2017届高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数2指数函数对数函数幂函数图象与性质限时速解训练文

限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知a ＝50.5
，b ＝0.55
，c ＝log 50.5，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b
D ．c ＞b ＞a
解析：选A.因为a ＝50.5
＞50
＝1,0＜b ＝0.55
＜0.50
＝1，
c ＝log 50.5＜log 51＝0，所以a ＞b ＞c .故选A.
2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的一个零点所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选B.因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以f (x )在(1,2)上必存在零点．故选B.
3．函数f (x )＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 的图象是( )
解析：选B.要使函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 有意义，需满足x －1x
＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，
所以排除A 、D ；当x ＞10时，x －1x
一定大于1，ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 大于0，故选B.
4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x
关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e
－x ＋1
D ．e
－x －1
解析：选D.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y ＝e －x
，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x
向左平移1个单位长度的结果， ∴f (x )＝e
－x －1
，故选D.
5．函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2
D ．4
解析：选B.f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x
与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0
＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0， ∴a ＝12
.
6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 2 1－x ，x ≤0，
f x －6 ，x ＞0，则f (2 019)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选D.∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 7．设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＜1，那么( )
A ．a a
＜a b
＜b a
B ．a a ＜b a ＜a b
C ．a b
＜a a
＜b a
D ．a b
＜b a
＜a a
解析：选C.由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.当0
＜a ＜1时，y ＝a x
为减函数，所以a b
＜a a
，排除A 、B ；又因为幂函数y ＝x a
在第一象限内为增函数，所以a a
＜b a ，选C. 8．下列四个命题：
①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 0；
②∃x 0∈(0,1)，
③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＞
x ； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＜
x .
其中真命题是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④
D ．③④
解析：选C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C. 9．若a ＝2x
，b ＝x ，c ＝x ，则“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：选B.如图，可知“x ＞1”⇒“a ＞b ＞c ”，但“a ＞b ＞c ”⇒ “x ＞1”，即“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的必要不充分条件．故选B.
10．若不等式4x 2
－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫1256，1
B.⎝
⎛⎭
⎪⎫1256，1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，1256
解析：选A.∵不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，函数y ＝4x
2
的图象在函数y ＝log a x 的图象的下方．如图，∴0＜a ＜1.再根据它们的单调性可得4×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫142
≤log a 14，即log a a 1
4
≤log
，
∴
≥14
， ∴a ≥1256.综上可得1
256
≤a ＜1，故选A.
11．已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1
x
的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )
A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0
B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0
C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0
D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0
解析：选C.在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，f (x )＝－1x 的图象(如图)，由图象可知当
x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＞－1
x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＜－1
x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)
时，有f (x 1)＞0，f (x 2)＜0，故选C.
12．设函数f (x )＝2x
1＋2x －1
2，
[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0,1} B ．{－1,0} C ．{－1,1}
D ．{1}
解析：选B.f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x
＞0，
∴1＋2x
＞1,0＜11＋2x ＜1，∴－1＜－1
1＋2
x ＜0，
∴－12＜12－11＋2x
＜12，即－12＜f (x )＜12
， ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B. 二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2
)＋f (b 2
)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1， ∴f (a 2
)＋f (b 2
)＝lg a 2
＋lg b 2
＝2lg(ab )＝2. 答案：2
14．若函数f (x )＝2
|x －a |
(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，
则实数m 的最小值等于________．
解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2|x －1|
在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1.
答案：1
15．已知函数f (x )＝则不等式f (x )＞1的解集为________．
解析：若x ≤0，则不等式f (x )＞1可转化为3
x ＋1
＞1⇒x ＋1＞0⇒x ＞－1，∴－1＜x ≤0；若x ＞0，则不等式f (x )＞1可转化为log 1
3
x ＞1⇒x ＜13
，∴0＜x ＜13
.综上，不等式f (x )＞1的
解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，13 16．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x
－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．
解析：当a ＞1时，作出函数y ＝|a x
－1|的图象如图(1)，此时y ＝2a ＞2，只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图(2)，
此时0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜1
2
，所以a
的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12。