高中数学 2.5《等比数列的前n项和(2) 》导学案 新人教A版必修5
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探四、教学过程（一）创设问题情景课前给出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：队长30天借到的砖：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
高二新课程数学《2.5等比数列的前n项和》导学案(新人教A版)必修五
2．5等比数列的前n 项和班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：【学习目标】1.掌握等比数列前n 项和公式及其获取思路；2.会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题【研讨互动 问题生成】 1.等比数列的前n 项和公式1 2.等比数列的前n 项和公式2 【合作探究 问题解决】当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② 【点睛师例 巩固提高】例1. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例2.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和.例3.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…例4．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.【要点归纳 反思总结】等比数列求和的公式 【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ） 2.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为3.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为4.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S =5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为6.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为7.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为8.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不等比也不等差D.既是等差又是等比9. 若a n ＞0，q=2，且a 1·a 2·a 3…a 30=230，则a 3·a 6·a 9…a 30=_____． 10.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．11.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=则数列{n a }的4S = 12.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 13.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=2,a n+2=)(31321++∈-N n a a n n (1)求证：{a n+1-a n }是等比数列。
高中数学 2.5等比数列的前n项和教学设计 新人教A版必修5(1)
2.5等比数列的前n项和第一课时教材分析一教材分析三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学重点1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点等比数列前n项和公式的推导.教学建议上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式，从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法，在此基础上，这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1,a n,q,n,S n五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.求数列前n项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能.教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.导入新课一师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.导入新课二(一)．复习旧知：问题1:等比数列定义及通项公式；问题2:等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n和埋下伏笔。
高中数学 2.5等比数列前n项和教案 新人教A版必修5
河北省迁安一中数学必修五：3.1不等关系与不等式一、复习引入：提问学生n n n a a a a a S +++++=-13211221a a a a a S n n n n +++++=--)()()(21121a a a a a a S n n n n ++++++=-2)(1n n a a n S += 消去项与项的区别二、新课学习思考:如何求等比数列的Sn?①上式乘得: ② ①-②得所以:特别: 当 说明:1、推导公式的方法：错位相消法。
2、使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论三、公式应用：例1：（1）=++++821......41211？ （2）已知等比数列{}n a ，?,0,2431,27891=<==S q a a（3）已知等比数列{}n a ，n n a n S q a 及求,364,3,11===例2、求和：n n yy y S 1......112+++=（1,0≠≠y y ）变题：去掉1≠y例3、如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习：已知n S 是等比数列{}n a 的前项和，且60,482==n n S S ，求n S 3的值。
四、小结：1，等比数列求和公式： 推导方法：错位相减法 2，知三求二 3，整体计算 五、作业；篇子中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案(2)
高中数学 2.5等比数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.学习重难点1.重点： 通项公式和前n 项和公式的掌握2.难点：等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知三求二的应用一、课前回顾复习1：等比数列的前n 项和公式.当1q ≠时，n S = ＝ 当q =1时，n S = 复习2：等比数列的通项公式. n a = = .二、新课探究 ※ 学习研究探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和n S =1231n n a a a a a -+++++L ， 1n S -=1231n a a a a -++++L （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = . 反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 试一试习1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.习2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .※ 模仿练习练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n .三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和与通项关系；2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列. ※ 知识拓展1. 等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；2. 等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+. 当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（ ）.A. 922-B. 821-C. 822-D. 721-4. 在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .5. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ . 课后作业1. 等比数列的前n 项和12n n s =-，求通项n a .2. 设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和；课后反思。
高中数学 2.5等比数列的前n项和(2)导学案 新人教版必修5
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式；复习2：等比数列的通项公式. n a = = .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++ ， 1n S -=1231n a a a a -++++ （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = .反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 典型例题例1. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ， 2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S . ※ 动手试试练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S . 练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n . 三、当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数A. 922-B. 821-C. 822-D. 721-4. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .5. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .6. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n，…的前n 项和；。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(2021年整理)
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5 错误!第一课时等比数列的前n项和（1）公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2）能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？（3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4）等比数列前n项和的性质有哪些？［新知初探]1．等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项a n与公比q公式S n＝错误!S n＝错误
2.5等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=na 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q>1和q<1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和: (1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q<0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第1.2.3题[课堂小结](1) 等比数列的前n 项和公式中要求q ≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2) 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个(五)评价设计(1)课后阅读: [阅读与思考](2)课后作业: 1,2,4题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学新人教A版必修5教案 2.5 等比数列的前n项和2
2.5 等比数列的前n 项和教学过程 推进新课 ［合作探究］师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n=？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q 2+…+q n +qn +1.生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？ 师 生共同探索： 如果记S n =1+q+q 2+…+q n, 那么qS n =q+q 2+…+q n +qn +1.要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n. 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.生 如果q≠1，则有qq S n--=11.师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果. 生 如果q ＝1，那么S n =n .师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n , 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.师 再次提醒学生注意q 的取值. 如果q≠1，则有qqa a S n n --=11.师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程： 如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1, 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n.如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1.师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流. 生 如果q ＝1，S n =na 1. 师 完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n 正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍. 师 对了，这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n=++++++++-1321432......,即q a S a S nn n =--1,从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ), 从而得(1-q)S n =a 1-a n q. (以下从略)师 探究中我们们应该发现，S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？ 生 n ＞ 1.师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞ 1. 师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0.［合作探究］ 师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S .(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ，又由q ＜0，可得31-=q ,于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S . 【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n , 整理得1.1n=1.6,两边取对数，得n lg1.1=lg1.6, 用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年). 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台. 练习：教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)第二课时教学过程推进新课［例题剖析］师出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：例1 思考以下问题：(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育储蓄方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.［合作探究］师要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：若每月固定存a元，连续存n个月，则计算利息的公式为2)1(nna+×月利率.师你能解释这个公式的含义吗？生独立思考、合作交流、自主探究.师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q，则这个公式实际上是数列：a q,2a q,3a q,…,na q,…的前n项和.这个数列的项不正是依次月数的利息数？这个数列具有什么特征呢？生发现等差关系.师用我们的数学语言来说，这是个首项为a q，公差为a q的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的.我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算.这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%；五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%；三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%；利息税率为20%.师下面我们来看第一个问题的结果.生计算，报告结果.师生共同解答：(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236 )365050(⨯⨯+×0.21%+1 800＝1 869.93(元).因为五年整存整取存款年利率为 2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)725050(⨯⨯+×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元).(2)每月存入每月存a 元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)36(⨯⨯+a a ×0.21%+36a (元).若每月存入每月存a 元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)72(⨯⨯+a a ×0.232 5%+72a (元).(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元).比教育储蓄的方式少收益27.97(元).(4)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x＝10 000.解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元). (5)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x＝10 000a .解得x=3986.3710000a=267.39a ，即每月应存入267.39a (元).(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得248)48100100(⨯⨯+×0.21%+4 800＝5 046.96(元).(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算.一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为0.165%，故当b =1或2时，由计算公式得212)12(bb a a ⨯⨯+×0.165%+12ab (元).当b =3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得212 )12(bbaa⨯⨯+×0.21%+12ab(元).(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案.［概括总结］师在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议.从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来.说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由.师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.出示投影胶片3：例2 你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？出示多媒体图片1：师如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴上的区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和S.SUM=0K=1I N PUT请输入将［0，3］分成的份数n：”;NWHILE k＜=N-1AN =(9-(k*3/n )^2)*3/NSUM=SUM=ANPRI N T k,AN ,SUMK=k=1WE ND E ND阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的AN ，SUM 分别表示什么，为什么？(2)请根据程序分别计算当n ＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序). 师 你能回答第一个问题吗？生 AN 表示第ｋ个矩形的面积，SUM 表示前ｋ个矩形面积的和. 生 当把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，各等份的长都是n3. 理由是：各分点的横坐标分别是n 3,n 23⨯ ,…,nn )1(3-⨯. 从各分点作y 轴平行线与y=9-x 2图象相交，交点的纵坐标分别是2)3(9n -,2)23(9n ⨯- ,…,2])1(3[9nn -⨯-.它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是n n 3])3(9[2⨯-,n n 3])23(9[2⨯⨯-,…, nn n 3)])1(3[(92⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-. 师 对学生的思考给予高度的赞扬.师 当我们把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域内的n -1个矩形. 师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n -1项和如何求. 生 自主探究. 列式：nn n n n n n S n 3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[2221⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯⨯-+⨯-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯-+-]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3222n n n n n=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++--])1(...21[)3()1(932222n n n n . 师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.师 求和时遇到了12+22+…+n 2的计算问题，这也是一个求数列前n 项和的问题.关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：12,22,32,…,n 2,…的前n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前n 项和公式与等比数列前n 项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式. 即要求记住：12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n .关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习. 师 运用这个公式，请把上面的n -1个矩形面积的和计算出来. 生 继续运算.S n -1=n 3 {9(n -1)-( n 3)2［12+22+…+(n -1)2］} =n 3［9(n -1)-( n 3)26)12()1(--n n n ］ =222)134(9n n n --.师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.师 根据程序，当n ＝6时，5个矩形的面积的和就是输入N ＝6，SUM 的最后一个输出值,SUM =15.625.那么当n ＝11时，10个矩形的面积的和就是N ＝11时，SUM 的最后一个输出值，即SUM=16.736；当n =16时，我们就得到15个矩形面积的和SUM=17.139. 当n =17时，SUM 的最后一个输出值是多少？ 生 n =17时，SUM 的最后一个输出值SUM=17.190. 师 你是怎么计算n =17时，SUM 的最后一个输出值的呢？生 是用上面推导出来的计算公式：2212)134(9nn n S n --=-. 当n =500时，SUM 的最后一个输出值SUM=? 当n =1 000时，SUM 的最后一个输出值SUM=?生 用公式2212)134(9n n n S n --=-，不难算出n =500时，SUM=17.973；n =1 000时，SUM=17.986. 师 在计算n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM 时，为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢？师 这是因为公式2212)134(9nn n S n --=-用起来很方便，只要给出上一个n 的值，就可以代入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给定的n ，都要从k=1依次循环到k=N -1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事.师 至此，你能估计出函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积了？ 生 由n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM ，可以估计，这个面积大约是18. 师 一个非常准确的结果！［教师精讲］师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：1.本例中，程序使用了S n 的递推公式，即⎩⎨⎧+==-)1(,111＞n a S S a S n n n这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下； 2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第n 项的办法，即⎩⎨⎧+==-)1(,111＞n S S a S a n n n 3.关于估计函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即［0，3］区间分得越细，前k 个矩形面积的和SUM 就越接近函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得x ＝18，而我们的估计值也是18，可见我们的估计非常准确.课堂小结本节学习了如下内容：1.教育储蓄中的有关计算.2.用计算机程序计算数列的和.布置作业课本第69页习题2.5第4、5题.板书设计求数列前n项和知识的运用问题情境导引例1 例2。
高中数学 2.5等比数列的前n项和说课教案 新人教A版必修5(1)
《等比数列的前n项和公式》说课《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。
下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。
教材分析等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。
它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
学情分析就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。
学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。
基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。
教学目标在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。
在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。
重点难点重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。
难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。
情境创设《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。
高中数学 2.5等比数列前n项和教案1 新人教A版必修5
2.5《等比数列的前n 项和》（第一课时）
一、能力要求：
1、掌握等比数列的前n 项和公式并能够熟练应用；
2、利用错位相消法推导公式，再通过练习熟悉并掌握公式。
二、教学重点、难点：
重点：等比数列的前n 项和公式。
难点：等比数列的前n 项和公式及其推导。
三、新课讲解：
由等比数列的通项公式可知：
∵11211121-++++=+++=n n n q a q a q a a a a a S （1）
n n q a q a q a q a S 131211++++= （2）
()()21-得：()n n q a a S q 111-=-
∴当1≠q 时，等比数列的前n 项和公式为
当1=q 时1na S n =
这种求等比数列的前n 项和公式的方法叫做错位相减法。
四、例题讲解：
例1、（1）求数列 ，，，8
14121的前8项和；
（2）求数列1，2，4，8，……的第5项到第10项的和。
例2、已知等比数列{}n a 中，（1）n n a 23⨯=，求6S ； （2）1,25651-=-=a a ，求5S 。
例3、已知等比数列{}n a 中，（1）已知2
1-
=q ，115=S ，求1a 及q ； （2）已知：96,361==a a ，求6S 及q 。
变式：五、小结：
通过本节课的学习，应熟练掌握等比数列前n 项和公式的应用，能够用一些较特殊的方法解决等比数列问题。
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2.5《等比数列的前n 项和(2) 》导学案
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；
2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题. 【重点难点】
重点：理清两者之间的关系． 难点：通过n S 求出n a 的基本方法． 【知识链接】
（预习教材P 57 ~ P 62，找出疑惑之处） 复习1：等比数列的前n 项和公式.
当1q ≠时，n S = ＝ 当q =1时，n S =
复习2：等比数列的通项公式. n a = = . 【学习过程】 ※ 学习探究
探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++ ， 1n S -=1231n a a a a -++++ （n ≥2）， ∴ 1n n S S --= ，
当n ＝1时，1S = .
反思：
等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？
※ 典型例题
例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.
变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.
例2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n
S S -也成等比.
变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .
※ 动手试试
练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .
练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23
，…的前n 项和S n .
【学习反思】 ※ 学习小结
1. 等比数列的前n 项和与通项关系；
2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列.
※ 知识拓展
1. 等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；
2. 等比数列中，n m n m m n S S q S S q S =+=+.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 24
2. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 9
3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（ ）.
A. 922-
B. 821-
C. 822-
D. 721-
4. 在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .
5. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .
1. 等比数列的前n 项和12n
n s =-，求通项n a .
2. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n
，…的前n 项和；。