立体几何平面的基本性质

一、知识点:

1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性

2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等

3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:

图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法)

A a A a ∈点A 在直线a 上 a α

a α⊂ 直线a 在平面α内 A a A a ∉点A 不在直线a 上 a αa α=∅I 直线a 与平面α无公共点

A

αA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点A

A αA α∉点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点

l αβ=I 平面α、β相交于直线l

α⊄a (平面α外的直线a )表示a α=∅I (a αP )或a A α=I

4 平面的基本性质

公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内

推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平

面.

公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法.

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线

推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭

I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上

公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.

公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

B

A α

推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈ 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”就是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”与“唯一性”两方面来论证. 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形 6公理的推论:

推论1 经过一条直线与直线外的一点有且只有一个平面、

推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,l α⊂

推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:P b a =I ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂

推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面

推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂

二、基本题型:

1 下面就是一些命题的叙述语,其中命题与叙述方法都正确的就是( )

A.∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB .

B.∵βα∈∈a a ,,∴a =βαI .

C.∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈.

D.∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A .

2.下列推断中,错误的就是( )

A.ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, C.βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A,B,C 不共线βα,⇒重合

B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D.αα∉⇒∈⊄A l A l ,

3.两个平面把空间最多分成___ 部分,三个平面把空间最多分成__部分.

4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”

(1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )

(3)两条直线可以确定一个平面( )(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( )

(5)两条相交直线可以确定一个平面( )(6)三条平行直线可以确定三个平面( )

(7)一条直线与一个点可以确定一个平面( )(8)两两相交的三条直线确定一个平面( )

5.瞧图填空 (1)AC ∩BD = (4)平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =

(2)平面AB 1∩平面A 1C 1= (5)平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =

(3)平面A 1C 1CA ∩平面AC = (6)A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6.选择题

(1)下列图形中不一定就是平面图形的就是 ( )A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形

O 11D 1B C 1O D B A

(2)空间四条直线每两条都相交,最多可以确定平面的个数就是( )A 1个 B 4个C 6个 D 8个

(3)空间四点中,无三点共线就是四点共面的 ( )

(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要

7.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面、 答案:1、 C 2、 D 3、 2,4,8 4、 ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×

5、⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 1

6、 答案:⑴ D ⑵ C ⑶ D

7、 证明:因为a //b ,由推论3,存在平面α,使得,a b αα⊂⊂

又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理1,d α⊂

下面用反证法证明直线c α⊂:

假设c α⊄,则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ,

因为b //c,则c c 'P ,此与c c C '=I 矛盾、故直线c α⊂、

综上述,a 、b 、c 、d 四线共面、