1.4 环路定理2
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万有引力定律环路定理
万有引力定律与环路定理
一、万有引力定律
1. 定义：万有引力定律是描述物体之间相互作用的物理定律。
它指出任何两个质点都存在引力作用，这个力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
2. 公式：万有引力定律的公式为F = G * (m1 * m2) / r²，其中F 是两个质点之间的引力，G 是万有引力常数，m1 和m2 是两个质点的质量，r 是它们之间的距离。
3. 应用：万有引力定律在许多领域都有应用，如天体运动、地球物理学、材料科学等。
例如，天体之间的引力作用可以用来解释行星运动和宇宙结构的形成。
二、环路定理
1. 定义：环路定理是电磁学中的重要定理，它描述了磁场穿过闭合曲线的磁通量与穿过该曲线的电流之间的关系。
2. 公式：环路定理的公式为∮B·dl = μ₀I，其中B 是磁场强度，dl 是闭合曲线上的微小线段，I 是穿过该曲线的电流，μ₀是真空中的磁导率。
3. 应用：环路定理在电磁学中有广泛的应用，如电磁感应、电磁场计算等。
例如，在电磁感应中，环路定理可以用来计算感应电动势的大小和方向。
总结：万有引力定律和环路定理是物理学中的两个重要定理，它们在不同的领域都有广泛的应用。
通过了解这两个定理，我们可以更好地理解物理现象的本质和规律。
电学 1-4 环路定理、电势、电势差
§1.4 环路定理 电势 (四学时)
§1.4.1 静电场的环路定理 §1.4.2 静电势能 §1.4.3 电势和电势差 §1.4.4 电势的计算 §1.4.5 等势面 §1.4.6 电势梯度
从功和能的角度研究静电场的性质
§1.4.1 静电场的环路定理
一、什么是保守力 ？
力所做的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的
qE cos
a
b dl qlEcos
pE cos
W pE
当 p 和 E 同向时，W 取最小值 -pE，电偶极子达到稳
定平衡，即外电场的作用总是使电偶极子转向外场方向
§1.4.4 电势的计算
一、点电荷电场中的电势
选无限远为电势零点，点q电荷电量为 q，其场强为
E 40r 2 er
离点电荷为 r 的 P 点的电势为 积分路径沿径向
只与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。
静电力是保守力，静电力场是保守力场。
式中
Aab
b E dr
称为场强沿任意路径
L 的线积分
q0
a
三、静电场环路定理
考察：试验电荷在电场中运动经过闭合路径回到原来
位置时，电场力做功 ？
A
F
L
b
dr
q0
E dr
L a
L1
b
q0 q0
例 4 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2。圆
柱面均匀带电，线电荷密度分别为 1 和 2 。
求：1)电势分布；2)两圆柱面之间电压。
解：1) 由高斯定理可得场强分布
E
0
1
2 0r
(r R1 ) (R1 r R2 )
方向 垂直 于圆
§1.4.1 静电场的环路定理 §1.4.2 静电势能 §1.4.3 电势和电势差 §1.4.4 电势的计算 §1.4.5 等势面 §1.4.6 电势梯度
从功和能的角度研究静电场的性质
§1.4.1 静电场的环路定理
一、什么是保守力 ？
力所做的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的
qE cos
a
b dl qlEcos
pE cos
W pE
当 p 和 E 同向时，W 取最小值 -pE，电偶极子达到稳
定平衡，即外电场的作用总是使电偶极子转向外场方向
§1.4.4 电势的计算
一、点电荷电场中的电势
选无限远为电势零点，点q电荷电量为 q，其场强为
E 40r 2 er
离点电荷为 r 的 P 点的电势为 积分路径沿径向
只与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。
静电力是保守力，静电力场是保守力场。
式中
Aab
b E dr
称为场强沿任意路径
L 的线积分
q0
a
三、静电场环路定理
考察：试验电荷在电场中运动经过闭合路径回到原来
位置时，电场力做功 ？
A
F
L
b
dr
q0
E dr
L a
L1
b
q0 q0
例 4 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2。圆
柱面均匀带电，线电荷密度分别为 1 和 2 。
求：1)电势分布；2)两圆柱面之间电压。
解：1) 由高斯定理可得场强分布
E
0
1
2 0r
(r R1 ) (R1 r R2 )
方向 垂直 于圆
电磁学复习
实际中常用μF(微法)和pF(皮法)
等SI量。纲:
C
Q U
IT ML2T 3I 1
M
1L2T 4 I 2
电容只与几何因素和介质有关, 固有的容电本领。
2024/8/27
28
二、电容器及其电容
两个互不连结导体构成的闭合导体空腔称 为电容器。
定义 C Q Q U A U B U
电容器的电容是使电容器两极板之间具有单位电 势差所需的电量。 描绘了电容器储存电能的能力。
相互作用能
2024/8/27
或：把这些带 电体从无限远 离的状态聚合 到状态 a 的过 程中，外力克 服静电力作的 功。
39
点电荷组的静电势能W等于克服电场力所做 的功A'
W 1
2
i
qiU i
Ui为除qi以外的电 荷在qi处的电势
2024/8/27
40
第三章 恒定磁场和磁介质
§3.1 磁的基本现象 §3.2 毕奥 —萨伐尔定律 §3.3 磁场的高斯定理和安培环路定理 §3.4 安培定律 §3.5 洛伦兹力 §3.6 磁介质
静电场力做功与路径无关
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零
E dl 0
L
无旋
2024/8/27
18
电势差(electric potential difference)
两点之间电势差可表为两点电势值之差
b b
Uab
a
E dl
a
E dl
E dl
U (a) U (b)
33
E0
S
dS
1
0
q0
内+
E dS
S
1
静电场的环路定理
q
j
V V V 1 2 k q q q 1 2 n 4 r r 4 r 0 1 4 0 2 0 n
q i
电势叠加原理
V V P i r 0 i i i 4
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
a b
即：a、b两点的电势差 = A/q0
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
6
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
A q ( V V )
( e)( U )
R
R
2
1
F
c
dl
q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
1 1 q q q q 0 0 A d r 2 a4 r 4 r 0 0 a r b
b
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
结论
b b b A q E d l q E d l q E d l 0 1 0 2 0 n a a a
电场强度的线积分与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
3
二、环路定理
在任意电场中, 将q0从a
b L2 经L1
经L2
b电场力作功：
A q E d l 0 L
《环路定理》课件
《环路定理》PPT课件
欢迎来到《环路定理》的PPT课件！在这次的介绍中，我们将探讨环路定理 的定义、基本原理、应用场景、推导过程、计算方法以及与其他电路定律的 联系，同时还会分析一些实际案例。
环路定理的定义
什么是环路定理？
环路定理是一项用于分析电路的基本方法，它揭示了电流在闭合回路中的行为。
环路定理的重要性
在修复电子设备时，环 路定理可以帮助我们找 到故障元件并进行更精 确的维修。
环路定理的推导过程
1
建立回路方程
根据电路结构和电路元件之间的关系建立回路方程。
2
应用欧姆定律
根据欧姆定律计算回路中的电流，将其代入回路方程。
3
解方程求解
通过数学方法解方程，求得各个未知变量的数值。
环路定理的计算方法
计算步骤 选择回路方向
通过环路定理，我们可以更好地理解电路中各个元件之间的关系，从而解析电路中的电流和 电压。
环路定理的公式
环路定理可以用数学公式表示为：ΣV = 0，即沿着闭合回路的电压之和等于零。
环路定理的基本原理
电阻与电压关系
环路定理基于电阻与电压之间 的关系，根据欧姆定律计算回 路中的电流。
基尔霍夫定律
电流的交叉与合并
环路定理是基尔霍夫定律之一， 基尔霍夫定律是电路分析的基 础。
环路定理考虑了电流在回路中 的交叉和合并，帮助我们分析 复杂电路。
环路定理的应用场景
1 电路设计
2 故障排查
3 电子设备维修
环路定理可以帮助电路 设计师更好地分析电路， 优化电路结构和性能。
当电路出现故障时，使 用环路定理可以帮助我 们快速定位并解决问题。
建立方程 代入变量值 求解未知变量
计算方法 根据实际情况选择回路的方向Fra bibliotek可以简化计算。
欢迎来到《环路定理》的PPT课件！在这次的介绍中，我们将探讨环路定理 的定义、基本原理、应用场景、推导过程、计算方法以及与其他电路定律的 联系，同时还会分析一些实际案例。
环路定理的定义
什么是环路定理？
环路定理是一项用于分析电路的基本方法，它揭示了电流在闭合回路中的行为。
环路定理的重要性
在修复电子设备时，环 路定理可以帮助我们找 到故障元件并进行更精 确的维修。
环路定理的推导过程
1
建立回路方程
根据电路结构和电路元件之间的关系建立回路方程。
2
应用欧姆定律
根据欧姆定律计算回路中的电流，将其代入回路方程。
3
解方程求解
通过数学方法解方程，求得各个未知变量的数值。
环路定理的计算方法
计算步骤 选择回路方向
通过环路定理，我们可以更好地理解电路中各个元件之间的关系，从而解析电路中的电流和 电压。
环路定理的公式
环路定理可以用数学公式表示为：ΣV = 0，即沿着闭合回路的电压之和等于零。
环路定理的基本原理
电阻与电压关系
环路定理基于电阻与电压之间 的关系，根据欧姆定律计算回 路中的电流。
基尔霍夫定律
电流的交叉与合并
环路定理是基尔霍夫定律之一， 基尔霍夫定律是电路分析的基 础。
环路定理考虑了电流在回路中 的交叉和合并，帮助我们分析 复杂电路。
环路定理的应用场景
1 电路设计
2 故障排查
3 电子设备维修
环路定理可以帮助电路 设计师更好地分析电路， 优化电路结构和性能。
当电路出现故障时，使 用环路定理可以帮助我 们快速定位并解决问题。
建立方程 代入变量值 求解未知变量
计算方法 根据实际情况选择回路的方向Fra bibliotek可以简化计算。
安培环路定理11-4
F
B
v B
B
周期
带电粒子在磁场中的作用
（3）如果 v0 与 B 斜交成角
v0 x v0 cos v0n v0 sin
mv0 n R qB
v0 n
v0
B
q
v 0x
h
R
粒子作螺旋运动。
螺距
2m h v0 xT v0 x qB
洛伦兹力
B
v
F qv B
F qvB sin 方向： v B的方向
大小：
q
F
2. 带电粒子在磁场中的运动 2.1 设有一均匀磁场，磁感应强度为 ，一电荷 B 量为 q 、质量为 m的粒子，以初速 v0进入磁场中
（1）如果 v0 与 B 相互平行
0 Br d
L
2
0
0 I
0 I r d 2 结果一样！ r
长直电流的磁场
B dl B cos( ) d l
L
如果沿同一路径但改变 绕行方向积分：
L
B
L
I
d
r
dl
P
B cos dl L 2 I 0 d 0 2
2r 由几何关系得： dl cos rd
B
dl
0
0 I
长直电流的磁场
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合曲线不在垂直 于导线的平面内：
B
L
I
d
r
P
dl
B cos 90 dl B cos dl//
环路定理_精品文档
环路定理环路定理是电路理论中最基本的定律之一。
它是电工学和电子学的基础，能够帮助我们理解电路中电流和电压的分布。
环路定理是基于基尔霍夫定律的，其中基尔霍夫定律提供了电流的守恒原理。
在本文中，我们将学习环路定理的概念、应用和实例。
环路定理也被称为基尔霍夫环路定律。
它规定了在一个封闭的回路中，电流总和为零。
这是因为电流在一个电路中是连续不断地流动的，它必须回到初始点，这样才能满足电流的守恒。
环路定理可以通过以下公式来表示：∑(V_n) = 0其中，∑(V_n)表示在回路中所有电压源的总和，如果电压源是正极连接到负极，则视为正电压。
环路定理的主要思想是电势差的总和必须为零。
环路定理的应用非常广泛。
它可以用于解决各种电路中的问题，包括电流分布、电压分布和电阻的计算。
此外，环路定理也可以用于设计电路中的电流源和电压源。
环路定理的一个典型应用是计算电路中的未知电流。
通过在回路上画出合适的方向，利用环路定理可以得到多个方程，通过这些方程可以求解未知电流的值。
这对于分析电路中的电流分布和电压分布非常有用。
另一个重要的应用是计算电路中的电压降。
通过在回路上选择不同的路径，可以得到多个环路方程。
这些方程可以用来计算电路中各个电阻上的电压降。
通过运用环路定理，我们可以简化计算过程，提高计算效率。
环路定理在实际应用中非常有用。
例如，在电路板的设计和制造中，我们需要考虑电流分布和电压分布，以确保电路的正常工作。
通过使用环路定理，我们可以更好地理解电路中电流和电压的分布情况，并进行相关的改进。
除了电路设计外，环路定理还在电力系统中扮演着重要角色。
在电力传输过程中，我们经常需要估算输电线路中的电阻和电压降，以确保电力的正常传输。
通过应用环路定理，我们可以预测电力传输中的潜在问题，并采取相应的措施来解决这些问题。
在实际的环境中，环路定理可能会受到一些限制。
例如，当电路中存在非线性元件（如二极管和晶体管）时，环路定理可能不适用。
4 静电场的环路定理
B
高压发生器
静电力做正功， 电势能减少； 静电力做正功， ∆A > 0, WA > WB , 电势能减少； 静电力做负功， 电势能增加。 静电力做负功， ∆A < 0, WA < WB , 电势能增加。
电势能和重力势能一样，是一个相对量， 电势能和重力势能一样，是一个相对量，先要规定电 势能为0的参考点 如果参考点p0确定 的参考点。 确定， 势能为 的参考点。如果参考点 确定，则
R2 q1 R1 o Ⅰ Ⅱ
V=
1
r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2
Ⅲ
r ≥ R2
无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R， 例6 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 ，单 试求其电势分布。 位长度上的带电量为 + λ ，试求其电势分布。 解：电场分布也应有柱对称性 (1) r <R (2) r >R (2) r >R
∞ r r r r r r = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ....... + ∫ En ⋅ dl P P
P ∞ P ∞ ∞
= u1 + u2 + ...... + un = ∑ ui = ∑
i =1
n
P
4πε 0 ri
qi
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和 各点电荷单独存在时在该点电势的代数和, 代数和 注意(电势是一个标量) 电势是一个标量 注意 电势是一个标量
无旋场
2. 电势（Electric potential） ）
2.1 电势能
由环路定理知，静电场是保守场。 由环路定理知，静电场是保守场。 保守场必有相应的势能， 保守场必有相应的势能，对静电场 则为电势能。 则为电势能。 静电力的功，等于静电势能的减少。 静电力的功，等于静电势能的减少。
高压发生器
静电力做正功， 电势能减少； 静电力做正功， ∆A > 0, WA > WB , 电势能减少； 静电力做负功， 电势能增加。 静电力做负功， ∆A < 0, WA < WB , 电势能增加。
电势能和重力势能一样，是一个相对量， 电势能和重力势能一样，是一个相对量，先要规定电 势能为0的参考点 如果参考点p0确定 的参考点。 确定， 势能为 的参考点。如果参考点 确定，则
R2 q1 R1 o Ⅰ Ⅱ
V=
1
r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2
Ⅲ
r ≥ R2
无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R， 例6 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 ，单 试求其电势分布。 位长度上的带电量为 + λ ，试求其电势分布。 解：电场分布也应有柱对称性 (1) r <R (2) r >R (2) r >R
∞ r r r r r r = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ....... + ∫ En ⋅ dl P P
P ∞ P ∞ ∞
= u1 + u2 + ...... + un = ∑ ui = ∑
i =1
n
P
4πε 0 ri
qi
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和 各点电荷单独存在时在该点电势的代数和, 代数和 注意(电势是一个标量) 电势是一个标量 注意 电势是一个标量
无旋场
2. 电势（Electric potential） ）
2.1 电势能
由环路定理知，静电场是保守场。 由环路定理知，静电场是保守场。 保守场必有相应的势能， 保守场必有相应的势能，对静电场 则为电势能。 则为电势能。 静电力的功，等于静电势能的减少。 静电力的功，等于静电势能的减少。
环路定理
§11.3
磁场的高斯和环路定理
一、磁场的高斯定理 1．磁感应线：
•用来描述磁场分布的曲线。 •磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •磁感应线的疏密程度—— B的大小。 磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的 磁感应线的数目。
几种典型的磁感应线
B I 圆电流
载流长直导线
载流长螺线管
( L)
B
0 I
2 R
2
r.
(rR)
例2、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无限长圆柱面电流的磁场分布 (半径为 R )
解：取以I为轴的圆环为积分环路 当r > R时
L
B dl B2r o I
与电流集中在轴上的 直线电流的磁场相同
o I B 2r
当r < R时
B0
例3、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半径 分别为R2、 R3，电缆载有电流I(方向相反)，求磁场的分布。
I
r
B 2r 0 I
0 I B 2r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
B 2r
2 I ( r 2 R 2 ) 0 I 2 2 ( R3 R2 )
R3 I I
R1
R2
r
0 I ( R r ) B 2 2r ( R R2 )
电流正负的规 定––– 按右手螺 旋法则。
I
l
I
l
电流为正
电流为负
(2) 围绕电流I的垂直平面内 以任一回路为积分环路。
B dl Brd
o I LB dl L 2r rd o I
磁场的高斯和环路定理
一、磁场的高斯定理 1．磁感应线：
•用来描述磁场分布的曲线。 •磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •磁感应线的疏密程度—— B的大小。 磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的 磁感应线的数目。
几种典型的磁感应线
B I 圆电流
载流长直导线
载流长螺线管
( L)
B
0 I
2 R
2
r.
(rR)
例2、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无限长圆柱面电流的磁场分布 (半径为 R )
解：取以I为轴的圆环为积分环路 当r > R时
L
B dl B2r o I
与电流集中在轴上的 直线电流的磁场相同
o I B 2r
当r < R时
B0
例3、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半径 分别为R2、 R3，电缆载有电流I(方向相反)，求磁场的分布。
I
r
B 2r 0 I
0 I B 2r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
B 2r
2 I ( r 2 R 2 ) 0 I 2 2 ( R3 R2 )
R3 I I
R1
R2
r
0 I ( R r ) B 2 2r ( R R2 )
电流正负的规 定––– 按右手螺 旋法则。
I
l
I
l
电流为正
电流为负
(2) 围绕电流I的垂直平面内 以任一回路为积分环路。
B dl Brd
o I LB dl L 2r rd o I
环路定理
E U(gradU)
i j k x y z
矢量微分算符
直角坐标系表示
• E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 • 在数学场论中把
U : 称作梯度
A: A:
称作散度 称作旋度
静电场的基本方程的微分形式
• 数学场论公式
A dS AdV 面积分 体积分
S
V
A dl ( A) dS 线积分 面积分
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
0 电场付出能量，能量减少
APQ WPQ
( 电 势 能 的 减 少，与 场 源 和q0均 有 关
0 电场吸收能量，能量增加
• 从中扣除q0,即引入电势
WPQ
q0
APQ q0
UPQ
Q
E dl
P
P、Q两点之间的电势差定义为
于静电场力沿任意闭合回路做功
恒等于零
Edl 0
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径
L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q
P
A q0
E dl q0
P(
E
L1 )
d
l
q0
E dl
Q( L2 )
L
Q
Q
q0
E
p(L1 )
dl
q0
E dl 0
p(L2 )
Edl 0
讨论
电场强度和电势
• 已知场强 • 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元
位移dl电场力所做的元功
dA q0 E dl q0Edlcos 0 cos 0
大学物理电磁学部分04-环路定理电势
Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
7
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。U a
E pa q0
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为:
Aab
E p
b
(E
pb
E pa
b
Aab
F dl
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
11
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
一、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
点电荷q0所受电场力为：F q0E 点电荷的场中移动点电荷q0从 r
到 r dr,电场做的功：
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
安培环路定理2
大小：dB
q q q I T 2 2
0 q B 2R 4R
0 I
0 dq
4 R
q
所有电荷元产生磁场方向一致
B dB
0 dq
4 R
0 q
4R
例2、 均匀带电圆盘 已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 及圆盘的磁矩 解：如图取半径为r,宽为dr的环带。 dq dq 元电流 dI dq T 2 2 q dq ds 2rdr 其中 R 2
dr
B r
R
q
dI rdr
dB
0 dI
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2r
rdr
B dB
0dI
2r
0
R
0
2r
dr
rdr
0R
2
0q 2R
B r
R
线圈磁矩 如图取微元
m ISn
2
dm SdI r rdr
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI
五.运动电荷的磁场
0 Idl er dB 2 4 r
P 电荷密度
dQ n svdt q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl er dB 4 r2
电流元内总电荷数
例一： 如图载流长直导线的电流为 I 试求通过矩 , 解 先求 B ，对变磁场 形面积的磁通量. 给出 dΦ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
B // S
I
l
d1 d2
q q q I T 2 2
0 q B 2R 4R
0 I
0 dq
4 R
q
所有电荷元产生磁场方向一致
B dB
0 dq
4 R
0 q
4R
例2、 均匀带电圆盘 已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 及圆盘的磁矩 解：如图取半径为r,宽为dr的环带。 dq dq 元电流 dI dq T 2 2 q dq ds 2rdr 其中 R 2
dr
B r
R
q
dI rdr
dB
0 dI
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2r
rdr
B dB
0dI
2r
0
R
0
2r
dr
rdr
0R
2
0q 2R
B r
R
线圈磁矩 如图取微元
m ISn
2
dm SdI r rdr
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI
五.运动电荷的磁场
0 Idl er dB 2 4 r
P 电荷密度
dQ n svdt q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl er dB 4 r2
电流元内总电荷数
例一： 如图载流长直导线的电流为 I 试求通过矩 , 解 先求 B ，对变磁场 形面积的磁通量. 给出 dΦ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
B // S
I
l
d1 d2
第三讲 环路定理
a
0
R
q
b
c
R
② 将单位负电荷由
O电场力所作的功
AO Vo V 0
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例4
计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。
解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为 λ 。 计算在x轴上距直线为r的任一点P处的电势。 因为无限长带电直线的电荷分布延 y 伸到无限远的，所以在这种情况下 不能用连续分布电荷的电势公式来 计算电势V，否则必得出无限大的 结果，显然是没有意义的。同样也 O 不能直接用电势公式来计算电势， 不然也将得出电场任一点的电势值 为无限大的结果。
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比较：
高斯定理：
S E ds qi内 0
——静电场是有源场
环路定理：
L E dl 0
——静电场是保守力场
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三．电势能：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能
重力（保守力）的功=重力势能增量的负值 静电力的功=静电势能增量的负值 a点电势能 Wa 试验电荷 q0处于 b点电势能 则 a 取 所以
Wa
注意：
* q0 a E dl
势能零点位置
（1） 电势能零点的选取是任意的，常选无 限远处为势能零点。 （2）势能是一个相对的量值。
（3）用上述定义求电势能必须先明确空间的场强分布。 （4） 积分路径可任取
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四．电势
电势差
Wa q0 E dl
q
O
r r1
q
X
其中
r x y
2 2
2
cos
x x y
环路定理的公式
环路定理的公式
1. 静电场环路定理。
- 公式：∮_L→E· d→l = 0。
- 含义：
- 在静电场中，电场强度→E沿任意闭合路径L的线积分等于零。
这表明静电场是保守场，电场力做功与路径无关，只与始末位置有关。
2. 安培环路定理（真空中稳恒磁场）
- 公式：∮_L→B· d→l=μ_0∑_i = 1^nI_i。
- 含义：
- 对于稳恒磁场，磁感应强度→B沿任意闭合路径L的线积分等于真空磁导率μ_0乘以穿过以该闭合路径为边界的任意曲面的电流的代数和∑_i = 1^nI_i。
这里电流的正负由右手螺旋定则确定，当电流方向与闭合路径的绕行方向符合右手螺旋关系时，电流取正，反之取负。
环路定理
∫ B dl = ∑I
L 0 L内
i
∫ B dl = ∑I
L 0
内
几点说明: 几点说明:
1)B是L上dl处的磁感应强度,是由空间所 ) 是 上 处的磁感应强度 处的磁感应强度, 有电流共同产生叠加的结果. 有电流共同产生叠加的结果. 2)I内是被 所包围的电流,∑I内则是 所包 ) 是被L所包围的电流 所包围的电流, 则是L所包 围的电流代数和. 围的电流代数和. 3)定理揭示了真空中B的环流只跟被包围的 )定理揭示了真空中 的环流只跟被包围的 电流代数和有关,没有被L所包围的电流对 所包围的电流对B 电流代数和有关,没有被 所包围的电流对 的环流没有贡献. 的环流没有贡献. 4)∫LB d l ≠ o 说明为非保守场 也称涡旋场 . ) 说明为非保守场(也称涡旋场 也称涡旋场). 5)学习时注意与电场的高斯定理进行比较. )学习时注意与电场的高斯定理进行比较.
× × × × ×
×
×
×
R1 R2 解:分析磁场分布: 分析磁场分布: 已知:R1,R2匝数N 已知: 匝数 电流I 电流
作半径为r的安培环路 作半径为 的安培环路L 的安培环路
π 当 R R << r 取圆周的平均值代替 2 r 2 1
R +R 2 L =2 π 1 平 2 0NI N B= = 0nI n = L L 平 平
R r L
1)作半径为 r (R ≤ r < ∞) ) 的安培环路L 的安培环路L
r
R
也是以中心 轴线为对称 的分布. 的分布.
∫ B dl = ∑I = I ∫ B dl = ∫ Bcos0 dl = I B∫ dl =B2πr = I I
BC
物理-环路定理
三、电势
1、定义
说明：
U E p
“0” E dr
q
A
（1）对有限带电体，通常 选 无限 远为电势零点
U A
E dl
A
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点；
（2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
Q
dq
e
带电体
r
A
UdUA
? dq
4 0r
dq
U A Q 4πε0r
三、电势
例2 求一均匀带电细圆环，半径为R，带正电
荷量Q。求圆环轴线上任意点P 的电势。
dU p
z
r
O
R dl
三、电势
例3 求均匀带电薄圆盘轴线上任意点P 的电
势。设圆盘半径为R，盘上电荷面密度为 σ 。
dUp
dq 4πε0(r 2
即：静电场是无 旋场。 E 0
二、静电势能
(1) 电势能是电荷与静电场
B
所构成的系统共有的。
L1
(2) 某点电势能的大小与势
能零点的选取有关。
q
A
L2
E
但任意两点间的电势能差 与势能零点选取无关。
“0”
E pA A Fe dr
1E8pA11E年pB泊 松W把eA势B 能
(3) 库用 电仑于 学力静 的F电 解与e 学 析电， 理势发论能E展。p的了关静系：
q+
A
积分至无穷远
E
r
U(r) q
4πε0r
三、电势
(2) 点电荷系的电势
U A
推广：
i
qi 4 π ε0ri
环路定理的物理意义
环路定理的物理意义
环路定理是电学中的一个重要原理，也称为基尔霍夫第二定律。
它用于描述电路中的电压分布和电流的关系。
环路定理的物理意义如下：
1. 守恒定律：环路定理基于能量守恒的原理，表明在闭合电路中，电流沿着闭合回路保持守恒。
换句话说，电路中的电流不会产生或消失，总电流的大小在整个回路中保持不变。
2. 电压分布：环路定理描述了电压在电路中的分布规律。
根据该定理，沿着闭合回路的电压和电阻元件的电压之和等于电源电压之和。
这意味着电路中的电压在闭合回路中会按照一定的规律分布，从电源到各个电阻元件，并最终回到电源。
3. 电路分析：环路定理为电路分析提供了一个重要的工具。
通过应用环路定理，可以建立一组方程来描述电路中的电流和电压关系，从而解决复杂电路中的未知量。
4. 设计和故障排除：环路定理可以帮助设计电路和进行故障排除。
通过分析电路中各个回路的电流和电压，可以确保电路设计的稳定性和正确性。
在故障排除过程中，环路定理可以用来检查电路中的电压分布是否符合预期，从而找出问题的根源。
总而言之，环路定理提供了电路中电流和电压之间的关系，基于能量守恒的原理。
它在电路分析、设计和故障排除等方面具有重要的物理意义和应用价值。
环路定理
解：
a
r P
x
U=
q 4 0 x2 +a2 πε
x
dU qx E = Ex = − = 2 2 32 dx 4 0(x +a ) πε
U(x, y, z) =C
• 常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面之间的 常用一组等势面描述静电场， 电势差相等。 电势差相等。
点电荷的电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
+ +
+ +
+
+
+
+场线的关系: 等势面与电场线的关系: （a） 等势面与电场线处处正交； 等势面与电场线处处正交； 电场线指向电势降低的方向； （b） 电场线指向电势降低的方向； （c） 等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。 等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。
q
r
a
r+dr r dl θ r q0 E
结论：在点电荷电场中， 结论：在点电荷电场中，电场力所作的功只与试验电荷始末 位置有关，而与试验电荷运动路径无关。 位置有关，而与试验电荷运动路径无关。
（2）在任意电荷系的电场中： 在任意电荷系的电场中：
r v E = ∑Ei
r r v r v r A= q0 ∫ E⋅ dl = q0 ∫ ∑E ⋅ dl = ∑ 0 ∫ E ⋅ dl = ∑A q i i i
例2、 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 σ 。求轴线上 均匀带电圆板， 电势。 任一点 P 的电势。 解： dU =
dq 4 0 x +r πε
2 2
dr r
R P
dq =σ2π rdr
电磁学_静电场_1.4 环路定理
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为 AP U ( p) U P E dl P q0 两点之间电势差可表为两点电势值之差
点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？ 无限大平面板ห้องสมุดไป่ตู้势能零点能否选在无穷远？
例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是 3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度， 设电子从阴极出发时初速为零。
[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒
连续带电体有
1
U P E d l dU
P
i
dq 1 dq 1 dq dU ( 2 4 0 P r 4 0 r P 4 0 rP
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电 势吗？
问题
地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生 的 若以无穷远为势能零点，则地球的电势为
U地 5.4 10 V
8
思考：
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
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静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1 , q 2 , , q n
E E1 E 2 E n
在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功
A PQ
Q
P
Q F dl q0 E dl P Q Q q 0 E1 d l E 2 d l P P
16
v
2 e U KA me
31
m/s 3 . 25 10 m/s
7
电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的区 间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得这么 多能量（动能）——1eV
1eV 1 . 60 10
1keV 10 eV
3
P到 q1 的距离
Q到q1 的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个微 元均为一点电荷 ——点电荷组 结论：在任何电场中移动试探电荷时，电 场力所做的功除了与电场本身有关外，只 与试探电荷的大小及其起点、终点有关， 与移动电荷所走过的路径无关
方法一：已知场强求电势
E1 0 E2 E3 1 4 1 4
0
0 r Ra Qa r Qa Qb r
2 2
Ra r Rb r Rb
0
III
U3
r
E3 dl
1 4
0
Qa Qb r
II
U2 Qa 4
0
E dl 1 1
q0 4
0
Q
P
E n dl
q q1 1 r p 1 rQ 1
q q 2 2 r rQ 2 p2
q q n n r rQn pn
电势差的定义
A PQ 0 W PQ 0
W PQ q0
电场付出能量，能量减 ( 电势能的减少
少
， 与场源和 q 0 均有关 加
电场吸收能量，能量增
A PQ q0
从中扣除q0,即引入电势
U
PQ
Q P
E dl
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
r
Rb
r
E 2 dl
Rb
E3 dl 1 ( Qa Qb )
(
)
Qa Qb
I
U1 0
r Rb E dl
1 (
0
r
4 0 R b Ra E1 d l
r
4 0 r Rb E 2 dl
Ra
0
Rb
Rb E3 dl
Qb Rb )
Qa Ra
4
Qb Rb
)
Qa Qb 4 0 R b
1 4
(
Qa Ra
方法二：电势叠加
内壳单独存在 r Ra r Ra U内 U外 Qa 4 0 R a Qa 4 0 r
外壳单独存在 r Rb r Rb U内 U外 Qb 4 0 R b Qb 4 0 r
§4 环路定理
习题 p74 1-24、26、 36、39
静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流
流速场的环流
0 有旋 v d l 0 无旋
静电场：电力线不闭合 可以猜到静电场的环流为零
E dl 0
证明
问题
选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电势 吗？
地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场是地 球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的 若以无穷远为势能零点，则地球的电势为
U 地 5 . 4 10 V
8
例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000 V， 试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极 出发时初速为零。
[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发 到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒
1 2
m ev e U
2 16
KA
( 1 . 60 10
19
) ( 3 000 ) J
4 .80 10
J
电子到达阳极时获得的动能为
2 4 .80 10 9 .11 10
单位：1V(伏特）＝1J/C
电势叠加原理
点电荷组有
UP
Ui
1 4
0
qi ri
E dl
P
P
E1 d l
P
E2 d l
P
Ek d l
U P 1 U P 2 U Pk
U
i
pi
连续带电体有
1 4 0
静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等 价于静电场力沿任意闭合回 路做功恒等于零
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 P——Q——P，电场力所做的功为
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
L
Q
E dl 0
Q
P
P ( L1 )
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的 电势的叠加 Ⅰ： U 1内 U 2内
Ⅱ： Ⅲ：
U 1外 U 2 内
U 1外 U 2 外
小结：
求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布； 电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势， 然后再叠加； 电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加 容易
UP
E dl
P
dU
1 dq
dU
P
dq r
2
1 4 0
(
dq r
)
P
4 0 rP
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
A PQ q 0 E d l W PQ W P W Q (W Q W P )
P
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p
E dl
两点之间电势差可表为两点电势值之差
U PQ
Q P
E dl
P
E dl
Q
E d l U ( P ) U (Q )
Q
Q ( L2 )
q0 E d l q0 E d l 0
p ( L1 ) p ( L2 )
E dl 0
讨论
哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引入引力势能 重力 引入重力势能 势函数 弹性力 引入弹性势能 （位） 静电力 引入静电势能 静电力是保守力, 静电场是有势场。
单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q
AP Q
Q P
Q
F dl
Fdr
Q P
F co s d l
qq0 4 0
P
rQ rP '
Fdr
rQ rP '
dr r
2
A PQ
qq 0 4
0
rQ rP '
dr r
2
rQ qq 0 1 1 q E ( r ) dr 0 r rP ' 4 0 p ' rQ
19
C 1V 1 . 60 10
1 MeV 10 eV
6
19
J
千 吉
兆 太
1GeV 10 eV
9
1TeV 10
12
eV
求电势
用电势定义求： 用电势叠加原理求
UP
UP
E dl
P
dU
两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ra和Rb，带电总 量分别为Qa和Qb,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区内的电势分布