一种加群Zp上离散对数问题的DNA计算算法
【计算机科学】_np完全问题_期刊发文热词逐年推荐_20140723
2011年 序号 1 2 3 4
科研热词 回答集逻辑程序 回答集 否定圈 划分集
推荐指数 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2013年 科研热词 推荐指数 序号 np完全问题 2 1 高级结构 1 2 软硬件划分 1 3 自然计算 1 4 细胞分离 1 5 组织 1 6 禁忌搜索 1 7 独立集 1 8 密码分析 1 9 多项式时间 1 10 多项式归结 1 启发式算法 1 加群zp 离散对数问题 1 sat问题 1 p系统 1 np完全性 1 msp问题 1 membrane computing, tissue p system, 1 cell sep- aration, independent set problem dna计算 1 0-1背包问题 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2010年 科研热词 遗传算法 障碍物 超大规模集成电路 视图选择 联机分析处理 网格 粒子群优化 查询优化 最小矩形steiner树 数据仓库 布线 局部收敛 任务调度 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 科研热词 np完全问题 顶点度数 混合方法 混合动力 梯度方向 最大团问题(mcp) 最佳路径 旅行商问题 rfd np难问题 推荐指数 2 1 1 1序号 1 2 3 4
科研热词 拓扑序列 子图查询 图索引 动态图数据
推荐指数 1 1 1 1
离散对数难题
离散对数难题离散对数问题（DiscreteLogarithmProblem，简称DLP）是计算机科学领域一个重要的数学概念。
DLP旨在求解基于任意数字的特定一元函数的一个未知变量的值。
DLP的来源可以追溯到著名的17世纪数学家费马，他是离散对数问题的发起人，后来被发展成一个重要的数学概念。
DLP是一种NP-困难（non-deterministic polynomial）问题，意味着它没有固定的解决方案，除非有很多复杂的计算来实现它。
一般来说，使用穷举方法来求解DLP是太复杂和耗时的，所以需要利用特定技术来加快解决速度。
DLP在许多领域中都有实际应用，包括密码学，数学建模，计算机科学，数据库应用，计算机安全等等。
它的主要用途是用于破译密码，在这种情况下它可以被用来破解用户的密码或者其他把信息保护的加密系统。
DLP的解决方法主要分为两类，第一类是通过穷举法求解DLP，这是最简单也是最慢的方法。
它通过依次尝试每一种可能的解，直到满足给定条件来找到最优解。
由于DLP问题一般都很复杂，所以用穷举法往往得不到较理想的解，而且它的求解过程十分繁琐。
第二类求解DLP的方法是通过利用数论方法来求解DLP问题，它一般比穷举法要快得多，而且准确度也很高。
数论方法主要分为两类：一类是利用抽象代数结构的方法来求解DLP，另一类是利用数学建模，结合程序设计技术来求解DLP。
抽象代数结构方法是一种特定的数论技术，可以用来解决DLP问题。
这种技术通过分析和构造适当的抽象代数结构，然后对结构中的元素进行操作以求解DLP问题。
例如，著名的RSA加密系统使用的就是这种技术。
数学建模技术可以将DLP问题转化为一个约束优化问题，然后使用计算机程序来求解此类问题。
这种方法可以提高计算的效率，优化的结果可以比通过穷举法更快速更准确。
DLP是一种重要的数学概念，也是计算机科学领域重要的应用。
DLP有两种主要的解决方法：穷举法和数论方法，数论方法可以分为抽象代数结构方法和数学建模技术，它们的应用范围非常广泛，并且能够快速准确的求解具体的DLP问题。
【计算机科学】_生物操作_期刊发文热词逐年推荐_20140726
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 dna计算 顶刺分割 自适应结构元素 自组装 粘贴模型 甲藻 生物操作 最小顶点覆盖 最小支配集 最优路径 密码分析 加群zp 离散对数问题 分子算法 公交网络 np完全问题
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 阴性选择算法 重构模型 重构操作 重构串 生物序列 生物信息学 数据模型 数据库管 1 2 3 4
科研热词 面向服务计算 继承关系 实例化 业务服务
推荐指数 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6
科研热词 网格 生物地理学优化算法 生物信息学 智能优化 工作流 优化算法
推荐指数 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5
2011年 科研热词 近似算法 精确算法 反馈顶点集 反馈边集 参数算法 推荐指数 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 频谱分配 量子变异 进化计算 认知无线网络 细菌觅食算法 粘贴模型 种群动力学 生物地理学优化算法 最大匹配 图论着色 优化 lotka-volterra模型 dna计算
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【浙江省自然科学基金】_dna编码_期刊发文热词逐年推荐_20140812
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词 推荐指数 青花菜 3 表达分析 3 抗坏血酸过氧化物酶 2 克隆 2 霜霉病 1 表达谱 1 表达 1 茶树 1 肿瘤 1 病毒载体 1 序列特征 1 密码分析 1 家蚕 1 基因克隆 1 原核表达 1 加群zp 离散对数问题 1 wrky转录因子 1 np完全问题 1 myb转录因子 1 microrna 1 expression 1 downy mildew 1 dna计算 1 cloning 1 brassica oleracea var. italica1 bowrky3基因 1 bme(spl)-like基因 1 ascorbate peroxidase 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
科研热词 序列分析 dna计算 雷竹 雄性不育 质粒基因组 蛋白序列 茄子 花药特异 芥蓝 致病性 自主调控途径 肺炎克雷伯菌 肌动蛋白基因 编码方法 线粒体dna 线粒体 纠错码 突变体 突变 稻瘟病菌 白菜 生长素响应因子 模板 查尔酮合成酶 弱精子症 开花 山核桃 基因功能 基因克隆 基因 克隆 solexa测序 shv-esbl osfca同源基因 mtdna leber遗传性视神经病变 hamming距离 golay码 flowering locust(ft)基因 dna编码
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
基于机器学习的DNA序列分析算法
基于机器学习的DNA序列分析算法DNA是生物体内遗传信息的载体，对于理解生命的本质和进行疾病的研究具有重要意义。
然而，垂直基因测序技术的突破导致了大规模的DNA序列数据的产生，使得人们面临着一个巨大的挑战：如何快速、准确地分析这些庞大的DNA序列数据。
机器学习作为一种强大的数据分析工具，正在被应用于基于DNA序列的生物信息学研究中。
DNA序列分析的目的是从DNA序列中提取有用的信息，比如确定遗传变异、发现疾病相关基因等。
机器学习可以通过训练算法从大量的DNA序列数据中学习模式和关联，进而预测未知的DNA序列的功能和结构。
以下是几种基于机器学习的DNA序列分析算法：1. 基于卷积神经网络（CNN）的DNA序列分类卷积神经网络是一种经典的深度学习算法，其在图像识别领域取得了巨大成功。
近年来，研究人员开始将CNN应用于DNA序列分析中的分类任务。
CNN能够自动地学习DNA序列中的模式，并且能够识别出潜在的功能区域、启动子和编码区等。
研究人员可以通过构建CNN模型，输入已知分类的DNA序列数据进行训练，然后使用训练好的模型对未知DNA 序列进行分类预测。
2. 基于递归神经网络（RNN）的DNA序列生成递归神经网络是一种能够处理序列数据的神经网络结构，特别适用于DNA序列的生成任务。
DNA序列生成的目的是生成新的DNA序列，这对于药物研发和合成生物学等领域具有重要意义。
通过训练RNN模型，可以学习到DNA序列中的模式，然后使用该模型生成新的DNA序列，这些新的序列能够保持与训练数据相似的结构和功能。
3. 基于支持向量机（SVM）的DNA序列分类支持向量机是一种经典的监督学习算法，通过确定一个最优的超平面，将不同类别的数据分开。
在DNA序列分类中，研究人员可以将DNA序列转化为数值特征，并使用SVM对其进行分类。
这种方法已被广泛应用于DNA序列的功能预测、疾病相关基因的识别等任务中。
4. 基于深度信念网络（DBN）的DNA序列特征提取深度信念网络是一种用于无监督学习的深度学习算法，可以从未标记的数据中学习特征表示。
DNA碱基计算方法总结
DNA碱基计算方法总结DNA碱基计算是一种用于分析DNA序列的方法，可以用于各种生物学研究领域，包括基因组学、进化生物学、医学研究等。
在DNA碱基计算中，常用的方法包括碱基频率分析、序列比对和计算碱基相似性。
以下是对这些方法的详细介绍。
首先，碱基频率分析是一种用于研究DNA序列中各种碱基出现频率的方法。
DNA由四种碱基组成，即腺嘌呤（A）、胸腺嘧啶（T）、鸟嘌呤（G）和胞嘧啶（C）。
通过统计这些碱基在DNA序列中的出现次数，可以了解DNA的组成和结构特征。
例如，碱基频率分析可以帮助研究人们了解基因组中各个基因的比例，以及基因组内的反义链和正义链的比例。
其次，序列比对是一种用于比较两个或多个DNA序列之间的相似性的方法。
DNA序列可以在整个基因组尺度上进行比对，也可以在较小的序列片段上进行比对。
序列比对可以帮助人们识别DNA序列中的同源基因、功能位点和重复序列。
在序列比对中，常用的方法包括全局比对和局部比对。
全局比对将整个DNA序列都进行比对，适用于比较相似度较高的序列；局部比对只比对DNA序列中的片段，适用于比较相似度较低的序列。
最后，计算碱基相似性是一种用于分析两个DNA序列之间的相似性的方法，它可以帮助人们了解DNA序列的进化关系和功能特征。
在计算碱基相似性中，常用的方法包括计算相似度矩阵和构建进化树。
相似度矩阵是一种将DNA序列之间的相似度表示为数值的方法，常用的相似度指标包括杰卡德相似系数、曼哈顿距离和漂移距离等。
相似度矩阵可以帮助研究人员识别DNA序列中的同源基因和进行群落分析。
进化树是一种用于表示DNA序列之间进化关系的树状图，它可以帮助人们了解DNA序列的进化历史和物种分化情况。
综上所述，DNA碱基计算是一种用于分析DNA序列的方法，可以通过碱基频率分析、序列比对和计算碱基相似性，了解DNA的组成、结构、功能和进化关系。
这些方法在生物学研究中具有广泛的应用，有助于人们深入了解DNA的秘密，推进生物学科学的发展。
第九讲 离散对数
x im j，这意味着 ( m ) i j。 这就给出
如下计算 x的方法。
2.2 小步大步算法(续)
算 法 1小步大步法 输入：生成元的阶 p 1和元 。 输出： 离散对数 x= log 。 (1) 设置m
p 1 。
(2) 建立一个条目为( j， j )的表， 这里 0 j m。以条目中 的第2项对表排序。 (3) 计算 m 和设置 。 (4) For i from 0 to m 1 do thefollowing: (4.1) 检查 是否为表中某个第 2项 。 (4.2) 如果 j， 则 return( x = i m + j)。 (4.3) 设置 · m。
2 计算离散对数
2.1 穷举搜索
最为简单的求解 DLP的方法是连续计算 0，
1， 2， . . . ，直到得到。这一方法需要 O( p 1) 次乘法，这里 p 1是的阶，因此，当 p取
足够大的值时，这不是 有效方法(这恰好是密 码关注的情形)。
2.2 小步大步算法
令m = p 1 ，这里p 1 是 的阶。小步大步 算法是对穷举搜索方法 在效率和存储之间的 平衡，它的基础是以下 事实。如果 = x，则 我们可以写 x=i m +j，这里 0 i， j m。因此，
2.2 小步大步算法(续)
例 子 2 令p=113 。 = 3 是阶为p 1 = 112 的生成元。考虑 = 57。 计算离散对数 log3 57的过程如下。 (1) 设置m
112 = 11。
(2) 建立一个表，条目是( j， α j (mod p))， 这里0 j 11 ，以条目的 第2项排列表： j 0 1 8 2 5 9 3 3 j (mod113) 1 3 7 9 17 21 27 7 6 10 4 40 51 63 81
【浙江省自然科学基金】_空间编码_期刊发文热词逐年推荐_20140813
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
科研热词 颜色补偿 载体构建 西蒙效应 草鱼 联合注意 置换矩阵 网络计划 空间编码 移位系数 生产档案 溯源 深空通信 注视-西蒙效应 朗伯特反射模型 序列分析 差错平底 密码分析 多目标优化 地理编码 加群zp 离散对数问题 几何校正 准循环低密度奇偶校验 公路施工 克隆 webgis pareto最优解集 nsga-ⅱ遗传算法 np完全问题 mx基因 dna计算
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 进化计算 试题组卷 编码问题 编码结构 率失真性能 模板编码方法 插值小波 提升格式 多视点图像压缩 多目标线性规划模型 图像编码 二维相机阵列 二元蚁群算法 dna计算
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2011年 科研热词 道路网络 质心片 编码技术 绝对式轴角编码器 结构光 细分 空间编码 模糊匹配 概率范围查询 成像式 基于位置的服务 地址编码 地址树 图像处理 匿名蜂窝 分片 分支定界 位置隐私 不确定超球 m- array 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
离散对数问题的求解方法
离散对数问题的求解方法在现代密码学中，离散对数问题是一大难题。
事实上，许多现代加密算法都依赖于这个问题的难解性。
因此，解决离散对数问题一直是密码学研究领域的一项重要任务。
离散对数问题是指在有限群中求解 $a^x \equiv b \pmod{p}$ 的$x$ 值。
其中，$a$ 和 $b$ 是群 $G$ 中的元素，$p$ 是素数，$x$ 是一个整数。
目前尚未发现一种有效的算法可以在多项式时间内解决这个问题。
但是，有一些特殊情况下可以用一些方法来近似求解。
1. 大步小步算法当 $G$ 是阶为 $n$ 的循环群时，可以使用大步小步算法以$O(\sqrt{n})$ 的时间复杂度解决离散对数问题。
大步小步算法的基本思想是，首先将群 $G$ 分成两个部分：前$m$ 个元素和后 $m$ 个元素。
对于每个 $i \in [1,m]$，计算$a^i$ 的值并存储在一个哈希表中。
然后，对于每个 $j \in [0,m)$，计算 $b a^{-mk+j}$ 的值，并在哈希表中查找相应的 $i$ 值。
如果找到了，则 $x=mk+j-i$ 为一个解。
由于步长为 $m$，因此算法的时间复杂度为$O(m)=O(\sqrt{n})$。
该算法被广泛应用于 RSA 算法中。
2. 等比数列求和公式当 $a$ 和 $p$ 互质时，可以使用等比数列求和公式求解离散对数问题。
该公式是：$$\sum_{i=0}^{p-2} a^i \equiv \frac{a^{p-1}-1}{a-1} \pmod{p}$$当 $b$ 为 $a$ 的幂时，即 $b=a^k$，则可以根据下列公式求解$k$：$$k\log a \equiv \log b \pmod{p-1}其中，$\log$ 表示以 $\log_a$ 为底的对数。
由于求解罗非特函数（计算 $\log$ 函数）较为困难，因此该算法的时间复杂度与大步小步算法相同，为 $O(\sqrt{n})$。
离散对数的求解（bsgs）
离散对数的求解（bsgs）bsgs算法主要⽤来解决{A^x} = B(\bmod C)(c是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。
例：poj 2417 Discrete Logging具体步骤如下：先把x = i*m - j，其中m = ceil(\sqrt C )，（ceil是向上取整）。
这样原式就变为{A^{(i*m - j)}} = B(\bmod C)，再变为{A^j}*B = {A^{(m*i)}}(\bmod C)。
枚举j(范围0-m),将{A^j}*B存⼊hash表枚举i(范围1-m),从hash表中寻找第⼀个满⾜{A^j} * B = {A^{(m * i)}}(\bmod C)。
此时x = i*m - j即为所求。
在⽹上看到的其他题解⼤多⽤的是x = i*m + j，也可以做，只是会牵扯的求逆元，所以⽐较⿇烦。
使x=i*m-j就可以轻松避免这个问题了。
那么肯定有⼈会有疑问为何只计算到m = ceil(\sqrt C )就可以确定答案呢？x = i*m - j也就是x 的最⼤值不会超过p,那超过p的怎么办？有⼀个公式{a^{k\bmod (p - 1)}} = {a^k}(\bmod p)这个公式的推导需要⽤到费马⼩定理k\bmod p - 1可以看做k - m*(p - 1) ,原式可化成{a^k}/{({a^{(p - 1)}})^m} = {a^k}(\bmod p)根据费马⼩定理{a^{(p - 1)}} = 1(\bmod p)其中p为质数，a,p 互质，可得{a^k}/{1^m} = {a^k}(\bmod p){a^k} = {a^k}(\bmod p)得证1 #include<cstdio>2 #include<cstring>3 #include<algorithm>4 #include<cstdlib>5 #include<cmath>6 #include<map>7using namespace std;8 typedef long long ll;9 ll q=2147483647,a=3,yy,y2,m,ans,t;10 map<ll,int>mp;11 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){12 ll res=1;13while(n>0){14if(n&1) res=res*x%mod;15 x=x*x%mod;16 n>>=1;17 }18return res;19 }2021int main(){22while(~scanf("%lld%lld",&yy,&y2)){23 mp.clear();24 m=ceil(sqrt(q));25for(ll i=0;i<=m;i++){26if(i==0){27 ans=yy%q;28 mp[ans]=i;29continue;30 }31 ans=ans*a%q;32 mp[ans]=i;33 }34bool flag=false;35 ans=1;36 t=mod_pow(a,m,q);373839for(int i=1;i<=m;i++){40 ans=ans*t%q;41if(mp[ans]){42 ll temp=i*m-mp[ans];43 ll rr=mod_pow(y2,temp,q);44 printf("%lld\n",rr);45 flag=true;46break;47 }48 }49if(!flag){50 printf("No Solution\n");51 }52 }53return0;54 }Processing math: 0%。
基于离散对数问题的密码算
基于离散对数问题的密码算
离散对数问题是指在有限域或椭圆曲线上，给定一个元素的幂和基本元素，求解指数的问题。
这个问题在计算上是非常困难的，而且没有已知的高效算法可以解决它。
基于这个难题，离散对数问题被广泛应用于密码学中。
Diffie-Hellman密钥交换算法是一种用于安全地交换密钥的协议。
它允许两个通信方在公开信道上协商一个共享密钥，而第三方无法推导出该密钥。
该算法的基本原理是，两个通信方共同选择一个大素数p和一个生成元g，然后各自选择一个私密指数，计算出对应的公开值，并交换这些公开值。
最后，根据对方的公开值和自己的私密指数，计算出共享的密钥。
这个密钥只有通信双方知道，其他人无法从公开的值推导出来。
ElGamal加密算法是一种基于离散对数问题的公钥加密算法。
它包括密钥生成、加密和解密三个步骤。
首先，密钥生成阶段，选择一个大素数p和一个生成元g，并选择一个私密指数，计算出对应的公开值。
然后，加密阶段，将明文转换成一个元素m，选择一个随机数k，并计算出密文的两部分。
最后，解密阶段，根据密文和自己的私密指数，计算出明文。
只有知道私密指数的人才能够解
密密文。
这些基于离散对数问题的密码算法在实际应用中被广泛使用，并且已经经过了长时间的研究和验证。
它们提供了可靠的安全性，但也需要选择合适的参数和密钥长度来抵抗攻击。
此外，随着量子计算的发展，离散对数问题可能会受到威胁，因为量子计算可以有效地解决这个问题。
因此，在设计和使用这些密码算法时，需要考虑到未来可能出现的量子计算攻击。
离散对数问题与dcr问题
离散对数问题与dcr问题
离散对数问题（Discrete Logarithm Problem，DLP）和离散对
数类问题（Discrete Logarithm Class Problem，DCP）是密码学中
的两个重要问题。
它们在现代密码学中扮演着至关重要的角色，特
别是在公钥密码系统和数字签名方面。
首先，让我们来看看离散对数问题。
在数论中，离散对数问题
是指找到一个整数k，使得给定的底数a和模数p，满足等式a^k
≡ b (mod p)。
这个问题在计算上是相当困难的，特别是当模数p
是一个大素数时。
离散对数问题的困难性是基于目前尚未发现有效
的算法来快速解决它，这使得它成为了一种重要的数学难题，被广
泛应用于密码学中的各种加密算法中，如Diffie-Hellman密钥交换、ElGamal加密算法等。
而离散对数类问题是指一类与离散对数问题相关的问题，它们
在某种意义上与离散对数问题具有相似的数学结构和困难性。
具体
来说，离散对数类问题通常是指在一个特定的数学群或环中，找到
满足一定条件的元素的问题。
例如，给定一个群G和元素h，找到
整数x使得h = g^x，其中g是G中的生成元。
这类问题的困难性
也是基于目前尚未发现有效的算法来快速解决它，因此也被广泛应
用于密码学中。
总的来说，离散对数问题和离散对数类问题都是密码学中的重要数学问题，它们的困难性使得它们成为了许多加密算法的基础，保障了这些算法的安全性。
同时，研究这些问题的难度和解决方法也对密码学理论和实践产生了深远的影响。
pollard p离散对数
pollard p离散对数
Pollard p-1算法是一种用于计算离散对数的算法。
离散对数问题是指在一个循环群中找到指定元素的幂等于另一个给定元素的幂的指数。
换句话说，对于给定的素数p、底数g和整数h，找到一个整数x，使得g^x ≡ h (mod p)。
这个问题在密码学和数论中有着重要的应用。
Pollard p-1算法的基本思想是利用数论中的一些性质来寻找满足一定条件的因子，从而间接地求解离散对数问题。
算法的步骤包括选择一个整数a，然后计算a的阶乘，并求模p。
如果得到的结果恰好是p的倍数，那么可以得到一个因子，从而间接地得到离散对数的解。
这个算法的优点是相对简单，容易实现，但是在某些情况下可能会失效。
例如，当离散对数的解具有特定的性质时，这个算法的效率会大大降低。
因此，需要结合其他算法来解决离散对数问题，比如大数分解算法、勒梅尔算法等。
另外，需要注意的是，离散对数问题在现代密码学中扮演着重要的角色。
许多加密算法，比如RSA算法、椭圆曲线密码算法等，
都依赖于离散对数问题的困难性。
因此，对于这类算法，寻找高效
的离散对数算法是一个重要的研究课题。
总的来说，Pollard p-1算法是一种用于计算离散对数的算法，它利用数论中的一些性质来寻找满足一定条件的因子，从而间接地
求解离散对数问题。
然而，需要注意的是，在某些情况下，这个算
法可能会失效，因此需要结合其他算法来解决离散对数问题。
同时，离散对数问题在现代密码学中具有重要的意义，对于加密算法的安
全性具有重要影响。
sage离散对数
sage离散对数
离散对数问题可以描述为：给定一个质数p，和有限域Zp上的一个本原元a，对Zp上整数b，寻找唯一的整数c，使得a^c≡b(mod p)。
一般来说，如果仔细选择p，则认为该问题是难解的，且目前还没有找到计算离散对数问题的多项式时间算法。
为了抵抗已知的攻击，p至少应该是150位的十进制整数，且p-1至少有一个大的素数因子。
目前有几种求解离散对数问题的方法：
离散对数的一般算法：该算法基于数学中的一些基本定理和性质，例如欧拉定理和费马小定理。
但是，对于大整数和模数，该算法的复杂性非常高，需要指数级别的时间。
指数演算法：该算法是求解离散对数问题的最常用的方法之一。
它基于数学中的一些基本定理和性质，例如牛顿迭代法和二分法等。
该算法的时间复杂性取决于输入参数的大小和精度。
Pollard-Rho算法：该算法是一种随机化的离散对数算法，它利用了数学中的一些随机性质和技巧，从而大大提高了算法的效率。
该算法的时间复杂性取决于随机性因素。
椭圆曲线离散对数算法：该算法基于椭圆曲线上的离散对数问题，利用椭圆曲线的性质和技巧，从而大大提高了算法的效率。
该算法的时间复杂性取决于椭圆曲线的参数和精度。
需要注意的是，离散对数问题是一个经典的数学问题，也是一个非常难的问题。
虽然有一些有效的算法可以求解离散对数问题，但是它们都需要指数级别的时间或随机性因素。
因此，在实际应用中，需要谨慎考虑离散对数问题的求解方法和应用场景。
高中数学的DNA公式与知识点解读
高中数学的DNA公式与知识点解读DNA（差分和）公式是高中数学中的一个重要概念，它与数列、级数和函数等内容息息相关，被广泛应用于数学的各个领域。
本文将对DNA公式及其相关的知识点进行解读和讲解。
一、DNA公式的定义及特点DNA公式全称为“差分与不定积分的关系公式”（Difference and Integral Relation Formula），通常用于求解差分与不定积分之间的关系。
DNA公式的一般形式如下：\[ \sum (D^n f(x))\Delta x = f(x) - f(x - n\Delta x) \]其中，\(D^n f(x)\)代表函数\(f(x)\)的\(n\)阶差分。
DNA公式可以看作差分运算和不定积分运算之间的桥梁，帮助我们在不同形式的数学表达式中进行转换和计算。
DNA公式具有以下特点：1. 揭示了差分与不定积分之间的本质联系，使得我们能够从差分的角度去理解和分析函数的性质和特征。
2. 借助DNA公式，可以将函数的不定积分转化为差分的形式，从而简化计算过程。
3. DNA公式的推导过程基于泰勒展开，能够将任意复杂的函数用多项式逼近，使得复杂的问题转化为简单的计算。
二、DNA公式的应用场景及方法解析DNA公式的应用广泛，涉及到数列与级数、微积分、差分方程等多个数学领域。
下面以数列与级数为例，具体介绍DNA公式的应用场景和解题方法。
1. 数列与级数对于给定的数列\(a_n\)，若要求解其前\(n\)项与后\(n\)项之间的差分关系，可以运用DNA公式。
具体步骤如下：（1）求出数列\(a_n\)的差分序列\(b_n\)，即\(b_n = a_{n+1} - a_n\)。
（2）根据差分序列\(b_n\)，可以得到\(b_n\)的前\(n\)项与后\(n\)项之间的关系，即差分公式。
（3）将差分公式中的\(a_n\)和\(b_n\)代入，即可得到数列\(a_n\)的DNA公式。
通过DNA公式，我们可以不断递推出数列\(a_n\)的各项值，进而求解其性质和特征。
离散对数难题
离散对数难题离散对数难题是一个研究数学中可解决问题的方法。
起源于20世纪80年代，它是一个相对较新的理论，但受到国际社会的广泛关注，被广泛用于解决实际问题。
离散对数难题关心数学中的“离散”计算机科学，即在计算过程中，使用的非线性的数值分析来推导变量的最优解，这需要艰苦的数学操作。
这些操作通常涉及极其复杂的解析和数值计算，因此，我们正寻找一种通用的办法来解决离散对数难题。
离散对数问题的基本思想是将不同的数字变量从实际数学领域转化为数字空间，然后构建一个微分方程，以解决解析解。
在实际操作中，由于该方法涉及到复杂的计算，因此需要专业的数学知识。
具体来说，需要理解和掌握一些数学理论，例如偏微分方程、线性方程组、统计学、概率论等，以及其他相关的基本概念和方法。
在现今，离散对数问题已经成为了一个广泛应用的研究领域，其在许多数学领域都有广泛的应用，如微积分、优化、金融数学等等。
在这些数学领域，离散对数问题在计算复杂问题时表现出很强的效率，对于我们许多实际问题也有很大的帮助。
例如，离散对数问题应用于复杂系统的分析，可以提高计算速度，减少计算误差；可以应用于金融市场的价值评估，解决期权定价等问题，以及多种优化技术在应用程序设计中的应用。
除此之外，离散对数问题也有着重要的社会意义。
在某些特定的实际问题中，离散对数问题可以帮助我们更好地改善社会经济状况，以及更好地维护社会的共同利益。
例如，离散对数问题可以应用于资源优化配置，以解决城市拥堵问题，可以针对特定的实际问题进行分析，减少能源的浪费，以及提高对资源的利用率等。
总之，离散对数问题是一个相对较新的理论，有着重要的应用和社会意义，它关注数学中的“离散”计算机科学，为许多实际问题提供了有效的解决办法，增强了计算效率，提高了资源利用率。
虽然它是一个非常复杂的理论，但是我们也可以通过深入研究，把它应用到实际问题中，取得更好的效果。
离散对数算法
离散对数算法离散对数算法概述：离散对数算法是一种用于解决离散对数问题的算法。
在密码学中，离散对数问题是一种非常重要的问题，因为它与许多加密算法如Diffie-Hellman密钥交换、ElGamal加密、DSA数字签名等有关。
离散对数问题：在密码学中，离散对数问题是指给定一个素数p和整数a和b，求出满足a^x ≡ b (mod p)的最小正整数x。
其中a被称为底数，p被称为模数，b被称为余项。
传统暴力方法：传统暴力方法是通过枚举所有可能的x来解决离散对数问题。
但是这种方法非常耗时，并且在大型模数下几乎不可行。
Baby-step giant-step算法：Baby-step giant-step算法是一种更有效的求解离散对数问题的方法。
它的基本思想是将底数a分解成若干个小底数组合，并使用哈希表记录每个小底数组合所得到的值。
然后再将余项b分成若干个大余项数组合，并使用哈希表记录每个大余项数组合所得到的值。
最后通过比较两个哈希表中相同值所对应的小底数组合和大余项数组合来求解离散对数。
Pohlig-Hellman算法：Pohlig-Hellman算法是一种更为高效的求解离散对数问题的方法。
它的基本思想是将模数p分解成若干个小素数组合，并使用中国剩余定理将原问题转化为若干个小问题。
然后再使用Baby-step giant-step算法来求解每个小问题。
最后通过合并每个小问题的解来得到原问题的解。
Index calculus算法：Index calculus算法是一种更为高效的求解离散对数问题的方法。
它的基本思想是通过计算一些已知的离散对数来建立一个指标表，然后使用这个指标表来求解未知的离散对数。
这种方法在大型模数下非常高效，但需要大量存储空间。
实例应用：离散对数算法在密码学中有着广泛的应用。
例如，在Diffie-Hellman 密钥交换中，双方需要协商一个共享密钥，而这个共享密钥就可以通过计算a^x mod p得到，其中a和p是公开信息，x是私有信息。
DNA的计算
DNA分子的结构和复制 规律及应用
（一）碱基互补配对原则的应用
1、在整个DNA分子中，A=T C=G
思考：某DNA分子含腺嘌呤100个，占碱基 数的20%，则其复制2次，需多少游离的胞 嘧啶脱氧核苷酸（ ） A.150个 B.450个 C.400个 D.500个
4、若某DNA分子含某种碱基x个，复制n次， 则需要游离的含该碱基的脱氧核苷酸分子 数等于2n .x-x=（2n-1)x.
例6：某DNA分子含腺嘌呤100个，占碱基 数的20%，则其复制2次，需多少游离的胞 嘧啶脱氧核苷酸（ B ） A.150个 B.450个 C.400个 D.500个
2、假设DNA分子一条链的
（A+G）/（T+C）=k（不互补的两碱基和 的比） ，则其互补链的该比值为1/k。 DNA分子中的该比值永远为1。
（A+T）/（C+G）=b（互补的两碱基和的 比），则其互补链的该比值为b。该DNA分 子中的该比值也为b。
例3：DNA的一条链中（G+T）/（A+C）=0.5, （A+T）/（C+G）=2.则另一条链中相应的碱 基比是（ A ） A 2 和2 B 2和0.5 C 0.5和0.5 D 0.5和2 例4：DNA一条链的（C+G）/（T+A）=0.4， 那么它的互补链中该比例是（ A ）;整个DNA 分子中（C+T）/（G+A）的比例是（ D ） A、0.4 B、0.6 C、2.5 D、1
椭圆曲线数字签名算法
椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）原文The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)CERTICOM公司李鹤帅译（部分内容有删节）摘要椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）是使用椭圆曲线对数字签名算法（DSA）的模拟。
ECDSA 于1999年成为ANSI标准，并于2000年成为IEEE和NIST标准。
它在1998年既已为ISO所接受，并且包含它的其他一些标准亦在ISO的考虑之中。
与普通的离散对数问题（discrete logarithm problem DLP）和大数分解问题（integer factorization problem IFP）不同，椭圆曲线离散对数问题（elliptic curve discrete logarithm problem ECDLP）没有亚指数时间的解决方法。
因此椭圆曲线密码的单位比特强度要高于其他公钥体制。
本文将详细论述ANSI X9.62标准及其协议和实现方面的问题。
1、介绍数字签名算法（DSA）在联邦信息处理标准FIPS中有详细论述。
它的安全性基于素域上的离散对数问题。
椭圆曲线密码（ECC）由Neal Koblitz和Victor Miller于1985年发明。
它可以看作是椭圆曲线对先前基于离散对数问题（DLP）的密码系统的模拟，只是群元素由素域中的数换为有限域上的椭圆曲线上的点。
椭圆曲线密码体制的安全性基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难解性。
椭圆曲线离散对数问题远难于离散对数问题，椭圆曲线密码系统的单位比特强度要远高于传统的离散对数系统。
因此在使用较短的密钥的情况下，ECC可以达到于DL系统相同的安全性。
这带来的好处就是计算参数更小，密钥更短，运算速度更快，签名也更加短小。
因此椭圆曲线密码尤其适用于处理器速度、带宽及功耗受限的场合。
ECDSA是椭圆曲线对DSA的模拟。
ECDSA首先由Scott Vanstone在1992年为了响应NIST 对数字签名标准（DSS）的要求而提出。
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统的破译方案，文献ＥｌＯｌ提出了一种基于Ａｄｌｅｍａｎ－Ｌｉｐｔｏｎ模 型的椭圆曲线的ＤＮＡ计算算法。本文则主要针对加群Ｚ≯ 上离散对数问题（ＤＬＰ），提出一种能够在多项式时间内解决
力和巨大并行，逐渐引起了人们的关注［１－１０３。现今ＤＮＡ计算 逐渐成为计算机科学和生物学领域的一个新的研究热点，并 且在密码分析领域、科学计算、医疗等方面展现出了巨大的潜 力‘１引。
万方数据
中［“］。
（５）检查Ｔ１中是否有等于口的ＤＮＡ链：若有，则找到系数ｌ，终止 循环。
若Ｐ值较小，该问题可以通过穷举搜索来解决。假设
声一１１，口一３，萨７，求解满足７—３×ｚ
ｒｏｏｄ
１１的ｚ值。使用穷
从以上解决加群ｚ｝上离散对数问题的ＤＮＡ计算算法 思想中发现，要实现该思想，必须设计关于群Ｇ的并行加法 器、并行乘法器、初始解空间生成器、对检测结果进行检测的 并行检测器、将非法值转换为合法值的并行合法化处理器以 及解搜索器。以上相应子算法将在３．２节一３．５节中介绍一 ３．２并行初始解空间生成器 ＤＮＡ计算中解空间的生成主要借助于生物分子学中的 复制和添加操作。本文的新算法中，解空间的生成及完善主 要基于加法运算和乘法运算。以下将针对以上两种运算分别 设计相应的并行加法器、并行乘法器。 ３．２．１并行加法器［９］ 鉴于上述算法思想，本加法器在一次并行加法过程中所
表示Ｙ，的值为‘１’（其中１≤ｉ≤点，１≤０≤志＋１）。 并行加法器的具体实现过程参见文献［９］。此并行加法
器算法ＰａｒａｌｌｅｌＡｄｄｅｒ（Ｔ０１，Ｔ０２，ｅｌ“・ｍｋ）为加法群荔上的并
行加法器。算法共使用了０（｜《｝）个抽取操作、０（忌）个合并操 作、０（五）个尾部添加操作以及８个试管。 ３．２．２并行乘法器 本文的ＤＮＡ计算算法中需要多次使用乘２及乘３运算， 为此特设计了以下分别进行乘２运算及乘３运算的并行乘法 器。基本思想：如式（１）所示，乘２运算转换成二迸制移位运 算，首先将ｍ，…ｍｋ中愚位二进制数全部向前移动一位，移位 操作完成后在最后的空位添加一个０。可以通过基本生物操
ｒｉｔｈｍ’Ｓ
ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ． ＤＮＡ－ｂａｓｅｄ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ＮＰ－ｃｏｍｐｔｅｔｅ ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｃｒｙｐｔｏａｎａｌｙｓｉｓ，Ｄｉｓｃｒｅｔｅ １０９ａｒｉｔｈｍ ｐｒｏｂｌｅｍ
ｅｖｅｒ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｇｒｏｕｐ
ｚ≯
１
引言
自从ＤＮＡ计算模型问世以来，其由于具有海量存储能
有ＤＮＡ链只需加群Ｇ上的同一个值。下列算法中，Ｍ表示 加数。为了便于进行加法运算，将Ｍ编码为ｍｌｍ２…讯，Ｘ１．Ｊ９２
…魏表示链上被加数的编码，∞弛…Ｙｋ＋ｔ表示加法结果，其中 ｍｌ，ｘ－，Ｙ。分别代表最底位，ｍｋ，Ｘｋ，弘代表最高位。定义标志
符埘表示ｍ；的值为‘０’，埘表示优ｉ的值为‘１’；霹表示ｘｉ 的值为‘０’，西表示ｚｉ的值为‘１’；胡表示Ｙｊ的值为‘０’，妨
的ＤＮＡ计算算法。算法主要由解空间生成器、并行乘法器、并行加法器、解转换器及解搜索器组成。其中解空间生 成器借鉴传统计算机中３表算法的思想，将解空间的生成分为３个部分来完成，极大减少了非法解的搜索空间。本算 法的生物操作时间复杂度为０（五２），需要Ｏ（１）个试管数、０（２‘）条ＤＮＡ链，最长ＤＮＡ链长为０（五２）（其中ｋ为加群上
计算自组装模型的ＮＴＲＵ密码系统破译方案，文献Ｅ９］提出
设群Ｇ一（磊，＋），口，氏Ｇ，且Ｐ为群Ｇ的阶。求整数ｚ（Ｏ≤
ｚ≤夕一１）满足ｐ＝（ｔＸ口）ｍｏｄ Ｐ，即加群Ｇ上的离散对数问 题。由于离散对数的难解性，使得它被广泛应用于密码学
一种基于Ａｄｌｅｍａｎ－Ｌｉｐｔｏｎ模型的多项式时间内ＲＳＡ密码系
到稿Ｅｌ期：２０１１－０５—１７返修日期：２０１１—０９—２９
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ
Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｈｕｎａｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８２，Ｃｈｉｎａ）２
Ａｂｓｔｒａｃｔ ｐｏｓｅｄ
ｔｏｒ，ａ
ａ
Ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ １０９ａｒｉｔｈｍ ｐｒｏｂｌｅｍ
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ｗｉｄｅｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｕｂｌｉｃ ｋｅｙ
举搜索的方法，将搜索Ｐ个密钥空间，即ｚ取值从ｏ～１０尝试 所有可能值，直到找到一个满足该等式的结果：
１＝０，３×０ ｍｏｄ １１＝０；Ｚ＝１，３×１ ｒｏｏｄ １１＝３； １＝２，３×２ ｍｏｄ １１＝６；１＝３，３×３ ｍｏｄ １１—９； １＝４，３×４ ｒｏｏｄ １１＝１；Ｚ＝５，３×５ ｒｏｏｄ １１＝４； １＝６，３×６ ｍｏｄ １１＝７；１＝７，３×７ ｒｏｏｄ １１＝１０；
ａｎｄ
ａ
ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅａｒｃｈｅｒ．Ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｋｅ ｏｆ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ
ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ＤＮＡ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｌｉｓｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅ
ｒｅｑｕｉｒｅｄ
ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｗ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｓｐａｃｅ
第３９卷第４期 ２０１２年４月
计算机科学
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ
Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｖ０１．３９ Ｎｏ．４
Ａｐｒ ２０１２
一种加群露上离散对数问题的ＤＮＡ计算算法
周旭１ 李肯立２乐光学１朱开乐１
（嘉兴学院数理与信息工程学院
嘉兴３１４００１）１
（湖南大学信息科学与工程学院
长沙４１００８２）２
摘要加群ｚ≯上离散对数问题在公钥密码系统分析中具有非常广泛的应用。研究一种加群茹上离散对数问题
ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ
ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－
ｐｒｏｐｏｓｅｄ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
ｎｅｅｄｓ Ｏ（ｋ２）ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ，Ｏ（１）ｔｅｓｔ ｔｕｂｅｓ，０（２‘）ＤＮＡ
ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ，ａｎｄ
ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ＤＮＡ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｉｓ Ｏ（ｋ２）．Ｆｉｎａｌｌｙ。ｔｈｅ ｃｏｍｍｏｎ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｅｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｎｅｗ ａｌｇｏ—
案，并且为密码分析领域提供了一种新的兼具理论和实验可 行性的思路睁１０］。文献Ｅ５］提出了一种破解ＤＥＳ的生物计算 算法，文献Ｅ６］设计了一种Ｐｏｌｌａｒｄ ｐ一１因子分解的ＤＮＡ计 算机改进算法，文献Ｅ７３设计了一种基于ＤＮＡ计算自组装模
２相关理论背景 ２．１加群２≯上离散对数问题
型的Ｄｉｆｆｉｅ－Ｈｄｌｍａｎ算法破译，文献［８］设计了一种基于ＤＮＡ
离散对数问题群阶Ｐ的二进制编码位数）。最后，通过ＤＮＡ计算通用的试验方法对算法进行了仿真，验证了算法的
可行性和有效性。
关键词ＤＮＡ计算，ＮＰ完全问题，密码分析，加群露离散对数问题
中图法分类号ＴＰ３０６．１ 文献标识码Ａ
ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｌｏｇａｒｉｔｈｍ Ｐｒｏｂｌｅｍ
Ｆａｓｔ Ｐａｒａｌｌｅｌ
Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
Ｇｒｏｕｐ ＺＨＯＵ Ｘｕｌ
ｏｖｅｒ
ｏｎ站ＤＮＡ－ｂａｓｅｄ
Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ
ＺＨＵ Ｋａｉ－ｌｅｌ
ＬＩ Ｋｅｎ－ｌｉ２
ｒＵＥ Ｇｕａｎｇ－ｘｕｅｌ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉFra bibliotekｓａｎｄ ａｎｄ
Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉａｘｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｘｉｎｇ ３１４００１，Ｃｈｉｎａ）１
３加群ｚ｝上离散对数问题的ＤＮＡ计算算法 ３．１加群露上离散对数问题的ＤＮＡ计算算法思想 本文基于加群露上离散对数问题的特性及ＤＮＡ计算
的优点，提出了一种新的加群Ｚ｝上离散对数问题的ＤＮＡ计 算算法。算法中为了减少实验时间及搜索空间，借鉴了传统 计算机中３表算法的思想，将解空间的生成分为３部分来完 成。’
ａｎ
ｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍｓ．Ｗｅ
ｐｒｏ—
ｎｅｗ ＤＮＡ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｏｕｒ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ
ｉｎｉｔｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｇｅｎｅｒａ－
ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ，ａｎ ｉｎｖａｌｉｄ ｐａｒａｌｌｅｌ ｄｅｔｅｃｔｏｒ，ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｎｖｅｎｔｏｒ
本文受国家自然科学基金（６０６０３０５３，９０７１５０２９），教育部新世纪优秀人才支持计划（ＮＣＥＴ－０８—
０１７７），浙江省自然科学基金（Ｙ１０９０２６４），浙江省大学生新苗计划项目（８５１９１０１２３），嘉兴市科技计划项目（２０１１ＡＹｌ００３），浙江省公益性技术应 用研究计划项目（２０１１Ｃ２３１３０），嘉兴学院科研校内重点课题（７０１１０Ｘ０１ＢＬ）资助。 周旭（１９８３－－），女，助教，主要研究方向为并行计算、ＤＮＡ计算，Ｅ－ｍａｉｌ：ｈａｐｐｙｐａｎｄａ２００６＠１２６．ｃｏｍ；李肯立（１９７１一），男，教授，ＣＣＦ高级会 员，主要研究方向为并行处理、生物计算、网格计算等。 ・２３２・
舰…ｍｋ×３…ｅｌ・砌×２＋衲…ｍｋ
算法２乘３并行乘法器
ＰａｒａｌｌｅｌＭｕｌｔｉｐｌｉｅｒＴｈｒｅｅ（Ｔ０，”１．”ｍｋ，３）
（２）
Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ
（１）ＡｐｐｅｎｄＨｅａｄ（Ｔｏ，ｒｒｆｉ，硼）
（２）ＰａｒａｌｌｅｌＡｄｄｅｒ（Ｔｏ，ｍｌ…ｍｋ） ＥｎｄＰｒｏｃｅｄｕｒｅ
ＰａｒａｌｌｅｌＭｕｌｔｉｐｌｉｅｒＴｈｒｅｅ（Ｔｏ，ｍｌ＇．一，孤，３）算法共使用了
０（曼）个抽取操作、Ｏ（愚）个合并操作、０（忌）个尾部添加操作、１ 个头部添加操作以及６个试管。 ３．２．３初始解空间生成器
（３）若试管聍：中非空，则试管乃中包含的ＤＮＡ链的编码值全部