12-13线代试题b答案

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2012-2013线性代数B 期末试卷 4(第二学期版)

队别__________
教学班次___________ 学号___________
姓名____________
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
武汉大学数学与统计学院 2012‐2013 学年第二学期《线性代数》期末考试试卷
1．设有三个不共面的向量α = (a1, a2 , a3 ) , β = (b1,b2 ,b3 ) ,γ = (c1, c2 , c3 )
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
姓名____________
教学班次___________ 学号___________
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
x4 x4
= =
1 2
⎪⎩ x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3
2 1 41
12．计算 D = 3 −1 2 1
1 2 32 5 0 62
队别__________
评卷人
试卷第 1 页（共 2 页）
得分
二、证明（1 小题，共 6 分）
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
证明：存在唯一一个向量 x ，使 x ⋅α = 1, x ⋅ β = 2, x ⋅γ = 3.
试卷第 2 页（共 2 页）
2⎞

线代12答案线性代数试题库

苏州大学《线性代数》课程（第十二卷）答案共3页院系专业一、填空题：（30%）1、21=x ，32=x ，44=x2、=X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--610115243 3、=-*1)(A A 31 4、=t 15 5、=--1)2(E A )3(21E A + 6、8=t 7、=-1)(AB 61-8、2)(=A r 9、=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00025或⎥⎦⎤⎢⎣⎡25000 10、1=+E A二、判断题：（10%）（1）√ （2） √ （3） × （4） × （5）× 三、（8%）解： A A 21])21[(11=--，（2%） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02121102321121001100211101310,)21(1 E A （4%） =A 2=--11)]21[(A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011031100 （2%）四、（8%）解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000630321987654321321αααA 2)(=A r , 21,αα为极大无关组（3%） 321211 , ,αααααα+++由321,,ααα线性表示≤+++) , ,(321211ααααααr ),,(321αααr又因21,αα为极大无关组，故211 ,ααα+也线性无关，所以2) , ,(321211=+++ααααααr ，且211 ,ααα+是极大无关组（5%）五、（10%）解：,)(T T T T B C BC AXB == 又,0≠B T B B ,都可逆，T T C A X C AX 1-=⇒= （4%）=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100210121， =X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111211110 （6%）六、（10%）解：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→=000011001112a aa b A A （2%）（1）当,1≠a 且1-≠a ，方程组有无穷多组解，一般解为,1121x a x -+= ( 1123x ax +=为自由未知量）（4%）（2）当,1=a 方程组有无穷组解，一般解为：, ( 132321x x x x x --=是自由未知量）（4%）七、（14%）解：（1） 3)-(1)( 2λλλ+=-A E ，,12,1-=λ33=λ （2%）对,12,1-=λ得特征向量()T 0,1,11-=ξ， ()T1,0,02=ξ 所有特征向量为 212211,( k k k k ξξ+为不全为零的任意常数）（2%）对33=λ，得特征向量()T 0,1,13=ξ，所有特征向量为 333( k k ξ是任意非零常数）（2%）（2） λ是A 的特征值，X 是对应的特征向量，则122++λλ是E A A ++22的特征值，且X 仍是对应的特征向量。

《线性代数》样卷B及答案(1)

《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排列7352164的逆序数为（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）（A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（）（A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换（B ）左乘初等矩阵（C ）左右同乘初等矩阵（D ）和一个单位矩阵相加 5、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示（B ）2β可由143,,βββ 线性表示（C ）3β可由124,,βββ 线性表示（D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、以下结论正确的是（）（A ）一个零向量一定线性无关；（B ）一个非零向量一定线性相关；（C ）含有零向量的向量组一定线性相关；（D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（）（A ）实对称矩阵（B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵（C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵（D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分）（请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。

2012--2013考研数学三真题精选及答案解析

2012--2013考研数学三真题精选及答案解析2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）档0→x 时，用)(x o 表示比x 的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（）A 、)()(32x o x o x =⋅ B 、)()()(32x o x o x o =⋅C 、)()()(222x o x o x o =+ D 、)()()(22x o x o x o =+（2）设函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3（3）设kD 是圆域{}1),(22≤+=y xy x D 位于第K 象限的部分,记),4,3,2,1()(=-=⎰⎰k dxdy x y I KD k则( )A.01>I B.02>IC.03>ID.4>I（4）设{}na 为正项数列,下列选项正确的是( )A.若1+>n na a，则nn n a ∑∞=--11)1(收敛 B.若nn n a ∑∞=--11)1(收敛，则1+>n na aC.若∑∞=1n n a 收敛，则存在常数1>P ,使npn a n ∞→lim 存在 D.若存在常数1>P ,使npn a n ∞→lim 存在,则∑∞=1n n a 收敛（5）设矩阵A.B.C 均为n 阶矩阵，若AB=C,则B 可逆，则（）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价B.矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价C.矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D.矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为（）A.2,0==b aB.b a ,0=为任意数C.0,2==b aD.2=a ，b 为任意数（7）设321,,X XX 是随机变量，且列式，ijA 为ija 的代数余子势，若ijA +ija =0)3,2,1,(0==+j i a Aij ij，则A =_________.(14)设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(~N X ,则____)(2=X Xe E 。

线代答案

内蒙古科技大学2006/2007学年第二学期《线性代数》试题课程号：10132105 考试方式：闭卷使用专业、年级： 06级(本科) 工科各专业命题教师：何林山考试时间：2007.7.16 一、填空题（每题6分，共24分）1．若矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230154012，则行列式|21A|= ，秩 R( A)= 。

2．向量组E ：),0,0,1(1=Te )0,1,0(2=Te ，)1,0,0(3=T e 是线性关的，任一个三维向量),,(321b b b T =β由向量组E 的线性表示式是=β 。

3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n a a a a ...............1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，如果秩R(A)= r <n ，并且非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解，则R （A ，b ）= ，行列式|A|= 。

4．设A 是m 行n 列的矩阵，且m>n,如果秩R(A)= n ，那么A 的列向量组线性关， A 的行向量组线性关。

二、选择题（每题4分，共16分）1．设A 、B 都是n 阶方阵，下面结论不正确的是：。

A.行列式 |AB|=|B| |A|B. 如果 A 、B 都可逆，则111---=A B AB ）（ C.T T T A B B A +=+)( D.若 AB=O 则必有A=O 或B=O2．设A 、B 是已知的n 阶方矩阵，X 是未知矩阵，且|A|0≠ ，则矩阵方程XA —B=0中的未知矩阵X= 。

A.1-BAB.B A 1-C.A B 1-D.1-A3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m n a a a a ......1111 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，秩r （A ）= r < n ，齐次线性方程组O Ax =有非零解，则它的基础解系中解向量的个数是。

郑州师范学院-线性代数-试题B卷-参考答案及评分标准

的秩为 r .
【】
5. 已知 A, B 为 n 阶方阵，A 可逆，且 A B ，则 B 也可逆.
【】
四、证明题（10 分）设向量组 α1，α2，α3 线性无关，令 β1 α1 α3 ， β2 2α2 2α3 ， β3 2α1-5α2 3α3 ，试证明向量组 β1, β2 , β3 的线性无关.
（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后
括号内。）
1.D 2．A 3.C 4．B 5. D
二、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1． 0 2． 0
3.
42016
2 4
1
2
6. -2 7. a1 a2 a3 a4 0 8. 3
三、判断题（每题 2 分，共 10 分）
(
A
2I
A)
1 1
1 2
0 1 1 1
1 2
0 3
00
1 1
32 10
5 3
33
1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 3 3
0 0
1 0
10 22
3 2
3 0
0 0
1 0
01 11
2 1
3 0
………………………7 分
0 3 3
得
B
(
A
2I
) 1
A
1
2
3
1 1 0
………………………………9 分
【】
A. I A 可逆， I A 可逆 C. I A 不可逆， I A 可逆
B. I A 可逆， I A 不可逆 D. I A 不可逆， I A 不可逆
3. 设 A 为 m n 矩阵，且 r( A) m＜n ，则

中国农业大学2012-2013(秋)《线性代数》期末考试试题解析

2012~2013学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题解析一．填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）1．设A 为3阶方阵，且||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得到B ，则||BA *=27-．解析：||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点：1.互换行列式的两行，行列式改变符号。

2.*||=n -1AA 2．A 为n 阶矩阵，且()R A E n -<，则A 的一个特征值为1．解析：由于()R A E n -<，所以||=0A -E ，所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点：1.()R A E n -<，知道A -E 不可逆，其行列式值为0.2.特征值的定义。

3．设A 为34⨯矩阵，()3R A =，且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解析：由于()3R A =，对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量，2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。

1η是非齐次线性方程组的特解。

所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。

4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型，则t．解析：正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的各阶顺序主子大于零，所以t 2t 22101101>21102t->，所以t 注释本题知识点：1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为：（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案

线性代数B 部分复习题答案一、填空题1、的符号为（正）项在四阶行列式中42342311a a a a ，；注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。

2、由自然数1～9组成的排列213i 69j 85为偶排列，试确定i =7，j =4.3、;1)(21243)(2）项的系数是（的，则函数x x f xx x x xx f -=用对角线法则，仅挑出项2x ，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。

4、若;21041211112）或（，则==x x x这是范德蒙行列式，套用其结果5、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=012,121y x B A ，若AB =BA ，则1=x ，y=2； 6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3142A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1212231A ； 7、;81214 **-=-=A A A A ，则的伴随阵，且阶方阵是设8、设n 阶行列式D =det(a ij )中，元素a ij 的代数余子式是A i j ，则⎩⎨⎧≠==∑=j i ji D a jk nk ik 01A ；这是代数余子式重要性质。

9、若n 元齐次线性方程组Ax =O 有n 个线性无关的解向量，则A =O ；因Ax =O 有n 个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n ，从而R(A)=0 10、若()()()T3T2T1,3,5,1,3,1,0,1,1t =-==ααα 线性相关，则1=t11、设A 是5×6阶矩阵，如果A 有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A 的秩是3；12、设齐次线性方程组AX =O 的同解方程组为⎩⎨⎧=++=--042052432431x x x x x x ，则方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1045,0122. 13、当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==321321321)1(k k k A 时，的秩为1. 14.设方阵A 满足O E A A =--322，则；331EA -=-A 据教材P 43推论15、在矩阵A 的左端乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵A 施行了一次相应的初等行变换. 16、=-=-*1*73313 A A A A A ）（，计算的伴随阵，若阶方阵是设-2417、()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-=8041,8,4,4,12,02,0,12T21T1ααa a 则，二、是非题1、设A 、B 为n 阶方阵，且AB =O ，则必有0=A 或0=B ；（ √ ）据方阵行列式性质，注意：方阵取行列式后变成数了。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数试题和答案（精选版）

线性代数试题和答案（精选版）线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.1002 00 1 3C. 1 3 00 010 00 1 21200130013.设矩阵A= 312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< p="">B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.023035--D.111120102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

2012-2013-1-线性代数A 期末试卷及答案

②若秩 (A) ≥ 秩 (B) ，则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解；
③若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则秩 (A) = 秩 (B) ；
④若秩 (A) = 秩 (B) ，则 AX = 0 与 BX = 0 同解。
以上命题中正确的是
。
（A）①②
（B）①③
（C）②④
（D）③④
5. 方阵 A 与 B 相似的充分必要条件是
北京科技大学 2012--2013 学年第一学期
线性代数试卷（A 卷）
院(系)
班级
学号
姓名
试卷卷面成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得
分
评
阅
审
核
小计
占课程考核成绩 70%
平时成绩占 30%
课程考核成绩
注意事项：（1）本试卷共八道大题，共八页，请认真核对。（2）正确填写学院、班级、姓名、学号等个人信息，空填或错填的试卷为无效试卷。（3）请使用钢笔、签字笔或者圆珠笔答卷，使用铅笔答卷无效。
(A)2000
(B)-2000
。 (C)2300
(D)-2300
3.设向量组α1,α2 ,α3 线性无关，向量 β1 可由α1,α2 ,α3 线性表示，而向量 β2 不能由α1,α2 ,α3 线性表示，
则对于任意常数 k ，必有
。
（A）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性无关；
（B）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性相关；
⎟ ⎟ ⎟
,
α
3
⎜
=
⎜ ⎜
0 7
⎟

20122013年理工线性代数考试A卷答案

《线性代数》考试 A 卷答案及评分标准教 2012 - 2013学年第一学期线性代数（理科）课程试题课程类别必修［V ］选修［］师考试方式填授课教师开卷［］闭卷［V ］写考试时间2013年1月日姓名试卷类别（A 、B …）[A ]共8页1.已知A,B 均为三阶矩阵,且A ( , , ), B ( , , ), 及| A| 2,A 2B 72 .2.设A,B 均为三阶矩阵,且A 4, B2, A *为矩阵A 的伴随矩阵,则行列式x 1 kx 2 x 3 02x 1 x 2 x 30只有0解,则k 应满足的条件就是 kx 2 3X 38. 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,则行列式4A 1 E 39.二次型 f (X 1,X 2,X 3) x ； 2X 1X 2 2X |的是 y j £ y ；规范形就(3B) 1A8 273.设矩阵A2 1 ,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA B 2E ,则矩阵 1 2 1B1 1、14、设矩阵A 满足A 2A 4E 得分评阅人填空题（共10小题,每小题2分,共20分）3,则1?(A 2E)0,则(A E)5.齐次线性方程组6.设向量组 (1,0,1几 (2,k, 1)T, y （1,1, 4）T 线性相关，则k 7.设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式A 0,则矩阵A 的秩为丄 _______10.当t 满足0 t 1 时，二次型f (X1, X2, X3) X2 x；tx；2tx1x2为正定1、若a 15a 42a 3j a 21a k4就是五阶行列式A 的一项(除去符号),则有(B )(A) j3, k 5,此项为正 (B) j 3, k 5,此项为负(C) j5, k3,此项为正(D)以上全不对2. 若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3,它们的余子式分别为2、3、4,则行列式D =( C ) (A) -8(B) -20(C) 8(D) 203.已知向量组1, 2, 3线性相关，2 ,3,4线性无关，则：(A ) (A)1必能由2, 3, 4线性表示。

线性代数B模拟试卷参考答案

线性代数B模拟试卷参考答案线性代数B 模拟试卷参考答案模拟试卷⼀⼀、（15分）填空题：1.设123456110A ??=-，则 |A|= , A*=,A -1=.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= , 夹⾓<α,β>= .3.齐次线性⽅程组123412341234123423024025200ax x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-+-=??+--=??+++=?有⾮零解，则a= . （由系数⾏列式为0推得） 4.设矩阵123456A ??=??-??，1224510B ??=??-??，初等矩阵P 满⾜：AP=B,则P=.（A 的第3列-第1列得B ，所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵） 5. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性关. （ch3/Th7/推论2）⼆、（15分）选择题： 1.设3阶⾏列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则（）. （A ）123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+；（B ）122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ （C ）123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++. (ch1/⾏列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则（）.(A)A 中只有⼀个r 阶⼦式不为零，其余的r 阶⼦式全为零；(B) A 中存在⼀个r 阶⼦式不为零，所有的r+1阶⼦式（若有）全为零； (C) A 中所有的r 阶⼦式均不为零，⽽⾼阶⼦式全为零.3. 设线性⽅程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=??++=??++=?有唯⼀解，则（）. (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设向量组α1,α2,…，αs 线性相关，则（）.(A) α1⼀定可由α2,α3,…，αs 线性表⽰； (B) α1⼀定不可由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(C) 其中⾄少有⼀个向量可由其余s-1个向量线性表⽰. 5.n 阶⽅阵A 与对⾓阵相似，则（）.(A)A 有n 个不同的特征值；(B) A 有n 个相同的特征值；(C) A 有n 个线性⽆关的特征向量. 三、（14分）设n 维向量αT = (1/2,0,…,0,1/2),⼜A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵，求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式.四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合. 五、（14分）求⾮齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.六、（18分）设⼆次型f=2x 12+3x 22+3x 32+4x 2x 3. 1.写出f 的矩阵；2.求A 的特征值与特征向量；3.⽤正交变换X=QY 将f 化为标准形，并写出正交矩阵Q. 七、（8分）证明：若为A 正交矩阵，则A 的伴随矩阵A*也为正交矩阵.模拟试卷⼆⼀、（15分）填空题：1.在4阶⾏列式det[aij]中，含有因⼦a 11a 32的项有：.130121A ??=A T 为A 的转置矩阵，则矩阵乘积AA T = ，A T A= .3. 矩阵103211000000A =??的秩= . 4.设B,C 为可逆矩阵，分块矩阵O B A C O ??=??, 则A -1= 5. ⽤矩阵形式表⽰⼆次型f=x 12+x 1x 2+2x 22+3x 32-2x 2x 3,f= X T AX ，其中X=123x x x ?? ?，.⼆、（15分）选择题：1.设α=(1,2,3)T , β=(1,1/2,1/3)T ,A=αβT ,则A 10=（）.（A ）310; (B) 911/21/33212/333/21；（C ）10101010101011123221()333()12. .2.设线性⽅程组1231232312(2)(2)33(2)3x x x x a x b x ax a b x +-=?++-+=??-++=-?有⽆穷多组解，则（）.(A)a=b ≠0;(B) a ≠0且a ≠b;(C)a=b=0.. 向量组α1,α2,…，αs 线性⽆关的充要条件为（）.(A) α1不能由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(B)α1,α2,…，αs 的秩⼩于s ； (C) α1,α2,…，αs 的秩等于s. 4.设b A a ??=为正交矩阵，则（）. （b=(B) a=b=(C) a=b=0. 5.设3阶⽅阵A 与对⾓阵100020003??-??相似，则（）.(A)A -1有特征值1，2，-3；(B) A+E 有特征值2,3,-2；(C) A 2有特征向量1,2,-3 三、（18分）设矩阵1201512031001000A=，,试求1.|A|;2.A -1;3.|A 4|. 2.12011000100000015120010002011001[|]31000010010000131000000101200105r A E-?--1000001100001010000130100001300011025001001/21/210020011200011025r r--→→---???---, ∴A -1=0001001301/21/211025-?--??-??. 3.|A 4|=|A|4=16.四、（16分）求齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(-1,1,-1,0)T ,α3=(2,-1,3,1)T , α4=(0,3,2,4)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合.六、（20分）设对称矩阵A=2000120211.求A 的特征值与特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q 和对⾓阵Λ,使得Q -1AQ=Λ.模拟试卷三⼀、（15分）填空题：1.设n 阶⽅阵A 的⾏列式|A|=2,则A 的伴随阵的⾏列式|A*|= .123110,111A =--??121111,110B ??=--矩阵X 满⾜： AX=B,则X=A -1B=3. 设ξ1=(2,0,-1)T, ξ2=(1,0,0)T 为线性⽅程组1231231232112225x x x x x x ax bx cx ++=??-+=??++=? 的两个解向量，则⽅程的通解为 .（⽅程解不唯⼀，故系数⾏列式|A|=0，R （A ）=2，AX=0基础解系有n- R （A ）=3-2=1个解向量, ξ=ξ1-ξ2=(1,0,-1)T 为基础解系）4. 向量组α1=(1,2,-3)T , α2=(-2,1, 0)T , α3=(0,5,-6)T ,线性关.5. 设n 阶⽅阵A 与B 相似，A 有特征值1，2，-3,则 B -1+E 有特征值 . ⼆、（15分）多项选择题：1.设A,B 均为n 阶可逆⽅阵,则（）.(A)齐次线性⽅程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A -1+B -1; (C) A 的特征值全不为零.2.设A,B 均为n(n ≠1)阶矩阵则（）. (A)(AB)T =A T B T ;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|.3.设λ为n 阶可逆矩阵A 的特征值，则（）. (A)1/λ为A -1的特征值；(B) λ2为A 2的特征值； (C)φ(λ) 为φ(A)的特征值,其中φ(x)为x 的多项式.4.n 阶⾏列式.....................a b b b a bb b a的值为（）. (A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n +nb(a-b)n-1；(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α1=(1,-2,5)T , α2=(-2,4,-10)T ,则（）.(A)(α1,α2)= -60；(B) α1 与α2正交；(C) α1,α2线性相关. 三、（10分）求⾮齐次线性⽅程组四、（10分）求向量组α1= (1,1,2,3)T , α2=(1,-1, 1,1)T , α3=(1,3,3,5)T , α4=(4,4,8,12)T ,的秩及五、（15分）问a,b 为何值时，线性⽅程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=??++=??++=?有唯⼀解？有⽆穷多组解？⽆解？六、（20分）设对称矩阵A=120 220 001-1.求A的特征值与全部特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q和对⾓阵Λ,使得Q-1AQ=Λ.七、证明题：1.（7分）设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.2.（8分）设向量组α1,α2,…，αs（s>1）线性⽆关，⼜β1=α2+α3+…+αs，β2=α1+α3+…+αs ，β3=α1+α2+α4+…+αs，… ，βs=α1+α2+…+αs-1，证明向量组β1, β2,…，βs线性⽆关.。

线性代数习题参考答案

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

线代期末考试B卷及答案

2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷（B ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．下列等式中正确的是（） A ．()222A B A AB BA B +=+++ B ．()TT T AB A B = C ．()()A B A B A B -+=-22　D ．()33A A A A -=-22.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311132213A 则21a 的代数余子式21A 的值为（）A. 1.B. 1-C. 2.D. 2-3．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（） A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 4．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（）A ．210λ B ．021λ C ．20λD ．2λ 5．设向量组(I)：1α，2α，…r α，向量组(II)：1α，2α，…r α，1r +α，…，s α则必有（）。

A ．若(I)线性无关，则(II)线性无关B ．若(II)线性无关，则(I)线性无关C ．若(I)线性无关，则(II)线性相关D ．若(II)线性相关，则(I)线性相关6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121113A 的三个特征值分别是321,,λλλ，则321λλλ++的值等于（） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.7.已知A 是一个43⨯阶矩阵，则下列命题正确的是( )__________________系__________专业___________班级姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2 A. 若A 中所有三阶子式都为零，则 2.R AB. 若 2.R A则A 中所有三阶子式都为零C. 若A 中所有二阶子式都不为零，则 2.R AD. 若 2.R A则A 中所有二阶子式都不为零8.．设n 阶方阵A 的0=A 则A 的列向量（）A ．0)(=A RB ． 0)(≠A RC ．线性相关D ．线性无关 9.设向量组A 可由向量组B 线性表示，则有（）A. )()(B R A R ≤B. )()(B R A R ≥C. )()(B R A R =D. 不能确定)(A R 和)(B R 的大小. 10．设n 元线性方程组Ax =b 且为()()n b A R A R ==,，则该方程组（）A.有唯一解；B.有无穷多解；C.无解；D.不确定。

12-13线代试题B答案

东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）答案及评分标准2012 --2013 学年第一学期《线性代数》试卷开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带入场一、填空题（共30 分,每空2分）1.设120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =(3)-，A B ⋅=122100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,TB B =1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 向量(1,2,3),T α=则(14)T αα=，T αα⋅= 1 2 3 2 4 6 3 6 9⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，6()T αα⋅=5 1 2 314 2 4 6 3 6 9⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；3．设A =1111111111111111-⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭，则()24A E =，114A A -⎛⎫=⎪⎝⎭； 4．给定线性方程组123233(1)1(1)10x x x x x x λλλ++-=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩,则当（0,1λλ≠≠且）时，方程组有唯一解，当（λ=0）时方程组有无穷多个解，当（λ= 1）时,方程组无解；5．若3阶方阵A 的三个特征根分别是1,1,3则方阵A 的行列式A =（3），方阵2A E +的行列式2(40);A E +=.6．若λ是n 阶方阵A 的特征值，且22A A E O ++=，则(1)λ=-；7.当t 满足条件()1t < 时，二次型222123122f x x x tx x =+++是正定的.二、选择填空题（共30 分,每小题2分）1.行列式1112344916D == B ；(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 在第1小题中,D 的第2行第3列元素4的代数余子式23A = A ; (A) -5 (B) 5 (C) -20 (D) 20 3.在第1小题中,表达式：111213A A A ++= C ;(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4.在第1小题中,表达式：111213234A A A ++= A ;(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5. 设32A A =为阶方阵,且，则2A -= D ;(A) 4 (B) 4- (C) 16 (D) 16-6.设 4 0 00 2 10 5 3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= C ;(A)1004021053⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (B) 1004031052⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭(C) 1004031052⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D) 1004035012⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭7. 若=A 1000123402340000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = C ; (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 38.若,A B 均为可逆方阵,则1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ;(A) 11OA B O --⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 11B O O A --⎛⎫⎪⎝⎭ (C) 11A O OB --⎛⎫⎪⎝⎭(D) 11OB A O --⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．若向量123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)TT Taααα===的秩123(,,)2R ααα=，则();a D=(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 510．设矩阵A =101 3 012 4 0000 -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则齐次线性方程组0A x =的基础解系的向量个数为 B ;(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 411．两个向量12(1, 0, 1),(0, 1, 1)T T αα=--=--的夹角12,αα= C ； (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π12.向量组12(1, 0, 1),(0, 1, 1)T T αα==用施密特正交化方法得:112 D βαβ==，.(A) 11, 1, 22T -（）(B) 11, 2, 22T -（）(C) 11, 2, 22T（-）(D) 11, 1, 22T （-）13．若3阶方阵A 与矩阵 1 0 00 2 00 0 3B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则1A -的三个特征根分别是C ；(A) 1,2,3 (B) 1,2,3--- (C) 111,,23 (D) 111,,23---14．二次型222123122f x x x x x =+--是 D ；(A) 正定的 (B) 半正定的 (C) 负定的 (D) 不定的 15．若存在可逆矩阵C ，使T B C AC =，则A 与B C ； (A) 相等 (B) 相似 (C) 合同（D) 可交换三、判断题（正确的用字母T 表示，错误的用字母F 表示，共20 分,每小题2分）1.设A 是方阵, E 是与A 同阶的单位阵, 则 2()()A E A E A E +-=-;( T )2. 设A 是方阵, O 是与A 同阶的零矩阵, 则2;A O A O =⇒=( F )3.设,,A B C 是同阶方阵, ;AB AC B C =⇒=( F )4.设,A B 均是n 阶可逆方阵, 则它们的积AB 也可逆; ( T ) 设A 是方阵, O 是与A 同阶的零矩阵, 则0;A A O =⇒=( F )5. 若向量12,αα的分量对应成比例，则向量组12,,,(2)s s ααα> 线性相关;( T ) ；6.若向量组123,,ααα线性无关,则向量组11212,,αααααα+++也线性无关;( T )7.1n +个n 维向量组成的向量组必线性相关;( T )8.若,A B 为同阶正交矩阵,则AB 也是正交矩阵 ;( T ) 9.若A 是正交矩阵,则1A = ;( F )10.若存在可逆矩阵C ，使T B C AC =，则A 与B 有相同的特征值.( F )四、计算题（共20分）1.给定向量组123412341345,,,.011124a b αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭　＝　＝　＝已知矩阵1234()A αααα=，，，的秩()2,R A =求（1）,a b 的值；（2）向量组4321αααα，，，的一个极大线性无关组；（3）把其余向量用这个最大线性无关组表示出来. (6分)解（1 ）()1234 1 2 3 4 1 0 1 2 1 3 4 50 1 1 1~0 1 1 10 0 6 82 4 0 0 0 0 r a b a b αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，由1234()2R αααα=，，，知：6,8a b ==； 2‘（2）由()1234 1 2 3 4 1 0 1 2 1 3 4 50 1 1 1~0 1 1 10 0 0 02 4 6 80 0 0 0 r αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，可知, 12αα，为一个极大线性无关向量组, 2’（3） 312412,2αααααα=+=+ 2’2.问λ为何值时,非齐次线性方程组123434123 1 2222 x x x x x x x x x λ--+=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩有无穷多个解?有无穷多个解时,试求出通解的向量表示形式. (7分)解：增广矩阵1111111013(,)0012200122221000004r A b λλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因为方程组有无穷多个解,所以4λ=. 3’这时, 11013(,)0012200000rA b --⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪⎝⎭还原成线性方程组⎩⎨⎧+=++=22343421x x x x x 2’可得方程组通解为121234103100022010x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21,c c 为任意常数. 2’ 注：通解的答案不唯一.3.已知二次型22212313()2f x x x x x x =+++，1）写出二次型所对应的矩阵A ;2）求正交变换x Qy =,化f 为标准形;(7分)解二次型所对应的矩阵101010101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1’特征方程101010(1)(2)11A E λλλλλλλ--=-=----，得特征值1230,12λλλ===， 2’解方程1()0A E x λ-=,得相应的特征向量1101X c ⎛⎫⎪=⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭,. 10c ≠ 1’解方程2()0A E x λ-=,得相应的特征向量2010X c ⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭,. 20c ≠ 1’解方程3()0A E x λ-=,得相应的特征向量3101X c ⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭,30c ≠. 1’单位化得:1200,10e e ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝，，30e = ⎪ ⎪0010,,0Q x Qy ⎛ == ⎪ ⎪ ⎝2’22232.f y y =+，注：答案不唯一.。

线性代数B试卷答案

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则（ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ，求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。

湖南科技大学2012-2013年线性代数试卷及答案

湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）(2012 -2013学年第1学期)线性代数A课程11级信息、计算机、机电、土木等院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师唐运梅系主任签字考试方式：闭卷交题时间：2012 年12 月10 日考试时间：年月日湖南科技大学考试试题纸（ B 卷）(2012 -2013学年第1学期)线性代数A课程11级信息、计算机、机电、土木等院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师唐运梅系主任签字考试方式：闭卷交题时间：2012 年12 月10 日考试时间：年月日湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（A卷）（2012---2013 学年第 1 学期）线性代数A 课程2011 年级专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟考试方式：闭卷命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 1 页注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 2 页注：《线性代数A 》A卷答案共 3 页第 3 页湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（B卷）（2012---2013 学年第 1 学期）线性代数A 课程2011 年级专业班级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100分钟考试方式：闭卷命题教师唐运梅审核人：考试时间：年月日注：《》B卷答案共 3 页第 1 页注：《线性代数A 》B卷答案共 3 页第 2 页注：《线性代数A 》B卷答案共 3 页第 3 页湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）（2012 - 2013 学年度第二学期）课程名称线性代数A 开课学院数学学院命题教师唐运梅考核对象：上课学院土木、机械、信息等学院班级12级考试时量100 分钟学生人数系主任考核方式（闭卷）交题时间：2013 年 6 月 4 日注：《线性代数A 》课程（A 卷）湖南科技大学考试试题参考答案及评分细则（2012 - 2013 学年度第二学期）课程（A卷）线性代数A 学院土木、信息、机械等学院班级12级应试学生人数实际考试学生人数考试时量100 分钟命题教师唐运梅审核人考试时间：年月日注：《线性代数A 》课程（A）卷湖南科技大学考试试题纸（ B 卷）（2012 - 2013 学年度第二学期）课程名称线性代数A 开课学院数学学院命题教师唐运梅考核对象：上课学院土木、机械、信息等学院班级12级考试时量100 分钟学生人数系主任考方式（闭卷）交题时间：2013 年 6 月 4 日注：《线性代数A 》课程（B 卷）。

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东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）答案及评分标准2012 --2013 学年第一学期《线性代数》试卷一、选择填空题（共80 分,每小题2分）1.行列式111123149D == B ；(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 在第1小题中,D 的第2行第3列元素3的代数余子式23A = B ; (A) -3 (B) 3 (C) -9 (D) 93.在第1小题中,表达式：111213A A A ++= C ;(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4.在第1小题中,表达式：11121323A A A ++= A ;(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5. 在第1小题中,表达式：111213A A A --= A ;(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 406.设 1 0 00 1 10 1 2A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则100011012A == B ;(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 37. 设 1 0 00 1 10 1 2A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2A -= D ;(A) 2 (B) 2- (C) 8 (D) 8-8. 设1 0 00 1 10 1 2A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100200B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,则A B⋅= B ;(A)101202⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(B)100202⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(C)121002⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(D)101201⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭9. 设100200B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,则TBB= B ;(A)100010004⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(B)100040000⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(C)100040004⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(D)100040001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭10.设1 0 00 1 10 1 2A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1A-= C ; (A)100021011⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭(B)100011012⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭(C)100021011⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭(D)100021011⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭11. 若=A1000012101210000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，则A的秩()R A= C ;(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 312.B=1 1 1 12 2 0 02 0 2 02 0 0 2⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，则()det B= D ;(A) -4 (B) -8 (C) -12 (D) -1613.在第12小题中,秩()R B= D ;14. 设,,A B C 是同阶方阵, ,E O 分别是与A 同阶的单位阵和零矩阵,则下列命题中,正确的是 A ;(A) 2()()A E A E A E +-=- (B) 2;A O A O =⇒= (C) ;AB AC B C =⇒= (D) 00;A A =⇒=; 15. 向量(1,2,1),(1,1,1),T T αβ==则矩阵T A αβ=⋅= A ;(A) 1 1 1 2 2 2 1 1 1⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(B)1 2 1 1 2 1 1 2 1⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 4 (D) -4 16. 向量(1,2,1),(1,1,1),T T αβ==10A = C ;(A) 10 1 1 14 2 2 2 1 1 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 94 (C) 9 1 1 14 2 2 2 1 1 1⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(D) 10417.若,A B 同阶方阵,且0AB =,则有 C ; (A) A O B O ==或 (B) A O B O ==且(C) 00A B ==或 (D) 00A B ==且18.若,A B 可逆方阵,则1A O OB -⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ; (A) 11O B AO --⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 11B O OA --⎛⎫⎪⎝⎭(C) 11OA BO --⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 11A O OB --⎛⎫⎪⎝⎭19．向量123(1,2,2),(2,,4),(3,6,)T TT u v ααα=-=-=，若向量组1α2α线性相关，则();u C=(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 520. 向量123(1,2,2),(2,,4),(3,6,)T T T u v ααα=-=-=，若向量组1α,3α线性无关，则();v B≠(A) -2 (B) -6 (C) -8 (D) -1221. 向量组123(1,2,2),(2,4,4),(3,6,6)T T T ααα=-=-=-的秩为： B ;22.设12,ξξ是线性方程组AX b =的两个解，则122ξξ+是线性方程组（ D ）的解;(A) 0Ax = (B) Ax b = (C) 2Ax b = (D) 3Ax b =23. .设12,ξξ是线性方程组AX b =的两个解,则122ξξ-是线性方程组（ B ）的解.(A) 0Ax = (B) Ax b = (C) 2Ax b = (D) 3Ax b =24．设矩阵A =101 1 011 1 0000 -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则齐次线性方程组0A X =的基础解系的向量个数为 B ;(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 25.在第24小题中, 齐次线性方程组0A X =的通解为 B ;(A) 1211111001x c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B) 1211111001x c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (C) 1211111001x c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 1211111001x c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26.在第24小题中,若矩阵A 作为某个非齐次线性方程的增广矩阵, 则该方程的通解为: C ;(A) 111110x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(B) 111110x c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(C) 111110x c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 111110x c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27．给定线性方程组123233(1)1(1)10x x x x x x λλλ+++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,则：当0,1λλ≠≠-且时，方程组 C ；(A) 有无穷多个解 (B) 无解 (C) 有唯一解 (D) 有两个解.28.在第27小题中,当λ=0时方程组 A ；(A) 有无穷多个解 (B) 无解 (C) 有唯一解 (D) 有两个解29. 在第27小题中,当λ= -1时,方程组 B ;(A) 有无穷多个解 (B) 无解 (C) 有唯一解 (D) 有两个解30．两个向量12(1, 0, 1),(0, 1, 1)T T αα=--=--的内积为12(,)αα= B ; (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 31.在第30小题中,12,αα的夹角12,α= C ; (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 32.向量组12(1, 0, 1),(0, 1, 1)T T αα==用施密特正交化方法得:112 D βαβ==，.(A) 11, 1, 22T -（）(B) 11, 2, 22T -（）(C) 11, 2, 22T（-）(D) 11, 1, 22T （-） 33．若3阶方阵A 与矩阵 1 0 00 1 00 0 3B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 的三个特征根分别是A ;(A) 1,1,3 (B) 1,1,3--- (C) 11,1,3 (D) 11,1,3---34.在第33小题中，方阵A 的行列式A = B ； (A) -3 (B) 3 (C)13 (D) 13- 35．在第33小题中，1A -的三个特征根分别是 C ；(A) 1,1,3 (B) 1,1,3--- (C) 11,1,3 (D) 11,1,3---36．在第33小题中，方阵2A E +的行列式2A E D +=.(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 4037．若矩阵3260A αβ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵，则,αβ分别为 D ；(A)(B) 2- (C)2 (D)38．二次型222123124f x x x x x =++-是 D ；(A) 正定的 (B) 半正定的 (C) 负定的 (D) 不定的 39．若存在可逆矩阵C ，使1B C AC -=，则A 与B B ； (A) 相等 (B) 相似 (C) 合同（D) 可交换40.当t 满足条件 B 时，二次型222123122f x x x tx x =+++是正定的.(A) 1t > (B) 1t < (C) 1t ≥ (D) 1t ≤二、计算题（共6 分）已知向量组123410420120,,,.00011281αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭　＝　＝　＝求向量组4321αααα，，，的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解 ()12341 0 4 21 0 4 00 1 2 00 1 2 0~0 0 0 10 0 0 11 2 8 10 0 0 0r αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 2’由此可知, 421,ααα，为一组极大线性无关向量组, 2’ 31242ααα=+ 2’三、计算题（共7 分）求非齐次线性方程组123434124 12222 4x x x x x x x x x --+=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩的通解．解增广矩阵111111101300122001222210400000r B ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4’还原成线性方程组⎩⎨⎧+=++=22343421x x x x x 1’可得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020311000011214321c c x x x x ,21,c c 为任意常数. 2’ 注：答案不唯一.四、计算题（共7分）已知二次型22212313()222f x x x x x x =+++，1）写出二次型所对应的矩阵A ; 2）求正交变换x Qy =,化f 为标准形;解 201010102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1’特征方程2201010(1)(3)12A E λλλλλλ--=-=----，得特征值31321===λλλ， 2’解方程1()0A E x λ-=,得相应的特征向量12100110X c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,. 22120c c +≠ 1’解方程3()0A E x λ-=,得相应的特征向量3101X c ⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭,30c ≠. 1’单位化得:1200,10e e ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝，，30e = ⎪ ⎪0010,,0Q x Qy ⎛ == ⎪ ⎪ ⎝2’2221233.f y y y =++， 1’注：答案不唯一.。