第三章 经济增长(修改)

投资与资本积累
一个社会的投资会带来资本存量的变化，这是流 量与存量的关系。但资本存量的变化不仅取决于 投资，而且也取决于资本损耗即折旧。折旧就是 资本存量随着使用和时间的变化而受到的损耗和 减少。 假设一个经济中所有的资本都以一个固定的比例 δ 折损减少，我们称δ 为平均折旧率。 例如，资本平均能够维持20年，那么我们按照折 旧的直线平均法，折旧率就是每年5%，或δ =0.05。 当折旧率为δ 时，每年折旧掉的资本数量为δ K， 是资本存量的函数。如果是人均资本量，那么人 均资本的折旧量为δ k，是人均资本的函数。
储蓄率对稳态的影响
y sf(k2*)=δk2* sf(k1*)=δk1* A B δk s2f(k) s1f(k)
0
k k1* k2* 图3.5 储蓄率变化对稳态的影响
我们假设一个经济中最初的储蓄率为s1，那么这个经济的稳态资本存量就是k1*， 长期增长的均衡点为A。在A点，新增投资恰好等于资本损耗，经济达到一种动态 的稳定。如果这个经济的政策制定者通过采取鼓励储蓄等政策，把储蓄率从s1提 高到s2，那么人均储蓄曲线会相应地由s1f(k)上移至s2f(k)。新的储蓄曲线s2f(k)与 资本折旧线δk相交于B点，此时，投资等于折旧，相应的资本存量的稳态水平为k2*。 显然，在这种情况下，k1*就不再是一个稳态的资本存量，因为在A点，投资大于折 旧，资本存量会持续上升，直到k=k2*。因此，k2*是对应储蓄率s2的新的资本稳态 存量，这个稳态与原来的稳态相比，代表着较高的产出水平。
随着人均资本使用量（每个劳动力配备的机器设备数量）的增加，人均的 产量会不断提高，但人均产量的增量即人均边际产量会不断减少，这是因 为资本的边际产量是递减的。由于劳动人数既定不变，因此人均生产函数 曲线上每一点的斜率代表资本的边际产量（dY/dK），随着人均资本投入 量的增加，曲线越来越平坦，表明资本的边际产量不断减少。
黄金稳态过程
第一种情况：经济的初始稳态资本存量高于黄金律水平
y y* y c c* i* i
0
t0
t
图3.8 资本过多时降低储蓄的影响
Y K y F ( , 1) F (k , 1) L L
于是，我们得到：
y=f(k)
（3.3）
即人均产出只与人均资本投入有关，是人 均资本使用量的函数。
y
y。
A
f(k)
dY dK 0 k。 图3.1 人均生产函数
K
在图3.1中，我们用横轴表示资本与劳动 的比例,即人均资本量k，用纵轴表示人 均产出y，按照上述假定，就可以画出 （3.3）式所示的索洛模型的人均生产函 数。人均生产函数f(k)表达了人均资本使 用量k与人均产量y之间的联系。当一个 经济处在A点时，人均资本使用量为k0 相应的人均产量为y0
国民收入恒等式（3.4）改写成以下形式：c=y-i
或者：c=f(k)-i （3.12） 即消费等于产出减去投资。 要确定稳定状态的消费水平，可以用k*代替 （3.12）式的k，用δk*代替i，这样我们得到稳定 状态的人均消费：c*=f(k*)-δk* (3.13) （3.13）式表明，资本存量的稳态水平k*的变化， 会对人均消费的稳态水平产生不同的影响。一方 面，资本稳态水平的提高意味着产出的增加，会 提高消费水平；另一方面，较高的资本稳态存量 又需要更多的投资即储蓄去替代折旧掉的资本， 又会减少消费水平，因此消费的最终稳态水平取 决于两者作用的相对大小。
第三章
经济增长
第一节 资本积累
基本假设 资本积累和稳态 储蓄率对稳态的影响
基本假设
社会生产 消费、投资和储蓄 投资与资本积累
社会生产
讨论一个社会的供给或生产，也就是对生产函数的基本假 设。 Y=F(K,L) (3.1) 其中Y是产出，K和L分别代表资本和劳动。 第一个性质是资本的边际产量（MPK）劳动的边际产量 （MPL）大于零且递减，用数学语言来表示也就是：
lim FK lim FL ; lim FK lim FL 0
K 0 L 0
K 0 L 0
这个条件也称为“稻田条件”（Inada Conditions）。
令（3.2）式中的λ等于1/L，并用小写字母 表示人均数量，如y=Y/L代表人均产出， k=K/L表示人均资本使用量，那么新古典生 产函数（3.1）可以写成：
假设一个经济由于某种外来冲击（如战争或自然灾害等） 使资本存量大幅度减少，初始资本水平降为图3.4中低于 稳态水平的k1。在这个资本水平上，我们看到，人均投资 曲线位于折旧线的上方，投资大于折旧，即新增投资规模 大于资本的损耗数量：sf(k1) > δk1 因此，按照（3.10）式，Δk>0，人均资本存量会不断上升， 经济也会加速增长，直到达到稳定状态k*。 再假设一个经济由于某种外来因素（如大规模引进外资） 使资本存量大幅度增加，初始资本存量水平上升到高于稳 态水平的k2。此时，人均投资曲线位于折旧线的下方，投 资小于折旧，即新增投资规模小于资本的损耗数量： sf(k2) < δk2 因此，Δk<0，人均资本存量会不断下降，这种趋势也要 在达到稳态水平k*时才会停止。
F ( K , L) MPK FK 0, K MPK 2 F ( K , L) 0; 2 K K
F ( K , L) MPL FL 0, L
MPL 2 F ( K , L) 0 2 L L
即生产函数对各要素的一阶偏导数大于零，二阶偏导数小 于零。
其中ΔK/K为资本存量的增长率，即资本积累的速率。用Δk=ΔK/L（在劳动数量 固定不变的情况下，Δk=Δ(K/L)= ΔK/L）表示人均资本的增量，（3.8）式又可 写成人均形式：
（3.9）
因此，在人均资本存量既定的情况下，人均投资i取决于人均资本积累的速率 Δk/k和折旧率δ。
资本积累和稳态
将（3.9）式代入宏观经济均衡方程（3.6） 并加以整理，可得： Δk=sf(k)-δk (3.10) 我们在图3.4中把图3.2的投资曲线sf(k)和图 3.3的折旧线δk放在一起，就可以考察 （3.10）式所示的资本存量的变化规律。
0
k1
K*
k2
k
图3.4 资本积累与稳态
图中的A点，此时Δk=0，即人均资本存量保持稳定不变。 我们称这个资本存量水平为资本存量的“稳定状态”（Steady state）或简称“稳态”，记为 人均资本拥有量达到稳态时，即k=k*，（3.10）式则可写成：
sf(k*)=δk*
（3.11）
也就是说，当一个经济处在稳态时，新增投资恰好等于折旧。
MPK=δ
(3.14)
即在资本的黄金律水平，资本的边际生产力等于 折旧率。
y
δk*
f(k*)
图3.7通过改变储蓄率来改变一个 经济的稳态资本存量，从而使其 达到黄金律的稳态水平
c*g sgf(k*) A 0 k*g k*
图3.7 通过储蓄率选择黄金律稳态
如果我们能够把储蓄率调控至sg的水平，使储蓄曲线sgf(k*)与折旧线δk* 相交于A点，这样，稳态资本存量就会等于黄金律水平，即k*=k*g，这个 经济也就处在黄金律稳态水平。如果储蓄率高于这个水平，则稳态资本存 量就会太高；如果储蓄率低于此水平，则稳态资本存量又会偏低，都不能 实现长期消费的最大化。
y c
f(k)
sf(k) y i
0
k
图3.2 人均消费和投资 图3.2中人均投资函数或储蓄函数sf(k)是产出的一个比例，因此位于人均生产 函数曲线f(k)下方，两条曲线的垂直距离代表人均消费水平，即： c=f(k)－sf(k)
随着资本存量的增加，人均消费水平和投资水平都会增加，而两者相对量的 大小则取决于储蓄率的高低。由于资本的边际产量递减，人均消费水平和投 资水平的增量会不断减少。
y
δk* f(k*)
（a）
A
（a）中稳态消费水平c*是稳态生产函数f(k*) 和稳态折旧δk*之间的垂直距离，它的变化 取决于稳态生产函数和稳态折旧的相对变化。
c*g 0 k*g c
（b） A c*g c*g 0 k*g
（b）中，随着稳态资本存量的增加，稳态消费 水平先上升，在达到一个最高点A之后再下降， 最后为零，这时所有的产出全部转化为储蓄。 因此，我们看到，A点所代表资本积累水平，能 够使f(k*)和δk*之间的距离，也就是稳态消费水 平最大化。这个稳态资本存量水平实际上就是前 面定义的黄金律水平k*g，与此对应的c*g也就是 最大化的稳态消费水平。
第二个性质是规模报酬不变，即生产函数满足一 次齐次性： λY=F(λK, λL) (3.2) 对任意的正数λ成立。这实际上也是生产技术的一 个方面的特征，这一特征保证了生产要素按其边 际产量进行分配。 第三个性质是资本（或劳动）趋向于零时，资本 （或劳动）的边际产量趋向于无穷大；资本（或 劳动）趋向于无穷大时，资本（或劳动）的边际 产量趋向于零，即：
消费、投资和储蓄
我们知道一个封闭的经济体系，而且在这个经济 体系中不存在政府部门，那么第二章中国民收入 恒等式（2.1）可写成：Y=C+I 国民收入由消费和投资两大部分构成。用人均的 概念来表示可得：
Y C I L L L
或者：y=c+I (3.4) 此式为索洛模型的国民收入恒等式，也就是说， 人均产出y被分为人均消费c=C/L和人均投资i=I/L 两部分。
k*
k*
图3.6 资本积累的黄金律水平
人均生产函数曲线的斜率代表资本的边际产量 MPK，而折旧线斜率是折旧来自百度文库δ。因此，如果 MPK>δ，表明产出增加的速度大于折旧的速度， 增加资本存量就能增加消费：而如果MPK>δ，则 表明产出增加的速度小于折旧的速度，降低资本 存量才能增加消费。因此，长期消费水平达到最 大化，也就是黄金律稳态水平的基本条件是：
一个经济中的国民储蓄可分为私人储蓄和公共储蓄两大部 分，如果不存在政府部门，国民储蓄S就等于私人储蓄 （Y－C）。用s=S/Y表示储蓄率，即储蓄在总收入中所占 的比重，该经济中的消费函数则可以定义为：c=(1-s)y 其中0≤s≤1。该消费函数表明消费是与收入成比例的，即 每单位收入中(1-s)用于消费，而s用于储蓄。 如果用(1-s)y代替国民收入恒等式（3.4）中的c，则得： y=(1-s)y+i
第二节 资本积累的黄金定律
黄金律
黄金稳态过程
黄金律
政策制定者在选择资本稳态水平必须服从 于消费福利最大化这一根本目标，也就是 要实现长期消费水平最大化。 在一个稳态经济中，长期消费水平最大化 就体现在选择一个消费水平最高的稳态资 本存量。在索洛模型中，长期消费水平最 高的稳态资本存量被称为资本积累的“黄 金律水平”(Golden rule level)，记为k*g。
δk δk
按照上述分析，投资与资本存量有如 下关系：
（3.7）
即投资I等于资本存量的变化量ΔK加上 资本存量的折旧量δK。也就是说，一个 社会新增投资可以分解为两部分：一部分 构成资本存量的增量，另一部分用于替换 现有资本的损耗。 将（3.7）式加以整理可得：
0 图3.3 折旧与人均资本量
k
（3.8）
因此：i=sy （3.5） （3.5）式表明，一个经济按劳动人数平均的投资量i是每 个劳动力产出的一个比例。把人均生产函数f(k)代入（3.5） 式，投资就成了人均资本量 k的函数： i=sf(k) （3.6） 新古典生产函数是增函数，因此人均资本k越高，产出f(k) 从而投资sf(k)就越多。
y
δk
δk2
sf(k2) sf(k*)=δk*
A
sf(k)
sf(k1)
δk1
从图3.4中可以看出，资本存量越高， 投资和折旧也就越多，但两者变化的 速度并不相同。在储蓄率一定的条件 下，投资的变化遵循资本边际产量递 减规律，它的增量是不断减少的；而 折旧是按照一个固定的比率均速上升， 它的增量是固定不变的。因此，资本 存量的变化量Δk有可能大于0，也可 能小于0，取决于在一定资本存量水平 上投资和折旧的相对大小。