高三数学时圆锥曲线的定点定值范围和最值问题教案
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题
课题：圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教学目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.（一） 主要知识及主要方法：1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.（二）典例分析：问题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △若不存在，请说明理由．问题2．已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点M ⎛ ⎝，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.问题3．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=（0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点()2,0P -和线段AB的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.（四）课后作业：1.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB 求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.3.如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ，()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.4.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx =1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.5.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 .A 6 .B 7 .C 8 .D 96.如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =.()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值.7.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线。
浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考 点 整 合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一 定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c ＋y 23c＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明 当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6， 所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二 最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7，由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0，解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0， 解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2，直线l 与圆O 相切d ＝r m 2＝3(1＋k 2)，∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1， 此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).探究提高 解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析 根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析 因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |， 且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交， 所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2. 从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________.解析 如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2，∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ， 所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0， 解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1， 故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值，即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小， 也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332.15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点). (1)求椭圆C 的方程； (2)求OM →·ON →的取值范围. 解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2， 因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ，又点A 在第一象限，点B 在第二象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0， 化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0. 又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2， 原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k2，∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m21－4k 2＝2， ∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k2，Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k2－7.∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。
高三数学教案--圆锥曲线中的最值及范围问题
故G点坐标为
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为
折痕所在的直线方程 ，即
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时， ； 时
：
（II）(1)当 时，折痕的长为2;
(1)当 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
课时考点14圆锥曲线中的最值及范围问题
高考透析
高考大纲：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系.
解析几何与代数方法的综合.
新题型分类例析
热点题型1：重要不等式求最值
（05浙江•理17）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 在x轴上，长轴 的长为4，左准线 与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
由直线AB的中点为 = ，
则 于是
即得l在y轴上的截距的取值范围是
[变式新题型3]
设圆锥曲线C的焦点是F(1，0)，相应准线是y轴，以过焦点F并与x轴垂直的弦为 .
（Ⅰ）求圆锥曲线C的方程；
(Ⅱ)若圆锥曲线C上有且只有两个不同的点关于过F点的直线l对称，求直线l的斜率的取值范围.
[启思]
解法一：（1） 、 两点到抛物线的准线的距离相等
因为：抛物线的准线是 轴的平行线， ，依题意 、 不同时为0
所以，上述条件等价于 ；
注意到： ，所以上述条件等价于
"
即：当且仅当 时，直线 经过抛物线的焦点
（2）设 在 轴上的截距为 ，依题意得 的方程为 ；过点 、 的直线方程可写为 ，所以 、 满足方程 ，即
即直线 ：y=kx+b 由已知得：
……5分
………7分
即 的斜率存在时，不可能经过焦点 ……………………8分
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中最值问题的解法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆中最值问题2. 双曲线中最值问题3. 抛物线中最值问题5. 圆锥曲线中最值问题的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 通过案例分析，让学生了解圆锥曲线中最值问题在实际中的应用。
3. 利用数形结合思想，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾圆锥曲线的定义及性质，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 讲解：（1）椭圆中最值问题：分析椭圆的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（2）双曲线中最值问题：分析双曲线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（3）抛物线中最值问题：分析抛物线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
4. 练习：布置课后作业，让学生巩固圆锥曲线中最值问题的解法。
5. 拓展：介绍圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子，激发学生兴趣。
六、课后作业：1. 复习圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 完成课后练习题。
3. 探索圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对圆锥曲线中最值问题的掌握程度。
3. 实践应用：评估学生在实际问题中运用圆锥曲线中最值问题的能力。
八、教学资源：1. 教材、教辅资料。
2. 圆锥曲线的图形软件。
3. 实际问题案例。
九、教学进度安排：1. 第一课时：导入及椭圆中最值问题讲解。
2. 第二课时：双曲线中最值问题讲解。
圆锥曲线中的定点,定值问题
圆锥曲线中的定点，定值问题天台中学 张丽君教学目标：（1）知识目标：以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）能力目标：培养学生分析能力，逻辑推理能力，运算能力；（3）情感目标：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学重点与难点：（1）重点：探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）难点：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学内容：一．解读高考高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：（1）以解答题的形式考查，以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或多个参数。
（2）以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，在一元二次方程，函数，向量，数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力，计算能力。
二．热身训练练习1. 已知A,B 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，对于椭圆C 上异于A,B 的点P ，则=⋅PB PA k k （ C ）A. 22a bB. 22b aC. 22a b -D. 22ba - 分析：由答案的唯一性，P 取特殊点短轴端点时即可快速求得答案。
变式 （1）若椭圆上的点 A,B 关于原点O 对称； ( C )（2） 椭圆改为双曲线12222=-by a x 。
（ P 趋向无穷远处 ，即可求得答案为 A )练习2. 已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 有异于原点O 的两个不同的交点A, B.若=⋅OB OA k k -1，则直线L 必过定点——分析：由对称性知，定点必为X 轴上一点，再取L 垂直X 轴时的位置，解得A(2p,2p),故定点为(2p,0)。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 让学生掌握圆锥曲线中的最值问题的解法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对圆锥曲线的理解和运用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 圆锥曲线中最值问题的解法。
3. 圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 采用案例分析法，分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的定义和性质，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：讲解圆锥曲线中最值问题的解法，结合实例进行讲解。
3. 案例分析：分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用，引导学生学会将理论应用于实际问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线中最值问题的解法和应用，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线中最值问题的关键点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训，为下一节课的教学做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对圆锥曲线中最值问题的理解程度和解题能力。
2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改和课后讨论等方式进行评价。
3. 评价指标：学生对圆锥曲线中最值问题的定义、性质和解法的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
七、教学拓展1. 圆锥曲线中最值问题与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
2. 圆锥曲线中最值问题在实际生活中的应用，如优化问题、物理学中的运动问题等。
3. 引导学生探索圆锥曲线中最值问题的深入研究，如求解更一般性的问题。
八、教学资源1. 教材：圆锥曲线的相关教材和辅导书。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线中的最值问题的概念和意义。
2. 掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
3. 能够运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和分类。
2. 圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧。
3. 圆锥曲线中最值的性质和定理。
4. 圆锥曲线中最值问题的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解决方法和技巧，圆锥曲线中最值的性质和定理。
2. 教学难点：解决复杂圆锥曲线中最值问题，运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲解法、例题解析法、讨论法、实践法等。
2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件、教具等。
五、教学安排1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和分类。
2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
3. 第三课时：讲解圆锥曲线中最值的性质和定理。
4. 第四课时：通过例题解析，让学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法。
5. 第五课时：开展小组讨论，让学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
六、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的基础知识，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：详细讲解圆锥曲线中最值问题的定义和分类，让学生理解最值问题的意义。
3. 示范：通过例题解析，展示解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
4. 练习：让学生独立解决一些简单的圆锥曲线中最值问题，巩固所学方法。
5. 讨论：开展小组讨论，让学生分享解题心得，互相学习。
6. 拓展：引导学生运用圆锥曲线中最值的性质和定理解决实际问题。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对圆锥曲线中最值问题的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置一些圆锥曲线中最值问题的练习题，检验学生的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和问题解决能力。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、参与程度、知识掌握情况等。
圆锥曲线的定值、最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题
探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。
一、 定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。
例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； （2）直线AB 经过一个定点。
证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。
∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。
（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。
例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。
分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解析：（1）证明：把P(2，4)代入212y x h =-+，得h=6。
所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。
圆锥曲线中的最值问题教学设计
圆锥曲线的专题复习圆锥曲线中的最值问题（第一课时）教学设计教学目标：1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解圆锥曲线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法；2.体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决圆锥曲线的最值问题，会进行合理的选择；3形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略，培养创新意识。
（定义法、切线法、导数法、判别式法、基本不等式法）教学重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。
教学难点：形与数的相互转化，化归思想的应用，寻求解决问题的最优方案。
教学过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力。
渗透数形结合、转化与化归的思想。
一．情景引入思考：（1）用什么词语形容解析几何？在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化（2）运动中的变化又会引发什么问题？在变化中往往重点关注变化中不变的量或关系---------定点、定值问题；变量的变化趋势-------范围最值问题等二．活动探究在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，通过下面的题目，我们进行探究，体会这种变化。
（结合多媒体教学让学生去感受最值问题的解决途径，进而探究解决最值问题的最佳方案）探究一：设21,F F 分别是椭圆192522=+y x 的左右焦点，M 为椭圆上任一点，()2,2B ,则1MF MB +的最大值为 ，最小值为 。
设计意图：本小题入口简单，计算容易，在方法上回归定义，使学生感受与体验定义法解决最值的问题。
定义法解决本体是最佳方案。
探究2：抛物线y x 22-=与直线22:-=x y l 相交于B A ,两点，当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最值。
让学生进行分组讨论，然后进行小组展示，通过学生的展示进行点评，如有不足，进行补充。
设计意图：通过学生对本题的探索，发现解决本体的方法，如切线法、判别式法等。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生理解圆锥曲线中最值问题的意义和背景。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
二、教学内容：1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 解决圆锥曲线中最值问题的基本方法。
3. 常见圆锥曲线中最值问题的类型及解题策略。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：解决圆锥曲线中最值问题的策略和技巧。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解决方法。
2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题的性质。
3. 运用案例分析法，让学生通过分析实际问题，提高解决圆锥曲线中最值问题的能力。
五、教学安排：1. 第一课时：介绍圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 第二课时：讲解解决圆锥曲线中最值问题的基本方法。
3. 第三课时：分析常见圆锥曲线中最值问题的类型及解题策略。
4. 第四课时：运用所学的知识和方法解决实际问题。
5. 第五课时：总结和复习，查漏补缺。
六、教学过程：1. 导入新课：通过复习圆锥曲线的基本概念，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 自主学习：让学生独立思考，探究圆锥曲线中最值问题的解决方法。
3. 合作交流：分组讨论，分享各自解决问题的方法和经验。
4. 教师讲解：针对学生讨论中的共性问题进行讲解，揭示解决圆锥曲线中最值问题的规律。
5. 练习巩固：布置适量习题，让学生巩固所学知识。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生完成的习题，评估学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在合作交流中的表现，包括思考问题、解决问题等方面的能力。
八、教学反思：1. 总结本节课的收获：回顾教学内容，总结解决圆锥曲线中最值问题的方法和技巧。
2. 分析存在的问题：反思教学过程中学生遇到的问题，思考解决办法。
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
参 考 文 献
刘 清源．构建 高效教 学 探 求数 学本 质— — 如何 解好 三 角形 ［Ｊ］．数 学教 学与研 究 ，２０１１ （３６）：７８—７９． ［２］ 覃埋 基 ．一 类解三 角形 问题 的 另一 解 法 ［Ｊ］． 数 学通 讯 ，２００３（１２）：９．
圆 锥 曲 线 中 最 值 、范 围 、定 值 及 存 在 性 问 题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
●Ｊ寞金 龙 （绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３１２０００）
１ 考点 回顾
圆锥 曲线中最值 、范 围、定值及存在性 问题是 历年 高考 命题 的热 点之 一．此 类 问题 涉及 的知识 面
广、综合性大、隐蔽性强 、计算量大 ，常常令考生头
疼．解决 此类 问题 常 常 要 用 到 数学 思 想 方 法 ，有 时
【△＝（一４ｍ） 一４（ｍ ＋３）＞０，
解得
高中数学_圆锥曲线中的定点定值问题教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计【学习目标】1、知识与技能目标：通过实物感知空间点、线、面之间的相互关系以及相互之间的位置关系；2、过程与方法目标：通过让学生举实例、观察几何体等探究点、线、面之间的关系；3、情感、态度与价值观：通过运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣.【学习重点、难点】1、重点：从运动的观点初步认识点线面体之间的生成关系和位置关系；2、难点：通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系以及注意到空间中的存在既不平行也不相交的直线.教学方法：学-议-导-练课前设计：（1）提前印发学案，自学质疑课要求学生通过问题的引导先认真阅读题意，独立思考，借助于微课完成自学质疑学案。
（2）不明白的地方通过小组合作讨论完善，不明白的做记录训练展示课上攻破.教学过程一、定值问题1、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点P ，点M （0,b ）,N(0,-b)在椭圆上，求证：PN PM k k ⋅为定值。
设计：通过问题提出的形式，引导学生分析条件，转化为可解决问题的条件，突出关键条件的挖掘，及时给予总结。
思考：1.能否考虑特殊点P 求出定值？2.若P 为任意点时，PN PM k k ⋅怎么表示？3.曲线上的点满足怎样的关系式？能否借助此关系消去其中的未知量？二、定点问题2、 如图，已知AOB 的一个顶点为抛物线22y x 的顶点O ，A,B 两点都在抛物线上，且OA 垂直OB ；求证：直线AB 与抛物线的对称轴相交于定点.设计：通过问题提出的形式，引导学生分析条件，转化为可解决问题的条件，注重方法思路的分析，重视一题多解，注重运算技巧的点拨()()()222221212212143)4(3k k m m x x mk x x k m kx m kx y y +-=+++=++=1.求证直线AB 与抛物线对称轴交于定点说明直线AB 斜率无论怎么变化都是围绕一定点转动，能否先考虑特殊情况求出定点。
《圆锥曲线中的定点和定值问题)教学设计
)
会特殊 到一般 思想的 运用，培 养学生 的逻辑 推理和
根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很可 数 学 运
能过 x 轴上一定点.
算核心
在直线 AB 方程中，令 y 0，得
素养.
x
x2
y2 (x2 x1) y2 y1
(my2
1) y1 y2
y2 (my1 y1
3x0 1
的本质 属性，通 过类比 思想，探
又 9x02 3y02 1得 3y02 9x02 1 代入上式，得
究定值
tan 2
6 y0
3y0 tan
(3x0 1) 3(3x0 1) 3x0 2
(0, ) ( , 2 ), (0, ) ( , )
,
y1
)
，联立
3x2
x
4 my
y2 1
12
，得
曲线中
(3m2 4) y2 6my 9 0
的定点
y1
y2
6m 3m2
, 4
y1 y2
9 3m2
4
直线lAB
:
y
y2
y2 x2
y1 x1
(x
x2 ) ，
又 x2 x1 m( y2 y1) ，代入上式，得
通过前 面两道 例题的 分析和 策略总 结，学生
对解决
圆锥曲
线中的
定点与
2、过抛物线 y2 x 上一点 A(4，2) 作倾斜角互补的两条直线 AB, AC ，它们分别交抛物线于 B,C 两点，求证：直线 BC 的 斜率为定值.
圆锥曲线中的最值及范围问题探究教案1
圆锥曲线中的最值及范围问题探究一、内容的地位和作用纵观历年高考，以圆锥曲线为载体，求最值及范围的问题经常出现，这类问题不仅涉及的知识面广，综合性强，变量多，应用性强，而且情景新颖，能很好地考察学生的突破性思维和数学素养，所以一直是高考的热门。
题型有选择题、填空题、解答题，难度较大。
二、教学目标1、知识与技能通过本节内容的学习，使学生进一步理解和掌握圆锥曲线的定义，学会利用定义及转化与整合、函数与方程等数学思想解决圆锥曲线中的最值及范围问题，强化数学概念及几何图形在解题中的重要作用，提高应用定义及几何图形解题意识，同时向学生渗透数形结合、划归转化、函数与方程思想。
2、过程与方法通过学生的积极参与，让学生自己体会从例题中寻找解决问题的方法，理解知识的形成过程，培养学生发现问题，解决问题的能力，归纳总结深化知识的探究能力。
本节课主要采用“讲练结合法”教学，层次渐进地设计问题，从不同方法解决同类问题，引导学生会用类比的方法发现问题、提出问题、解决问题。
教师参与其中适当引导，为学生营造一个愉快而振奋的学习情境，并围绕“情知融合点”展开积极、有效、丰富的认知活动，配以反馈思考题，检验教学效果。
用问题组织教学，通过层层深入的问题将教学的各环节连成一线，融为一体，充分调动学生的学习积极性，活跃学生思维，从而使一个个问题得到解决。
3、情感态度与价值观通过对同类问题不同解决方法的讲解，增强学生学习的自觉性和主动性增强学生善于发现问题、解决问题的探究意识，善于寻找知识间的内在联系及相互转化的意识，使思维得到升华，同时体会到成功的喜悦，体会到数学知识的奥秘与神奇，体会到数学中的语言美、图形美、联系美、变化美、方法美、在学习数学知识的同时得到美的享受。
三、重点难点的确立及依据重点：求最值及范围问题的思路分析及方法探究难点：问题的转化过程及利用函数与方程思想解决问题设计依据：在复习过程中发现多数高三学生对圆锥曲线的定义及解题方法基本理解，但掌握不准，用的不活，在运用定义时，只是停留在肤浅的层面上，凭感觉和经验做题，缺少学习的动机及兴奋点，没有形成梳理知识和归纳总结的好习惯，更少去分析每个问题考察的知识点是什么，出题者的意图在哪，针对此实际情况，在经过一轮复习之后，特设计了此专题。
高考数学第一部分解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题教案
第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点问题[方法结论]定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ，k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．[典例](2017·洛阳模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解析：(1)法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0－y 0)，则D (a －x 02，－y 02)， ∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝(a －3x 02，－3y 02)，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.法二：设直线BF 交AC 于D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线，∴OD 綊12AB ，∴AB→∥OD →，∴△OFD ∽△AFB . ∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8.∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，(n ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)．∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P (9，6y 1ny 1－2)，同理Q (9，6y 2ny 2－2)， 从而FP →·FQ →＝(8，6y 1ny 1－2)·(8，6y 2ny 2－2)＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F . [类题通法]定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种： (1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；(2)曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．[演练冲关](2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .圆锥曲线中的定值问题[方法结论]解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．[典例](2017·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． (3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 解析：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，∴椭圆C 的方程为x 212＋y26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 2x 20－4＝－12.(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1xx 212＋y 26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k21y 21＝12k211＋2k21，∴x 21＋y 21＝121＋k 211＋2k 21，同理，可得x 22＋y 22＝121＋k 221＋2k 22由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝121＋k 211＋2k 21＋121＋k 221＋2k 22＝121＋k 211＋2k 21＋12[1＋－12k 12]1＋2－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18.综上：|OP |2＋|OQ |2＝18. [类题通法]定值问题在求解时注意“设而不求”思想方法的灵活运用，即引入参变量，用它来表示有关量，进而看能否把变量消去．“先猜后证”法是解决这类问题的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定点，进而证明它适用所有情形．[演练冲关](2016·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4. 当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝|1＋2y 0x 0－2|. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝|2＋x 0y 0－1|. 所以|AN |·|BM |＝|2＋x 0y 0－1|·|1＋2y 0x 0－2|＝|x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2|＝|4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2|＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上|AN |·|BM |为定值．存在性问题[方法结论]1．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．2．解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．[典例](2017·西安模拟)已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P (1，32)在椭圆E 上 ，且|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 解析：(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴2a ＝4，a ＝2.∴椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1.将P (1，32)代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝121＋k23＋4k2.∵直线BD 的斜率为－1k，∴|BD |＝12[1＋－1k2]3＋4－1k2＝121＋k 23k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k 2121＋k 2＋3k 2＋4121＋k 2＝712. 综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．[类题通法]存在性问题的两种常考题型的求解方法(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．(2)只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述．此类问题也是最常考的探索性问题，解答这类问题时，一般要先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则假设不存在．本题就是“是否存在”型探索性问题．[演练冲关](2017·湖南东部五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程．(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a ＝32， ∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1， 代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，∴x 1＋x 2＝8k 2k －13＋4k2， x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0，∴k ＞－12. ∵OP →2＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k 2k －13＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12， k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .。
专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题 教案
（2）点 为直线 ： 上任意一点，过 作曲线 的切线，切点分别为 ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点．
二、课后巩固：
1．如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是点M，N.若|AM|＝2|BN|，则k的值是()
学生独立思考，培养学生的独立思考能力以及思维的严密性。（1）观察图形中的直线与圆锥曲线 的位置关系：（2）可以利用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去某个变量（x或y）后，所得的方程根的情况来研究。
通过运用类比的方法，激发学生的探究热情。通过观察图形，教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，其中有一种方法：数形结合的方法。
课题：专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题
第1课时
共1课时
教学目标
知识与技能
通过类比直观判断直线与圆的位置关系的方法即距离法，判断直线与圆锥曲线的三种位置关系，距离法转化为方程组解来研究直线与圆锥曲线的位置关系；
过程与方法
在解答直线与圆锥曲线的相关问题中，体会解决直线与圆锥曲线位置关系问题的一般步骤与方法；
A. B. C. D．2
2.已知左焦点为 的椭圆过点 ．过点 分别作斜率为 的椭圆的动弦 ，设 分别为线段 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为线段 的中点，求 ；
（3）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
观察图形：直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。类比到直线与圆锥曲线 的位置关系，即：相交、相切、相离。从交点的个数相交（二个）、相切（一个）、相离（0个）的特征。
情感态度
价值观
在探究的过程中运用数、形结合和方程组解的思想，以运动的观点去观察、思考、分析直线与圆锥曲线的位置关系，从而提高解决问题的能力；
2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题教学案理新人教版
第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】 已知椭圆E ：x 29＋y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝103. (1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点．[解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2b2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－c 2，由题可知F (c,0)，p ＝2c ，把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 29， ∴y C ＝9－c 23.∴|CD |＝103＝－c 23，解得c ＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， ∴k MA ＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，k NA ＝8y 2＋4， 由k MA ·k NA ＝8y 1＋4·8y 2＋4＝1， 得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*) 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋t ，得y 2－8my －8t ＝0，∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ， 代入(*)式得t ＝4m －6，∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)．引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 ＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．[解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)． 定值问题【例2】 已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解] (1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－4k 2＋3，∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m2k 2－＋＋4k2k 2＋2.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0， 解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7. 求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得已知椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABF 1的周长为8，且△AF 1F 2的面积的最大时，△AF 1F 2为正三角形． (1)求椭圆C 的方程；(2)若MN 是椭圆C 经过原点的弦，MN ∥AB ，求证：|MN |2AB为定值．[解] (1)由已知A ，B 在椭圆上，可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又△ABF 1的周长为8，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，即a ＝2.由椭圆的对称性可得，△AF 1F 2为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点， 则a ＝2c ，即c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：若直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝1，求得|AB |＝3，|MN |＝23，可得|MN |2AB＝4.若直线l 的斜率存在， 设直线l ：y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 有x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2，由y ＝kx 代入椭圆方程，可得x ＝±233＋4k2，|MN |＝21＋k 2·233＋4k2＝4＋k23＋4k2， 即有|MN |2AB＝4.综上可得，|MN |2AB为定值4.范围问题【例3】 已知m ＞1，直线l ：x －my －m22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m 22，得m 2＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2， 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x ，得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23，y 23.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内， 所以OH →·OG →＜0， 即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 28－12＜0.解得m 2＜4(满足m 2＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)． 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．[解] (1)由题意知2b ＝2，∴b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2.椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m2－4＝0，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1 ①， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·m 2－4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54 ②，由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k2＝－1＋9＋k2. 又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴0≤d ＜2147. ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.最值问题【例4】 (2019·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． (1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝247. (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＞0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k2， 因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.1.(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。
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课题：圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题
教学目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.
（一） 主要知识及主要方法：
1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.
（二）典例分析： 问题1． （05广东）在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足
（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB △若不存在，请说明理由． 问题2．已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点M ⎛ ⎝且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.
问题3．（06全国Ⅱ）已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且
AF FB λ=（0λ>）
．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；
（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．
问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点
()2,0P -和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.
（四）课后作业： 1.已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.
2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.
3.如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y F A
B C 1A 1B 1C B
()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.
()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过
某一定点，并求此点坐标.
（六）走向高考：
4.（05重庆）已知椭圆1C 的方程为14
22
=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程； （Ⅱ）若直线l ：
y kx =1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.
5.（06江西）P 是双曲线221916
x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++= 和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 .A 6 .B 7 .C 8 .D 9
6.（07重庆）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =. ()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠ 证明：
123111FP FP FP ++为定值，并求此定值.
焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F
1)-共线。
为椭圆上任意一点，且OM OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，证明22μλ+为定值.
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y +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦0MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小9.(04浙江)已知双曲线的中心在原点，右顶点为()1,0A ，点P 、Q 在双曲线的右支上，点(),0M m 到直线AP 的距离为1，
()1若直线AP 的斜率为k ，且k ∈⎣, 求实数m 的取值范围；
()2当1m =时，APQ △的内心恰好是点M ，求
此双曲线的方程.
10.（07重庆文）如图，倾斜角为α的直线经过抛物线
x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.
()1求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
()2若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于
x F
点P ，证明:cos2FP FP α-为定值，并求此定值.
11.（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．。