分式方程有增根-无解-有解教学内容
分式方程的增根和无解教学设计
分式方程的增根和无解教学设计教学目标：1.理解分式方程的概念和含义；2.掌握分式方程的解法；3.了解分式方程的增根和无解的概念及判断方法；4.能够运用所学知识解决相关问题。
教学准备：教师：黑板、粉笔、教学课件、练习册；学生：教科书、练习册。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师通过提问导入分式方程的概念和含义，引起学生的兴趣。
2.教师通过实际生活中的例子，让学生了解分式方程的应用，如加法、减法运算中的分式方程。
3.教师通过让学生思考，引导学生思考什么是分式方程的解。
二、整体呈现（20分钟）1.教师使用教学课件，通过具体的例子向学生展示分式方程的解法。
2.教师向学生讲解分式方程解的概念和判断方法，并引导学生掌握其基本思路和解题步骤。
三、小组合作探究（20分钟）1.学生分为小组，交流并讨论分式方程的解法。
2.学生通过小组合作解决一些练习题，巩固所学知识。
四、归纳总结（15分钟）1.学生提出问题和疑惑，教师进行解答和总结。
2.教师通过提问，引导学生总结分式方程的解决过程及判断方法。
五、拓展延伸（15分钟）1.教师出示一些扩展题或案例，让学生在小组内进行讨论和解答，拓展学生的思维能力。
2.教师通过讨论和解答，引导学生将所学知识运用到实际问题中，增强学生的综合应用能力。
六、巩固练习（20分钟）1.学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
2.学生可以相互交流解题方法，提高解题效率。
七、反思总结（10分钟）1.学生回答教师提出的问题，回顾所学内容。
2.学生提出自己的感想和反思，教师进行总结和点评。
教学反思：通过本堂课的教学设计，学生可以了解到分式方程的概念和含义，掌握分式方程的解法，并能够判断分式方程的解的情况，即增根和无解。
通过小组合作和讨论，学生的互动性和合作性得到了提高，可以培养学生的思维能力和解题能力。
通过拓展延伸和巩固练习，可以加深学生对所学知识的理解和掌握程度。
最后，通过反思总结，学生对本堂课的内容和自己的学习进行反思和总结，可以提高学生的学习效果和学习能力。
分式方程的增根与无解教师版
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2019湖北荆门）若方程32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
小议分式方程“增根”与“无解”
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２０ ２４小议分式方程增根无解小议分式方程 增根 与 无解 Һ江慎军㊀（山东省济南市平阴县实验中学，山东㊀济南㊀２５０４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ伴随着教改活动的全面开展．初中学段数学课程的教改活动也在全面开展．解分式方程属于初中学段数学课程中数与代数部分较为关键的组成要素，在中考中的占比也较高，所以，一定要对分式方程的教学进行探析与研究．通常在对分式方程进行解答的时候，由于需要将分式方程转化为整式方程，要在方程两边同乘最简公分母，可是有时解得的未知数的值会使原分式方程中分式分母为零而无意义，这时方程会产生增根，原方程无解．由于学生对增根和无解两个概念理解不到位㊁不透彻，导致解决方程有增根或方程无解之类题目时出现困难，出错率较高．所以本文通过例题讲解与拓展应用的形式，分析了分式方程增根产生的原因㊁分式方程增根与无解的区别，对增根与无解的相关习题进行了较为详细的阐述，加深了对两个概念的理解．通过本文的探究，可增强学生解决增根㊁无解相关习题的能力．ʌ关键词ɔ分式方程的增根；产生原因；增根与无解的区别；拓展应用基于最近几年中考数学题目的探析能够获悉，关于分式方程这一知识点的考查，除了解分式方程㊁列分式方程解决实际问题外，试卷中也会频繁出现分式方程无解㊁有增根的题型．对于告知分式方程无解㊁有增根，进而求原分式方程中一些字母参数的取值问题，学生往往会产生畏难情绪，不会解，出错多，或无从下手，这样的情况会耗损学生很多时间与精力．如果在日常解题练习中能够对分式方程无解㊁有增根的概念理解正确，就能够提升学生的解题质量与成效，让学生对题目有更清晰的认知，考试中才能节省大量时间对其他问题进行有效解决．本文从几个方面分析了分式方程的 增根 与 无解 ，相信能够帮助学生正确理解，熟练掌握，提高解题能力．一㊁增根是如何产生的分式方程中的增根㊁无解属于较为常见的内容，学生在学习了分式方程的相关知识以后，时常会将两个概念弄混，认为分式方程解答过程当中的无解与增根是一回事，然而实际上并非如此．解分式方程的基本思路是利用转化的思想，根据等式的基本性质，在分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，如果在方程两边同乘了一个使分母为零的整式，就会产生增根．分式方程中，如果分式中分母的值为零，分式就没有意义．分式方程本身隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制就被取消了，也就是说，未知数取值范围被扩大了．若整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根，即增根产生的原因就是去分母的时候两边同时乘以０了，致使未知数的数值范围被拓展了．对于上面这些语言文字的解释，部分学生可能不易理解，下面通过一道例题的两种解法来体会一下产生增根的原因．例１㊀解分式方程：１－ｘｘ－２＝１２－ｘ－２．解法一㊀１－ｘｘ－２－１２－ｘ＝－２，１－ｘｘ－２＋１ｘ－２＝－２，２－ｘｘ－２＝－２，－１＝－２，１＝２．方程无解．解法二㊀两边都乘ｘ－２，得１－ｘ＝－１－２（ｘ－２），１－ｘ＝－１－２ｘ＋４，ｘ＝２．当ｘ＝２时，分式方程的分母为０，则方程无解．解法一是利用分式的通分㊁约分来解，约分过程本身就是在分式分母不能为零的前提条件下进行的，所以这种解法找不到一个ｘ的值使１－ｘｘ－２＝１２－ｘ－２成立，说明原方程根本不成立．解法二是利用等式的基本性质，方程两边都乘ｘ－２，从而去掉分式方程的分母，将分式方程转化为整式方程，而这一操作恰好是在方程两边同乘了０，使得原方程成立．此时ｘ＝２使原分式方程中分式的分母为零，所以ｘ＝２是分式方程经过去分母转化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根，是产生的增根．通过两种解法对比，相信学生会对增根产生的原因更加明白，理解上变得容易㊁深刻．二㊁分式方程增根与无解的区别将分式方程增根和无解之间存在的区别与联系进行明确，有助于提升分式方程解答的正确性，在方程解是否正确的判断方面具有极为重要的指导意义．１．分式方程有增根：解方程时，把分式方程通过去分母转化为整式方程的变形过程中，根据等式的基本性质，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而把未知数的取值范围扩大，此时解出的未知数的值有可能使原分式方程的分母为零．例２㊀解方程：２ｘ－２－４ｘｘ２－４＝３ｘ＋２．解㊀两边都乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２４２（ｘ＋２）－４ｘ＝３（ｘ－２），解得ｘ＝２．检验：当ｘ＝２时，（ｘ＋２）（ｘ－２）＝０，ʑｘ＝２是增根，ʑ原方程无解．２．分式方程无解：未知数无论取何值，方程两边的值都不相等，包含以下两种情况．（１）原分式方程经过去分母转化成的整式方程无解．例３㊀解方程：ｘ－１ｘ＋２＝３－ｘ２＋ｘ＋２．解㊀两边都乘ｘ＋２，得ｘ－１＝３－ｘ＋２（ｘ＋２），解得－１＝７．ȵ此一元一次方程无解，ʑ原分式方程无解．（２）原分式方程经过去分母转化后的整式方程有解，但这个未知数的值使原分式方程的分母为零，它是原方程的增根，从而原方程无解．（此种情况如例２）３．分式方程无解，但不一定就一定有增根．如上面例３，分式方程转化为整式方程后，整式方程本身就无解，当然原分式方程就无解了，但这种情况下分式方程没有产生增根．４．分式方程有增根，但分式方程不一定无解．例４㊀解方程：ｘ－５ｘ２－１＋２ｘ－１＝１．解㊀两边都乘ｘ２－１，得ｘ－５＋２（ｘ＋１）＝ｘ２－１，ｘ２－３ｘ＋２＝０，解得ｘ１＝２，ｘ２＝１．经检验，ｘ＝１是增根，ｘ＝２是原分式方程的解．当然，初中阶段不考查例４这种类型的分式方程，即把分式方程去分母后转化成了一元二次方程．所以，分式方程有增根，说明ｘ的取值肯定有使分母为零的根，这时有两种情况，一种是原方程就只有这些使分母为零的根，方程就无解，如例题２；第二种情况是除了有使分母为零的根之外，还有其他使原方程成立的根，这时原方程就有解，如例４．而分式方程无解，则也会有两种情况：一种是分式方程就只有使分母为零的增根，没有其他根，这时无解就和有增根一致；第二种是分式方程连增根也没有，此时就是无解，如例３．三㊁拓展应用通过前面的叙述，相信大家已经对增根和无解有了较深的认识与理解，下面通过一道例题及其变式加深一下印象．例５㊀ａ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ－２＋ａｘｘ２－４＝３ｘ＋２①有增根？解㊀两边都乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得２（ｘ＋２）＋ａｘ＝３（ｘ－２），（ａ－１）ｘ＝－１０ ②．ȵ原分式方程有增根，ʑｘ＝２或ｘ＝－２是方程②的根，ʑ把ｘ＝２，－２分别代入方程②，得ａ＝－４或ａ＝６，ʑ当ａ＝－４或ａ＝６时，原方程有增根．例５变式㊀ａ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ－２＋ａｘｘ２－４＝３ｘ＋２①无解？解㊀两边都乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得２（ｘ＋２）＋ａｘ＝３（ｘ－２），（ａ－１）ｘ＝－１０ ②．因为原方程无解，所以分两种情形．第一种情形：当ａ－１＝０（即ａ＝１）时，方程②为０ｘ＝－１０，该整式方程无解，所以原分式方程无解．第二种情形：如果方程②的解为ｘ＝２或ｘ＝－２，则未知数ｘ＝ʃ２使分式方程的分母为零，是分式方程的增根，此时由例５可知，ａ＝－４或ａ＝６．综上所述，当ａ＝１或ａ＝－４或ａ＝６时，原方程无解．通过以上分析，我们深刻体会到对数学概念的理解有多么重要，所以深刻把握住概念的本质才能轻松应对概念考查的题目，而对概念的掌握单纯靠语言文字的描述是不够的，要结合题目才能理解透彻㊁到位．也就是说，基于上述例题能够获悉，当分式方程化去分母之后转变为一个一元一次的整式方程，其解刚好能够让最简公分母变成零，这个根实际上就是增根，因为一元一次方程的根通常只有一个，因此，这个原分式方程就是无解的，如果转变后的整式方程属于一元二次方程，则状况就并不相同．四㊁结束语总而言之，分式方程存在增根与无解问题中包含非常多的数学知识与思维方法，其中包含学生对数学概念的理解，以及对题目条件的解读和处理，还包含隐藏条件的分析㊁应用转化思想㊁分类策略等，思维含量比较高，对学生思维能力方面的严谨性㊁全面性等有严格要求．学生在分式方程增根与无解问题的解答过程中，大多数都会产生似懂非懂的情况，也就是说，想要彻底弄清此类问题，就要对增根㊁无解出现的原因进行追溯．掌握了分式方程增根㊁无解的相关知识，解题时就不用依靠死记硬背，学生能够带着理解进行深入探析，对题目中条件背后的含义进行精准解读，对问题进行严谨有序的解答．ʌ参考文献ɔ［１］赵雪．关于解分式方程增根与无解的案例探析［Ｊ］．文渊（高中版），２０１９，０００（００２）：７１５．［２］郭源源．追根溯源寻本质㊀分析理解辨差异：例谈分式方程的增根和无解问题［Ｊ］．理科考试研究，２０１９（２０）．［３］蔡艳生．分式方程有增根与无解的关系辨析［Ｊ］．数学大世界（下旬），２０１９（６）．［４］陈爱军．深刻理解教学内容，践行 学材再建构 ：从 分式方程增根问题 教学说起［Ｊ］．中学数学，２０１８，０００（０２２）：１９－２０．. All Rights Reserved.。
与分式方程根有关的问(增根有解无解完整版)
与分式方程的根有关的问题【知识梳理】1、解分式方程的基本步骤：(1)去分母,即在方程两边都乘以 最简公分母 ,把原方程化成 整式方程 。
(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根, 使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.2、分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程 后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看其是否为0.3、增根必须同时满足两个条件：（1）使分式方程的最简公分母为零的根。
（2）是由分式方程转化成整式方程的根。
【问题分析】问题一：关于分式方程增根问题1、已知含参分式方程，求增根问题例1： 若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是？变式练习：若关于x 的方程7667=---x kx x 有增根，则增根为 。
2、已知分式方程有增根，求字母系数的值例题2：若分式方程：024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。
变式练习：关于x 的分式方程1122k x x +=--有增根，求k 的值 。
3、已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围例题3：当a 取何值时，解关于x 的方程：()()x x x x x a x x x ---++=+-+12212212无增根？变式练习:当m 为 时，分式方程()01163=-+--+x x m x x x 无增根？ 4、已知分式方程根的符号，求字母系数的值或取值范围例题4：关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是？变式练习：已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为__ ___。
第6讲分式方程(讲义)解析版
第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 是整式方程，故选项错误；B. 是整式方程，故选项错误；分母中含有未知数x ，所以是分式方程，故选项正确；D. 是整式方程，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键.（2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x -=；2371x x x ++=-；1(37)x x-中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ）A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ，整理即可．【详解】解：设21xy x =+，则原方程化为1510y y -+=，去分母得，25y 10y +-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）.用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø，设1y x x =+，则方程变为()A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【难度】★【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【难度】★【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x =．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =， 检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根， 即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．例5.解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【难度】★★【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【难度】★★【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=， 解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【难度】★★【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【难度】★★【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是 负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-， 得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø．【难度】★★【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【难度】★★【答案】（1）1x =2x =（2）13x =，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a +=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x 2x =经检验，1x =2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+23x =-，32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例12.解方程组：（1）413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î；（2）132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î．【难度】★★【答案】（1）01x y =ìí=î；（2）565x y =ìïí=ïî．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î，解得：11a b =ìí=-î，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=ìí-=-î，解得：01x y =ìí=î，经检验，01x y =ìí=î是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î，解得：55x a =ìí=î，由此可得：151y =-， 解得：65y =， ∴565x y =ìïí=ïî， 经检验，565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．例13.解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【难度】★★【答案】（1）16x =，2334x =-；（2）92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-， 经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++， 两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．例14.解方程：226205x x +-=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解； 由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解； 当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【难度】★★★【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行 分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意；②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意； 综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．例17.解关于x 的方程：22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =； 经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【难度】★★★【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =； 由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0xa x a x a+-=+， 移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x天，由此可知选D．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．例3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x天完成，则乙单独需用()5x+天完成，依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø，整理得27300x x--=，解得：13x=-，210x=，经检验，13x=-，210x=都是原方程的根，但13x=-不合题意应舍去，即得10x=，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm，则整个过程中小明总行程为2sm，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abvs s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h，乙速度为4/km h．【解析】设甲速度为/xkm h，则乙速度为()9/x km h-，927min20h=，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服，则改进之前每月生产()1x -万套，依题意可得413451x x -+=-，整理得251890x x -+=，解得：135x =，23x =，经检验，135x =，23x =都是原方程的根，但135x =不合题意应舍去，即得：3x =，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x æö-=ç÷èø；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【难度】★【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y-=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【难度】★★【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．5.解方程：221313x x x x ++=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =+．【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =；由1x x =+，解得：1x =+经检验11x =，21x =【总结】考查利用换元法解分式方程．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î，解得：1413a b ì=ïïíï=ïî，由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î， 去分母得32443x y x y +=ìí-=î，解得：1011711x y ì=ïïíï=ïî，经检验，1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【难度】★★【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-；②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【难度】★★【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【难度】★★★【答案】11x =+，21x =，33x =+，43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø，因式分解得：66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =-；由660x x --=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根．【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【难度】★★★【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+， 解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-；②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【难度】★★★【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø，由此可得30a x x +-=或40a x x +-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．。
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
正确区分增根、无解、有解
正确区分增根、无解、有解作者：丁霞来源：《初中生世界·八年级》2018年第06期解分式方程通常是在分式方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程.有时由于x的取值范围发生变化，得到的整式方程的解不一定是原分式方程的解，这种在解题过程中增加的解称为分式方程的增根.本文以一个含有字母系数的分式方程为例，帮助同学们正确理解、区分“增根、无解、有解”的问题.一、会产生增根【例1】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]会产生增根？【分析】分式方程要产生增根，最简公分母必须为零，即x=2或x=-2.因此可通过x=2或x=-2来讨论k的取值问题.【解】去分母得：2（x+2）+kx=3（x-2）.化简整理得：（1-k）x=10.若方程产生增根，则增根为x=2或x=-2.将x=2代入（1-k）x=10，得：k=-4.将x=-2代入（1-k）x=10，得：k=6.故当k=-4或k=6时，原方程会产生增根.【点评】利用增根的定义求解的问题是较为重要的题型，解决的方法是：（1）将分式方程去分母转化为整式方程；（2）让最简公分母为零，确定增根；（3）将增根代入转化后的整式方程，解之就可得到欲求的待定系数的值.二、不会产生增根【例2】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]不会产生增根？【分析】“不会产生增根”是“会产生增根”的对立面，由此我们可以先求出分式方程产生增根时k的值，然后把这些值一一排除，即可得到分式方程不会产生增根时k的值.【解】同例1，得到当k=-4或k=6时，原方程会产生增根.故当k≠-4且k≠6时，原方程不会产生增根.【点评】当k=-4时，分式方程产生增根x=2；当k=6时，分式方程产生增根x=-2，故当k≠-4且k≠6时，原方程不会产生增根.这里需要注意的是：连接词用“且”，不能用“或”，也就是k≠-4、k≠6必须都满足时，分式方程才不会产生增根.三、无解【例3】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]无解？【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，整式方程无解则原方程无解；整式方程虽有解，但这个解使最简公分母为零，是增根，则原方程也无解.【解】同例1，得到：（1-k）x=10.当k=1时，得：0·x=10，该方程无解，从而原方程也无解.当原方程有增根时，原方程也无解.若原方程产生增根，则增根为x=2或x=-2.将x=2代入（1-k）x=10，得：k=-4，即当k=-4时，原方程会产生增根x=2，无解；将x=-2代入（1-k）x=10，得：k=6，即当k=6时，原方程会产生增根x=-2，无解.综上所述：当k=1或k=-4或k=6时，原方程无解.【点评】分式方程无解不仅仅是由于有增根，也有可能是由于转化得到的整式方程本身就无解.因此，大家考虑问题要全面.四、有解【例4】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]有解？【分析】分式方程有解，说明去分母后得到的整式方程不但有解，而且它的解一定不是增根.【解】同例1，得到：（1-k）x=10.因为方程有解，且这个解不是增根，所以，（1）k≠1；（2）x≠2，即k≠-4；（3）x≠-2，即k≠6.综上所述：当k≠1且k≠-4且k≠6时，原方程有解.【点评】无解的反面即为有解.五、解为正数（负数）【例5】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]的解是正数？【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，再对得到的整式方程进行讨论.【解】同例1，得到：（1-k）x=10.因为解是正数，从而有x>0且x≠2.则[1-k>0，1-k≠5，]解之得：k【点评】解含有字母系数的分式方程，通常是去分母，将分式方程转化为整式方程，把未知数用含字母系数的代数式表示，然后根据条件列不等式.需要注意的是解为正数（负数），意味着方程一定有解，因此要排除增根！分式方程的增根不是原方程的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根，利用这一点可以解决有关增根的问题.同类训练：1. 当k为何值时，关于x的方程[kx2-1]=[2x+1+51-x]会产生增根？2.当k为何值时，关于x的方程[3x+6x-1]=[x+kxx-1]不会产生增根？3. 当k为何值时，关于x的方程[kxx-2]=[4x-2+1]无解？4.当k为何值时，关于x的方程[6x-1=][x+3xx-1-kx]有解？5.当k为何值时（k的范围），关于x的方程[3x+k2x+1=2]的解是负数？参考答案：1.当k=-4或k=-10时，原方程会产生增根.2.当k≠-3且k≠5时，原方程不会产生增根.3.当k=1或k=2时，原方程无解.4.当k≠-5且k≠-3时，原方程有解.5.当k（作者单位：江苏省东台市实验中学）。
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一 分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二 分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】 整式 分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值． 【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1， 当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值． 【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母， 整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3， 当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--． （1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值． 【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？ 【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号） 【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+． （1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围． 【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53． 【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。
八年级数学上册《分式方程的增根》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式方程增根的概念，掌握增根产生的原因及条件。
2.学会运用分式方程的基本步骤，解决实际问题时能准确找出等量关系，列出分式方程。
3.能够运用图像法、代入法、消元法等方法求解分式方程的增根，并解释各种方法的适用场景。
4.掌握验证分式方程解的方法，提高解题的准确性和效率。
3.尝试解决以下提高拓展题：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2} = \frac{3}{x-3}$，求方程的增根。
（2）讨论分式方程$\frac{2x-3}{x-2} = \frac{3}{x-a}$的增根情况，其中$a$是常数。
4.小组合作完成以下题目：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x-2}$，求方程的增根。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组分配一个具有挑战性的分式方程增根问题。小组成员需要共同探讨，找出问题的解法，并在讨论中分享各自的想法和推理过程。我会巡回指导，观察学生的讨论情况，适时给予提示和建议。
讨论结束后，每个小组选出代表进行汇报，展示他们的解题过程和最终答案。我会鼓励其他学生对展示的解法进行评价和提问，促进课堂上的交流和思维碰撞。
-引导学生从不同角度分析问题，培养学生的创新思维和解决问题的策略。
5.反思总结，提高认识
-在课程结束时，组织学生进行反思总结，回顾学习过程，提炼学习方法和经验。
-教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和指导，帮助学生明确自身的学习目标和方向。
浅谈分式方程的增根和无解
2013-12课堂内外分式方程的增根和无解是分式方程中两个重要的概念，学生在学习分式方程的过程中，常常对这两个概念混淆不清，总认为分式方程的无解和增根是同一回事，然而事实并非如此。
分式方程有增根，是指解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。
分式方程无解是指无论x为何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情况：（1）原分式方程去分母后的整式方程无解。
（2）原方程去分母后的整式方程有解，但是这个解却使得原分式方程的分母为零，它是原分式方程的增根，从而原方程无解。
一、初步认识无解和增根例1.解分式方程x-3x+2=4-xx+2+2①解：方程两边同乘x+2，得x-3=4-x+2（x+2）②整理得-7=4因为方程②无解，所以原分式方程①无解。
点评：此例说明了分式方程转化为整式方程后，整式方程无解，因此原分式方程无解。
例2.解分式方程5x+2x2+x=3x+1①解：方程两边同乘x（x+1），得5x+2=3x②解之得x=-1检验：当x=-1，x（x+1）=0，所以x=-1是原方程的增根，从而原分式方程无解。
点评：方程①中x的取值范围是x≠-1且x≠0，而在去分母化为整式方程②后，此时x的取值范围扩大为全体实数。
所以当求得x的值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，故原分式方程无解。
归纳总结：1.增根是分式方程转化为整式方程的根，但不是原分式方程的根。
2.无解要分两种情况，一种是分式方程转化为整式方程后整式方程无解，另一种是整式方程有解但所求的解都是原分式方程的增根。
二、提升对无解和增根的理解例3.关于x的方程xx-3=2+k x-3无解，求k的值。
解：方程两边同乘x-3得：x=2（x-3）+k①x=6-k因为原分式方程无解，但是①有解，所以这个解6-k一定是原方程的增根。
即x=3当x=3时，6-k=3，所以k=3。
分式方程的增根和无解教学设计
分式方程的增根和无解教学设计教学内容本节课是华东师大版教材第十六章16.3可化为一元一次方程的分式方程内容的延伸和拓展。
内容分析分式方程的增根和无解是整章的难点，学生对其理解较为困难，出错率较高。
针对性设计一节课的内容，让学生再次理解增根和无解的内涵及区别和联系，巩固强化已学知识。
教学目标1.知识与技能理解分式方程的增根的概念及产生的原因，理解增根与无解的区别和联系。
并学会检验，正确解决一些常见题。
2.过程与方法经历实际题型--探究方法---总结归纳的学习过程。
培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想、逆向思维、分类讨论思想。
提升学生学习数学的自信心。
3.情感态度与价值观通过教学活动，培养学生乐与探究，合作学习的习惯，培养学习努力寻求解决问题的进取心，巩固学习好数学的自信心。
教学重点增根产生的原因、无解的内涵及求解方法教学难点分式方程的无解教学准备课件、导学案、电子白板教学过程一．知识回顾1.什么是分式方程?（方程中含有分式，并且分母中含有未知数字母的方程)2.解分式方程的一般步骤是什么?关键是什么？一去，二解，三检验。
关键是检验3.如何进行验根?4.一元一次方程ax=b的解的情况怎样?一元一次方程ax=b的解的情况1.)有唯一解 a 0, b .2.）有无数解 a 0, b 0.3.)无解 a 0 , b 0 .5.解不等式组二．探索新知1. 解分式方程2212-1--=-xx x 解:（找最简公分母）方程两边都乘以 ，得整理得（或化简得）解这个方程，得检验： 把 代入 =（结论）2.解方式方程22321)1(---=--x x x x141622)2(2=--+-x x x本节课目标1. 掌握分式方程的增根与无解这两个概念；2. 掌握增根与无解有关题型的解题方法；例1 解方程： 2344222+=---x x x x 总结；分式方程的增根 指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值；从而使分式方程无解。
例谈分式方程的“增根”与“无解”问题
数学篇学思导引在解分式方程问题时，经常会碰到“增根”或“无解”的情形.许多同学对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解或有增根是同样的概念.事实上，“增根”与“无解”是两个不同的数学概念.抓住概念本质是理解概念的关键.下面，笔者就分式方程的“增根”与“无解”问题进行了剖析，希望同学们能够理解两者的概念，掌握不同问题的解法.一、分式方程的“增根”问题分式方程的“增根”是在去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大，从而产生了增根，所以在得出分式方程的解后往往需要进行检验，若经过验证发现是增根，则应舍去；若此“增根”是分式方程唯一的解，则说明该分式方程无解.一般而言，分式方程产生“增根”，应满足如下两个条件：一是去分母时，能使方程两边同时乘以的最简公分母等于零；二是能使分式方程转化后的整式方程成立.例1(1)解方程2x x +1-2x 2+x=x +1x ；(2)解方程3x -3-6x x 2-9=4x +3；(3)当m 为何值时，关于x 的方程4x -4+mx x 2-16=5x +4会产生增根？解：(1)方程两边同时乘以最简公分母x (x +1)，可得2x 2-2=(x +1)2，整理可得x 2-2x -3=0，解得x 1=3，x 2=-1.经检验，当x 2=-1时，分母为0，原方程无意义，所以x 2=-1为增根，应舍去，所以原方程的解为x =3.(2)方程两边同时乘以最简公分母(x +3)⋅(x -3)，可得3(x +3)-6x =4(x -3)，整理可得x =3.经检验，当x =3时，原方程无意义，所以x =3为增根，应舍去，所以原方程无解.(3)原分式方程两边同时乘以最简公分母(x -4)(x +4)，可得4(x +4)+mx =5(x -4)，整理可得(1-m )x =36.因为原分式方程有增根，所以（x -4）(x +4)=0，例谈分式方程的“增根”与“无解”问题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年29数学篇学思导引所以x =4或x =-4是整式方程(1-m )x =36的根，所以361-m =4或361-m =-4，解得m =-8或m =10.评注：分式方程的“增根”必定使方程两边同时乘以的最简公分母等于0，但是并非同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根，也不是所有的分式方程都会产生增根.二、分式方程的“无解”问题分式方程无解是指不管未知数取何值时，都无法使得分式方程两边的值相等.一般情况下，当分式方程出现无解时，同学们需要注意如下两种情况：一是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程无解，则原分式方程无解；二是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程有解，但此解是原方程的增根（能使最简公分母为0），所以原分式方程亦无解.例2（1）解方程x -3x +4=5-x4+x+2；（2）倘若关于x 的方程2x -1-kx +3x 2+x -2=5x +2无解，则实数k 的值为；（3）求证：不论实数t 取何值时，关于x 的方程x -4t x -1+4t 2+2t x 2-x=1x 无实数解.解：（1）方程两边同时乘以最简公分母x +4，可得x -3=5-x +2(x +4)，整理得0=16，显然，该整式方程无解，所以原分式方程无解.（2）原分式方程两边同时乘以最简公分母(x -1)(x +2)，可得2(x +2)-(kx +3)=5(x -1)，整理可得：（k +3）x =6.因为原方程无解，所以需要讨论如下两种情况：①当k =-3时，所得的整式方程为0·x =6，显然方程是无解的，所以原分式方程无解.②当k ≠-3时，所得的整式方程有解，且x =6k +3为原分式方程的增根，所以有6k +3=1或6k +3=-2，解得k =3或k =-6.综上所述，当k =-3或k =3或k =-6时，原分式方程无解.（3）证明：方程两边同乘以最简公分母x (x -1)，可得x (x -4t )+4t 2+2t =x -1，整理可得x 2-(4t +1)x +4t 2+2t +1=0.因为△=(4t +1)2-4(4t 2+2t +1)=-3＜0，所以整理后的方程无实数解，所以不论实数t 取何值时，原分式方程无实数解.评注：当分式方程无解时，该分式方程可能有增根，也可能没有增根；当分式方程去分母后所得的整式方程无解时，分式方程一定无解；当分式方程去分母后所得的整式方程为一元二次方程，需要对分式方程的无解、有解以及增根等情况进行探讨，如果该一元二次方程没有实数解，则表明该分式方程无解.从这两道例题可以看出，分式方程有增根与无解是完全不同的两个概念.分式方程与去分母后得到的整式方程是不等价的，这就是分式方程要验根的重要原因.同学们在解题时要用心区别，仔细辨析，明确其差异，准确把握数学概念，从而提高解分式方程的准确性.30。
分式方程的解法教案
分式方程的解法教案【篇一：分式方程的解法教案】分式方程的解法（第二课时）教案教学目标：1.了解增根的意义及解分式方程可能产生增根的原因，明确验根是解分式方程的一个重要且必要的步骤。
2.能化分式方程为整式方程，体验转化的数学思想方法。
一．旧知回顾例：解方程1x 2=x3解：方程两边同乘 x(x-2) ，得x=3(x-2) 解这个一元一次方程，得x=3检验：将 x=3代入原方程，得左边=右边所以，x=3是原方程的根解分式方程的基本思路是：_________________________________ 一般步骤是：_____________________________________________ 学生活动：（口答）解分式方程的基本思路是：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
一般步骤是：去分母、解整式方程、检验、下结论。
教师活动：（1）引导学生回顾解一元一次方程时有没有必须检验？（没有，这个步骤可以在演草本上进行）（2）引入正题：其实，这里的检验也不仅是为了验证我们求得的根是否是原方程的根，而更重要的目的是为了验证它是否是原方程的增根。
二．预习检测：在方程变形的过程中，产生的___________的根叫做方程的增根，增根应当舍去。
验根就是把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个__________的值是0，那么这个根就是方程的增根。
三．课内探究（一）在解方程x-8x-7-17-x=8 时，小亮的解法如下：解：方程两边同乘（x－7）,得x－8＋1=8(x－7) 解这个一元一次方程，得x=7思考：（1）你认为x=7 是原方程的根吗？学生观察后口答：x=7 不是原方程的根，因为它使方程中分母为0，分式没有意义。
（2）产生增根的原因是什么？教师媒体动画提示：“我”是（x-7）？奇怪？为什么方程两边同乘了“我”就变质了呢？学生活动：小组交流、讨论并口头展示若有困难，教师作适当提示：等式变形的条件是两边同乘以非零数或整式，而x-7可能为零。
八年级数学上册《解分式方程关于增根的讨论》教案、教学设计
步骤2：利用换元法、消元法等方法求解方程。
步骤3：检验解是否满足原方程，若满足，则为原方程的解；若不满足，则为增根。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组4-6人，布置讨论任务。
任务1：请各小组讨论一下，如何判断一个分式方程是否存在增根？
任务2：请各小组分享一个含有增根的分式方程，并展示求解过程。
提问2：那么，我们学过哪些求解分式方程的方法呢？它们分别适用于什么类型的方程？
2.情境导入：教师创设一个生活情境，让学生在实际问题中感受分式方程的应用。
情境：小明的妈妈在超市购物，遇到了一个优惠活动。原价100元的商品，现在打8折。请同学们帮小明计算一下，他妈妈购买这个商品实际花费了多少钱？
通过这个情境，引导学生列出分式方程，为新课的学习打下基础。
2.学生在小组内展开讨论，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.教师设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。
练习题1：求解下列分式方程，并判断是否存在增根。
练习题2：实际应用题，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.学生在规定时间内完成练习题，教师对学生的解答进行点评和指导。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学知识，总结解分式方程关于增根的讨论。
总结1：增根的概念及判断方法。
总结2：求解含有增根的分式方程的步骤。
2.学生分享自己在课堂上的收获和感悟，教师给予鼓励和肯定。
3.教师布置课后作业，巩固本节课所学知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：针对本节课所学的增根概念和求解方法，布置以下基础巩固题，要求学生在课后独立完成。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
本案例注重小组合作学习，让学生在小组内共同探讨问题、分享解题思路。这种合作学习方式有助于提高学生的沟通能力、团队协作能力和解决问题的能力。
4.注重反思与评价，提升学生自我认知
在教学过程中，我鼓励学生进行自我反思和同伴评价，使他们在反思中总结经验、发现不足，从而不断提升自己的认知水平和学习能力。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
一、案例背景
《分式方程的增根》是八年级数学上册的一个重要教学内容，它既是对前面所学整式方程解法的巩固，也是对分式方程解法的拓展。在学生掌握了基本的分式方程解法后，本章节通过探究“增根”现象，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。在教学过程中，我将以学生为主体，采用问题驱动法和合作学习法，让学生在自主探究和合作交流中，深刻理解增根的概念及其在分式方程中的应用，从而提高他们解决实际问题的能力。这个案例将结合教材内容，以生活实例引入分式方程的增根问题，引发学生的思考，使他们在实践中感受数学的魅力。
2.为每个小组分配不同的任务，要求他们通过合作解决问题，培养学生的团队协作精神。
3.引导学生在小组内分享解题思路和方法，提高他们的沟通能力。
4.对小组合作成果进行评价，鼓励优秀团队，激发学生的学习积极性。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将关注学生的反思与评价：
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结学习过程中的优点和不足，形成持续改进的学习习惯。
在本章节的教学过程中，我将始终关注学生的全面发展，努力实现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，为学生的成长奠定坚实的基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解分式方程的增根，我将创设以下教学情景：
《分式方程》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
分式方程一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 三、、课堂引入1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x 2．提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程vv -=+206020100.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 五、例题讲解[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化 为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. [分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 六、随堂练习解方程 (1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x （4）22122=-+-x xx x 七、课后练习1．解方程(1)01152=+-+x x (2) xx x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x2．X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？ 八、答案：六、（1）x=18 （2）原方程无解 （3）x=1 （4）x=54 七、1． (1) x=3 (2) x=3 （3）原方程无解 （4）x=1 2. x=23 课后反思：15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．D CA BD CAB所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，• 再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？DC A BD CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ．EDCABPDC A B∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
数学人教版八年级上册关于分式方程有增根与无解
关于分式方程有增根与无解海江中学李宝库一．教学目标：知识与技能：（1）利用分式方程解的情况确定所含字母的取值。
（2）注重基础知识，重视知识的拓展。
过程与方法：（1）将习题进行分类，通过复习知识点，总结解题方法，达到解一题会一种方法的目的。
（2）在解题过程中，深化对数学思想的认识。
情感态度与价值观：增强学生的信心，培养学生分析问题和解决问题的能力。
二．教学重点：利用分式方程解的情况确定所含字母的取值。
三．教学难点：综合运用知识的能力，解决问题的能力。
四．教学过程1.复习导入（1）.解分式方程的思路（2）解分式方程的一般步骤2关于分式方程有增根例1 解关于x的方程223242axx x x+=--+产生增根，则常数a= 。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把增根 代入整式方程求出字母的值随堂练习 1 23关于分式方程无解例2解关于x 的方程 无解，则常数a= 。
方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根.随堂练习 1 2 3随堂练习 1 25、 当堂检测1、解方程2.关于x 的方程有增根,则a ＝__ 。
3.解关于x 的方程 下列说法正确的是（ ）A.方程的解为 x=m+5B.当 时，方程的解为正数C.当 时，方程的解为负数D.无法确定223242ax x x x +=--+15m x =-5m >-5m <-4.若分式方程 无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 D.-26、 反思小结1.有关分式方程增根求字母系数的问题：2.有关分式方程无解求字母系数的问题：3.有关分式方程根的符号求字母系数取值范围的问题： a x a x =-+1。
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分式方程有增根-无解
-有解
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【分式方程有关内容】
解方程：(1)
4321222-=+--x x x (2)x x x -=+--23221 (3)11
4
112=---+x x x
注：可化为一元一次方程的分式方程可能有一个解，也可能无解。
增根：分式方程有增根满足两个条件
①分式方程化为整式方程后是整式方程的解②使分式方程最简公分母为0的未知数的值
例题1：关于x 的分式方程)
1(163-+=-+x x m
x x x 有增根，求m 的值
解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程
)
1)(1(11-+=--x x m x x 有增根，求m 的值
分式方程无解：增根不等同于无解
分式方程无解：①分式方程化为整式方程后整式方程本身无解 ②整式方程的解使最简公分母为零是增根而舍去，无解 例题2：关于x 的分式方程13
1=---x
x a x 无解，求a 的值
解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程x
x x m 2
132=--+无解，求m 的值
例题3：关于x 的分式方程x
x k x x -=-+2121有解，求k 的取值范围
解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程3
23-=
--x m
m x x 有解m 的取值范围
例题4：关于x 的分式方程11
2
=-+x m 的解为正数（非负数，负数，非正数）， 求m 的取值范围
解题步骤整理： 关于x 的分式方程
11
2
=++x a 的解为非正数，求a 的取值范围
能力提升：
2.若关于x 的分式方程
)
1)(2(21221+-+=+----x x a
x x x x x 的解是正数，求a 的取值范围？ 3.若关于x 的方程
1
15=
++m 无解，求m 的值？ 5.关于x 的分式方程
0)
1(163=-+--+x x m x x x 有解，求k 的取值范围？
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