5 二次函数与一元二次方程 (第1课时)
《二次函数与一元二次方程》说课稿
《二次函数与一元二次方程（第1课时）》说课稿一、教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的第1课时的内容。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。
学生在一次函数时已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次不等式组之间的联系，本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。
这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
二、学情分析学生已经学习了一元一次方程和一次函数，一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，对函数与方程的关系已有初步认识。
但是运用函数的思想解决问题的意识还不够，仍习惯于孤立地看待方程与不等式的问题。
本节学习可以帮助学生进一步建立函数与方程的联系，提升用函数思想解决问题的意识和能力。
三、教学目标1.了解一元二次方程的根的几何意义;理解抛物线与横轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况.2.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,结合图象,进一步体会函数与方程之间的联系。
3.运用函数思想解决问题，体会事物之间的转化，提升思维品质。
四、教学重难点重点：二次函数与一元二次方程的联系，利用函数解决方程的有关问题.难点：将方程问题转化为函数问题，运用函数的思想解决问题。
五、教学策略由一次函数与一元一次方程的关系说起，采用类比的方法研究二次函数与一元二次方程的关系。
以实际问题为情境从数与形两个角度理解函数与方程之间的联系。
21.3《二次函数与一元二次方程第1课时》教案
21.3二次函数与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
1.理解二次函数图象与X轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系.
2 .经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法.
3 .通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力.
4 .在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
二、教学重难点
重点：理解二次函数图象与X轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
函数值等于O时自变量X的一个值，即二次函数的图象与X轴一个交点的横坐标.
即：
二次函败「必7丫，2, 二一元二次方程>J3x+20,
：）。
时，图象与簿!有两个交点11Δ^40c>0,有两个不相等的实败根」
2 .如果函数值y等于-5又会怎样呢？
首先，在图象上画出直线产-5此时这条直线与二次函数的图象有一个交点（-T，-》；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-；,得到方程的解是M=X2=
结合上边的分析及其图象，我们得到：
：二痴由y⅛r÷2,U -元二次方程H=/
:图粼与直线r4只有一个交点：：A='*=C,有两个相等的实数《1:
3 .如果函数值y等于-2,又会怎样呢？
同样，先在图象上画出直线产-2,此时这条直线与二次函数的图象无交点；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-2,此方程无解.。
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案
Being with positive people can make us feel good.（页眉可删）
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案【教学目标】
1、知识与技能：
（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的`实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2、过程与方法：
（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
【重点与难点】
重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
【教法与学法】
教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。
学法：探究式学习。
【课前准备】
多媒体、PPT课件。
【教学过程】
附：板书设计：。
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)
《2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式》（第1课时）一、学习目标1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数值为零的点与方程根的关系.2.能借助二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系.二、教学重难点教学重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；教学难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
三、教学过程（一）预习案1.有两个相等的实数2.一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的.（二）基础训练案1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)2.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)不等式a x2+3ax-7>0是一元二次不等式.( )(2)不等式-2x2+x+3<0的解集为.( )(3)≥0⇔(x-a)(x-b)≥0.( )(4)若方程a x2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式a x2+bx+c>0的解集为R.( )（三）知识拓展1.解下列不等式(1)解关于x的不等式x2-2ax-8a2<0. (2)解关于x的不等式x2-2ax+3≥0(a∈R).2.解不等式:(1)<0; (2)≤2.（四）检测案1.解下列不等式;(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;2.填空(1)不等式x2≤1的解集是________．(2)不等式2x≤x2+1的解集为________．（五）课堂小结（六）作业1.求下列不等式的解(1)4x2-4x+1≤0; (2)x2-2x+2>0.四、教学反思对老师的教学建议（一）学生本节课存在疑、难点（二）教师反思本节课存在问题及改进措施提出本节课的亮点。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
优质课 精品教案 (省一等奖)《二次函数与一元二次方程(第1课时)》公开课教案
22.2 二次函数与一元二次方程教学时间课题22.2 二次函数与一元二次方程课型新授课教 学 目 标知 识 和能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过 程 和方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情 感 态 度 价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件学生“五个一〞课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝时，涵洞顶点与水面的距离为。
这时，离开水面处，涵洞宽ED 是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度。
二次函数和一元二次方程
有2个不相等的实数根 有2个相等的实数根 无实根
• 判断二次函数y=x²＋ 4x＋1的图 象与直线y=－５的交点情况．
无交点
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0）的图象如图， 根据图象解答下列问题： （1）请直接写出方程ax² +bx+c=0的根. x1=1,x2=3
例题讲解
（2）试判断下列方程的根的情况： ① ax² +bx+c=1 有两个不相等的实数根 ②ax² +bx+c=2 有两个相等的实数根 ③ax² +bx+c=2.5 无实数根
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0）的图象如 图，根据图象解答下列问题：
（3）当k为何值时，方程ax² +bx+c=k ①无实根；
2.已知抛物线y=kx² －7x－7与x轴有交点，求k的 7 取值范围.
k －
3.已知二次函数y=ax² ＋bx＋c的部分函数图象如 图所示，则一元二次方程ax² ＋bx＋c=0的根 为： x1=－1,x2=5.
4
且k 0
提高升华
2
o
4、 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实根， 有下列结论：① b2-4ac>0 ；②abc<0；③m>2 其中正确的个数（ D ） A、 0 B 、1 C 、2 D 、3
b² －4ac
二次函数 对应的一元二次方程 2 y=ax +bx+c的图象 ax2+bx+c=0的根的情况 与x轴的交点 有2个不相等的实数根 两个
初中数学_2.5二次函数与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
第二章 二次函数《二次函数与一元二次方程（第1课时）》教学目标知识与技能：1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程02=++c bx ax 根的个数之间的对应关系；2．会利用二次函数的图象与x 轴交点的横坐标解相应的一元二次方程． 过程与方法：1．通过观察二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想；2．理解一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数cbx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标．情感态度与价值观：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，结合数形结合的思想体会二次函数与方程之间的联系；2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性．教学重点理解二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程02=++c bx ax 的根的个数之间的关系．教学难点理解一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2与x轴交点的横坐标．教学过程分析 复习提问：1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
方程根的情况是：当△﹥0 时方程；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。
2 、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，自主学习：自主学习一：二次函数的图像与X轴交点个数有几种情况。
想一想，画一画自主学习二：二次函数与x轴交点与一元二次方程的根有什么关系?[活动1] 二次函数22122222+-=+-=+=xxyxxyxxy，，的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题．二次函数图象图象与x轴的交点一元二次方程方程的根与x轴有两个交点：（-2,0）、（0,0）22=+xx221=-=xx xxy22+=与x 轴有一个交点：(1,0)0122=+-x x 121==x x与x 轴没有交点0222=+-x x方程无 实数根数形结合，解决问题[议一议]二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx +c =0的根有什么关系？反思辨析，深入问题[活动2] 观察函数的图象,完成填空： (1)抛物线与x 轴有 个交点， 它们的横坐标是 ；22-+=x x y 122+-=x x y 222+-=x x y(2)当x 取交点的横坐标时，函数值是 ； (3)所以方程022=-+x x 的根是 ．(1)抛物线与x 轴有 个交点， 它们的横坐标是 ；(2)当x 取交点的横坐标时，函数值是 ； (3)所以方程022=-+x x 的根是 ．[议一议]二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx +c =0的根有什么关系？[结]二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴有交点，交点的横坐标为x 0，那么当x=x 0时，函数的值是0，因此x=x 0就是方程ax 2+bx +c =0的根．即，二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴交点的横坐标是方程ax 2+bx +c =0的根．回归生活，提升问题我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以近似地用公式0025h t v t y ++-=表示，其中h 0(m )是抛出时的高度，v 0(m /s )是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s 的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h (m )与运动时间t (s )的关系如图所示，观察并思考下列问题：（1）h 和t 的关系式是什么？t t h 4052+-=（2）小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流． [方法一]看图象可知，8秒落地 [方法二]解方程：04052=+-t t [想一想] 何时小球离地面的高度是60m ？你是如何知道的？解法1：令h =60442+-=x x y tt h 4052+-=620)6)(2(0128604052122===--=+-=+-t t t t t t t t ，故2s 和6s 时，小球离地面的高度是60m ． 解法2：看图象．3）对于上题来说，方程-5t 2+40t=80的根 的实际意义是什么？5t 2+40t=80 当h=80时，相对应的t拓展延伸，巩固应用若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x 2 则一元二次方程可化为 (x-x 1)(x-x 2)=0二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点坐标(X 1 ,0) (X 2 ,0),则二次函数的表达式可表示为 Y=a(x-x 1)(x-x 2) 这种表示方法称为二次函数的交点式。
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)-课件全文
新知理解
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数 有两个相等的实数
根 x1，x2(x1<x2)
根 x1＝x2＝－2ba
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1 或 x>x2}
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
计算判别式=(-12)2-4×1×20 = 64 >0，
求根公式：a1=12－2
64 =
2，a2
12+ =2
64 =
10，
所以边界值为：a1= 2，a2= 10，
所以不等式的解集为{a│2 <a < 10}.
答：这个矩形苗圃的边长 a 取大于 2 且小于 10 的数时，苗圃的
面积会大于 20 平方关于 x 的一元二次不等式： （1）x2-5x + 6 > 0； （2）2x-x2 +3 <0. 解(2)整理为一般式 x2-2x-3>0， 法二：设二次函数 y=x2 -2x-3， 其图象开口向上， 解一元二次方程 x2-2x-3=0， 得到二次函数的零点：x1=-1，x2=3， 看函数的图象，得到不等式的解集为 {x│x>3 或 x<-1}
{x|x1<x<x2}
∅
∅
目录
巩固与练习 例 2 求不等式 9x2-6x+1>0 的解集.
解：
对于方程 9x2-6x+1=0，因为=0，
所以它有两个相等的实数根，解得
二次函数与一元二次不等式(第一课时)教学设计
2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
2.从函数观点看一元二次不等式。
经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。
能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
二、教学重难点1.判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。
三、教学过程从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。
可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。
通过梳理初中数学的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
1.一元二次不等式的概念1.1创设情境，引发思考二次函数与一元二次方程、不等式在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好地解决相关问题对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢? 问题1：【数学情境】园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的20m,则这个矩形的边长为多少米？矩形区域的面积要大于2【设计意图】通过实际问题，让学生感受“求不等式”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.同时引发学生思考.1.2探究典例，形成概念问题2： 【数学情境】在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？【活动预设】通过图象解决不等式求解问题，分析二次函数与一元二次函数不等式之间的关系【设计意图】从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。
北师大版九年级下册数学 2.5 二次函数与根的判别式的关系 (共23张PPT)
的取值范围
k≥ - 9 16
且 k ≠．0
5．若a＞0,b＞0,c＞0,△＞0,那么抛物线 y=ax2+bx+c经过 一、二、三 象限．
归纳小结、课后反思
1、二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交
点的坐标与一元二 次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系？ 2、本节课你有什么收获？
3、本节课你还有哪些困惑？
解 : 令 h 60 5 t 2 40 t 60 t 2 8 t 12 0
( t 2 )( t 6 ) 0 t1 2， t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
合作探索
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数 y ax2 bx c与直线y=m有交点，交点的
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
x 1 0，x 2 2
与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程的两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴交点坐标？ 的根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
x1 x 2 1
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
理清关系
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的情况与一 元二次方程 ax2+bx+c=0 根的个数有什么关系？
教材变形 【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h(m )可以用公式 h=-4.9t2+19.6t 来表示．其中t(s) 表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大?
(完整)《二次函数与一元二次方程》说课稿
《〈二次函数与一元二次方程〉第一课时》说课稿付家堰中小学刘家付各位领导、专家：大家好！我今天的说课内容是人教版九年级上册第22章第二节《二次函数与一元二次方程》的第一课时的教学内容，现就我对本节课的教学安排和教学思路向各位领导和专家汇报如下：一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系.这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上,学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系,渗透数形结合的思想。
3、心理上,老师应抓住一元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基础上，激发学生对一元二次方程的其它解法的探求兴趣，进而由一次函数与一元一次方程的关系类比到二次函数的图象与一元二次方程的根的情况上来,顺着学生的思维逐步引导加以激发。
三、教学目标根据新课标的要求及九年级学生的认知水平特制定本节课的教学目标如下：知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
情感、态度与价值观：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力.2、培养学生团结合作学习的良好意识和积极进取的精神。
3、培养学生用联系的观点看问题。
四、教学重难点重点：二次函数的图象和一元二次方程的联系.难点：培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。
渝北区八中九年级数学下册第二章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程根的关系
A．(－1 , 0)
B．(4 , 0)
C．(5 , 0)
D．(－6 , 0)
7．(2018·孝感)如下图 , 抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2 , 4) , B(1 , 1) , 那么方程ax2＝bx＋c的x解1＝是－__2__,__x_2_＝__1__．
8．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1 , 0) , B(x2 , 0) , 且x1＋x2＝－10 , 那么a的值是10____．
A
B
C
不在同一直线上的三点确定一个圆
已知 : 不在同一直线上的三点A、B、C 求作 : ⊙O使它经过点A、B、C
A
NFBiblioteka BEOC M
作法 : 1、连结AB , 作线段AB的垂直平分 线MN ; 2、连接AC , 作线段AC的垂直平分 线EF , 交MN于点O ; 3、以O为圆心 , OB为半径作圆。
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
第24章
三点确定圆2
生活生产中的启示
问题 : 车间工人要将一个如下图的破损的圆
盘复原 , 你有办法吗 ？
知识回顾
1、过一点可以作几条直线 ？ 2、过几点可确定一条直线 ？
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况两个: 交__点______一__个、交点 ________、无_交__点_____________．
(1)当二次函数的图象与x轴有_两__个__交__点___ , 这时b2－4ac>0 , 那么方程有两个不相等的实 一个数交根点 ;
《二次函数与一元二次方程》第1课时教案
《二次函数与一元二次方程》第1课时教案一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，还没有真正完整的形成。
学生活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。
二、教学任务分析本节课的教学目标是：知识与技能：1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；过程与方法：1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根教学难点：理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标三、教学过程分析第一环节课前热身、耐心填一填活动内容：1. y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0)，y 叫做x 的__________。
它的图象是一条抛物线。
它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax 2 + bx +c (a ≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k 交点式：y =a(x-x 1)(x-x 2)3. 抛物线y = x 2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x 轴的交点为__________,与y 轴的交点为___________.5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为____________ 。
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[知识拓展]
二次函数与一元二次方程之间的关系:
当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程 ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的 图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系 中,判别式Δ=b2-4ac起着极为重要的作用.
Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 没有实数 根 图象与x轴 没有交点
检测反馈
解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=364×3=24＞0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C. 2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是 A.-8 B.8 C.±8 D.6 ( B )
解析:由图象可知,抛物线与x轴只有一个交 点,∴Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线 m x=＜0,∴m＞0,∴m的值为8.故选B. 2 2
∵t=0是小球没抛时的时间,∴t=8是小球落地时的时间. ∴小球经过8 s后落地.
【议一议】 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图 象分别如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点? (2)一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下. 一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数与一元二次方程之间的关系: 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个 交点、没有交点. 与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的 实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
, 0)
一元二次方程 x1= ax2+bx+c=0 x2=
二次函数 y=ax2+bx+c
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
x1=x2=-
b 2a
图象与x轴有两个交 图象与x轴 点,分别为 只有一个 (x1,0),(x2抛问 题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是 如何知道的?
.
h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40 m/s,小球从地面被抛起,所 以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t. 问题2 怎样求出小球落地所需要的时间? 观察图象可得:小球经过8 s后落地.
解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,∴t(t-8)=0.解得t1=0,t2=8.
九年级数学· 下 新课标[北师]
第二章
二次函数
学习新知
检测反馈
学习新知
小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图 所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的 解吗?
分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与 x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的 方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.
【问题】 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二 次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横 坐标与方程的根又有什么关系?
二次函数与一元二次方程的关系
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似 地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速 度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m) 与运动时间t(s)的关系如图所示.那么: (1)h与t的关系式是什么? (2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法? 问题1 回答下面的问题: 1.由图象可得h0= ,v0= . 2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为
由图象可知:当h=60 m时,直线h=60与函数 h=-5t2+v0t+h0的图象有两个交点,分别为
(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2 s和6
s时,高度都是60 m.
1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( C ) A.y=-x2+2x-5 C.y=3x2-6x+1 B.y=-2x2-8x-11 D.y=4x2+24
3.二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根
据图中信息可得到m的值是
4
.
解析:∵抛物线y=x2-mx+3过点(1,0),∴1-
m+3=0,∴m=4.故填4.
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关 于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解. 解:根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象 经过点(3,0),所以该点适合y=-x2+2x+m,代入,得9+2×3+m=0,解得m=3.把m=3代入一元二次方程x2+2x+m=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.