第二章点、直线、平面的投影
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第二章点、直线、平面的投影
YW
Y
YH
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18
2.特殊情况二 两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。
YW
Y
YH
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19
§2-3 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
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32
例2-5 已知水平线AB及 正平线CD，试过定点S作 一条与它们都垂直的线SL。
例2-6 已知矩形ABCD的不 完全投影，试补全该矩形的 两面投影。
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33
§2-4 平面的投影
一、平面投影的表示法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
这几种确定平面的方法是可以相互转化的
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34
二、一般位置平面及投影特性
名称
正平面
直 观 图
水平面
侧平面
投 影 图
投 1.正面投影反映实形；
1.水平投影反映实形；
1.侧面投影反映实形；
影 特
2.水平投影积聚成直线,且∥OX2.;正面投影积聚成直线，且∥OX；
2.正面投影积聚成直线,且∥OZ;
性 3.侧面投影积聚成直线,且∥OZ。 3.侧面投影积聚成直线,，且∥OYw。 3.水平投影积聚成直线, 且∥OYH。
一般位置平面:平面与三个投影面都倾斜
投影特性:投影均为类似形。
YW
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35
三、特殊位置平面及投影特性
1.投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另外两个投影
工程制图第二章点直线平面的投影
′
βγ
α ″
′
″
′
″
第四节 直线的投影
三、点、直线的从属关系
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
′
第四节 直线的投影
例1：判别点C是否属于直线AB
′
″
′
′
″
′
′
″
′
第四节 直线的投影
例2：作属于直线AB的点K,使AK:KB=3:2
′ ′ ′
第四节 直线的投影
例3：在直线ＡＢ上确定点Ｋ，使点Ｋ到V与H面距离之比为2:3。
4.不变性：平行于投影面的直线（平面），其投影反映实长，实形。
第二节常用的两种投影图
多面正投影图
轴测投影图
第三节 点的投影
1 2 3
注意：点的一个投影不能确定空间点的位置
第三节 点的投影
一、点在三投影体系中的投影及其投影规律 1. 三面投影体系的建立：
第三节 点的投影
2. 点的三面投影图
3. 点的三面投影与直角坐标系的关系
′
′′
′
′′
′
′′
第五节 平面的投影
一、平面的表示法：
1.几何元素表示法
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
2. 迹线表示法
第五节 平面的投影
二、各种位置平面 １、投影面的平行面： 正平面 水平面 侧平面
正 平 面(//v面）
′
′
′
′
″″
″″
′
′
′
′
″″ ″″
水 平 面(//H面）
机械制图—第二章 点、直线和平面
§2-3 直线投影 例：过C点作直线与AB垂直相交。 分析：
AB为正平线, 正面投 影反映直角。
c c
●
.
d
b
●
a
d
b
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§2-3 直线投影 六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 分析：过A点作AC∥ab，
V
b
B a
则得到直角三角形ABC。
ΔZ
X
A a
O
C
b H
在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ Δ Z Δ Z(A、B两点的Z坐标差)， 而∠BAC 即α 角， 斜边即AB实长。
投射中心 投射线
空间物体
投影 投影面
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§2-1 投影法的基本知识 二、投影法的分类
投影法有两类:中心投影法和平行投影法
中心投影法
平行投影法
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§2-1 投影法的基本知识 三、投影法的基本特性
1.中心投影法 投影特性：
投射中心、物体、 投影面三者之间的相 对距离对投影的大小 有影响，度量性较差。
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§2-3 直线投影 ⒉ 两直线相交
V c
b
k
a A a c C
b d K D d k a B a H
c
k
d
d c k b
b
特点：交点是两直线的共有点 判别方法： 若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间点的投影规律。
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§2-3 直线投影 例：过C点作水平线CD,且与AB相交。 分析: CD为水平线, 所以其正面投影平 行于OX轴,因此,先 作出CD的正面投影, 从而找到CD与AB交 点的正面投影。
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
第二章点、直线、平面的投影直线的投影
a'
W
X
b
O
a"
YW
a'
γ
X
A a
b
a"
a
YH
H
Y
α与水平面的夹角 β与正平面的夹角 γ与侧平面的夹角
直线的三面投影长度均小于实长， 三面投影均倾斜于投影轴，但不反 映空间直线对投影面倾角的大小。
想一想AB的投 影在…… ?
一般位置直线投影实例
一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处 于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾 斜，且投影线段的长小于空间线段的 实长。从投影图上也不能直接反映出 空间直线和投影平面的夹角。
Z W
b'
X
a'
A H a a'
B
X a' b A a H b' a' X b O O
b"
B
a
H a'
Z
a"
b
a"
Y b"
Z
Y b"
a"
X
b' α
b
γ
b'
O a YH
b" YW
X
a
O
β γ
YW
YW
YH
1、a′b′=AB=实长 2、ab∥OX轴 , a" b" ∥ OZ轴 3、β=0°α、γ反映 实际大小
2、投影面平行线 1）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜
Z
V Z b'
βγ
a"
a'
W
b"
b'
a" b" O
画法几何与机械制图课件第二章点、直线和平面的投影
第二章点、直线和平面的投影§2—1 点的投影§2-2 直线的投影§2-3 平面的投影返回§2—1 点的投影一、点在三投影面体系中的投影二、点的投影和坐标三、两点的相对位置返回HVXO Z YWa'aa"Aa xa za y点的正面投影：a ’、b b ’’、c c ’’……点的水平投影：a 、b 、c c …………点的侧面投影：a "、b b "" 、c c "" ……一、点在三投影面体系中的投影1. 点的三面投影HVXO ZWa'aa"Aa xa z a yHa'a a"VWX OZY WY H2.2.点的三面投影的展开Ha'aa"VW XOZY WY Ha xaya za yHVXOZWa'a a"Aa xa z a y1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴（aa aa’’⊥OX)2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 轴（aa aa””⊥OZ)3. 点的水平投影到OX 轴的距离等于侧面投影到OZ 轴的距离（aax=a aax=a””az)3. 点在三投影面体系中的投影ZY HXY WOa'a"a已知点A 的正面投影a ’和水平投影a ，求其侧面投影a ”。
1. a 1. a’’a ⊥OX ;2. a OX ; 2. a’’a ” ⊥OZ ;3. OZ ; 3. aax=a aax=a aax=a””az 例：Ha'aa"VW XOZ Y WY Ha xaya za y(x A ,z A )(x A ,y A )(y A ,z A )HV XO ZYWa'a a"a ya xa zxyzA1.点的坐标X A (Oax) = Aa (Oax) = Aa”” ————点到W 投影面的距离；Y A (Oay (Oay) = Aa ) = Aa ) = Aa’’ ——————点到V 投影面的距离；Z A (Oaz (Oaz) = Aa ) = Aa ) = Aa ——————点到H 投影面的距离。
机械识图-第二章点直线平面的投影
γ＝90° α、β=0° ab∥OX a′b′∥OX
X
a′ a′ (b′) a′ b′
b″ b′
a″ a″
a″(b″) b″ O
YW
b a a b a(b)
YH
12
现 代 工 程 图 学
Z
二．两直线的相对位置 １．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同 面投影必定相互平行；反之，如果两直线的 各同面投影相互平行，则两直线在空间一定 相互平行。
X
c′
b′ a′
c′
Ｖ
a′ β O A a α
b′ B01 Yb-Ya B B0 b
C b A a c a
b c
15
现 代 工 程 图 学
四．用直角三角形法求线段的实长
AB实长 b01 b′ a′
X
b′ β a′
AB实长 α a b O
X
O a α
a b0 AB实长 b
b
16
现 代 工 程 图 学
一．平面的表示法 １．几何要素表示法
Ｐ
Z
２．迹线表示法
Z
ＰＺ ＰＶ
O
ＰＺ ＰＶ
X
ＰＷ ＰＹ
O
YW
ＰＷ
ＰＸ ＰＨ ＰＹ
X
ＰＸ
ＰＨ
ＰＹ
Y
YH
18
现 代 工 程 图 学
Z
Z
PV PV
X
PW
a′ b′
a″ b″ O
PW
YW X
a PH b
O
YW
YH
YH
铅垂面及平面内的直线
水平面的迹线表示法
19
X
a′ a′ (b′) a′ b′
b″ b′
a″ a″
a″(b″) b″ O
YW
b a a b a(b)
YH
12
现 代 工 程 图 学
Z
二．两直线的相对位置 １．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同 面投影必定相互平行；反之，如果两直线的 各同面投影相互平行，则两直线在空间一定 相互平行。
X
c′
b′ a′
c′
Ｖ
a′ β O A a α
b′ B01 Yb-Ya B B0 b
C b A a c a
b c
15
现 代 工 程 图 学
四．用直角三角形法求线段的实长
AB实长 b01 b′ a′
X
b′ β a′
AB实长 α a b O
X
O a α
a b0 AB实长 b
b
16
现 代 工 程 图 学
一．平面的表示法 １．几何要素表示法
Ｐ
Z
２．迹线表示法
Z
ＰＺ ＰＶ
O
ＰＺ ＰＶ
X
ＰＷ ＰＹ
O
YW
ＰＷ
ＰＸ ＰＨ ＰＹ
X
ＰＸ
ＰＨ
ＰＹ
Y
YH
18
现 代 工 程 图 学
Z
Z
PV PV
X
PW
a′ b′
a″ b″ O
PW
YW X
a PH b
O
YW
YH
YH
铅垂面及平面内的直线
水平面的迹线表示法
19
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
第二章：点、直线、平面的投影
V——主视图
H——俯视图
W——左视图
（3）三面投影体系的展开
为了画图和看图的 方便，假想地将三 个投影面展开、摊 平在同一平面（纸 面）上，并且规定：
正面V不动；水平面 H绕OX轴向下旋转 90°；侧面W绕OZ轴
向右旋转90°，如 图所示。
俯视图在主视图的正下方，左视图在 主视图的正右方。
画图时，投影 面的边框线和 投影轴均不必 画出，同时按 上述方法展开， 即按投影关系 配置视图时， 也不需要标明 视图名称，最 后得到的三视 图如图所示。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时， 其投影变短或变小。
1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
H
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
1. 中心投影法 S
H
2.平行投影法----斜投影
H——俯视图
W——左视图
（3）三面投影体系的展开
为了画图和看图的 方便，假想地将三 个投影面展开、摊 平在同一平面（纸 面）上，并且规定：
正面V不动；水平面 H绕OX轴向下旋转 90°；侧面W绕OZ轴
向右旋转90°，如 图所示。
俯视图在主视图的正下方，左视图在 主视图的正右方。
画图时，投影 面的边框线和 投影轴均不必 画出，同时按 上述方法展开， 即按投影关系 配置视图时， 也不需要标明 视图名称，最 后得到的三视 图如图所示。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时， 其投影变短或变小。
1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
H
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
1. 中心投影法 S
H
2.平行投影法----斜投影
第二章点、直线、平面的投影
归纳正投影的三个特性如下： 归纳正投影的三个特性如下：
1.当几何要素与投影面平行时 当几何要素与投影面平行时——其投影表现出真实性 其投影表现出真实性 当几何要素与投影面平行时 其投影表现出 2.当几何要素与投影面垂直时 当几何要素与投影面垂直时——其投影表现出积聚性 其投影表现出积聚性 当几何要素与投影面垂直时 其投影表现出 3.当几何要素与投影面倾斜时 当几何要素与投影面倾斜时——其投影表现出类似性 其投影表现出类似性 当几何要素与投影面倾斜时 其投影表现出
（点击图形演示动画） 点击图形演示动画）
理解和运用三等关系可以准确迅速地绘 制物体的三视图， 制物体的三视图，同时凭借着三等关系也可 检查所画的视图是否有差错。 检查所画的视图是否有差错。 回节目录
17
4.三视图与物体方位的对应关系 三视图与物体方位的对应关系
物体有上、 物体有上、下、左、右、前、后六个方位， 后六个方位， 各视图反映的方位如图所示： 各视图反映的方位如图所示： 主视图能反映物体的上下和左右方位 俯视图能反映物体的左右和前后方位 左视图能反映物体的上下和前后方位
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33
2.特殊情况一 2.特殊情况一
两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。 两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。
YW
Y
YH
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34
2.特殊情况二 2.特殊情况二
两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。 两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。
YW
Y
YH
重影点
35
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作业
习题集P6－ 习题集P6－P7 P6 2-1～2- 6
12
1.三投影面体系 三投影面体系 ⑴ 三个投影面
●正立投影面
点直线与平面的投影
02
点、直线与平面的关系
点与平面的关系
点的投影
点在平面上的投影是该点与平面 交点的位置。
点的位置关系
点在平面内、点在平面外、点在平 面上的不同位置关系会影响其投影。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积 聚性。
直线与平面的关系
直线的投影
直线在平面上的投影是该直线与平面交线的位置。
直线与平面的位置关系
点、直线与平面的投影
• 点、直线与平面的基本概念 • 点、直线与平面的关系 • 点、直线与平面的应用 • 点、直线与平面的投影性质 • 点、直线与平面的投影作图
01
点、直线与平面的基本概念
点的投影
01
02
03
点的投影
将一个点按照一定的投影 规则投影到一个平面上， 得到该点的投影点。
点的投影性质
分割平面
02
直线可以将平面分成不同的区域，用于几何图形的分割和划分。
确定角度
03
通过两条直线的交点可以确定平面上的角度，如直角、锐角、
钝角等。
平面在平面上的应用
形成立体图形
平面可以与其他平面相交，形成立体的几何图形，如圆柱、圆锥 等。
支撑物体
平面可以作为支撑面，用于支撑物体，保持其稳定。
划分空间
平面可以将空间分成不同的区域，用于建筑、室内设计等领域中 的空间划分和布局。
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
直线投影特性
直线的投影具有真实性、类似性和积聚性，同时还有垂直性和倾斜 性。
平面与平面的关系
平面的投影
两个平面在空间中的相对位置关 系可以通过其投影来表现。
平面的位置关系
平行、相交、垂直等不同位置关 系会影响其投影。
机械制图 第二章 点、直线、平面的投影
点的投影规律表明：点的两个投影反映 了点的三个坐标，确定了点的空间位置， 因此已知点的任意两个投影，总可以求出 其第三投影，且唯一。
南京师范大学 xws
10
【例1】已知A点的两个投影a和a′，求a″。 】
分析： 由于已知点A的正面投影 和水平投影a， 的正面投影a′和水平投影 分析： 由于已知点 的正面投影 和水平投影 ，则点的空间 位置可确定，也即点A的三个坐标 的三个坐标x、 、 都已知 都已知， 位置可确定，也即点 的三个坐标 、y、z都已知，根据点 的投影规律， 的投影规律，a′a″⊥OZ，a ax = a″az，作出其侧面投影 ⊥ ， ， a″。 。
Z a' b' αγ X O B b a YH
正平线AB的三面投影 图 2-14正平线 的三面投影 正平线
南京师范大学 xws 23
a" b" Yw A
2）投影面垂直线 在三投影面体系中，垂直于一个投影面 与其它两个投影面都平行的直线称为投影 面垂直线。 垂直于 V 面的直线称为正垂线；垂直于H 面的直线称为铅垂线；垂直于 W 面的直线 称为侧垂线。
Z x a' y O z X a Y a X x A a" a' z ax y O y x z A ax z x ay Y a ay YH (c) (a) (b)
x y
Z az y
z y
a' a" X O
Z az
a' ' Yw ay
45°
图2-4点的三投影面体系 点的三投影面体系
南京师范大学 xws 7
a' b' X a' '
z
b' ' Yw
南京师范大学 xws
10
【例1】已知A点的两个投影a和a′，求a″。 】
分析： 由于已知点A的正面投影 和水平投影a， 的正面投影a′和水平投影 分析： 由于已知点 的正面投影 和水平投影 ，则点的空间 位置可确定，也即点A的三个坐标 的三个坐标x、 、 都已知 都已知， 位置可确定，也即点 的三个坐标 、y、z都已知，根据点 的投影规律， 的投影规律，a′a″⊥OZ，a ax = a″az，作出其侧面投影 ⊥ ， ， a″。 。
Z a' b' αγ X O B b a YH
正平线AB的三面投影 图 2-14正平线 的三面投影 正平线
南京师范大学 xws 23
a" b" Yw A
2）投影面垂直线 在三投影面体系中，垂直于一个投影面 与其它两个投影面都平行的直线称为投影 面垂直线。 垂直于 V 面的直线称为正垂线；垂直于H 面的直线称为铅垂线；垂直于 W 面的直线 称为侧垂线。
Z x a' y O z X a Y a X x A a" a' z ax y O y x z A ax z x ay Y a ay YH (c) (a) (b)
x y
Z az y
z y
a' a" X O
Z az
a' ' Yw ay
45°
图2-4点的三投影面体系 点的三投影面体系
南京师范大学 xws 7
a' b' X a' '
z
b' ' Yw
点、直线、平面的投影
提示：已知两个视图，要补画其他视图 时，首先应根据已知视图中对应线框的投影 想象其立体图，然后再根据立体图，并结合 投影关系补画其他视图。在想象立体图时， 可从反映该特征最明显的视图入手，忽略图 中的虚线和部分线条想象其基础形体，然后 再考虑其他图线产生的原由。
补画某个视图时，为了防止出现错误，一 定要按该物体的形成过程绘制，切记不要看 到棱边就画，想画哪就画哪。
机械制图
1 点的投影
无论点在空间处于什 么位置，其三面投影仍然 遵守“长对正、高平齐、 宽相等”的投影规律。
1
空间点对于由V、H和W平面组成的投影体系有以下三种位置关系：
当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内，如图下中A点的投影。
当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上。
水平线
正平线
侧平线
若将投影面平 行线与V、H、W面 的夹角定义为α、β 和γ，则该直线和与 其平行的投影面的 夹角为0°，和其他两 个投影面的夹角在 其平行的投影面上 反映真实大小。
3．一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影均与
2 投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也
不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如下图所示。
3 平面的投影
空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。
3
1．投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
若空间平面平行于一个投影面， 则必垂直于其他两个投影面，这样 的平面称为投影面平行面。平行于 V、H、W投影面的平面分别称为 正平面、水平面和侧平面。投影面 平行面在与其平行的投影面上的投 影反映实形，在其他两个投影面上 的投影积聚成一条直线，且平行于 相应的投影轴，如右表所示。
第二章点、直线、平面的投影点的投影
10
a" O b YH
X
a
20
10
YW
例2、已知各点的两面投影，求作其第三投 影，并判断点对投影面的相对位置。 z 点A的三个坐标值均 a" a' 不为0，A为一般位置。 c' c" b' o b" yw 点B的Z坐标为0，故 c x 点B为H面上的点。 a
b
yH
点C的x、y坐标为0， 故点C为z轴上的点。
三、点的三面投影与直角坐标的关系：
将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、 W 当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标 轴，o 作 为原点。 点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。
点A的x坐标值=oax =aay=a'az=Aa"反映点A到W面的距 离。 Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa'反映点A 到V面的距离。 Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点A到H面的距离。
a'
az A O
a
W
a"
X
ax
ay Y
H
规定：空间点 A用大写字母 表示，在H面 的投影用a， 在V面的投影 用a'，在W面 的投影用a"表 示。
点的三面投影规律： （1）、点的投影连线垂直于投影轴。
即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz （2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标， 也就是该点到相应投影面的距离。
Hale Waihona Puke YH例、已知点A的投影，且知点B在A的左方10、下方15及前 方12，试作出点B的投影。
左 下 前
O
前
a" O b YH
X
a
20
10
YW
例2、已知各点的两面投影，求作其第三投 影，并判断点对投影面的相对位置。 z 点A的三个坐标值均 a" a' 不为0，A为一般位置。 c' c" b' o b" yw 点B的Z坐标为0，故 c x 点B为H面上的点。 a
b
yH
点C的x、y坐标为0， 故点C为z轴上的点。
三、点的三面投影与直角坐标的关系：
将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、 W 当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标 轴，o 作 为原点。 点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。
点A的x坐标值=oax =aay=a'az=Aa"反映点A到W面的距 离。 Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa'反映点A 到V面的距离。 Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点A到H面的距离。
a'
az A O
a
W
a"
X
ax
ay Y
H
规定：空间点 A用大写字母 表示，在H面 的投影用a， 在V面的投影 用a'，在W面 的投影用a"表 示。
点的三面投影规律： （1）、点的投影连线垂直于投影轴。
即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz （2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标， 也就是该点到相应投影面的距离。
Hale Waihona Puke YH例、已知点A的投影，且知点B在A的左方10、下方15及前 方12，试作出点B的投影。
左 下 前
O
前
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11
2015-4-24 chenmeihua
2 投基本原理
4. 点的直角坐标与三面投影的关系
(x,z) (y,z) (x,y,z) (x,z) (y,z)
(x,y)
(x,y)
1) A→W =Aa = aaZ = aaYH = XA 2) A→V =Aa = aaX = aaZ=YA 3) A→H = Aa=aaX =aaYH = ZA
a' a
b' s
c' c
a" (c")
b"
b
2
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
2.1 点的投影
一、点的两面投影 二、点的三面投影与坐标系的关系
三 、两点的相对位置及重影点
3
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
一、点的两面投影
1.点在一个投影面上的投影 过空间点A的投射线与 投影面P的交点即为点A在P 面上的投影。 点在一个投影面上的 投影不能确定点的空间位 置。
12
点的两个投影包 含点的三个坐标
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
例2-1 已知A(15,10,20)、B（5,15,0），求它们的投影 图及立体图。Z az a az a" a' A a
ax b a ay
X aX
a
bX b'
aYW aYH bYH YH
b"
bYw
Yw
Bb
b
b
讨论：空间点、投影面上的点、投影轴上的点、 与原点重合的点的投影。
13
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
例2-2 已知A点在B点前5毫米，上方9毫米，右方8毫米 ，求A点的投影。 a a
9 8 5
a
14
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
三 、两点的相对位置及重影点
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
2
投影基本原理
2.1 点的投影 2.2 直线的投影 2.3 平面的投影
2.4 直线与平面及两平面的相对位置
1
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
2.1 点的投影
s' 任何形体都是由点、线和平面组成的。 点是组成形体的最基 本的几何元素 正确地表达形体(画图), 要正确 地理解他人的设计思想(看图), 点的投影规律是必须掌握的基 础。 s"
1.两点的相对位置判别
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
15
B点在A点之前、 之右、之下
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
2.重影点及可见性 若空间两点位于某投影面的同一投射线上时 , 它们在 该投影面上的投影重合为一点 , 称此两点为该投影面的重 影点。
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面）
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2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
（1）一般位置直线
投影特性： 1. a b、 ab、a b均小于实长 2. a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3.不反映 、 、 实角
定比定理
32
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2 投影基本原理
例题2-4 判断点C是否在线段AB上。
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
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2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
例题2-5 已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1两段， 求分点K的投影。
k' 1.任作一直线并三等分 2.作相似形定出K点的水平投 影k 3.求出K点的正面投影k
ab
|ZA-ZB|
AB
a'b'
|YA-YB|
AB
a''b''
|XA-XB|
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角共 四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
39
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
例题2-7 已知直线EF的正平投影e’f’及e,且 a=30度,求出ef。
2 投影基本原理
2.2 直线的投影
一、各种位置直线的投影及直线上的点 二 、求一般位置线段的实长及倾角 三 、共面直线和异面直线 四、一边平行于投影面的直角的投影
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2 投影基本原理
一、各种位置直线的投影及直线上的点
1.各种位置直线的投影 一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线 正平线（平行于Ｖ面）
交点是两直 线的共有点
相交两直线的同名投影仍相交，且交点的投影必符 投影特性： 合点的投影规律；特殊情况下积聚或重影。
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2 投影基本原理
3. 异面直线
凡不满足平行和相交条件的直线
投影特性：
3. 两投影面体系中点的投影
空间点用大写字 母表示，点的投 影用小写字母表 示。
a
A ax
点A的水平投影 —— a 点A的正面投影 —— a
a
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2 投影基本原理
4.投影面展开
不动
通常不画出投影面的边界
V a z X
A
ax
y a
x
O
H 向下翻
7
H
2015-4-24 chenmeihua
23
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
（2）投影面平行线
正平线
B A
投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b=AB 3. V倾斜面反映、角的真实大小
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2 投影基本原理
水平线
C
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2 投影基本原理
垂直线投影特性
当直线垂直于某一投影面时，在该面上投影积聚 为一点 另两投影同时平行于一条相应的投影轴且均反映 实长
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2 投影基本原理
2.直线上的点
直线上的点具有两个特性： （1）从属性 点在直线上， 点的各面投影必在直线的各同 面投影上。 （2）定比性 属于线段上的 点分割线段之比等于其投影之 比。 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
D
投影特性：1．cd OX ; cd OYW； 2． cd=CD 3．H面倾斜反映、 角的真实大小
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2 投影基本原理
侧平线
E
F
投影特性： 1． ef OZ ; ef OY； 2． ef =EF 3．W面倾斜，反映 、 角的真实大小
k
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2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
例题2-6 已知点E在线段CD上，求点E的正面投影。
方法一: 利用W投影 方法二：应用定比定理 e' e ec de d X
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2 投影基本原理
二 、求一般位置线段的实长及倾角
1.空间分析与投影作图
28
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
正垂线
C D
投影特性： 1． cd 积聚成一点； 2． cd OYH ; cd OYW；3． cd = cd =CD
29
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
侧垂线
E
F
投影特性： 1． ef 积聚 成一点；2． ef OX ; ef OX； 3． ef = ef =EF
(1)求直线的实长及对H面的夹角角
AB
ab
|zA-zB|
|zA-zB|
AB
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|zA-zB |
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2 投影基本原理
直角三角形法求线段实长及倾角步骤
①过投影端点 (b、a)作垂线, 简述为作垂线。
②在另一投影图上量高差, 简述为量高差。
③连斜边即实长, 斜边与投影ab夹角即为倾角（角）。
26
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
平行线投影特性
当直线平行于某一投影面时，在该面上的投影反
映实长，并反映对另两投影倾角的实形； 直线的另两投影平行于相应的投影轴且短于实长。
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2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
（3）投影面垂直线
铅垂线
A
B
投影特性： 1. H面投影a b 积聚 成一点；2. a b OZ ; a b OZ ；3. a b = a b = AB
d"
a
c(d)
b f
17
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
2.2 直线的投影
2015-4-24 chenmeihua
2 投基本原理
4. 点的直角坐标与三面投影的关系
(x,z) (y,z) (x,y,z) (x,z) (y,z)
(x,y)
(x,y)
1) A→W =Aa = aaZ = aaYH = XA 2) A→V =Aa = aaX = aaZ=YA 3) A→H = Aa=aaX =aaYH = ZA
a' a
b' s
c' c
a" (c")
b"
b
2
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2 投影基本原理
2.1 点的投影
一、点的两面投影 二、点的三面投影与坐标系的关系
三 、两点的相对位置及重影点
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2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
一、点的两面投影
1.点在一个投影面上的投影 过空间点A的投射线与 投影面P的交点即为点A在P 面上的投影。 点在一个投影面上的 投影不能确定点的空间位 置。
12
点的两个投影包 含点的三个坐标
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2 投影基本原理
例2-1 已知A(15,10,20)、B（5,15,0），求它们的投影 图及立体图。Z az a az a" a' A a
ax b a ay
X aX
a
bX b'
aYW aYH bYH YH
b"
bYw
Yw
Bb
b
b
讨论：空间点、投影面上的点、投影轴上的点、 与原点重合的点的投影。
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2 投影基本原理
例2-2 已知A点在B点前5毫米，上方9毫米，右方8毫米 ，求A点的投影。 a a
9 8 5
a
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2 投影基本原理
三 、两点的相对位置及重影点
2015-4-24 chenmeihua
2 投影基本原理
2
投影基本原理
2.1 点的投影 2.2 直线的投影 2.3 平面的投影
2.4 直线与平面及两平面的相对位置
1
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2 投影基本原理
2.1 点的投影
s' 任何形体都是由点、线和平面组成的。 点是组成形体的最基 本的几何元素 正确地表达形体(画图), 要正确 地理解他人的设计思想(看图), 点的投影规律是必须掌握的基 础。 s"
1.两点的相对位置判别
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
15
B点在A点之前、 之右、之下
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2 投影基本原理
2.重影点及可见性 若空间两点位于某投影面的同一投射线上时 , 它们在 该投影面上的投影重合为一点 , 称此两点为该投影面的重 影点。
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面）
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2 投影基本原理
（1）一般位置直线
投影特性： 1. a b、 ab、a b均小于实长 2. a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3.不反映 、 、 实角
定比定理
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2 投影基本原理
例题2-4 判断点C是否在线段AB上。
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
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2 投影基本原理
例题2-5 已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1两段， 求分点K的投影。
k' 1.任作一直线并三等分 2.作相似形定出K点的水平投 影k 3.求出K点的正面投影k
ab
|ZA-ZB|
AB
a'b'
|YA-YB|
AB
a''b''
|XA-XB|
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角共 四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
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2 投影基本原理
例题2-7 已知直线EF的正平投影e’f’及e,且 a=30度,求出ef。
2 投影基本原理
2.2 直线的投影
一、各种位置直线的投影及直线上的点 二 、求一般位置线段的实长及倾角 三 、共面直线和异面直线 四、一边平行于投影面的直角的投影
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2 投影基本原理
一、各种位置直线的投影及直线上的点
1.各种位置直线的投影 一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线 正平线（平行于Ｖ面）
交点是两直 线的共有点
相交两直线的同名投影仍相交，且交点的投影必符 投影特性： 合点的投影规律；特殊情况下积聚或重影。
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3. 异面直线
凡不满足平行和相交条件的直线
投影特性：
3. 两投影面体系中点的投影
空间点用大写字 母表示，点的投 影用小写字母表 示。
a
A ax
点A的水平投影 —— a 点A的正面投影 —— a
a
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4.投影面展开
不动
通常不画出投影面的边界
V a z X
A
ax
y a
x
O
H 向下翻
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H
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（2）投影面平行线
正平线
B A
投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b=AB 3. V倾斜面反映、角的真实大小
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水平线
C
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垂直线投影特性
当直线垂直于某一投影面时，在该面上投影积聚 为一点 另两投影同时平行于一条相应的投影轴且均反映 实长
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2.直线上的点
直线上的点具有两个特性： （1）从属性 点在直线上， 点的各面投影必在直线的各同 面投影上。 （2）定比性 属于线段上的 点分割线段之比等于其投影之 比。 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
D
投影特性：1．cd OX ; cd OYW； 2． cd=CD 3．H面倾斜反映、 角的真实大小
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侧平线
E
F
投影特性： 1． ef OZ ; ef OY； 2． ef =EF 3．W面倾斜，反映 、 角的真实大小
k
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例题2-6 已知点E在线段CD上，求点E的正面投影。
方法一: 利用W投影 方法二：应用定比定理 e' e ec de d X
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二 、求一般位置线段的实长及倾角
1.空间分析与投影作图
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正垂线
C D
投影特性： 1． cd 积聚成一点； 2． cd OYH ; cd OYW；3． cd = cd =CD
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侧垂线
E
F
投影特性： 1． ef 积聚 成一点；2． ef OX ; ef OX； 3． ef = ef =EF
(1)求直线的实长及对H面的夹角角
AB
ab
|zA-zB|
|zA-zB|
AB
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|zA-zB |
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直角三角形法求线段实长及倾角步骤
①过投影端点 (b、a)作垂线, 简述为作垂线。
②在另一投影图上量高差, 简述为量高差。
③连斜边即实长, 斜边与投影ab夹角即为倾角（角）。
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平行线投影特性
当直线平行于某一投影面时，在该面上的投影反
映实长，并反映对另两投影倾角的实形； 直线的另两投影平行于相应的投影轴且短于实长。
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（3）投影面垂直线
铅垂线
A
B
投影特性： 1. H面投影a b 积聚 成一点；2. a b OZ ; a b OZ ；3. a b = a b = AB
d"
a
c(d)
b f
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2.2 直线的投影