巧用比较判别法判定正项级数的收敛性_张志成

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正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用

正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。

关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。

正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。

在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。

这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。

我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。

对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。

本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。

希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。

1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。

正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。

正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。

通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。

深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。

1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。

关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。

在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。

目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。

这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。

正项级数收敛性的判别方法

正项级数收敛性的判别方法正项级数是指级数的每一项都是非负数的级数。

1.比较判别法：比较判别法是通过与已知收敛（或发散）的级数进行比较，判断待定级数的收敛性。

具体有以下两种情况：a.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≤c*b_n，那么只要∑b_n收敛，∑a_n也收敛；b.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≥c*b_n，那么只要∑b_n发散，∑a_n也发散。

2.比值判别法：比值判别法是通过计算级数的项之间的比值的极限，来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：计算序列c_n=(a_{n+1})/a_n的极限lim_{n→∞}c_n。

根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。

3.根值判别法：根值判别法是通过计算级数的项的根的极限，来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：计算序列c_n=(a_n)^{1/n}的极限lim_{n→∞}c_n。

4.积分判别法：积分判别法是将级数中的每一项转化为一个函数f(x)，然后通过计算该函数在区间[a,∞)上的不定积分，来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：a.将级数的每一项a_n转化为函数f(x)在区间[a,∞)上的函数表达式；b. 计算函数f(x)在区间[a, ∞)上的不定积分∫f(x)dx；c. 若不定积分∫f(x)dx收敛，那么级数∑a_n收敛；d. 若不定积分∫f(x)dx发散，那么级数∑a_n发散。

关于正项级数收敛性的一个判别准则

n
1
时, 有
- Ε < Α
1-
uN ・N
nΑ
Ε Α 2
2
n
Ε
ln n
< ( 1-
n
un )
n
ln n
<
n
1un ) n
uN ・N
+ nΑ
Ε Α + 2
2
n
Ε
ln n
< Α + Ε
所以
∞
n →∞
li m ( 1-
ln n
= Α
定理 2 对正项级数∑u n , 如果存在常数 Α > 1 及 N , 使当 n > N 时, 有 n= 1
∑
∑
∞
定理 3 对正项级数∑u n , 若存在常数 Β> 1 及 N , 使当 n > N 时, 有 n= 1
( 1ln n
n
-
n
un )
n
ln ln n
n
≥Β
则级数收敛; 若存在 N , 使当 n > N 时, 有
( 1ln n
n
-
n
un )
ln ln n
≤1
则级数发散. 关于定理 3 的证明可类似于定理 2, 这里从略.
( 4) 模式的层次性和多样性体现了数学的统一性。对数学模式的研究又必然会形成一系列新的数学模式,
所以模式具有鲜明的层次性。例如, 方程是一种模式, 作为对一元二次方程这一类模式的研究, 其求解的概括化与形式化又产生出求根公式这一新模式, 前后两者有着不同的层次。再如, 自然数→整数→有理数→实数→复数, 群→环→域, 等等。前述模式研究的自由性也构成了模式的多样性。例如进位制, 历史上曾出现过五进制、二十进制、十六进制、二十进制、六十进制等, 巴比伦人和玛雅人有位值制概念, 却都不是十进制; 古埃及和古希腊是十进制, 却没有位值制, 只有中国是最早采用十进位值制的国家。这种十进位制计数系统后来被世界各国通用。英国著名科学史家李约瑟曾说:“如果没有这种十进位值制, 就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。 ” 这是对十进位值制统一性的高度评价。

高数考研难点解析级数收敛的比较判别法

高数考研难点解析级数收敛的比较判别法级数是数学中一个重要的研究对象，而判断级数收敛与发散是高等数学中的难点之一。

其中，比较判别法是一种常用的方法，本文将对高数考研中级数收敛的比较判别法进行详细解析。

一、比较判别法的概念比较判别法是判断级数收敛与发散的一种重要方法。

其基本思想是通过与已知的收敛级数或发散级数进行比较，从而得出待判断级数的性质。

具体而言，当级数 a_n 和级数 b_n 满足以下条件时，可以利用比较判别法来判断级数 a_n 的收敛性：1. 若存在正数 M，使得对于所有的 n，都有a_n ≤ b_n，同时级数b_n 是收敛的，则级数 a_n 也是收敛的。

2. 若存在正数 M，使得对于所有的 n，都有a_n ≥ b_n，同时级数b_n 是发散的，则级数 a_n 也是发散的。

二、比较判别法的应用下面通过几个具体的例子，来说明比较判别法在难点解析级数收敛性判断中的应用。

例一：判断级数∑(n=1)∞(1/n^2 + 2/n^3) 的收敛性。

我们观察到级数∑(n=1)∞(1/n^2 + 2/n^3) 的一部分可以进行比较，即∑(n=1)∞(1/n^2)，这是一个已知的收敛级数，即 p 级数。

根据比较判别法中的第一条规则，我们知道只需要证明级数∑(n=1)∞(1/n^2 + 2/n^3) 的每一项都小于等于级数∑(n=1)∞(1/n^2) 的对应项即可。

当n≥1 时，有2/n^3 ≤ 2/n^2，因此∑(n=1)∞(2/n^3) ≤ ∑(n=1)∞(2/n^2)。

那么我们可以得到∑(n=1)∞(1/n^2 + 2/n^3) ≤ ∑(n=1)∞(1/n^2 + 2/n^2) = ∑(n=1)∞(3/n^2)。

由于∑(n=1)∞(3/n^2) 是一个已知的收敛级数（p 级数），根据比较判别法的第一条规则，我们可以得出级数∑(n=1)∞(1/n^2 + 2/n^3) 也是收敛的。

例二：判断级数∑(n=1)∞(1/n + 2/(n^2 + 1)) 的收敛性。

用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性

用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性∑n=1到无穷1/1+a的n次方当a>1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a<1，所以级数和收敛。

当0<=a<=1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和是不收敛的。

当-1<a<0时，|a^n|=|a|^n < 1，所以-1< a^n < 1，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和还是不收敛的。

当a=-1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中的奇数项分母为零，没有意义。

当a<-1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a，绝对值<1，所以级数和也是收敛，并且是绝对收敛的。

阿贝尔（Abel）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷（Dirichlet）判别法合称为A-D判别法。

主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。

编辑本段级数应用数项级数若数列{an} 单调有界，级数Σ(n=1,∞) bn 收敛，则任意项数项级数Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛函数项级数若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x↔D关于n单调，且函数列{an(x)} 在D上一致有界，即存在M>0，使得│an(x)│≤M (x↔D，n↔N)；同时，函数项级数Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛，则函数项级数Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x↔D) 在D上一致收敛编辑本段积分应用反常积分无穷限反常积分：若∫(a,+∞) f(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛无界函数反常积分：若∫(a,b) f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛含参变量积分若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛；(2)、g(x,y)关于x单调，即对于每一个固定的y↔[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、g(x,y)一致有界，即存在M>0，使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞，y↔[c,d])。

关于正项级数收敛性的判别法

关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。

正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。

正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。

关键词：级数；正项级数；收敛；发散。

AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。

浅谈正项级数收敛性的几种判别方法

浅谈正项级数收敛性的几种判别方法浅谈正项级数收敛性的几种判定方法摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，正项级数的收敛性更是级数理论的核心问题。

正项级数收敛性的判别方法很多，但是用起来需要有一定的技巧。

本论文从四个方面（1）、比较原则；（2）、达朗贝尔判别法，或称为比式判别法；（3）、柯西判别法，或称为根式判别法；（4）、积分判别法归纳了正项级数收敛性。

关键词：正项级数、收敛、判别法、判断引言关于正项级数收敛性的问题，本文首先分析题目的要求，然后再来选择最合适的判别方法来判断正项级数的收敛性。

下面用（1）比较原则，（2）比式判别法，（3）根式判别法，（4）积分判别法四种判别方法对正项级数的收敛性进行判别。

（1）比较原则比较原则是一种常用的极限形式，也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。

根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性。

比较原则：设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n >N 都有n u ≤n v（i ）若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。

推论设++++n u u u 21 ，（1） ++++n v v v 21 （）是两个正项级数，若l v u nn n =∞→lim，（3）则（ⅰ）当+∞<<="" 且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；="" （ⅱ）当0="l" （ⅲ）当+∞="l">例1、考察∑+-112n n 的收敛性。

解由于当2≥n 时，有nn n n -≤+-22111=2)1(1)1(1-=-n n n因为正项级数∑∞=-22)1(1n n 收敛，通过比较原则可得级数∑+-112n n 也收敛。

以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。

函数项级数一致收敛的几个判别法_数学与应用数学专业毕业论文精品

分类号O174.1编号2012010743毕业论文题目函数项级数一致收敛的几个判别法学院数学与统计学院姓名郝金贵专业数学与应用数学学号281010743研究类型基础研究指导教师贾凤玲提交日期2012年5月22日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：函数项级数一致收敛的判别法的讨论郝金贵(天水师范学院数学与统计学院 ,甘肃,天水,741000)摘要：本文着重介绍函数项级数一致收敛的几种判别法,首先通过问题引入探讨函数项级数一致收敛的概念,然后进一步研究了几种判别方法,即对数判别法；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法等,并对每种新方法给予严格证明.关键字：函数项级数；一致收敛性；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法；比较判别法.The Discussion on Some Method for Uniform Convergence of FunctionSeriesHaoJinguiAbstract: the paper gives several discriminant method on uniform convergence of Function Series,firstly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new methods of each given strict proof. Keywords: function Series;uniform convergence;integral discriminant method;effective sufficient discriminant method;and forced convergence test;more discriminant method目录引言 (1)1.函数项级数一致收敛的定义 (1)1.1函数项级数一致收敛概念引入 (1)2.函数项级数一致收敛的判别方法 (2)2.1比式判别法 (2)2.2根式判别法 (2)2.3对数判别法 (3)2.4积分判别法 (3)2.4.1正项级数判别法的回顾 (3)2.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法 (4)2.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 (5)2.6有效充要判别法 (8)2.7夹逼收敛判别法 (10)2.8比较判别法 (11)3.正项函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明 (12)参考文献 (16)函数项级数一致收敛的几个判别法的讨论引言众所周知,函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多及其相似的地方,对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现他们在判别方法上极其相似,特别是在判别法的名称上,比如它们都有Cauchy 判别法,Abel 判别法,Dirichlete 判别法等,这里就是根据数项级数判别法探讨几个函数项级数一致收敛的判别法.1 函数项级数一致收敛的定义 1.1函数项级数一致收敛概念引入我们先来看一下下面这样一个例子：例1 设u 1(x) = x, u n (x) = x n －x n-1( n=2,3,……),x ∈[0,1]由上知,S n (x)=∑=nk u 1k (x) = x n , S(x) =⎩⎨⎧=≤≤1,11x 0,0x ,当x ∈(0,1) 时,| S n (x)－S(x) | = xn.),1(0<>∀ε | S n (x)－ S(x) | = x n<⇔εn In x ＜InxIn n εε>⇔.当ｘ()1,0∈时,ｘ变,Ｎ也变,且当ｘ-→1时,ｎ+→∞,因此找不到公用的N*,使得(),1,0*,∈∀≥∀x N n 有|S n (x)- S(x)|<ε.不论n 多么大,总有离1很近的x,使得S n (x)离S(x)很远. 再来看这样一个例子：例2 设u 1=21x x +,()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=2222111x n x x n x u n (),...3,2,1=n ,x R ∈,0)(lim )(==∞→x S x S n n ,所以|S n (x) －S(x)|=n x n x n n x n x 211||2211||2222≤+=+.,0>∀ε取N=[ε21]+1,R x N n ∈∀≥∀,,恒有| S n (x)－S(x)|≤ε.由上面的两个例子可以看出,并非所有的函数项级数对于给定的0>ε,都能找到一个公用的N*,使得ε≤-∈∀≥∀|)()(|,*,x S x S E x N n n 恒成立.由此,我们引出一致收敛的概念.定义设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集E 上收敛于S （x ）.如果,))((,0N N N ∈=∃>∀εε使得E x N n ∈∀≥∀,,恒有ε<-∑=|)()(|1x S x u n k k ,则称∑∞=1)(n n x u 在E上一致收敛于S(x).2 函数项级数一致收敛的判别方法 2.1比式判别法定理2.1 设u n (x)为定义在数集D 上正的函数列,记)()()(1x u x u x q n n n +=,存在正整数N 及实数q 、M,使得：q n (x)≤q<1,M x u N ≤)(对任意的n>N,D x ∈成立,则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.定理1有极限形式：定理 2.2 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,记)()()(1x u x u x q n n n +=,若)()(lim x q x q nn =∞→ 0≤q<1,且)(x u n在D 上一致有界,则函数项级数)(1x u n n∑∞=在D 上一致收敛.2.2根式判别法定理 2.3 设u n (x)为定义在数集D 上的函数列,若存在正整数N,使得1|)(|<≤q x u nn ,对D x N n ∈>∀,成立,则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.注：当定理3条件成立时,级数)(1x u n n ∑∞=在D 上还绝对收敛.定理 2.4 设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列,若1)(|)(|lim <≤=∞→q x q x u n n n 对D x ∈∀成立,则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛.2.3对数判别法定理2.5 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,若Innx Inu n n )(lim-∞→=p(x)存在,那么：⑴若对1)(,>>∈∀p x p D x ,则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛；⑵若对,D x ∈∀1)(<<p x p , 则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上不一致收敛.证明由定理条件知,对N n N >∀∃>∀使得对,,0ε,有ε-)(x p <-<Inn x Inu n )(ε+)(x p ,即εε+-<<)()(1)(1x p n x p nx u n ,则当D x p x p ∈∀>>对1)(成立时,有p n nx u 1)(<,而p 级数∑p n 1当p 大于1时收敛,由优级数判别法知函数项级数∑∞=1)(n nx u 在D 上一致收敛；而当1)(<<p x p 对D x ∈∀成立时,有∑>ppnn p nx u 1,1)(级数当p<1时发散,从而函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上不一致收敛.例3 设 nn x n n x u )]1(41...[951)]1(32...[852)(-+⋅⋅-+⋅⋅=为定义在D=[0,1]上的函数列,由于：143434132lim )()(lim1<≤=++=∞→+∞→x x n n x u x u n nn n ,0≤)(x u n ≤2,由定理2知函数项级数∑∞=1)(n n x u 在[0,1]上一致收敛.例4 函数项级数∑nx n在()],[,+∞⋃-∞-r r 上一致收敛(其中r 为大于1的实常数).因为1||1||||<<→=r x x n x n nn n ,由定理4知结论成立. 2.4积分判别法2.4.1正项级数判别法的回顾定理 2.6 设f 为[1,+∞)上的非负减函数,那么正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.例5 讨论级数∑∞=2)(1n pInn n 的敛散性. 解首先研究反常积分dx Inx x p⎰+∞2)(1的敛散性,由dx Inx x p ⎰+∞2)(1=du uInx Inx d In p p ⎰⎰+∞+∞=221)()(,当p>1时收敛,p ≤1发散.根据定理1知级数∑∞=2)(1n pInn n 在p>1时收敛,在p ≤1时发散. 2.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法定理2.7 （函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε,总存在某一正整数N,使得当n>N 时对一切x D ∈和一切正整数p,都有ε<+++++|)(...)()(|1x u x u x u p n n n .定理2.8 （含参变量反常积分一致收敛的柯西准则）含参变量反常积分dy y x f c ⎰+∞),(在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε,总存在某一实数M>c,使得当21,A A >M 时,对一切x ∈[a,b]都有ε<⎰|),(|21dy y x f A A .定理 2.9 设f(x,y)为区域R={(x,y)|a ≤x ≤b,+∞<≤y 1}上的非负函数,如果f(x,y)在区间[1,∞+)上关于y 为单调减函数,那么函数项级数∑∞=1),(n n x f 与含参变量反常积分dy y x f ⎰+∞1),(在区间[a,b]上具有相同的一致收敛性.证明由假设),(y x f 为区域R =(){}∞≤≤≤≤y b x a y x 1,|,上的非负函数,并且),(y x f 关于y 为),1[+∞上的减函数,对区间[a,b]上任意固定的x 以及任意n ≥2的自然数,我们有)1,(),(),(1-≤≤⎰-n x f dy y x f n x f nn ⑴①若含参变量反常积分dy y x f c⎰+∞),(在[a,b]上一致收敛,则由定理3可得,对任意给定的正数ε,总存在某一实数M>1,使得当n>M+1时,对一切x ∈[a,b]和一切正整数p,都有⎰+-<pn n dy y x f 1|),(|ε.由⑴式,对一切x ∈[a,b]有⎰+-<<+++++p n n dy y x f p n x f n x f n x f 1),(|),(...)1,(),(|ε.由定理2可知：函数项级数∑∞=1),(n n x f 在区间[a,b]上一致收敛.⑵若函数项级数∑∞=1),(n n x f 在区间[a,b]上一致连续,由定理3可得：对任意给定的正数ε,总尊在某一正数N,使得当n>N 时,对一切x D ∈和一切正整数p,都有ε<+++++|),(...)1,(),(|p n x f n x f n x f .而对任意的NA A >21,,令1][,1][2010+=++=A p n A n （这样的正整数0n 和p 总是存在的）,由⑴式,对一切],[b a x ∈有ε<+++++<<⎰⎰+|),(...)1,(),(||),(||),(|0002100p n x f n x f n x f dy y x f dy y x f A A pn n .由定理4可知：含参变量反常积分⎰+∞1),(dy y x f 在[a,b]上一致收敛.例6 设)1(1),(223y x In yy x f +=,证明含参变量积分⎰+∞1),(dy y x f 在[0,1]上一致收敛.证明令...2,1),1(1)(223=+=n x n In n x u n ,易见,对每个n,)(x u n 为[0,1]上的增函数,故有 )1(1)1()(23n In nu x u n n +=≤,n=1,2...又当t ≥1时,有不等式t t In <+)1(2,所以 ...2,1,1)1(1)(223=<+≤n nn In n x u n以收敛级数∑∑)(12x u nn 为为优级数,推得∑)(x u n 在[0,1]上一致收敛.另外,对任意的{}1,10|),(),(+∞≤≤≤≤=∈y x y x R y x 有0)1(1),(223≥+=y x In yy x f ,并且对任意固定,0),(],1,0[≤∈y x f x y 即),(y x f 是区间[1,+∞)上的减函数,因此由定理2知,含参变量积分⎰+∞1),(dy y x f 在[0,1]上一致收敛. 由此可见,以定理2为依据,我们既可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质,也可以利用积分的便利条件判断某些函数级数的一致收敛性.2.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别定理 2.10 函数数列{})(x n Φ在数集D 上一致收敛于⇔Φ)(x 对任意给定的+∈∃>Z N ,0ε,使得当n>N 时,对一切D x ∈和任意的+∈Z p ,都有ε<Φ-Φ+|)()(|x x n pn .定理2.11 函数项级数∑∞=1)(k k x u 在数集D 上一致收敛⇔对任意的+∈∃>Z N ,0ε,使得当n>N 时,对一切D x ∈和任意的+∈Z p ,都有|)(|1∑++=pn n k kx u ε<++=++|)(...)(|1x u x up n n .由定理1和定理2容易看出,函数项级数一致收敛同他的部分和序列的一致收敛是等价的.虽然都是充要条件,但在实际应用上,要用这一原理判断一致收敛仍是困难的,因为函数的片段也是较难求和.从以上的定理可推出更为简单的M 判别法如下：定理 2.12 设有函数项级数)(1x u k k ∑∞=,且D x ∈的每一项)(x u k 满足D x M x u k n ∈≤,|)(|,则函数项级数)(1x u k k ∑∞=在D 上一致收敛.由上可知,M 判别法也只是充分判别法,一般的函数项级数很难满足此充分条件,即使在满足的条件下,在寻求其相应的控制级数（或优级数）时也具有相当的难度. 定理 2.13 设级数)(x u n∑为函数项级数,Ix ∈若N N ∈∃,使n>N 时有)(|)()(|1x r x u x u n n ≤+,其中1)(sup <=∈r x r Ix ,且)(x u n 在I 上有界,则)(x u n ∑在I 上绝对收敛. 证明不妨设n=1时就有)(|)()(|1x r x u x u n n ≤+,则可推的M r x u r x u n n n 111|)(||)(|--≤≤ n=2,3… M |)(|sup 1x u Ix ∈= 而∑∞=-11n n Mr收敛根据M 判别法|)(|1∑∞=n n x u 在I 上一致收敛.推论设级数 |)(|1∑∞=n n x u 为函数项级数,)(|)()(|lim ,1x r x u x u I x n n n =∈+∞→若,1)(sup <=∈r x r I x 且)(x u n （n=1,2...）于I 上有界,则∑∞=1)(n n x u 在I 上绝对一致收敛.证明由)(|)()(|lim 1x r x u x u n n n =+∞→且1)r 0(1)(sup <+>∀<=∈εε不妨取得r x r Ix ,N N ∈∃,当n>N 有1)(|)()(|1<+≤+<+εεr x r x u x u n n ,即当n>N 有|)(|)(|)(|)(|11N n n n r x u r x u -+++≤+≤εεN N n N M r x u -++≤1)(|)(|ε其中|)(|sup x u M N Ix n ∈=而N Nn Nn M r ∑∞=-++1)(ε收敛.根据M 判别法,∑)(x u n 于I 绝对一致收敛.定理 2.14 设级数∑∞=1)(n n x u 为函数项级数,N N .∈∃∈若I x 使n>N 时有)(|)(|x r x u nn ≤,且1)(sup <=∈r x r Ix ,则∑∞=1)(n n x u 在I 上绝对一致收敛.证明据条件,n>N 时有成立。

正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

级数收敛的判别方法

级数收敛的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数相加或相乘得到的结果。

在数学分析中，级数的收敛性是一个重要的问题，而判别级数是否收敛的方法也是我们需要掌握的重要知识。

本文将介绍级数收敛的判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看级数收敛的基本概念。

级数收敛是指当级数的部分和随着项数的增加而趋于一个有限的数时，我们称这个级数是收敛的。

而当级数的部分和随着项数的增加而无限地趋近于无穷大时，我们称这个级数是发散的。

因此，判别一个级数是否收敛，就是要判断这个级数的部分和是否有极限存在。

接下来，我们将介绍几种常见的级数收敛的判别方法。

首先是比较判别法。

比较判别法是级数收敛判别的常用方法之一。

它的基本思想是通过比较给定级数和一个已知级数的大小关系来判断级数的收敛性。

具体来说，如果给定级数的绝对值能够被一个已知级数的绝对值控制，那么我们可以得出给定级数的收敛性。

比较判别法的关键是要选择一个已知级数，通常我们会选择一个便于判断的级数作为比较对象，比如调和级数或者等比级数。

其次是根值判别法。

根值判别法是判别级数收敛的另一种常用方法。

它的基本思想是通过计算级数的通项的n次根的极限来判断级数的收敛性。

如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限大于1或者不存在，则级数发散。

根值判别法的关键是要选择合适的级数通项进行计算，通常我们会选择一个便于计算的形式进行转化，然后再进行极限计算。

最后是积分判别法。

积分判别法是判别级数收敛的另一种常用方法。

它的基本思想是通过将级数的通项进行积分转化成函数的积分形式，然后通过函数积分的性质来判断级数的收敛性。

如果函数积分收敛，则级数收敛；如果函数积分发散，则级数发散。

积分判别法的关键是要选择合适的级数通项进行积分转化，并且要掌握函数积分的性质和计算方法。

综上所述，级数收敛的判别方法包括比较判别法、根值判别法和积分判别法。

通过掌握这些方法，我们可以更好地判断级数的收敛性，从而更好地理解和应用级数的相关知识。

正项级数收敛的几种判别法

正项级数收敛的几种判别法一：比较判别法：设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv间成立着关系：0>∃c ，使得n n cv u ≤，,...,3,2,1=n （或自某项以后，即N ∃当N n >时）成立以上关系式，那么(1)当级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛。

(2)当级数∑∞=1n n u 发散时，∑∞=1n n v 也发散。

比较判别法的极限形式：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv，如果n u 和n v 是同阶无穷小量，即)0(lim∞<<=∞→l l v u nn n ,则∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv同时收敛或同时发散。

二：Cauchy 判别法：设∑∞=1n n u 为正项级数，n nn u r ∞→=lim ，则： (1)当1<r 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>r 时，级数∑∞=1n n u 发散；(3)当1>r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。

三：D ’Alembert 判别法：设∑∞=1n n u )0(≠n u 是正项级数，则(1)当1lim1<=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞=1n n u 收敛； (2)当1lim1>=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞=1n n u 发散； (3)1≥r 或1≤r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。

引理：设∑∞=1n n u 为正项级数，则nn n n n n n n n n n n u uu u u u 11lim lim lim lim+∞→∞→∞→+∞→≤≤≤上述引理说明：若一个正项级数的收敛情况可以由D ’Alembert 判别法判定，则它一定也能用Cauchy 判别法判定，但是，能用Cauchy 判别法判定的，却未必能用D ’Alembert 判别法判定。

四：积分判别法：对正项级数∑∞=1n n u ，设n u 为单调减少的数列，做一个连续的单调减少的正值函数)0)((>x x f ，使得当x 为自然数n 时，其值恰为n u ，亦即n u n f =)(，那么级数∑∞=1n n u 与数列}{n A ，这里⎰=nn dx x f A 1)(同为收敛或同为发散。

正项级数收敛的判别方法

数学与统计学院应用数学系综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法摘要：各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。

本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。

关键字：正项级数收敛比较原则比式判别法根式判别法积分判别法1基本概念1.1 数项级数及其敛散性在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。

定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12n u u u ++++（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。

数项级数(1)的前n 项之和，记为1nn kk S u==∑，称为（1）的前n 项部分和。

定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称数项级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为1nn S u∞==∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。

根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0ε∀>，0N ∃>，n N ∀>，p Z +∀>，有12||.n n n p u u u ε++++++<(ii) 级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=.(iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。

(iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。

(v) 运算性质：若级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，c d 是常数，则1()nn n cudv ∞=+∑收敛，且满足1()nn n cudv ∞=±∑=11n n n n c u d dv ∞∞==±∑∑1.2 正项级数及其收敛的判别方法设级数∑∞=1n nu的各项0≥n u （1,2,3,n =）, 则称级数∑∞=1n nu为正项级数.显然，正项级数的部分和数列}{n S 是单调增加的，即12n S S S ≤≤≤≤由数列极限存在准则知：如果这个数列有上界，则它收敛；否则它发散.根据这一基本事实，可以得到正项级数收敛的基本定理。

数项级数敛散性判别法。(总结)

数项级数敛散性判别法。

(总结)数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。

在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。

以下是数项级数敛散性判别法的总结：1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。

2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。

3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数$q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<q$，那么数项级数收敛。

如果存在一个常数 $r>1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>r$，那么数项级数发散。

如果 $q=1$，那么该方法不确定。

4. 根号(拉阔)判别法：对于一个数项级数，如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$，那么数项级数收敛；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1$，那么数项级数发散；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$，那么该方法不确定。

5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。

如果积分发散，那么数项级数也发散。

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