(0π , D M ∈0 为狄里克雷问题 C D M M f u D M u C=∂∈=∈=Δ),(,0| 的解，这里格林函数 );(1ln );(00M M g rM M G −=，作为习题留给读者自己去证明.例1. 球的狄里克雷问题和球的格林函数球内狄里克雷问题的提法： , 在球内 0=Δu 2222R z y x <++ u=f (M ) , 在球面上 2222R z y x =++这里 M =(x , y , z ).解：先求球的格林函数 2222R z y x <++ 设球内任一点，由此求满足另一个球狄里克雷问题：),(00,00z y x M );(0M M g 0);(0=ΔM M g , 在球内);(1);(00M M r M M g = , 在球面上对于球而 2222R z y x <++M 1言，函数可以用初等的方 );(0M M g 法求得.记202020z y x ++＝ρ，点 M 0的对称点为M 0R S 1,显然点M 1在球外，并在OM 0的延长线上（如图），由对称点的定义知：21R ＝ρρ⋅其中1ρ为OM 1的长，即 2121211z y x ++＝ρ ，),,(1111z y x M =，由调和函数的基本解，这个应该是);(0M M g 1r A这种形式，这里 2121211)()()(z z y y x x r −+−+−= ，A 为待定常数.显然函数1r A在球内是调和的.问题是怎样确定常数A .由的第二个条件在球面上应为);(0M M g r 1.为区别起见，球面上的点记为),,(z y x M ′′′′.由于，所以在21R =⋅ρρM OM ′Δ0与中，是公共角，且夹这角的两边成比例1M M O ′ΔO ∠10OM M O M O OM ′=′，因此M OM ′Δ0与1M M O ′Δ相似，从而有M O OM M M M M ′=′′010，亦即R r r ρ=1，这样在球面上有OR S rr R 111=⋅ρ ，可见常数202020z y x RRA ++==ρ，所求的101);(r R M M g ⋅=ρ，因此球的格林函数为2121212020202020201100)()()(1)()()(1);(1);(1);(z z y y x x z y x Rz z y y x x M M r R M M r M M G −+−+−⋅++−−+−+−=⋅−=ρ得球内狄里克雷问题的解为S nG M f M u RS d ∂∂′−=∫∫)(41)(00π,（）.球∈0M 2222R z y x <++为了计算，还须将这公式化成便于积分的形式.采用球面坐标系.设点M ′的球坐标为),,(ϕθ′′R ，点M 0的球坐标为),,(00ϕθρ，将记为O∠α，于是在球面上，ORS nr nr ∂∂∂∂1(,)1(1有 02022)(1grad 11)1()1(n n ⋅∂∂+∂∂+∂∂−=⋅−=∂∂−=∂∂⋅∂∂=∂∂k zr j y r i x r r r r n r r n r r r n r 其中n 0是球面的外法线单位向量.O R S 在球面上, OR S M ′点的坐标为),,(z y x ′′′，由此r x x x r 0−′=∂∂ , r y y y r 0−′=∂∂ , rz z z r 0−′=∂∂ , 设r 0是r 方向上的单位向量，由此),cos(1)(1)1(200002n r r k r z z j r y y i r x x r n r −=⋅−′+−′+−′−=∂∂n , 同理 ),cos(1)1(1211n r r nr −=∂∂，这样),cos(),cos(1)1()1(12121n r r Rn r rn r n r R n G ρρ−=∂∂−∂∂=∂∂−为了简化上式，在与M OM ′Δ01M M O ′Δ中用余弦定理得Rr r R n r 2),cos(222ρ−+=， 12121212),cos(Rr r R n r ρ−+= ，注意到在球面上有OR S rr R 11=ρ，并且，于是有 21R =⋅ρρ3221212),cos(),cos(1Rr R n r r R n r rn G ρρ−=−=∂∂−, 从而球内狄里克雷问题的解化简为ϕθθραρρϕθπρπππ′′′+−−′′=−′=∫∫∫∫d d d sin ]cos 2[),(4)(41)(2322222003220R R R f RS rR M f R M u O RS这也叫球的泊松积分.利用M 0的对称点M 1构造格林函数的方法，叫做镜像法，物理学中又叫静电源象法.例 2. 半空间的狄里克雷问题.半空间的狄里克雷问题就是求一个在上半空间内的调和函数u (x , y, z )，且在边界面z =0上满足u (x , y , 0)=f (x , y )，即0>z⎪⎩⎪⎨⎧=>=Δ=),(0,0|0y x f u z u z解：设在半空间在z >0内任意一点，这里z ),(00,00z y x M 0>0,那么M 0关于平面的对称点M 0=z 1就是 ),(00,0z y x −.所以函数2020201)()()(11z z y y x x r ++−+−=是半空间内的调和函数，并且在边界面z =0上，显然有0>z rr 111=，因此半空间z >0内的格林函数为20202020202010)()()(1)()()(111);(z z y y x x z z y y x x r r M M G ++−+−−−+−+−=−=对于半空间z >0，边界面z ＝0的外法线方向与z 轴的正向相反，于是z G nG ∂∂−=∂∂，这个半空间z >0的狄里克雷问题的解为S n G y x f z y x u z d ∫∫=∂∂−=0000),(41),,(π =S zG y x f z d ∫∫=∂∂0),(41π=y x z y y x x y x f z d d ∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−232020200])()[(),(2π.§2.6.3 泊松方程的狄里克雷问题在研究有外力作用下的薄膜平衡和有热流的热平衡以及稳定电场的静电势等问题时，都会导出称谓泊松方程的数学物理方程.泊松方程的一般形式是),,(z y x F u u u u zz yy xx =++≡Δ,其中F (x , y , z )为已知函数.泊松方程的狄里克雷问题的提法是),,(z y x F u =Δ （x , y , z ）D ∈, )(|M f u S= M 在D 的边界面S 上.对于在有界区域D 内有二阶连续的可微函数u (M ),有积分表达式V r uS n r u n u r M u DSd d ∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=ππ41))1(1(41)(0, . D M ∈0设是区域);(0M M G D 的格林函数，就有);();(1);(000M M g M M r M M G −=这里函数为区域);(0M M g D 内的调和函数，在边界面S 上有r g S1|=，对格林公式S n u v n v u V u v v u D Sd d ()(∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫中用函数替代v ，再两边乘以);(0M M g π41得∫∫∫∫∫Δ+∂∂−∂∂=DSV u g S n u r n g ud d ππ41)1(410将以上两等式相加，消去S n ur Sd ∂∂∫∫141π项就得泊松方程狄里克雷问题的解为∫∫∫∫∫+∂∂−=DSV FG S n G fM u d d ππ4141)(0显然，上式第一项是定解问题0=Δu 在D 内，的解；第二项是定解问题的解f u S=|0,|==ΔSu F u 对于二维泊松方程的狄里克雷问题可以类似地求解.。

三阶格林公式

三阶格林公式是格林公式的推广，它描述了三维空间中一个向量场通过一个封闭曲线的流量。

格林公式的核心思想是“环绕减去穿越”，即将向量场在一个封闭曲线上的流出量与流入量进行比较，从而得出向量场的环量。

三阶格林公式可以用于描述向量场的更高阶的特性，例如旋度和散度。

三阶格林公式的一般形式如下：
∮(Pdx + Qdy + Rdz) = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y + ∂R/∂z) dS
其中，P、Q、R是定义在封闭曲线C内部的标量函数，dx、dy、dz分别是封闭曲线C上的三个方向上的微元向量，dS是封闭曲线C 上任意一点处的面积微元。

这个公式可以用于计算向量场在封闭曲线上的环量，也可以用于计算向量场的旋度和散度。

在具体应用中，需要将公式中的P、Q、R、dx、dy、dz和dS替换为具体的数值或表达式。

6[1].3 格林公式

格林公式的应用

格林公式

§11.3 格林(Green)公式

第四节格林公式

格林公式高斯公式斯托克斯公式

格林公式积分方向

格林公式积分方向

格林公式高斯公式斯托克斯公式

格林公式及其应用格林公式

格林公式及其应用-课件

格林公式

巧记格林公式

格林(Green)公式及其应用

格林公式数学高考知识点

第六章 格林函数法

第六章 格林函数法

三阶格林公式

第六章格林函数法

第六章格林函数法