04-2.2 拉压杆的应力

材料力学大连理工大学王博

拉压杆的应力

判断：1 已知轴力求应力，这是静不定问题 2 需要研究变形才能解决

思路：

应力表达式 （由内力表示应力） 观察变形（外表）

变形假设（内部） 应变分布 应力分布 回顾：

应力的点、方向等概念 变形协调 物理关系 静力学条件

拉压杆的应力

F 1

F 2

1.

变形特点

纵线——仍为直线，平行于轴线横线——仍为直线，且垂直于轴线F

F 纵线横线

一、横截面上的应力

2. 平面假设 Plane cross-section assumption 杆件的任意横截面在杆件受力变形后

仍保持为平面, 且与轴线垂直。

3.应变分布

由平面假设，轴向应变分布是均匀的

4.应力分布

由均匀性假设，横截面上的应力也是均匀分布的，即各点应力相同

5. 应力公式

由平衡关系，横截面上 因此，拉压杆横截面上只存在正应力

静力学关系 ∴ d A σd A

N d F A A

σσ==⎰N F A

σ=0

τ=

F F F F

F 问题： 两杆横截面的正应力分布是否相同？

小讨论

N F A σ=N F A σ=F

原理:等效力系只影响

荷载作用点附近局部区

域的应力和应变分布。

结论：无论杆端如何受力，拉压杆横截面的正应力均可用下式计算： 二、圣维南（Saint-Venant ，1797-1886） 原理

N F A

σ=

F

A

C B

45º 2 1

例题

已知：A 1= 1000 mm 2, A 2= 20000 mm 2, F = 100 kN 求：各杆横截面的应力 ∑F y = 0, F N1 sin45°－F = 0 解：⑴ 轴力计算 取结点A 100221N ⨯==F F = 141.4 kN =－100 kN ∑F x = 0, －F N1cos45°－F N2 = 0 F N2 =－F N1cos45°

=－141.4 cos45° 45° F N2 F N1 A F x y

⑵ 应力计算 例题

F N1 = 141.4 kN F N2 =－100 kN ()+=⨯==MPa 4.1411000104.141311N 1A F σ()

--=⨯-==MPa

520000

10100322N 2A F σF

A C B

45º 2 1 45° F N2 F N1 A

F x y

三、斜截面的应力

拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，斜截面上

是否也是这样？

观察一个现象：

F N F N F N F N

横截面面积 A 正应力σ =F /A 斜截面面积 内力 全应力 分解：正应力和切应力 p α

P α 斜截面上的应力

F F k

k

α

F k k

α /cos A A αα=/cos p P A ααασα==F k

k α

α ασατp α α

σασαα2cos cos ==p α

σ

αασαταα2sin 2sin cos sin ===p P F α=

讨论

可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。 F k k α

α ασατp α α

σ

τα2sin 2=ασσα2cos =(1) 0α=： max ασσ=, 0

ατ=(2) 45α=： /2ασσ=, max

/2ατσ=(3) 90α=： 0ασ=, 0ατ=