铁一中数学理14模试题(1)

2012届高三第十四次模拟考试题（理科数学）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.53sinπ的值是 A . 12 B. 12-C.D. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则1z += A. 2B. C. 1 D. 03.定义集合A 与B 的运算：{}A B x x ab a b a A b B *==+∈∈(),,. 已知集合A={ 0 , 1}，B={ 2 , 3 }，则集合A B *的真子集的个数是 A. 8 B. 16 C. 7 D. 154.已知α、β是两个不同的平面，直线a α⊂，直线b β⊂. 命题p ：α∥β，命题q ：a 与b 无公共点. 则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.若13()nx x-展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含3x 的项的系数为 A. －5 B. 5 C. －405 D. 4056.如图。

在正六边形ABCDEF 中下列向量的数量积中，最大的是A. AB AC ⋅B. AB AD ⋅C. AB AE ⋅D. AB AF ⋅7.实数x 、y 满足约束条件140x x y ax by c ⎧≥⎪+≤⎨⎪++≤⎩，若目标函数z = 2x + y 的最大值为7，最小值为2, 则ba的值是 A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 8.如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边球的表面积等于A. 8πB.253π C. 9π D. 283π9. 如图，P （x 0 , f (x 0））是函数y =f (x )图像上一点，曲线y =f (x )在点P 处的切线交x 轴于点A ，PB ⊥x 轴，垂 足为B. 若ΔPAB 的面积为12，则 0'()f x 与0()f x 满足关 系式 A. 00'()()f x f x = B. 00'()()f x f x =-C 200'()()f x f x ⎡⎤=⎣⎦ D. 200'()()f x f x ⎡⎤=⎣⎦10. 如图 ，ΔABC 的外接圆半径R =，∠BAC=120°， AB= 10，边AB 在x 轴上，且y 轴垂直平分AB. 则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的方程为A.221718x y -= B. 221187x y -= C.221916x y -= D. 221169x y -= 第Ⅱ卷（非选择题 ，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：222(sin )x x dx -+⎰=______________.12.某程序框图如图所示，则按该程序运行后输出的 n 值为______.13.已知：212,⨯=221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯，4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，…，以此类推.则第n 个等式为___________________________________.14.给出下列四个判断，其中正确判断的序号是_____________.（把你认为正确的都填上） ①命题“存在0x R ∈，使203x >”的否定是“任意的x R ∈，则23x ≤”；②把函数323sin()y x π=+的图像向右平移6π个单位，得到32y x =sin 的图像； ③设函数()x f x a x b =+-的零点为0x ，若常数a 、b 满足23a=，32b=，则001(,)x ∈.第17题图B1B A15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题评分）A ．（不等式选讲选做题）设关于x 的不等式223123x x m x -+-≤+的解集为A ，若1,1AA ∈-∉，则实数m 的取值范围是______________.B.(几何证明选讲)如图，半径为5的圆O 的弦AB 经过弦CD 的中点M ，且OD⊥AB ，AB=6，则弦CD 的长为__________.C.(坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中, 直线l 的参数方程为1413x ty t⎧=+⎨=--⎩ （t 为参数）. 若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线C 的极坐标方程为4)πρθ=+，则直线l 被曲线C 截得的弦长为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知函数21()sin (sin )cos f x x x x =++． （Ⅰ）求函数()f x 在[263,ππ-]上的最大值和最小值；（Ⅱ）在ΔABC 中，已知725cos A =，35cos B =，求()f C 的值．17.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB= 90°，AC=1，BC =，AA 1=1. M 、N 分别是AB 1和B 1C 1的中点。

（Ⅰ）证明：平面MBN ⊥平面MBC ； （Ⅱ）求平面MAB 和平面MBC 夹角的余弦值． 18.（本小题满分12分） 一个盒子中装有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的五张卡片，现从中随机地抽取卡片. （Ⅰ）若从盒子中有放回地抽取3张卡片. 每次抽取一张，求恰有两次抽到的卡片上的数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中每次抽取一张卡片，取出的卡片不再放回. 当取到的一张卡片上的数字为偶数即停止抽取，否则继续抽取. 求抽取次数x 的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1= 1，2221n n n S a S =-（n ≥2）.（Ⅰ）求证：{1nS }是等差数列，并求S n 的表达式； （Ⅱ）若存在正数k ，使得对任意n N *∈, 都有12111()()()n S S S +++≥ 求 k 的最大值．20.（本小题满分13分）已知函数32(1),()ln (1).x ax bx x f x c x x ⎧-++<=⎨≥⎩的图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=．（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若曲线()y f x =上存在两点,A B ，使得AOB ∆是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点M 在y 轴上，求实数c 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的离心率2e =，右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆C于M 、N 两点. 且MF NF +=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点M 的坐标为（2,1），直线l 平行于MN 且与椭圆C 交于不同的两点A 、B .① 若∠AOB 为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围； ② 求证：直线MA 、MB 与x 轴围成的三角形总是等腰三角形．2012届高三第十四次模拟考试题（理科数学）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）11. 0 ； 12. 4 ； 13. 2132112()()()()nn n n n n ⋅⋅⋅⋅-=+++14. ①②； 15. A. 1733(,]-； B. ； C. 75三、解答题（共75分）16.解：（Ⅰ）221()sin sin cos sin f x x x x x =++=+ -----------2分 263x ππ-≤≤162min ()x f x π∴=-=当时， ----------------- -4分 22max ()x f x π==当时， ------------------------------6分 （Ⅱ）725cos A =，35cos B =，∴A 、B 均为锐角，从而2425sin A =，45sin B = --------------8分 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+ =2437442552555⨯+⨯= 故915()sin f C C =+=-------------------------12分 17. （Ⅰ）建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则1(1,0,),A BB 11(,),(0,2222M N1111,,,222222CM BM ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭于是：111111,,,,0,222222CM BM MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………2分 0,0MN CM MN BM ∴⋅=⋅=,,MN CM MN BM ∴⊥⊥, ……………4分,MN MN MBC MBC ∴⊥⊂平面又平面,所以，平面MBN ⊥平面MBC ． ……………6分（Ⅱ）设平面MAB 的法向量是(),,n x y z =，则由,n MA n MB ⊥⊥ ,得，110,222110.22x y z x y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取1y =，得0x z ==，即),0n = ，……………9分 又由（Ⅰ）知，11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 是平面MBC 的一个法向量，cos ,n MN n MN n MN⋅∴<>==⋅……………11分 故，平面MAB 与平面MBC ……………12分18. （Ⅰ）记“又放回的抽取3张卡片，恰有两次取到偶数的卡片”为事件A . 由题设知，每次取到的卡片上的数字为偶数的概率为25， 则，2232236()155125P A C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………6分 （Ⅱ）X 可能的取值为1,2,3,4，且2(1)5P X ==, 323(2)5410P X ⨯===⨯, 3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯,3211(4)P X ⨯⨯===．所以X 的分布列是2311()12342510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分19.（Ⅰ）因为当2n ≥时，1n n n a S S -=-所以21221nn n n S S S S --=-，即112n n n n S S S S ---= ………………2分由题设知，0(2)n S n ≠≥，又1110S a ==≠，1112(2)n n n S S --=≥． 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列 ………………4分 从而112(1)21nn n S =+-=-，故121n S n =- ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，121n S n =- 设()F n =(1)()f n F n +==221(21)(23)2n n n +>=++……………10分 所以，()F n 在*N 上单调递增，()F n ∴的最小值为()1F =， …………10分又()F n k ≥恒成立的充要条件是()min k F n ≤，故，max k =． ……………12分 20（Ⅰ）当1x <时，2()32f x x ax b '=-++．因为函数图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=． 所以切点坐标为()2,12-，……………………2分并且(2)84212,(2)12416.f a b f a b -=+-=⎧⎨'-=--+=-⎩解得 1,0.a b == ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32(1),()ln (1).x x x f x c x x ⎧-+<=⎨≥⎩根据条件知，,A B 的横坐标互为相反数，不妨设(,()),(,())(0)A t f t B t f t t ->，………7分若01t <<，则3()f t t t =-+，由090AOB ∠=，得0OA OB ⋅=,所以23232()()0t t t t t -++-+=，即4210t t -+=，此方程无解．…………………9分若1t ≥，则()ln f t c t =．由于AB 的中点M 在y 轴上，且090AOB ∠=，所以点B 不可能在x 轴上，即1x ≠．同理由0OA OB ⋅=得232()ln 0t t t c t -++⋅=，所以1(1)ln c t t=+． ……………………11分由于函数1()(1)(1)ln g t t t t=>+的值域是()0,+∞，所以实数c 的取值范围是()0,+∞． ……………………13分 21（Ⅰ）设椭圆C 的左焦点为F ’, 则四边形MF ’NF 为平行四边形∴2'a MF MF MF NF =+=+=即 a =又2c e a ==， ∴c = 从而b == 故椭圆C 的方程为22182x y += -----------4分（Ⅱ）①②∵ l ∥MN ∴12l OM k k ==∴设直线l 方程为：12y x m =+ 联立方程组2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：222240x mx m ++-=由2244240()m m ∆=--> 得 22m -<< -------------6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则 122x x m +=- ， 21224x x m =-∴121212121122()()OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+++221212552422()()m x x x x m m =+++=- ∵∠AOB 为钝角， ∴0OA OB ⋅<且0m ≠即25202()m -< 且 0m ≠.得m << 且 0m ≠ 12分 故m的取值范围是00()( --------------9分②设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则1212121212111111222221x m x m y y k k x x x x +-+---+=+=+---- 121212(4)1122(2)(2)m x x m mx x x x +-=++=+----121212(4)12()4m x x x x x x +-=+-++2(24)102444m m m m --=+=-++ 所以直线,MA MB 的倾斜角互补，故，直线,MA MB 与x 轴围成的三角形总是等腰三角形． --------------14分。