现代控制理论第1章
《现代控制理论》第一章
q1(t) h1(t)
R1 q 2(t)
h2(t)
R2 q 3(t)
h3(t)
R3 q 4(t)
返回
[例2]：图示阻容电路。输入量：输入电压u1（t）。输出流量：电容上的 电压u2（t）。列写状态空间表达式。
R1
R2
u1（t）
i1（t） L
i2（t） C
u2（t）
返回
四. 根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式
a0
状态空间表达式为：
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
a0 a1 a2 1
y b0 b1 b2 x b3u
返回
2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式
（1）无重极点；
Y(s)
F (s)
ABC
U (s) (s a)(s b)(s c) (s a) (s b) (s c)
xynm11((tt))
f [x(t),u(t),t] g[ x(t ), u (t ), t ]
• 输入向量、输出向量、状态向量
• 状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表示形式
• 输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式
• 研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）
2. 控制系统结构图
二、控制系统中状态空间表达式及结构框图 1.状态空间表达式的一般形式（四种）
（1） 线性定常系统状态空间表达式 （2） 线性时变系统状态空间表达式
yx nm11((tt))ACnmnnxxnn11((tt))BDnmrururr1(1t()t)
yx nm11((tt))
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
现代控制理论第一章 ppt课件
1889-1976
1.1 控制理论的发展历程
伯德，Hendrik Wade Bode
美国1905-1982
Bode was an American engineer, researcher, inventor, author and scientist,
of Dutch ancestry.
As a pioneer of modern control theory and electronic
telecommunications he revolutionized both the content and methodology of his chosen fields of research.
1.1 控制理论的发展历程
维纳，Norbert Wienner
1948年，维纳发表《控制论》，宣告了这门新兴学 科的诞生。这是他长期艰苦努力并与生理学家罗森 勃吕特等人多方面合作的伟大科学成果。
1964年1月，他由于“在纯粹数学和应用数学方面并 且勇于深入到工程和生物科学中去的多种令人惊异的 贡献及在这些领域中具有深远意义的开创性工作”荣 获美国总统授予的国家科学勋章。
1.1 控制理论的发展历程
维纳，Norbert Wienner
第一章，牛顿时间和柏格森时间 第二章，群和统计力学 第三章，时间序列、信息与通讯 第四章，反馈与振荡 第五章，计算机与神经系统 第六章，完形与普遍观念 第七章，控制论和精神病理学 第八章，信息、语言和社会 第九章，关于学习和自生殖机 第十章，脑电波与自行组织系统
1.1 控制理论的发展历程
伯德，Hendrik Wade Bode
现代控制理论-第1章
i，得到二阶微分方程为：
（5） 其相应的传递函数为：
（6） 回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则一阶微分方程为：
（7）
关于状态变量的选取： 理论上，不要求物理上一定可测； 工程上，以选取易测的量为宜，因为有时需要反馈状态变量。
简记为：
设系统2为：
简记为：
1．并联连接
所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系
统输出的代数和，结构简图如下图所示。
由式(72)和式(73)，并考虑 间表达式：
得系统的状态空
从而系统的传递函数阵为：
故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。
2．串联连接
串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为：
其中各元素
都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。
当
时 ，意味着不同标号的插入与输出有相互关联，称为有耦合关系，
这正是多变量系统的特点。
式(69)还可以表示为：
可以看出，
的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，
的分子是
一个多项式矩阵。
应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而
（66） 式中， 为r×1输入列矢量； 为m×1输出列矢量；B为n×r控制矩阵；
C为m×n输出矩阵；D为m×r直接传递阵；X，A为同单变量系统。
同前，对式(66)作拉氏变换并认为初始条件为零，得：
（67）
故
间的传递函数为
（68）
它是一个 n×r 矩阵函数。 故 间的传递函数为： （69） 它是一个m×r矩阵函数，即
现代控制理论 第1章 状态空间描述
得动态方程组 1 x2 x k b 1 x 2 y y u y m m m k b 1 x1 x2 u m m m y x 1
问题：到底有 何区别？
13
状态空间表达式为
1 0 x k x 2 m
如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数
5
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
假设：causal system ——现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式 为：
1896192019872006状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换对角线标准型和约当标准型系统的线性变换对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式从系统黑箱的输入输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述系统的内部描述白箱系统完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述状态变量
x1 f1 ( x1 , x2 f 2 ( x1 , xn f n ( x1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , um , t ) , um , t ) , um , t )
标量形式，繁琐!
6
矢量形式
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：uKK x KK x KK x X K x K x x x x J Kx J x J K x J Kx x J K x x x ppppn pb 1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙65432116543211111111265432100000100000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x xx x K K K K K K J K J J K J KJ K x x x x x xp p pp n pb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x Cx Cx x L x L R x uL x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000010111010x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
第1章 现代控制理论概述-控制理论发展
经典控制理论—标志阶段(7/9)
➢ 传递函数只描述了系统的输入输出间关系,没有内部变量 的表示。
➢ 经典控制理论的特点是以传递函数为数学工具,本质上是 频域方法,主要研究“单输入单输出”(Single-Input Single-output, SISO)线性定常控制系统的分析与设计,对线 性定常系统已经形成相当成熟的理论。
瓦特
经典控制理论—起步阶段(3/5)
瓦特离心调速器
Watt’s fly ball governor
This photograph shows a flyball governor used on a steam engine in a cotton factory near anchester in the United Kingdom.
➢ 这些系统的复杂性和对快速跟踪、精确控制的高性能追 求,迫切要求拓展已有的控制技术,促使了许多新的见解和 方法的产生。
➢ 同时,还促进了对非线性系统、采样系统以及随机控制系 统的研究。
➢ 可以说工业革命和战争促使了经典控制理论的发展。
经典控制理论—标志阶段(4/9)
以传递函数作为描述系统的数学模型,以时域分析法、根轨迹 法和频域分析法为主要分析设计工具,构成了经典控制理论的 基本框架。 ➢ 到20世纪50年代,经典控制理论发展到相当成熟的地步,形 成了相对完整的理论体系,为指导当时的控制工程实践发 挥了极大的作用。
经典控制理论—起步阶段(5/5)
经典控制理论—发展阶段(1/4)
3. 发展阶段
实践中出现的问题,促使科学家们从 理论上进行探索研究。
➢ 1868年,英国物理学家麦克斯韦 (J.C. Maxwell)通过对调速系统 线性常微分方程的建立和分析,
天津大学 现代控制理论课件 第1章 控制系统的状态空间表达式
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
1 作用
采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息 传递关系。
2 三类基本框图
x1 x2
x1 + x2
& x(t ) & x(t )
∫
x(t ) x(t )
kx kx
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
& 例1.2-1 设一阶系统状态方程为 x = ax + bu 则其状态图为
x1 a11 a12 x 2 , A = a21 a22 x= M M M an1 an 2 xn
b1r b2 r M bnr d12 d 22 M dm2
L d1r L d2r O M L d mr
现 代 控 制 理 论
第1章 控制系统的状态空间表达式
主讲： 主讲：窦立谦
绪论
本章结构 • 第1章 控制系统的状态空间表达式 章
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 状态空间表达式的建立（ 1.4 状态空间表达式的建立（二） 状态空间表达式的建立（ 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 ×1.7 离散时间系统的状态空间表达式 ×1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
例题 1.1 【解答】 1 选择状态变量
图1.1-1 R-L-C电路
状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两 端电压，和流经电感L的电流。
状态：x1 (t ) = uC , x2 (t ) = iL = i, 输入：u (t ), 输出：y (t ) = uC = x1
1.1 状态变量及状态空间表达式
现代控制理论_第1章
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
状态空间表达式
ɺ = Ax + bu x y = cx
x1 0 x 0 2 x = ⋮ , A = ⋮ xn −1 0 xn −a0 1 0 ⋮ 0 −a1 0 1 ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 0 0 ⋮ , b = ⋮ , c = [1 0 ⋯ 0] 1 0 −an −1 b0
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
实现问题
实现问题：由描述系统输入-输出动态关系 的运动方程式或传递函数，建立系统的状态 空间表达式。 揭示系统的内部关系 讨论单输入单输出线性定常系统
ɺ = Ax + bu x y = cx + du
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两类实现问题
di 1 Ri + L + ∫ idt = u dt C
本例子中 1. 输入和输出都已 明确； 2. 选择两个独立的 储能元件作为状 态变量； 3. 根据电路的基本 定律列出方程
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
1 y = uc = ∫ idt C
系统状态方程的建立
设状态变量为电感器电流和电容器电压，即
现代控制理论 Modern Control Theory
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
本课程主要内容
系统描述：状态空间表示法 系统分析：状态方程的解、线性系统的能 控和能观测性、稳定性分析 系统设计：状态反馈和状态观测器 最优控制：最优控制系统及其解法
《现代控制理论》课后习题答案1
G ( s) =
每一个环节的状态空间模型分别为：
1 2s + 5 ⋅ s+3 s+5
2 = −5 x 2 + u1 ⎧x ⎩ y = −5 x 2 + 2u1
1 = −3x1 + u ⎧x ⎨ ⎩ y1 = x1
又因为 y1 = u1 ， 所以
和 ⎨
1 = −3 x1 + u ⎧x ⎨ 2 = x1 − 5 x 2 ⎩x y = 2 x1 − 5 x 2
由此得到的 d 就是状态空间实现中的直接转移项 D 。 1.6 在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图 1.12 的串联分解， 试问：若将图 1.12 中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？ 答: 将图 1.12 中的两个环节调换后 y a(s)
5
1.10
已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:
(t ) + 3 y (t ) = u ( t ) + 6u ( t ) + 8u ( t ) y (t ) + 4 y
试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形； （2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。 答: （1）由微分方程可得:
s 2 + 6s + 8 2s + 5 G(s) = 2 = 1+ 2 s + 4s + 3 s + 4s + 3
记
G 1 (s) =
其中，
c c 2s + 5 2s + 5 = = 1 + 2 ， s + 4 s + 3 ( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论-第1章
1.1 状态变量及状态空间表达式
1.1.1 状态变量 状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，
当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定t≥t0时刻的输入作用下，便能完全确 定系统在任何t≥t0时刻的行为。
说明：①状态变量个数唯一但选取不唯一（应该相互独立）；
②状态变量个数=微分方程阶数=储能元件个数。
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一) 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) 1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换) 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
自学P19例1-2
1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二)
考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个 阶线性常系数微 分方程：
相应的传递函数为
1.4.1 传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下，系统的微分方程为：
相应的系统传递函数为
上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图 (下图)导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式， 也是一种最易求得的结构形式。
将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出 的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的
导数。 从图（a），容易列出系统的状态方程：
输出方程为：
表示成矩阵形式，则为：
顺便指出，当 矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特 点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均 为零。
对于一阶标量微分方程：
现代控制理论-控制系统的状态空间表达式
1.4 状态空间表达式的建立
• 注意的问题
– 实现条件是m≤n，否则是不可实现的
– 当m<n时，d=0
– 当m=n时，d=bn≠0 此时，系统的传递函数可写为
W
(s)
bnsn bn1sn1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
bn
bn1 bnan1 sn1 bn2 bnan2 sn2 sn an1sn1 a1s a0
u
L2 C
di2
dt duc
dt
R1i2 i2
R1i1
R2i2
uc
0
C
uc
R2
1.3 状态空间表达式的建立
考虑到 三个变量是独立的，故可确定为系统的状态 变量，经整理上式变为
di1
dt
R1 L1
i1
R1 L1
i2
1 L1
u
di2 dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
uc L2
duc dt
1 C
i2
现在令状态 x1 i1 x2 i2 x3 uc 将上式写成矩阵形式即为状态方程
1.3 状态空间表达式的建立
x1
x2
x3
RRL1 11
L2
0
R1
L1 R1 R2
L2 1
C
0 1
L2 0
x1 x2 x3
第1章 控制系统的状态空间表达式
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的外部描述
外部描述常被称作输出—输入描述
例如，对SISO线性定常系统 u
y
时间域的外部描述：
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
现代控制理论 第一章 绪论
控制论之父— 控制论之父 —维纳 维纳
2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 我国著名科学家钱学森 并与1954年出版了《工程控制论》 1954年出版了 践，并与1954年出版了《工程控制论》。
钱学森
从四十年代到五十年代末，经典控制理论的 发展与应用使整个世界的科学水平出现了巨大 的飞跃，几乎在工业、农业、交通运输及国防 建设的各个领域都广泛采用了自动化控制技术。 （可以说工业革命和战争促使了经典控制理论 的发展）。
闭环与开环控制系统的比较
优点 闭环 采用了反馈， 采用了反馈，因而使系统的响 应对外部干扰和内部系统的参 数变化均相当不敏感。 数变化均相当不敏感。 控制精度高 构造简单，维护容易； 构造简单，维护容易； 成本比相应的闭环系统低； 成本比相应的闭环系统低； 不存在不稳定性问题； 不存在不稳定性问题； 当输出量难于测量， 当输出量难于测量，或者要测 量输出量在经济上不允许时， 量输出量在经济上不允许时， 采用开环比较合适（ 采用开环比较合适（比如洗衣 机）。 扰动和标定尺度的变化 将引起误差， 将引起误差，从而使系统 的输出量偏离希望的数值； 的输出量偏离希望的数值； 精度通常较低， 精度通常较低，无自动 纠偏能力。 纠偏能力。 缺点 存在稳定、振荡、超调等问题； 存在稳定、振荡、超调等问题； 系统性能分析和设计较麻烦。 系统性能分析和设计较麻烦。
1.5控制理论中的一些术语
（6）反馈控制 ） 是这样一种控制，它能够在存在扰动的情况下， 是这样一种控制，它能够在存在扰动的情况下，力图 减少系统的输出量与某种参考输入量之间的偏差， 减少系统的输出量与某种参考输入量之间的偏差，且 其工作原理是基于这种偏差。 其工作原理是基于这种偏差。 这里的扰动是指不可预测的扰动。 这里的扰动是指不可预测的扰动。对于可预测或已知 的扰动，总是可以在系统内部加以补偿。 的扰动，总是可以在系统内部加以补偿。
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C-输出矩阵 m×n阶常数矩阵 D-直连矩阵 m×r阶常数矩阵
3.一般线性时变系统： X ( t ) A( t ) X ( t ) B( t )u( t ) Y ( t ) C ( t ) X ( t ) D( t )u( t ) 区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分 方程) 4. 非线性定常系统: X (t ) f X (t )
Ra
Ea La
M
J:电动机轴上的转动惯量 f:负载的阻尼摩擦性质 解：由基本规律列写原始方程：
d Ea C e dt
电路方程：
d 2 d Cm ia J 2 f dt dt
运动方程:
选状态变量:
dia d u Ra ia La Ce dt dt x1 ia , x2 , x3
x1 ( t ) a11 a12 x1 b1 a x b u( t ) x2 ( t ) 21 a22 2 2 y( t ) c c x1 1 2 x 2
u(t)
在t=t0时，若已知uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)和u(t), 则由克希霍夫定律,可求得输出y(t),(t≥t0)故可 选uc1(t),uc2(t),uc3(t)作为状态变量。
但因uc1+uc2+uc3=0
显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立的，因 此，最小变量组的个数应是二。 一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 对于n阶系统，有n个状态变量：x1(t),x3(t), …xn(t)。 ﹡状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个 独立变量，可在 uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。
2. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t) 为坐标轴，构成的n维空间，称为n维状态空间。 引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示 出来，称为状态矢量
又表示为：x(t) ∈Rn [x(t) 属于n维状态空间 ]
引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系 统在某时刻的状态。 换一种说法即状态空间是由所有状态矢量x组成 的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。
a11
b1
+ x1 + +
∫dt
x1
c1
a12
a21 b2
x2
+ +
x2 c2
y
∫dt a22
由图可见，无论系统阶次多高，按图都可方便 的进行模拟。且图中只有加法器和积分器。 完全可用模拟计算机模拟,所以上图又称计算机模 拟图。
下面举例说明： 例：1-2 试建立电枢控制的直流电动机的状 态空间表达式，并画出其结构图。 Uf=cons t ua ia
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式， 或称为系统动态方程，或称系统方程。
设： x1 i(t )
x2 uC (t )
x1 x x2
R - L A 1 C 1 - L 0
1 b L 0
C 0 1
Ce 1 0 La x1 La 0 1 x2 0 u x3 0 f 0 J
x1 Y 0 1 0 x2 x3
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
uC (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) dt L L L
di(t ) R dt L du (t ) 1 C dt C 1 i(t ) 1 L L u (t ) 0 uC (t ) 0
选择状态变量： 由于系统是二阶的，故选取两个状态变量。 取：
x1 (t ) y(t )
x2 (t ) y(t )
故得：
x1 (t ) x2 (t ) k f 1 x2 (t ) x1 x2 u m m m
而
y(t ) x1
为了方便起见，故将以上方程组变换成矢量矩阵形式
4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增 加变复杂 ，其形式是一致的。
三 .线性系统的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ： X AX Bu Y CX Du 按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性 系统可用这种图形象的表达出来。 结构图： D(t) u(t) B(t)
X ∫dt
+
X
+
C(t)
+ Y(t) +
A(t)
在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实 际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统
微分方程组
状态方程
即
u(t)
x Ax Bu
2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量 的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也 不唯一。（但由后面的分析可知。由于系统的 特征值不变，分析可控性和可观性及求传递矩 阵的结果均不受影响）。
3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个 数相对应，一般取储能元件的变量作为状态变 量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。
一阶微分方程组 代数方程
其中：
u1 u( t ) 控制矢量; x(t ) 状 态 矢 量 ur y1 y m维输出矢量 ym
A 系统矩阵 n n阶常数矩阵
B 控制矩阵(输入矩阵) n r阶常数矩阵. ,
Ra i ce 1 u Ra x Ce x 1 u x1 ia La 1 La 3 La La Βιβλιοθήκη La La x2 x3
x3 Cm f d C m f ia x1 x3 J J dt J J
故得状态方程：
——运动方程
Ra L a X 0 Cm J 而输出方程为：
du C (t ) 1 i (t ) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
i(t ) uC (t ) 0 1 uC (t )
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
现代控制理论----线性控制理论
线性系统理论的发展 航空航天、工业过程控制等高新技术的发展， 需要分析和设计多变量系统 五六十年代贝尔曼等人提出了状态分析法 卡尔曼提出了能控性和能观测性的新概念 李雅普若夫稳定性理论的出现
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一) 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) 1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换) 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
二.状态空间表达式（一种现代理论中采用的数学模型.）
它是一组一阶微分方程组和代数方程组成， 其中一阶微分方程组形成状态方程，代数方程形 成输出方程，它们分别表示系统内部和外部行为， 是一种完全描述。 1. 建立方法：（现以实例具体说明建立方法。）
例：如下图所示电路， u(t ) 为输入量， uC (t ) 为输出量。
例：RLC网络如下图所示，试选择系统的状态变量 L
R
u(t)
C
y(t)
按以前的讨论方法，要得到输入—输出关系， 当上述电路初始条件为零时，可用传递函数求解系 统的行为，即：y(s)=G(s)U(s)
﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。 例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量 R i1 i2 i3 C1 C3 C2
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
小结：状态空间表达式是现代控制理论中系统地 数学模型。它是以状态变量为基本出发点，阐明 了系统的状态变量是影响系统的因素，比简单的 输入—输出描述更近了一步。 1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段： 输入 动态过程 状态 变换过程 代数方程组 输出方程 x(t) Y=CX+Du Y(t) 输出
u1 u2
对象
ur
X ( t ) A X ( t ) B u( t ) n n n1 n r r 1 n1 C D Y ( t ) mn X ( t ) mr u( t ) n1 r 1 m1
x1 x2 xn
输出 元件
y1 y2 ym
多输入多输出系统
建立方程： L di (t ) Ri (t ) uC (t ) u (t ) dt 初始条件： i (t ) i (t0 ) t t
0 0
du C (t ) iC dt
uC (t ) t t uC (t0 )
i (t ) 和 uC (t ) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态 变量
X AX BU n1 Y X 11 C 21
其中：
0 A k m 1 f m 22
0 b1 m 21
C 1 012
对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入， m个输出）
0 x1 x k x2 m 1 0 x1 1 u f x2 m m
状态方程，
内部描述
x1 y(t ) 1 0 x2
输出方程，外部描述
即
x Ax Bu y Cx
1.1
状态变量及状态空间表达式
一.状态及状态空间 1.状态：什么叫系统的状态呢？ 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变 量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的 每个变量称为系统的状态变量。