中考复习课件,相似三角形

相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
注意：相似比为1的两个多边形全等.
性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等;
（2）相似多边形周长的比等于相似比;
（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.
5.相似三角形 定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似;
预测理由相似三角形的应用广泛，它在投影、 圆的有关计算证明等方面占有重要位置，通过它 的运用能反映识图能力和逻辑推理能力，是中考必考内容.
［预测变形1］如图38-3，锐角△ABC中，BC＝6,S△ABC=12，两 动点M、N分别在边AB、AC上滑动且MN∥BC，以MN为边向下作矩 形MPQN，设MN为x，矩形MPQN的面积为y（y ＞0）,当x＝3时， 面积y最大，y最大值＝6.
【解析】∵12=12×6· AE，∴AE=4. 设矩形的高为a，则4-a4=x6,a=4-23x， ∴y=x· a=-23x2+4x， ∴当x=-42×-23=3时， y最大值=6，填3，6.
［预测变形２］一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为 22.5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条， 如图38-4所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形 纸条是（C ） A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
3.相似多边形，相似三角形的判定与性质 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例2（包括预测
变形1，2，3，4）；［限时集训］中的第3，5，10，12，14题.
4.解决与相似三角形有关的综合问题
此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集
训］中的第6，13题.
1.相似图形
第十一单元相似形 第38课时相似形
［学生用书P24］
本课时复习主要解决下列问题. 1.线段的比例式和黄金分割等概念，用比例的有关性质解决简单问题 为此设计了［限时集训］中的第1，2，7题. 2.图形的相似，相似三角形的判定条件 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集 训］中的第4，8，9，11，15题.
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似; （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似; （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似; （5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么 这两个直角三角形相似. 注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似.
【解析】设第n个矩形是正方形，
则n个矩形的高为3n，
∴22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C.
［预测变形３］电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，
AB∥CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB 的距离是（C ） A.56 m B.67 m C.65 m D.103 m
【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由 △ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容 易求出FA.
解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°. ∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4.
又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD. 在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2 =（33）2+32=6. ∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴336=AF4， ∴AF= 23.
【点悟】判定两三角形相似，若出现一对角相等时， 则考虑还能否找到另一对角相等，或夹这个角的两边 对应成比例. 类型之二相似三角形的性质的运用
∴PD2=PA· PB， ∴PE2=PA· PB.
【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后
根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成
立；若不相似，再用中间比来“搭桥”.
【解析】 （1）由HG∥BC，GF∥HE∥AD，设FG=x，列比例式计算x； （2）依题意列二次函数求顶点坐标（或极值）. 解：（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米. 由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80可得： HG120=80-x80,∴HG=120-32x， ∴BE+FC=120-(120-32x)=32x， ∴12×（120-32x）×(80-x)=12×32x×x, 解得x=40, ∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等. （2）设改造后的总投资为W元,根据题意，得： W=12×(120-32x)×(80-x)×6+12×32x×x×10+x×(12032x)×4=6x2-240x+28800 =6(x－20)2+26400， ∴当x=20时,W最小=26400.
［2011· 预测题］如图38-2，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与 CD的延长线相交于P，PF⊥BC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=5. 【解析】本题利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比来列式计 算. ∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC.又PF⊥BC, ∴PEPF=ADBC， 即PF-3PF=25,解得PF=5.
【解析】（1）连半径，作等腰三角形； （2）证明△PDB∽△PAD即可. 证明：(1)连接OC、OD， ∴OD⊥PD ，OC⊥AB， ∴∠PDE=90°-∠ODE， ∠PED=∠CEO= 90°-∠C. 又∵∠C=∠ODE,∴∠PDE=∠PED, ∴PE=PD. (2)连接AD、BD，∵PD切⊙O于点D， ∴∠BDP=∠A, ∴△PDB∽△PAD， ∴PDPB=PAPD，
答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造 的总投资最小，最小值为26400元. 【点悟】灵活运用相似三角形对应边上的高的比等于相似比可以求一 些线段的长度. 类型之三相似三角形与圆 ［2010· 宿迁］如图38-6，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的任 意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点 E． 求证：（1）PD=PE； 如图38-6 例3答图 （2）PE2=PA· PB.
定义：具有相同形状的图形称为相似图形.
2.比例线段
定义：在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两 条线段的比，即ab=cd（或a∶b=c∶d），那么这四条线段a、b、c、 d叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：（1）线段a、b、c、d成比例是有顺序的，表示ab=cd（或 a∶b=c∶d）；
性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于பைடு நூலகம்似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时， 要注意对应关系。
类型之一相似三角形的判定 ［2010· 珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3, 求AF的长.
3.比例线段的性质
性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特 别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.
（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd. 4.相似多边形 定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角 相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.
【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25 ,∴x=65,选C.
［预测变形４］如图38-5所示，某校计划将一块 形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造． 已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米.学校计划将它分割成 △AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分.其中矩形EFGH的一边 EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在 △AHG上种草，每平方米投资6元； 在△BHE、△FCG上都种花，每平 方米投资10元；在矩形EFGH上兴 建爱心鱼池，每平方米投资4元. (1)当FG长为多少米时，种草的面 积与种花的面积相等？ (2)当矩形EFGH的边FG为多少米时， △ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？