高中数学苏教版选修2-2学案：1.1.1 平均变化率含解析
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2学案平均变化率
1.1.1 平均变化率2．会求平均变化率.平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________． 预习交流1在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx ______0. 预习交流2已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝__________.预习交流3函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x )在(x 1，x 2)上没有变化或一定为常数？答案： f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1预习交流1：≠预习交流2：提示：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2＋Δx . 预习交流3：提示：函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x 1)＝f (x 2)；平均变化率等于0，不能说f (x )在区间(x 1，x 2)上没有变化，也不能说明f (x )一定为常数，例如f (x )＝x 2－1在区间(－2,2)上．一、求函数在某区间内的平均变化率某物体做自由落体运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝12gt 2(单位：m)，计算t 从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各时间段内s (t )的平均变化率．思路分析：求各时间段内s 的平均变化率，即求相应的平均速度，就是求s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1，即ΔsΔt，为此需求出Δs ，Δt .1．若质点的运动方程为s ＝－t 2，则该质点在t ＝1到t ＝3时的平均速度为________．2．求函数f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)，(1,3)，(4,4＋Δx )上的平均变化率．求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ＝f (x 2)－f (x 1)Δx.二、求函数在某点附近的平均变化率求函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率． 思路分析：∵函数f (x )＝y ＝5x 2＋6， ∴f (2)＝5×4＋6＝26.当x 由2变化到2＋Δx 时，f (2＋Δx )＝5(2＋Δx )2＋6，则Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)．1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝__________.2．当x 0＝2，Δx ＝14时，求y ＝1x在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)是函数的自变量由x 0改变到x 0＋Δx 时的变化量，而平均变化率就是ΔyΔx.1．函数f (x )＝x 3在区间(－1,3)上的平均变化率为__________．2．已知某质点的运动规律为s (t )＝5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为__________．3．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为__________． 4．函数y ＝2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为__________．5．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为__________．答案：活动与探究1：解：设t 在[3,3.1]上的平均变化率为v 1，则Δt 1＝3.1－3＝0.1(s)，Δs 1＝s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g (m)，∴Δs 1Δt 1＝0.305g 0.1＝3.05g (m/s)． 同理Δs 2Δt 2＝0.030 05g 0.01＝3.005g (m/s)，Δs 3Δt 3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g (m/s)． 迁移与应用：1．－4 解析：平均速度为Δs Δt ＝－32－(－1)23－1＝－4.2．解：f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (0)－f (－1)0－(－1)＝12－11＝－12； f (x )＝1x ＋2在区间(1,3)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝15－132＝－115； f (x )＝1x ＋2在区间(4,4＋Δx )上的平均变化率为Δy Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)(4＋Δx )－4＝16＋Δx －16Δx ＝－16(6＋Δx ). 活动与探究2：解：∵f (x )＝y ＝5x 2＋6，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝5(2＋Δx )2＋6－26＝5[4＋4Δx ＋(Δx )2]－20＝20Δx ＋5(Δx )2. ∴Δy Δx ＝20Δx ＋5(Δx )2Δx ＝20＋5Δx . 迁移与应用：1．2Δx ＋4 解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2(Δx )2＋4Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4.2．解：x 0＝2，Δx ＝14时，Δy ＝12＋14－12＝－118，∴平均变化率为Δy Δx ＝－11814＝－29.当堂检测1．7 解析：Δy Δx ＝f (3)－f (－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.2．20 m/s3．4＋2Δt 解析：Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .4．8＋2Δx 解析：Δy Δx ＝2(2＋Δx )2＋5－(2×22＋5)Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx .5．0.4π 解析：∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π.。
苏教版数学选修2-2 1.1.1平均变化率(共20张PPT)
g(5) g(0) 2
50
[m , n] (m <n)
一次函数 y=kx+b在区间[m,n](m<n)上的平均变化率 与区间的长度和位置无关，恒为直线y=kx+b的斜率k.
y f(x2)
f(x1) O
y=f(x)
B
△y
A △x
x1
x2
x
f (x2 ) f (x1) y k
x2 x1
T (℃)
30
20
10 A (1, 3.5)
2 02
31天
10
20
C (34, 33.4)
温差14.8℃
33.4 18.6 7.4 34 32
B (32, 18.6)
2天
温差15.1℃
18.6 3.5 0.5 32 1
30
34 t(d)
问题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？
比值反映了在某一时间段内气温、股指变化的快慢程度．
10 0
10
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙
平均变化率为 0.3161cm3 / s
这种变化的实际意义是什么？
负号表示容器甲中的水在减少
平均变化率的绝对值较大，则变化较快
例 3 已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x ,分别计算函数 f (x) 及 g(x) 在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.
1.1.1 平均变化率
苏教版选修2-2 数学
苏教版选修2-2《导数及其应用》第1课时
只有微分学才能 使自然科学有可能 用数学来不仅仅表 明状态，而且也表 明过程：运动
——恩格斯
牛顿
莱布尼茨
高中数学选修2-2教学设计8：1.1.1 变化率问题教案
1.1.1 变化率问题教学目标 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
重点难点 平均变化率的意义教学过程一、问题情境1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”时间4月18日 4月19日 4月20日 日最高气温 18.6℃ 24.4℃ 33.4℃该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 说明： t (d)20 30 34 210 20 30A (1, 3.5)B (32, 18.6)0 C (34, 33.4) T (℃)2 10 2121()()f x f x x x--x y ∆∆=(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。
高中数学选修2-2教学设计11：1.1.1 变化率问题教案
1.1.1 变化率问题教学目标：知道平均变化率的定义.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率. 教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.教学过程一、创设情境为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.二、新课讲授(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图象,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可 用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点 )2,1(y x B ∆+-∆+-，求y x∆∆. 解: )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.解: 2020)(x x x y -∆+=∆ 所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.[答案]1.6+t ∆2.25+3t ∆四、课堂小结1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.。
高中数学选修2-2精品教案 1.1.1变化率问题
1. 1.1变化率问题 课前预习学案预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。
知道平均变化率的定义。
预习内容： 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标 1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.h to学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：平均变化率的概念.学习过程一：问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,? ___________.问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以___________.虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 二平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化h to率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1； 三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：例2．求2x y =在0x 附近的平均变化率。
1.1.平均变化率-苏教版选修2-2教案
1.1.平均变化率-苏教版选修2-2教案课型设计教学目标1.掌握平均变化率的概念和计算方法；2.知道平均变化率在实际生活中的应用；3.学会利用平均变化率解决问题。
教学重点1.平均变化率的概念和计算方法；2.平均变化率在实际生活中的应用。
教学难点1.利用平均变化率解决问题。
教学方法1.讲授法；2.举例法；3.导入法；4.案例分析法。
教学过程一、导入（5分钟）1.通过一个生活案例，让学生感受到物体的变化是随着时间而变化的。
二、讲授（20分钟）1.引入平均变化率的概念；2.讲解平均变化率的计算方法；3.通过例题演示平均变化率的计算过程；4.讲解平均变化率的三种情况：增加、减少、变化量为0。
三、举例（15分钟）1.通过一些日常生活中的例子，让学生更好地理解平均变化率的应用。
四、案例分析（20分钟）1.提供一些实际问题，让学生运用平均变化率求解答案。
五、总结（5分钟）1.对平均变化率进行总结，并强调其在实际生活中的应用。
教学评价1.学生能够正确理解平均变化率的概念和计算方法；2.学生能够灵活运用平均变化率解决实际问题；3.学生能够在日常生活中发现和分析变化率的存在。
课堂练习练习1甲、乙两人购买了同一品牌手机，甲8月20日以980元购买，9月20日以820元卖出；乙8月28日以980元购买，9月20日以880元卖出。
比较两人的获利情况。
练习2某厂家建筑面积为1200平方米，今年销售额为300万元，去年销售额为200万元，请计算该厂家今年销售额的平均增长率。
练习3某学生的成绩如下表所示，请计算他的平均分数和日常学习进步情况。
科目语文数学英语政治历史分数（分）90 80 75 85 78参考资料苏教版高中数学选修2-2《平均变化率》。
高中数学教案选修2-2《1.1.1 平均变化率》
教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －．（3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？二、建构数学（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－注意：平均变化率不能脱离区间而言（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．思考：（1） 若设21∆x x x ＝－，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量21()()∆y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()∆∆∆∆f x f x f x x f x y x x x x－＋－＝＝－（2）)(x f 在[]12x x ，平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率．三、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1） 如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1 （kg /月）？问题（2） 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积0.1()52t V t －＝×（单位：cm 3），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．问题（1） 例2中解出的平均变化率实际意义是什么？问题（2） 25.0-（cm 3/s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？问题（3） 第一个10秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为25.0-（cm 3/s ），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？ 讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零．例3 已知函数()21()2f x x g x x ＝＋，＝－，分别计算在区间[31]－，－，[05] ，上函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．问题（1） 你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评 一次函数y kx b ＝＋在区间[]m n ，上的平均变化率等于它的斜率k ． 例4 已知函数2()f x x ＝，分别计算在下列区间上的平均变化率： ① ⑤ ② ⑥ ③ ⑦④⑧问题（4） 例4中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？四、当堂训练乙练习1 回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？ 练习2 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？练习3 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．①09:30至11:00 ②11:00至11:30 ③14:00至14:07 ④14:07至15:00五、回顾反思（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－．（2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？六、布置作业1．预习第1.1.2节瞬时变化率——导数．2．课本P7练习2；P16 习题1.1 第1题．3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试通过计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．。
高二数学选修2-2~1.1.1平均变化率
(万元/月)
(万元/月)
1 2 ，所以乙的经营成果好. 由 6 5
数学应用
例2:(1)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=－2x, 分别计算在区间 [-3，-1]，[0，5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率.
问题1:一次函数f(x)=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有 什么特点?
一次函数在任意区间上的平均变化率都是斜率. 问题2:其它函数在区间[m，n]上的平均变化率有什么几何意义?
y 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2 10
C (34, 33.4)
B (32, 18.6)
20
30
34 x
变化的快慢
y 2 y1 x 2 x1
平均变化率
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
数学模型
y2－y1
有待于进 一步精确 化，随之 而来的便 是新的数 学模型的 建立.
问：平均速度的数学意义是什么 ?
问题情境2
时
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载: 间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为： T (℃) C (34, 33.4) 30 20 10 A (1, 3.5) 20
数学应用
例1: (1)某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分 别计算从出生到第3个月及第6个月到第12个月该婴儿体重的 W(kg) 平均变化率。
11
8.6 6.5 3.5 3 6 9
问题:这两个平均变化率的实际意义是什么? 点拨:求平均变化率关键有两点
平均变化率教案
高中数学选修2—2
1.1.1 平均变化率〔教案〕
高中数学选修2—2 1.1.1平均变化率〔教学设计〕
一、教学目标
知识与技能：
1、理解平均变化率的概念；
2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学
描述刻画现实世界的过程。
过程与方法：
1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感、态度与价值观：
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。
难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。
三、教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。
四、教学根本流程
例题讲解，尝试应用
回忆反思，感悟升华
五、 教学过程〔具体如下表〕
的平均速度v 0
5.0)
0()5.0(h h v --=
4
π=
3
板书设计:。
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.1.1平均变化率(含答案解析)
11.1.1 平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1.2．曲线陡峭程度平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹，这是什么原因呢？显然，原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化的快与慢呢？探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)， 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为 11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求函数f(x)的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 如图是函数y ＝f(x)的图象，则(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f(1)－f(－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x≤1x ＋1，1<x≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 f(2)－f(0)2－0＝3－322＝34.探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f(x)＝x 2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率； (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为 f(3)－f(1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 f(2)－f(1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f(1.1)－f(1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 f(1.001)－f(1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 分别求函数f(x)＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n(m≠n)时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f(x)的平均变化率为 1－3×1－(1－0)1－0＝－3；自变量x 从m 变到n(m≠n)时，函数f(x)的平均变化率为 1－3n －(1－3m)n －m＝－3.思考 一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t)，s 2(t)与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上变化越慢． 跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f(x)＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________． 答案 －9解析 函数f(x)＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f(2)－f(1)2－1＝(5－3×22)－(5－3)1＝－9.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案 23.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________． 答案 乙 解析 在t 0处， 虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt)<W 2(t 0－Δt)， 即⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 4．已知函数h(x)＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h(1＋Δx)－h(1) ＝－4.9(Δx)2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. [呈重点、现规律]1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1.一、基础过关1．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为________．答案 －1 解析Δy Δx ＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1. 2．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的直线的斜率为________． 答案 13．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________． 答案 0解析Δy Δx ＝1－13＝0. 4．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________． 答案 4.1解析 v ＝3＋(2.1)2－3－42.1－2＝4.41－40.1＝4.1.5．设函数y ＝f(x)＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________． 答案 2.1 解析Δy Δx ＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 6．过曲线y ＝f(x)＝x 2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作直线，当Δx ＝0.1时，直线的斜率k ＝________. 答案 2.1解析 ∵Δy ＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx)2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx ， ∴直线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，直线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．解 函数在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；函数在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝3(2－3)π.∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．二、能力提升8．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快． 答案 乙解析 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．9．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3.∴m 2＋m ＋1＝7. ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．∴m ＝2.10．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是________． 答案 ③解析 ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．11．一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at) cm ，a 为常数，试求铁板面积在温度[t ，t ＋Δt]上的膨胀率． 解 铁板面积S 的增量为 ΔS ＝102[1＋a(t ＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a ＋a 2t)Δt ＋100a 2(Δt)2， 因此ΔSΔt ＝200(a ＋a 2t)＋100a 2Δt.所以铁板面积对温度的膨胀率为 200(a ＋a 2t)＋100a 2Δt.12．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 解 (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V4π，r ＝ 33V 4π，∴r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 r(1)－r(0)1－0＝ 33×14π－01≈0.62(dm/L)，函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 r(2)－r(1)2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢． 三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 这段曲线的陡峭程度吗？解 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为 h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭.。
高中数学选修2-2教学设计9：1.1.1 变化率问题教案
1．1.1 变化率问题教学目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法. 知识梳理知识点一 函数的平均变化率1．平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx． 2．求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy?(2)平均变化率的几何意义是什么？(1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零．(2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢．(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．题型探究题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率．解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9. 反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值． 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx＝______________.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0)． (1)[答案]2Δx ＋4[解析]因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率Δy Δx＝2Δx ＋4. (2)解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20 ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20， ∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20. 题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1. 即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数．跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米)．(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．跟踪训练2 解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米)． v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒)． 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒)．(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒)． 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒．当堂检测1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ≠0D ．Δx 可为任意实数[答案]C[解析]因平均变化率为Δy Δx，故Δx ≠0.] 2．沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率[答案]B[解析]v ＝Δs Δt ，而li m Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度． 3．以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，Δs Δt→v 0－gt 0. ∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v (t )＝v 0－gt ， ∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt＝－g . ∴当Δt →0时，Δv Δt→－g . 故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .。
高中数学选修2-2突破式导学案：1.1.1 变化率问题
1.1.1 变化率问题
【学法指导】：认真自学，积极听讲，愉快练习，完美收获。
●为必背知识★为挑战题目
【学习目标】1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
【学习难点】平均变化率的概念．
一：回顾预习案
●1、平均变化率：
已知函数)(x f y =，我们把 这个式子称为)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率。
自变量x 的改变量：12x x x -=∆，我们可以用 代替2x 函数值y 的改变量：)()(12x f x f y -=∆
平均变化率可以表示为 。
●2、课本4页思考：平均变化率表示什么？ 。
（平均变化率的几何意义） 二： 讨论展示案 合作探究，展示点评
例1， 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
例2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x y ．
例3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.
展示题目1，质点运动规律为32
+=t s ，则求在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度。
展示题目2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.。
数学选修2-2互动课堂 1.1.1平均变化率 含解析 精品
互动课堂疏导引导平均变化率的理解理解平均变化率是学习导数的基础，会计算平均变化率是用定义求导的前提，导数的几何意义也是利用平均变化率的几何意义引出的.因此深入地理解平均变化率并熟练地掌握其计算方法很重要.疑难疏引 函数y=f(x)在区间［x 0，x 0+Δx ］(或［x 0+Δx ，x 0］)的平均变化率是商x y ∆∆，其中Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，可正可负，但不能为0，Δy 是函数相应的改变量，即Δy=f (x 0+Δx )-f(x 0)(Δy 为正、负、零均可)，所以x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00. 函数平均变化率的求法可分两步：①求Δy ，即求函数的增量Δy=f (x 0+Δx )-f(x 0)；②求x y ∆∆，即求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00. 理解平均变化率要注意以下两点：(1)平均变化率是变化的，一般情况下，不论x 0、Δx 中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化.(2)平均变化率的几何意义就是割线的斜率.即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00=k 就是过(x 0，f(x 0))，(x 0+Δx ，f(x 0+Δx )割线的斜率.活学巧用1.求函数y=x 2+ax+b(a 、b 为常数)在区间［x 0，x 0+Δx ］(或［x 0+Δx ，x 0］的平均变化率. 解析：Δy=［(x+Δx )2+a(x+Δx )+b ］-(x 2+ax+b)=2x·Δx+(Δx )2+a·Δx ，x y ∆∆=xx x a x ∆∆+∆+2)()2(=(2x+a)+Δx. 2.已知某质点按规律s=2t 2+2t(m)作直线运动，求:(1)该质点在运动的前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒—3秒内的平均速度.解析：①t=3时，s=24∴该质点在运动前3 s 内的平均速度1v =8 m/s②该质点在2秒—3秒内的平均速度2v =23)2()3(--S S =12 m/s3.过曲线y=f(x)=x 3上两点P(1，1)和Q(1+Δx ，1+Δy )作割线，求出当Δx=0.1时，割线斜率.解析：∵k=xx x x x x x f x f ∆∆+∆+∆=∆-∆+=∆-∆+3)(3)(1)1()1()1(233=(Δx )2+3(Δx )+3当Δx=0.1时，割线PQ的斜率为k 则k=0.12+3×0.1+3=3.31.。
2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.1.1平均变化率
1. 1.1 平均变化率【学习目标】1•通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率2了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.问题导学知识点函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系. 顶.爬山路线用函数 y = f(x)表示.自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值 y = f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点 A 的坐标为 区，y i )，点B 的坐标为(X 2, y 2).思考1若旅游者从点A 爬到点B ,自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少?思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?导数及其应用」导数的概念O曲 &新知採究点点落实A 是出发点，H 是山思考3观察函数y= f(x)的图象，平均变化率炉眷1 2表示什么?函数f(x)在区间［x i , X2］上的平均变化率⑴定义式：等/.(2) 实质：_____ 的增量与 ________ 增量之比.(3) 作用：刻画函数值在区间［X1, X2］上变化的快慢.△y ⑷几何意义：已知P l(X l, f(X i)) , P2(X2, f(X2))是函数y= f(x)的图象上两点，则平均变化率△=f (X2厂X X1表示割线P1P2的_________ .X2 - X1题型探究車点难庶仆奇餓类型一求函数在某区间内的平均变化率例1 (1)已知函数y= f(x)= x2+ 1,则在x = 2, △<= 0.1时，△y的值为 ______________ .2⑵已知函数f(x)= x+ -，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，跟踪训练1分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间［0,3］上的平均变化率.类型二 实际问题中的平均变化率例2在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 存在函数关系 h(t)= — 4.9t 2 + 6.5t + 10.(1) 求运动员在第一个 0.5 s 内高度h 的平均变化率; (2) 求高度h 在 K t < 2这段时间内的平均变化率.反思与感悟 (1)综合物理知识可知，在第一个 0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此 时运动员在起跳后处于上升过程；在K t <2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降.事实上平均变化率的值可正、可负也可以是 0.(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度 (重量)的平均变化率等等•解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量. 跟踪训练2已知某物体运动位移与时间的关系s(t) = |gt 2,试分别计算t 从3 s 到3.1 s,3.001 s 各(3)求平均变化率 A y _ f(X 2 匸型)A XX 2 — X 1h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)⑴ (2)段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗?类型三平均变化率的应用例3 2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计,该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：(1) 2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2) 哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？⑶从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？反思与感悟(1)本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义.(2)在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义.跟踪训练3甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图中①②所示，试问：(1) 甲、乙二人哪一个跑得快？(2) 甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快?达标检测当堂检测巩固反馍1.如果函数y= ax+ b在区间［1,2］上的平均变化率为3,贝U a= ________2.在雨季潮讯期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是 ___________ m/h.A y，当A x= 1 时，割线AB 的斜3.已知曲线—2 , B 2 +&,—2+率为_________4.甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)--------- 规律与方法■■--------- ，1.准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量A y与自变量取值增量A x的比值•涉及具体问题，计算A y很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2•函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，意是相对什么量变化的.提醒：完成作业需注1.1.1答案精析问题导学 知识点思考1自变量x 的改变量为X 2— X i ,记作A x ,函数值的改变量为 y 2— y i ,记作A y.思考2 对山路AB 来说，用 申=y2—i 可近似地刻画其陡峭程度.A xX 2 — X i 思考3观察图象可看出， 亨表示曲线y = f(x)上两点(X i , f(X i )), (X 2, f(X 2))连线的斜率.Z.A\⑵函数值自变量⑷斜率 题型探究 例 1 (1)0.41(2)解 自变量X 从1变到2时，函数f(X )的平均变化率为1f 2 — f 12+ 2— 1+ 11T =1=2；自变量X 从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f 5 — f 3 5+ 5- 3+ §145 — 3 =2=15.1 14 1因为14,所以函数f(x)= X +1在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快.2 15 x 跟踪训练 1 解 对于(1), A h = h(3) — h(0) = 10— 0= 10,.A h = 10 =卫A t3— 03'即平均变化率为乎•同理可以算得⑵(3)中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为1°.例2 解 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度h 的平均变化率为h °5 — h° = 4.05(m/s);0.5— 0⑵在 K t < 2这段时间内，高度 h 的平均变化率为 口一口 = — 8.2(m/s).2— 1跟踪训练2解设物体在区间[3 , 3.1],v1, V 2,=0.305g(m).•••物体从3 s 到3.1 s 时平均速度通过计算可以发现，随着时间间隔 △的变小，平均速度在向 3 g m/s 靠近，而3g m/s 为物体做自由落体运动时，t = 3 s 时的瞬时速度.例3 解（1）在2012年11月至2012年12月间，△s 变化不大，即小麦受旱面积变化不大. （2）由图可知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率 △较大，故小麦受旱面积增幅 最大.⑶在2012年11月至2013年2月间，平均变化率=、 S B — S A 显然 k BC > k AB ，即 S B — S c > 3 ,•••在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大. 跟踪训练3解（1）对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为 A , B ,显然有k oB > k oA ,故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快.⑵对于图②，在［0 , t 0］上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙 的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得 较快. 达标检测v i△s i3.1 — 30.305g0.1=3.05g(m/s), 同理△S 2 3.001 — 30.003 000 5g0.001=3.000 5g(m/s).S B — S A3 ，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率= S B — s =S B — s c ,11. 32.0.13.—-6100—10 154.解甲企业生产效益的平均变化率为=严.乙企业生产效益的平均变化率为12X 2—0 4X 并判断在哪个区间上函数值变化得较快.反思与感悟 求函数平均变化率的步骤:(1)求自变量的改变量 &= X 2- X 1； ⑵求函数值的改变量 A y = f(X 2)-f(x” ;30- 10 6- 010~3'••15 10•••甲企业的生产效益较好.。
高中数学选修2-2学案：1.1.1 函数的平均变化率.
2.2.1（一）综合法
【教学目标】结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；会
用综合法证明问题；了解综合法的思考过程；体会数学逻辑推理的严谨性及数学
在现实生活中的应用.
【教学重点】了解综合法的思考过程、特点 【教学难点】综合法的思考
过程
一、课前预习：（阅读教材63页，完成知识点填空）
1．两类基本的证明方法: 和 .
2.综合法：是从 推导到 的思维方法，具体地说，是从 出发，经过逐步的 ，最后达到 .
二、课上学习：
综合法的应用：（自学63页例题，体会综合法的思考过程，探究下面例题）
例1：已知,0a b >,求证:2222
()()4a b c b c a abc +++≥.
例:2：已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥
三、课后练习：
1.已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c
---≥.
2.在△ABC 中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列，
c b a ,,成等比数列. 求证：△ABC 为等边三角形.。
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.1.1 平均变化率(含答案)
_1.1导数的概念1．1.1平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0.问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用ΔyΔx 来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？提示：Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0表示直线AB 的斜率．问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.ΔyΔx的值越大，山路越陡峭．1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义；(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．[对应学生用书P3]求函数在某区间的平均变化率[例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．[精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为： f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.[一点通] 求函数平均变化率的步骤为：第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g (4)－g (2)4－2＝－3×4－(－3)×24－2＝－12＋62＝－3. 答案：－32.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：：(1)12 (2)343．本例条件不变，分别计算f (x )与g (x )在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小．解：(1)f (2)－f (1)2－1＝3×22＋2－(3×12＋2)2－1＝9.(2)g (2)－g (1)2－1＝3×2－2－(3×1－2)2－1＝3.f (x )比g (x )在[1,2]上的平均变化率大．[例2] t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值．[精解详析] 物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为 S (1＋Δt )－S (1)(1＋Δt )－1＝(1＋Δt )＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt ＝(2＋Δt －2)(2＋Δt ＋2)Δt (2＋Δt ＋2)＝12＋Δt ＋2(m/s)．即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．4．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 解析：∵S ＝πr 2，∴圆的半径r 从0.1变化到0.3时， 圆的面积S 的平均变化率为S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝π×0.32－π×0.120.2＝0.4π.答案：0.4π5．在F 1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系S ＝10t ＋5t 2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为S (20.1)－S (20)20.1－20＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)20.1－20＝21.050.1＝210.5(m/s)．函数平均变化率的应用[例3] 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．[精解详析] 在t 0处s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是________．解析：v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.答案：v 3>v 2>v 17．A 、B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W 1(t )、W 2(t )分别表示A 、B 两机关的用电量与时间第t 天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好； ②A 机关比B 机关节能效果好；③A 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率比B 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率大； ④A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t ＝0时，W 1(0)>W 2(0)， 当t ＝t 0时，W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 所以W 1(t 0)－W 1(0)t 0<W 2(t 0)－W 2(0)t 0，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(0)t 0>⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(0)t 0.故只有②正确． 答案：②1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率为f (n )－f (m )n －m ＝(kn ＋b )－(km ＋b )n －m＝k .由上述计算可知，一次函数y ＝kx ＋b ，在区间[m ，n ]上的变化率与m ，n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．3．平均变化率的几何意义(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．[对应课时跟踪训练(一)]一、填空题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 解析：f (1.1)－f (1)1.1－1＝(1.12－1)－(12－1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.12．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 解析：f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a ＝2.答案：23．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．解析：由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．答案：等于 大于5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 解析：(a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解之得a ＝4或a ＝－5. 又∵a >1，∴a ＝4. 答案：4 二、解答题6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． 解：函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率为2×2.012＋1－2×22－12.01－2＝8.02.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π，∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，故在0到π6之间的平均变化率较大．8．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2.求：(1)气球表面积S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时的平均膨胀率． 解：根据函数的增量来证明．由S (r )＝4πr 2，r >0，把r 表示成表面积S 的函数： r (S )＝12ππS . (1)当S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝12π(20π－10π)≈0.37(cm)． 所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.3710＝0.037.(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.23910＝0.023 9.。
高中数学 1.1.1平均变化率导学案 苏教版选修2-2
§1.1.1平均变化率（预学案）通过实例理解平均变化率的概念及其意义重难点：平均变化率的实际意义与数学意义（预习教材P5 ~ P7，完成以下内容并找出疑惑之处）一、知识梳理、双基再现1．平均变化率的概念：2．平均变化率的实际意义：3.平均变化率的数学意义：二、小试身手、轻松过关1. P7----练习32. P7----练习4三、基础训练、锋芒初显1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A．3 B．0.29C．2.09 D．2.92．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx 3．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )A ．6.3B ．36.3C ．3.3D ．9.3 4. P7----练习5四、举一反三、能力拓展1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①2．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B.Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD.s (t )t3．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________． 4．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.1.1 平均变化率》
《平均变化率》课堂实录扬州市邗江区公道中学葛艳开场白：世界充满着变化，有些变化几乎让我们无法察觉，而有的变化足以让人们感叹和惊呼！下面我们一起来重温下扬州市2021年3月和4月的日最高气温。
师：以3月18日作为第一天作出日最高气温曲线，你有何感想？生：天热得太快了！师：怎么看出来天热得快的呢？是否要计算一下分别升高了多少C ？生：3月18日至4月18日升高了C ，而从4月18日至4月2021高了C六、教学过程（一）呈现背景创设情境情境1 扬州市2021年3月和4月日最高气温记载如下列图表所示：时间t d3月18日4月18日4月2021日最高气温T℃℃℃℃情境2 扬州市某区近十几年来，房价的变化如下图所示：（二）启发引导提出问题情境1 扬州市2021年3月和4月日最高气温记载如下列图表所示：时间t d3月18日4月18日4月2021日最高气温T℃℃℃℃问题1 由图表：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月2021哪一段时间气温变化得更快？【设计意图】从学生的直观感受得知，从4月18日到4月2021温变化得更快，而通过升高温度的比较，从3月18日到4月18日升高了度，而从4月18日到4月2021只升高了度，引发学生的思考，>，学生怎么说明后一段气温变化得更快呢？追问1 “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？【设计意图】分别从数和形两个角度对气温陡增进行剖析，让学生充分感受“无形不直观，无数不入微”的数形结合思想。
追问2 如何从数学角度刻画气温“陡增”呢？【设计意图】用具有潜在意义的、饶有兴趣的实际问题，将教学内容自然呈现在学生面前，用问题（问题串）抓住学生，激发其探究欲望．这个实际问题让学生直观的感受到生活实际中的一些变化快慢的问题，从而会产生数学问题就是如何用数学模型去刻画这种变化的快慢．同时让学生体会到“数学源于生活”体现课堂教学的“生活性”．先从直观上感知曲线的“陡峭”，进而提出量化陡峭程度的问题，充分体现数形结合的思想方法，与学生共同体会“无形不直观，无数不入微”的辩证思想。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．1 导数的概念
1.1.1 平均变化率
1．通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．(重点)
2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义．(难点)
3．平均变化率的正负．(易混点)
[基础·初探]
教材整理函数的平均变化率
阅读教材P
5～P
7
，完成下列问题．
1．函数平均变化
一般地，函数f(x)在区间[x
1，x
2
]上的平均变化率为
f(x
2
)－f(x
1
)
x
2
－x
1
.
2．平均变化率的意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x
1，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)的直
线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
1．判断正误：
(1)函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( )
(2)自变量的改变量x
2－x
1
取值越小，越能准确体现函数的变化率．( )
(3)对山坡的上、下两点A，B中，y
2
－y
1
x
2
－x
1
可以近似刻画弯曲山路的陡峭程
度．( )
【答案】(1)×(2)√(3)√
2．函数y＝2x＋2在[1,2]上的平均变化率是________.
【01580000】
【解析】(2×2＋2)－(2×1＋2)
2－1
＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
(1)时，f(x＋Δx)－f(x)的值为________．
(2)已知函数f(x)＝x＋1
x
，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到
5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【精彩点拨】(1)由f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．
【自主解答】(1)f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】0.41
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
f(2)－f(1)
2－1＝
2＋
1
2
－(1＋1)
1
＝
1
2
；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
f(5)－f(3)
5－3＝
5＋
1
5
－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3＋
1
3
2
＝
14
15
.
因为1
2
<
14
15
，所以函数f(x)＝x＋
1
x
在自变量x从3变到5时函数值变化得较
快．
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量x
2－x
1
；
第二步，求函数值的增量f(x
2)－f(x
1
)；
第三步，求平均变化率f(x
2
)－f(x
1
)
x
2
－x
1
.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x
0附近的平均变化率，可用
f(x
＋Δx)－f(x
)
Δx
的形式．
[再练一题]
1．如图1-1-1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．。