运用圆锥曲线焦点三角形面积公式解题的探究
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
3．如图，设直线 过焦点 且交椭圆 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 、 两点，直线 倾斜角为 ，双曲线的半通径为 ，证明：双曲线同支焦点弦三角形 的面积 .
【结论2】
2．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，证明：椭圆焦点弦三角形 的面积 .
2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得 ，
令 .
对于椭圆，离心率 ，于是由均值不等式可知
，当且仅当 ，即 时 取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值： .
代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角 满足 （或 ）.于是我们得如下结论——
A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为()
A． B． C． D．1
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 ，且与 轴垂直的直线 与双曲线交于 ， 两点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（）
由公式⑥，显然 存在最小值： ，此时 ，即 ，焦点弦所在直线与 轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
典型例题：
例1
10． 分别是椭圆的 左、右焦点，过点的直线 交椭圆 于 两点.
(1)若 的面积为 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值及此时直线 的方程.
（1）求椭圆 的标准方程；
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
在圆锥曲线中的几何图形的面积问题
在圆锥曲线中的几何图形的面积问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]在圆锥曲线中的几何图形的面积问题（四）在圆锥曲线中，经常要求最值问题：常常会平面图形的面积问题。
我们要分析图形的面积的变化是什么量引起的我们根据变化的量来建立等量关系，尽量化简变成了两个变量之间的函数关系。
我们借助函数来求最值，可以是二次函数法、可以是导数法。
若不能变成函数的关系，我们利用方程的几何意义来求最值，我们借助圆锥曲线和直线与圆的知识来解决。
我们也可借助参数，把问题变成以“角”为参变量的参数方程，我们借助三角函数的知识来求最值问题。
若方程中含有三个变量时，我们可虑有均值不等式法来求最值。
在寻找等量关系之间时，恰当地利用原圆锥曲线的性质：变量的取值范围、利用图像的对称性，利用圆锥曲线的参数方程等等知识。
在圆锥曲线中，我们经常求圆中的有关三角形的面积时，通常我们要选择圆心到弦的距离为参数来进行寻找等量关系，便于我们整体思想来化简问题，简化问题，便于我们解决问题。
例4已知椭圆13422=+y x ， 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为r =．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<． ∴弦长||AB ===． ∴ABC ∆的面积12S =⋅)2127t =- )221272t +-≤7=.=，即7t =时，等号成立. ∴ ABC ∆． 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y-=. ∴ 圆C 的半径为r =． ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=． ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t<<，即07t<<．在圆C的方程222123()4tx t y--+=中，令0x=，得y=±，∴弦长||AB=∴ABC∆的面积12S=⋅)2127t=-)221272t+-≤==，即t=时，等号成立.∴ABC∆的面积的最大值为7．。
对一道圆锥曲线三角形面积问题的深度探究
对一道圆锥曲线三角形面积问题的深度探究作者：任莉来源：《数学教学通讯·高中版》2019年第10期[摘 ;要] 圆锥曲线是高中数学的重难点知识，高考在考查时常综合其他知识进行，其中分析圆锥曲线中三角形面积最值是较为典型的代表，该问题突破求解的关键是合理构建三角形的面积模型，联合圆锥曲线知识完成转化. 文章以一道圆锥曲线综合题为例开展解法探究，模型提炼拓展.[关键词] 圆锥曲线;三角形;面积;模型;割补问题呈现，解法探究1. 问题呈现例1：已知椭圆E的方程为 + =1 （a>b>0），其离心率为，点F是椭圆E的右焦点，已知点A（0，-2），直线AF的斜率为，设坐标的原点为O，试回答下列问题：（1）求椭圆E的方程;（2）过点A作动直线l，与椭圆E相交于点P和Q，试求△OPQ面积最大时直线l的方程.2. 解法探究（1）该问求椭圆E的方程，需要求出半轴长a和b的值，根据条件可知e= = ，点F为椭圆的右焦点，则其坐标为（c，0），则直线AF的斜率可以表示为k= = ，从而可解得a=2，c= ，则b=1，所以椭圆C的方程为 +y2=1.（2）该问求所构△OPQ的面积最大时动直线l的方程，需要在椭圆内构建三角形模型，分析其最大值. 直线l经过定点A，其斜率不确定，需要对其加以讨论.①当直线l的斜率不存在时，即l垂直于x轴，分析可知不符合题意.②当直线l不与x轴相垂直时，设其斜率为k，则l可以表示为y=kx-2，设l与椭圆交点的坐标：P（x1，y1），Q（x2，y2），设原点O到PQ的距离为d，则△OPQ的面积可以表示为S△OPQ= ·PQ·d，因此只需要表示出PQ和d的长，然后联立构建函数关系即可，其中PQ可以通过联立直线l与椭圆的方程来实现，而d则可以利用点到直线的距离公式来完成，具体如下：联立为y=kx-2与 +y2=1，整理可得（1+4k2）x2-16kx+12=0，Δ>0时可解得x1，2= ，而PQ= ·x1-x2，原点O到直线PQ的距离d= ，有S△OPQ= ·PQ·d= . 设 =t，则t>0，S△OPQ= ，而t+ ≥4，分析可知当且仅当t=2时，即k=±时等号成立，此时△OPQ的面积取得最大值，对应的直线l的方程为y=± x-2.评价分析，模型提炼上述是高考常见的圆锥曲线压轴题，主要考查椭圆的标准方程、直线方程与椭圆的位置关系，其中涉及几何与函数两大模块知识，对学生的综合能力要求较高，尤其是第二问分析三角形面积最大情形下直线的方程，既需要构建相应的面积模型，又需要结合代数分析法来研究面积最值. 上述求解的突破过程有以下几点值得探究审视.1. 把握图像联系，提取特征关系整体来看，上述属于圆锥曲线中三角形的面积分析题，其含有两大特点：一是以椭圆为研究背景，二是所构三角形为动态图形. 因此第（2）问的求解需要准确识别图像联系，包括椭圆、动直线l的特点，以及两者之间的联系，即椭圆的长半轴位于x轴上，与动直线l有两个交点：P和Q，这两个交点与原点O构建了所求三角形.2. 借用代数不等式，研究面积最值无论直线与曲线的位置关系如何，最终都需要确定分析面积最值的策略，这也是圆锥曲线综合题突破的关键点.一般而言分析最值有两种策略：一是将其视为不等关系，借用不等式来完成;二是构建二次函数，利用函数性质来完成.上述解题的过程则充分考虑到问题的特殊性，融合两者，首先构建面积函数，然后借用均值不等式简化分析，从而达到了化简的目的，也为后续面积模型的构建指明了方向——设未知，构函数.3. 数形充分融合，构建面积模型构建求解三角形的面积模型是第（2）问求解的核心所在，也是其精华所在，求解圆锥曲线背景下的三角形面积需要充分利用圆锥曲线的相关知识和几何特点. 上述基于三角形的面积公式 bh确定了以直线与椭圆的交点弦为底，以原点到交点弦的距离为高的三角形模型，从而将交点条件充分利用. 同时上述所用的面积模型也是圆锥曲线压轴题的经典模型，其构建过程具有极大的研究价值.【交点弦面积模型】如图1所示，点P是椭圆内的一定点，直线l与椭圆相交于点A和B，则△ABP的面积模型可以采用如下构建方式.将其视为以交点弦AB为底、以点P为顶点的三角形，过点P作AB的垂线，垂足为点H，则PH就为底AB上的高，所以△ABP的面积可以表示为S△ABP= ·AB·PH，其中AB可视为椭圆内的弦，PH为顶点P到直线AB的距离，設直线AB的方程为y=kx+m，因此根据相关知识有：弦长公式：AB= ·x1-x2 （x1和x2为两交点的坐标），点到直线的距离公式：d=PH= .从而有S△ABP= ·AB·PH= ;·x1-x2·，因此在实际解题时可以直接利用该面积模型来构建思路，如下所示：【模型应用示例】例2：设椭圆E的标准方程为 + =1，已知其两个焦点的坐标分别为（- ，0）和（，0），且经过点， .（1）试求椭圆的方程;（2）直线l的斜率为k，经过点（0，-2），且与椭圆相交于点A和B，试求△OAB面积的最大值.解析：（1）该问结合焦点坐标、经过点的坐标，以及椭圆的定义，很容易求得标准方程中的a= ，b=1，所以椭圆的标准方程为 +y2=1.（2）该问分析所构三角形的面积最大值，可以采用上述的面积模型，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线斜率存在，直线l的方程为：y=kx-2. 联立椭圆E和直线l的方程，可得（1+3k2）x2-12kx+9=0，则x1+x2= ，x1x2= . 参照模型可将△OAB视为以点O为顶点、以线段AB为底的三角形. 设点O到直线AB的距离为d，则三角形的面积可以表示为S△OAB= ·AB·d，其中AB= ·x1-x2= ·，而d= ，所以S△OAB= ·AB·d= × · × = .设 =t（t>0），则k2=t2+1，所以S△OAB=6×，结合均值不等式可知S△OAB≤ ，当且仅当t= ;时，等号成立，所以△OAB面积的最大值为 .上述问题同样是分析圆锥曲线背景下三角形面积的最大值，引入交点弦三角形面积模型后可以直接获得解题的思路，提高解题效率. 该模型的特点是所求三角形的顶点为一定点，而弦长为动直线，此时就可利用该模型来转化构建，通过代数分析的方式完成求解.深度拓展，模型探究上述只是圆锥曲线三角形面积问题众多模型的一种，在求解对应问题中有着良好的解题效果，并不一定适用于其他类型的面积问题，解题时需要充分利用题干条件，结合所构三角形的特点来选用模型.若三角形与x轴或y轴相交于定点，则可以利用定点三角形模型，下面深入探究.【定点三角形模型】在初中阶段我们学习了求解函数综合题中一般三角形的求解方法，如对于△ADE，我们可以采用图2的割补方式，将其面积表示为S△ADE= AF·yD-yE，采用图3的割补方式将其面积表示为S△ADE= EF·xD-xA.同样的，我们可以将该种构建方式引入在圆锥曲线背景题中，以三角形与x轴存在两个定交点为例，如图4所示，过点P的直线l与椭圆E有两个交点A和B，点Q为x轴上的一个定点，连接AQ和BQ，构建△ABQ. 基于上述面积模型，可以将其面积表示为S△ABQ= PQ·yA-yB;同理若点P和Q为y轴上的定点，则其面积可以表示为S△ABQ= PQ ·xA-xB. 因此利用该模型解题时只需要确定定长线段PQ以及点A和B的坐标即可. 考虑到点A和B均位于曲线上，则可以考虑采用方程联立的方式，结合韦达定理来等化，即xA-xB= .【模型应用示例】例3：已知椭圆E的标准方程为 + =1（a>b>0），其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点所构三角形的周长为6+4 .（1）试求椭圆E的标准方程;（2）直线l与椭圆E相交于点A和B，而以AB为直径的圆经过椭圆的右焦点C，试求△ABC面积的最大值.解析：分析可知直线l的斜率必然存在，可以将其设为x=ky+m，设交点A（x1，y1），B （x2，y2），联立椭圆E和直线l的方程，可得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，则y1+y2=- ，y1y2= . 因为以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，则 · =0，代入坐标可确定直线AB必然過定点D ，0，则可以使用上述三角形模型，即求△ABC的面积可以表示为S△ABC= S△ADE= CD·y1-y2= ×CD× = ;，分析可确定S△ABC的最大值为，即△ABC面积的最大值为 .上述同样是分析椭圆背景中的三角形面积问题，虽然题干没有表明直线l经过定点D，但根据条件可以挖掘出过定点的隐含条件，因此可以套用定点三角形模型，从而将问题简化为分析直线与椭圆交点的坐标差.写在最后圆锥曲线中三角形面积的求解是高中常见的问题类型，其解题的关键是联合曲线合理构建三角形的面积模型. 上述展示的是其中较为常见的面积模型，需要说明的是模型之间有着一定联系，对于同一考题有时可以基于不同的模型来分析求解，模型并没有本质的区别. 因此在实际解题时需要灵活变通，多实践总结.。
圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用
46中学数学研究2021年第1期(上)圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用广西防城港市东兴市东兴中学(538100)吴中伟摘要求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•经过推导，发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式,并且这些表达式结构非常相似.关键词圆锥曲线；内接三角形;面积表达式求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•笔者发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式，并且这些表达式结构非常相似.引理在4ABC中，已知一B—(x i,y i),一1—(血,y2),则4ABC的面积S a abc—2|x i y2—血y i|.(x a cos a(a为y—b sin a参数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc——|sin(a2— a i)+sin(a i—a3)+sin(a3— a2)|.证明易知A(a cos a i,b sin a i),B(a cos a2,b sin a2), C(a cos a3,b sin a3),贝V a B—(a(cos a2—cos a i),b(sin a2—sin a i)),一1—(a(cos a3— cos a i),b(sin a3—sin a i)),由引理得，S a abc=2ab(cos a2— cos a i)(sin a3—sin a i)—ab(cos a3— cos a i)(sin a2—sin a i)ab=—cos a2sin a3— cos a2sin a i— cos a i sin a3+cos a i sin a i—(cos a3sin a2— cos a3sin a i S a abc-fx—a sec a，厶定理3已知A,B,C是双曲线|(a为参y—b tan a数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则sin(a2—a i)+sin(a i—a3)+sin(a3—a2)cos a i cos a2cos a3x b tan a 同理可证,焦点在y轴的双曲线=(a为参y—a sec a数)的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的双曲线的完全一样.接下来推导在参数方程条件下，抛物线的内接三角形的面积的统一表达式.x—2p t2定理4已知A,B,C是抛物线｛(t为参y=2pt数p>0)上的三点，它们对应的参数分别为t i,t2,t3,则S a abc—2p2|(t i—t2)血—t3)(t3—t i)|.特别的，若点C 为坐标原点，则S a abc—2p2|(t i—t2)t i t21证明易知A(2pt f,2pt i),B(2pt2,2pt2),C(2pt|,2pt3),则S a abc=2a B—a1=2p2|(t2—ti)(t3—t1)—(t3一ti)(t2一t1)=2p2(t i一 t2)(t2一t3)(t3一t i).显然，若C为原点，则S a abc—2p2|(t i— t2)t i t2〔.同理可证,其他情形的抛物线的内接三角形的面积表达式与定理4相同.基于以上的结论,本文从—cos a i sin+cos a i sin a i)豊|sin(a2-a i)+sin(a i— a3)+sin(a3-a2)同理可证,焦点在y轴的椭圆的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的椭圆的完全一样.利用类似的方法也易证得以下定理.亠.—x—a+r cos a「厶“定理2对于圆(a为参数)，A,B,Cy—b+r sin a是其三点，对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc r2—|sin(a2— a i)+sin(a i— a3)+sin(a3— a2)|.实例的角度，阐述这些公式在解决圆锥曲线的内接三角形面积问题的作用.例1已知椭圆C1:x+务=1(a>b>0)的左、右焦点为F i、F2,|F i F2—l/l,若圆Q方程(x—/l)l+(y—1尸=1,且圆心Q满足|QF i+|QF2=2a.(I)求椭圆C i的方程；(II)过点P(0,1)的直线l i:y—kx+1交椭圆C1于A、B两点，过P与l i垂直的直线h交圆Q于C、D两点, M为线段CD中点，若4MAB的面积为第1,求k的值.5解(I)略；(II)由(I)可知椭圆的参数方程为2021年第1期(上)中学数学研究47x—2cos ay=sin a(a为参数),与y—kx+1联立得V2sin a—2k cos a+1t i+t2—号,t i t2———.因为点M对应的参数为t—1,所以由定理3,得①S a ABM=8|(t i—t2)(t2—1)(1—t i)|代入sin2a+cos2a—1,整理得(2+4k2)cos2a+4k cos a—1=0.设A(2cos a.sin a i),B(2cos a2,sin a2)贝J-2k cos a i十cos a2=1+2k2联立①1①2得,■,■/2 sin a1十sin a2=1+2k2由①2①3得,|sin(a i-a2)|=|sin a2—sin a i|cos a i—cos a2—1 cos a i cos a2=2+4k2..1-4k2 sin a i sin a2=2+4k2V1+4k21+2k2，_2k/1+4k2=1+2k2，/2•/1+4k21+2k2因为Q(血,1)对应的参数为4,所以由定理1得①2①3S a qab=血 |sin(a i-a2)+sin(a2-寸)+sin(寸-a i)| =/2Lin(a i—a2)+(sin a2—sin a i)(cos a i—cos a2)=8J(t i+t2)2—4t i t2|—t i t2—1+t i+t2=\/(m2+4)(2m-3)2°令f(x)—(m2+4)(2m—3)2,贝」f z(m)—2(2m-3)(4m2-3m+8),33所以f z(m)—0的解为m=2,m e(—x>,2)时,f z(x)<0,322f(x)单调递减;m e$,+x>)时,f z(x)>0,f(x)单调递增;又因为m22,所以f(m)——f⑵—8,故三角形ABM面积的最小值为2/2.x2例3已知点F i是双曲线C:忑-y2—1的左焦点,点M为其右顶点，过点F i的斜率为1的直线交双曲线的左支于A,B两点，求AABM的面积.解由已知可知点F i(-/5,0),M(2,0),直线I ab:x—fx2sec a(a为参数),y—tan a得2sec a—tan a—a/5,即sin a—a/5cos a—2依题意得，sin(a i—a2)与cos a i—cos a2异号，所以①1S a qab—|sin a2-sin a i2W1+4k21+2k2因为M在线代入sin2a+cos2a—1,整理得6cos2a+cos a+3=0.段CD中点，所以MQ丄l2,又因为l i丄l2,所以MQ//l i,所以S a mab—S a qab,从而覚十誓—半，解得k—±/2.此时I2:y—士冷2x+1,圆心Q到^2的距离h=±畔x/2-1+1/<-,成立.例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2—设A(2sec a i,tan a i),B(2sec a2,tan02),贝」2/5一"3cos a i+cos a2联立①1①2得,sin a i+sin a2cos a i cos a212①24y,点P是C的准线I上的动点且其横坐标m22,过点P 作C的两条切线，切点分别为A,B.若点M的坐标为(4,4),求三角形ABM面积的最小值.{x—4t(t为参y=4t2数)，准线l:y——1,y z—1x.设A(4t i,4t f),B(4t2,4t2),点P(m,—1),则切线PA的方程为：y+1=2t i(x-m),把点A(4t i,4t f)代入上式，得4t f+1=2t i(4t i-m),即4t i-2mt i-1=0.同理可得,4t2-2mt2-1=0,故t i,t2是方程4t2-2mt-1—0的两个解.由根与系数关系得,23，2血I••=3,|s i n a2—sin a i1sin a i sin a2—------6①3^10因为由已知得M对应的参数为0,且sin(a i-a2)与由①①得，|sin(a i-a2)|sin a2—sin a i同号，所以由定理2,|sin(a i—a2)+sin a2+sin(—a i) S a abm—1----------------------------------------------|cos a i cos a22/2/10-丁；丁-竿(2+/5)2参考文献[1]吴中伟•一个三角形面积公式在解析几何中的应用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(3):40-42.。
圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ）A. B. C. D.例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.8D.例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK △的面积是（ ）A. 4B.C.D. 8例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121P F M F F F M FP F F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -△△等于（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 1-例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IFF S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（）A.12+ B.1C. 1D. 1例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的c a 为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点 （1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的c a 为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2 （1）求椭圆C 的方程（2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=（1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQM PAM SS =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
素养导向指引下例谈圆锥曲线焦点三角形问题的解题策略
4620215素养导向指引下例谈圆锥曲线焦点三角形问题的解题策略*福建省南平市高级中学(353000)江智如李寿滨黄丽群圆锥曲线焦点三角形问题是高考与各类模拟考试的热点题型,涵盖几何、向量、三角、函数等多领域的知识与方法,综合性强,思维强度高,是圆锥曲线知识的重点与难点,考查考生数学阅读能力、数形结合思想、化归与转化思想、推理论证能力与运算求解能力.这类问题一般考查角度、周长、面积、中位线、角平分线、离心率等问题[1],包含丰富的圆锥曲线性质知识,解题策略多样,方法巧妙,需要从不同的角度针对问题条件进行策略选择,全方位反映焦点三角形问题的几何特征,引导学生掌握运用代数语言把几何问题转化为代数问题的思想与方法,提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养[2],有助于学生将高中数学基本知识结构化、系统化,形成学科知识网络[3].本文从高中学生的认知水平出发,把焦点三角形问题归纳为六种类型,在学科素养的指引下,探究问题解决的有效思路与方法.1概念界定如图1与图2,椭圆或双曲线上的一点P,与两焦点所构成的∆F1P F2称为椭圆或双曲线的焦点三角形.本文研究的圆锥曲线焦点三角形问题界定为:结合椭圆或双曲线的几何性质,解决与焦点三角形相关的问题,主要包括周长、离心率、角度、面积、中位线、角平分线等问题.图1图22方法探究圆锥曲线焦点三角形问题主要围绕圆锥曲线的几何性质展开,利用正余弦定理、平面向量、平面几何等相关知识与结论,借助数形结合思想,转化为圆锥曲线的性质或解三角形题型,运用函数与方程思想、建模思想,通过扎实的运算求解能力,解决问题,常采用四种解题方法:(1)定义法;(2)解析法;(3)三角法;(4)向量法.3方法应用3.1周长问题周长问题常考虑定义法,解题思路为:从圆锥曲线的第一定义出发,利用三角形的三边长关系与对称性质转化为共线问题,确定特殊点位置,结合正余弦定理和平面向量方法求解.要求考生具有扎实的几何功底,体现数学学习的能力与潜能[4].题目1(2015年高考全国I卷文科第16题)已知F是双曲线C:x2−y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6√6),当∆AP F周长最小时,该三角形的面积为.分析本试题是以周长问题为背景寻找点P的位置,求解三角形面积问题.由已知条件可设左焦点为F′(−3,0),因为点P在C的左支上,所以由双曲线第一定义可得∆AP F的周长|AP|+|AF|+|P F|=|AP|+|AF|+|P F′|+2a|AF|+|AF′|+2a,当且仅当A,P,F′三点共线且P在A,F′中间时取等号,此时直线AF′的方程为x−3+y6√6=1,联立双曲线方程得P(−2,2√6),再由面积割补法求得,∆AP F的面积为12×6×6√6−12×6×2√6=12√6.考查数形结合思想、推理论证能力和运算求解能力.一点D(x0,y0),向抛物线C:y2=2px两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)三角形ABD的面积为S.由性质1的证明过程可知S=12|AB|d=|y20−2px0|p√y2−2px0=(y20−2px0)32p,又因为C:y02=2px0+K,即y02−2px0=K,代入上式可得S=K32P,即面积为定值,得证.参考文献[1]杨力,康盛.过抛物线外任意上一点作切线的方法[J].中学数学研究(华南师范大学版)(上半月),2020(10):23.*本文为福建省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题《核心素养导向下的高中数学主题教学校本研究》(立项批准号:FJJKXB20-1067)阶段性成果.20215473.2离心率问题离心率是圆锥曲线的重要性质,常以选填题形式出现,常考常新,考查考生圆锥曲线知识掌握水平和综合应用能力.解题的思路是:根据已知条件探寻a ,b ,c 三者之间的关系,要求考生运用圆锥曲线第一定义、正余弦定理、不等式等知识分析和探寻解题方向,通过细心的运算,步步为营,得到最终结果,培养考生数学素养,提高考生的圆锥曲线综合应用能力.题目2(2018年高考全国II 卷理科第12题)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,∆P F 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120◦,则C 的离心率为()A.23B.12C.13D.14分析本试题中P 点虽然不在椭圆C 上,但问题本质仍然是焦点三角形题型,解题的关键可以由∆P F 1F 2为等腰三角形及∠F 1F 2P =120◦确定点P 的位置,即P F 2=F 1F 2=2c .再由AP 的斜率为√36,得到tan ∠P AF 2=√36,考虑把问题转化到∆P F 1F 2中,利用正弦定理确定角与边的关系,即P F 2AF 2=sin ∠P AF 2sin ∠AP F 2,其中sin ∠AP F 2=sin (π3−∠P AF 2),而sin ∠P AF 2=1√13,cos ∠P AF 2=√12√13,可求sin ∠AP F 2=52√13,所以2c a +c =25,化简得a =4c ,故e =14,考查考生综合运用所学知识解决问题的能力,实现考查阅读、应用、建模能力的目的[5].3.3角度问题角度问题需要运用椭圆或双曲线的第一定义,借助正余弦定理或向量夹角,转化为焦半径|P F 1|、|P F 2|与焦距|F 1F 2|之间的数量关系,再利用函数或不等式方法求解问题.解决思路为:设∠F 1P F 2=θ,则cos θ=|P F 1|2+|P F 2|2−|F 1F 2|22|P F 1|·|P F 2|=(|P F 1|±|P F 2|)2∓2|P F 1|·|P F 2|−|F 1F 2|22|P F 1|·|P F 2|=±2b 2|P F 1|·|P F 2|∓1其中|P F 1|·|P F 2|可由基本不等式或函数方法求解取值范围,再根据题设条件得到θ取值范围.特别地,当|P F 1|=|P F 2|时,等号成立,此时点P 为椭圆短轴或双曲线虚轴的端点,θ取到最大.题目3(2017年高考全国I 卷文科第12题)设A 、B 是椭圆C :x 23+y 2m=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB =120◦,则m 的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)分析本试题中A 、B 两点是长轴的两个端点,根据椭圆的对称性质,考虑类比焦点三角形的角度结论可以得到,当点M 为椭圆短轴的端点,∠AMB 取到最大,此时有∠OMB 60◦.因为已知条件没有明确椭圆焦点的位置,所以对参数m 进行讨论:当0<m <3时,a =√3,b =√m ,tan ∠OMB =ab =√3√m tan 60◦=√3,即0<m 1;当m >3时,b =√3,a =√m ,tan ∠OMB =a b =√m√3tan 60◦=√3,即m 9;综上所述,m ∈(0,1]∪[9,+∞).考查考生对椭圆性质知识的理解与应用水平,体现试题的基础性与选拔功能.3.4面积问题面积问题主要运用解析法、三角法和向量法求解,解决思路为:转化为|P F 1|、|P F 2|、|F 1F 2|或a ,b ,c 及角∠F 1P F 2=θ之间的数量关系,借助三角函数知识与圆锥曲线性质求解.特别地,在椭圆或双曲线中,∆F 1P F 2的底边为定值2c ,|P F 1|,|P F 2|及∠F 1P F 2=θ为变量,可以推导椭圆中焦点三角形的面积为S =b 2tan θ2,双曲线为S =b 2tanθ2.题目4(2019年高考全国II 卷文科第20题)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为C 上一点,O 为坐标原点.(1)若∆P OF 2为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得P F 1⊥P F 2,且∆F 1P F 2的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.分析本试题依托三角形背景知识考查离心率和参数取值范围问题,考虑运用定义法和向量法求解.第(1)问面向大部分考生,首先连结P F 1,由∆P OF 2为等边三角形可知,在∆F 1P F 2中,∠F 1P F 2=90◦,于是把问题转化为直角三角形,可求|P F 2|=c ,|P F 1|=√3c ,再由椭圆的第一定义知,2a =|P F 1|+|P F 2|=(√3+1)c ,所以C 的离心率是e =ca=√3−1,考查直观想象能力与运算求解能力;第(2)问根据焦半径垂直关系,把面积问题转化为动点的坐标运算.设点P (x,y ),则有12|y |·2c =16,即c |y |=16.又P F 1⊥P F 2,故−−→P F 1·−−→P F 2=0,从而x 2+y 2=c 2,联立x 2a 2+y 2b 2=1,化简得y 2=b 4c 2,所以求得b =4.把y 2=b 4c2代入x 2a 2+y 2b 2=1,得x 2=a2c 2(c 2−b 2),所以c 2 b 2,从而a 2=b 2+c 2 2b 2=32,故a 4√2.即当b =4,4820215a 4√2时,存在满足条件的点P .因此b =4,a 的取值范围为[4√2,+∞).此处考查考生椭圆知识掌握与应用水平,展现考生分析问题、解决问题的思维过程[6],体现试题的选拔与区分功能.3.5中位线问题中位线问题运用定义法,利用三角形中位线性质,化归转化为圆锥曲线第一定义求解.解题思路为:在圆锥曲线中,若点M 为线段P F 1的中点,连接OM ,因为点O 为F 1F 2的中点,所以在∆P F 1F 2中,有OM //P F 2且OM =12P F 2,从而把OM 转化为P F 2,即把点M 的位置问题转化为点P 的位置问题求解,考查逻辑思维能力和创新能力.题目5(2020年福建南平高三期末质检15)如图3,已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在点P ,使得以双曲线实轴为直径的圆与线段P F 1相切于线段P F 1的中点M ,则双曲线C 的离心率为.分析本试题以圆的切线和三角形中位线背景知识,考查离心率问题,考虑利用圆的切线和中位线性质,把问题转化为双曲线的第一定义,探寻a ,c之间关图3系求解.为此连接P F 2,可得在∆P F 1F 2中,有OM //P F 2且OM =12P F 2.又P F 1与圆O 相切于点M ,故OM ⊥P F 1,从而P F 2=2OM =2a 且P F 1⊥P F 2,所以由双曲线第一定义可知,P F 1=4a .在Rt ∆P F 1F 2中,由勾股定理得,P F 21+P F 22=F 1F 22,即(4a )2+(2a )2=(2c )2,解得e =ca=√5.体现考生将所学知识迁移到新情境,解决新问题的能力[3],培养考生数学建模能力和创新能力.3.6角平分线问题角平分线问题是通过三角形的内角平分线性质,利用正弦定理把角的关系转化为对应边的比值,结合圆锥曲线第一定义求解.解题思路为:在∆P F 1F 2中,若∠F 1P F 2的平分线为P M ,交F 1F 2于点M ,则有|P F 1||P F 2|=|MF 1||MF 2|,从而把动点P 转化为点M ,而点M 、F 1、F 2共线,再根据已知条件求解问题.考查考生数学综合能力与学习潜能,引导考生打破常规进行思考,自主发现问题,提出解决方案,作出独立的判断和解答,创造性地解决问题[6].题目6(2011年高考全国II 卷理科第15题)已知F 1,F 2是双曲线C :x 29−y 227=1的左、右焦点,点A 在双曲线C上,点M 的坐标为(2,0),AM 为∠F 1AF 2的角平分线,则|AF 2|=.分析本试题点M 在x 轴上,考虑运用内角平分线性质把问题转化为点M 、F 1、F 2共线,即在∆F 1P F 2中,由AM为∠F 1AF 2的平分线可得,|AF 1||AF 2|=|MF 1||MF 2|=6+26−2=2,所以点M 在双曲线的右支,从而由双曲线第一定义知,|AF 1|−|AF 2|=2a =6,联立得|AF 2|=6.此题考查考生数学阅读理解能力,强化推理论证,考查理性思维能力,激发考生学习兴趣,提高考生学习的热情,有助于创新问题的解决[6].4方法总结圆锥曲线焦点三角形问题依托圆锥曲线定义与性质知识,考查考生解析几何功底和数学综合应用能力.考生可以通过目标分析、问题转化、模式识别进行求解,利用正余弦定理、向量性质、勾股定理等知识,把问题转化为圆锥曲线第一定义求解.引导考生深刻认识圆锥曲线的第一定义及丰富的几何特征,巩固复习已学知识,渗透解题策略多元化的思想.在日常的教学过程中,教师可以设计相应的“精致练习”[7],帮助学生巩固与深化所学知识,构建圆锥曲线知识网络结构,提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力,增强思维的灵活性,培养学生求异创新的发散思维,实现学生数学学科素养的提升.参考文献[1]刘定明.高中生解决圆锥曲线焦点三角形问题的常见策略及认知分析[D].广州大学硕士学位论文,2019.[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[S].北京:人民教育出版社,2020:47.[3]教育部考试中心制定.中国高考评价体系[M].北京:人民教育出版社,2019:24.[4]江智如.直观想象素养下一道高中数学联赛题的解法探析[J].中学数学研究(江西师大),2019(12):48-49.[5]任子朝,陈昂,赵轩.加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底[J].数学通报,2016(6):8-13.[6]于涵,任子朝,陈昂,赵轩,李勇.新高考数学考核目标与考查要求[J].中小学教材教学,2016(6):20-24.[7]江智如.高中平面向量教学中的“精致练习”[J].福建中学数学,2016(1):16-19.。
圆锥曲线焦点三角形面积公式
圆锥曲线焦点三角形面积公式：S=b²·tan（θ/2）。
圆锥曲线定理：
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。
又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d 为准线。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。
设平面PI′与PI的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。
设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。
又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。
如此则PR sina=PH=PE sinb=PF sinb。
有关焦点三角形面积公式证明及应用
有关焦点三角形面积公式证明及应用51级高三数学组 刘敏高考中的解析几何综合题计算量大，能力要求高的特点，体现在分类讨论，综合运用代数、三角、解几、平几知识等方面，选择比较合理的解题方法，能收到事半功倍的效果。
本文就椭圆、双曲线的焦点三角形面积进行了探究：引例1：已知F 1,F 2分别是椭圆1121622=+y x 的左焦点和右焦点，点M 在椭圆上，且︒=∠6021MF F ，求21F MF ∆的面积。
解： 点M 在椭圆1121622=+y x 上，821=+∴MF MF在21F MF ∆中，由余弦定理得：1212221221cos 2F MF MF MF MF F F ∠-+==212213)(MF MF MF MF -+36416-=∴21MF MF ∴21MF MF =16S ∴21F MF ∆=2121MF MF sin ︒∠60=34评注：本题在运算中，运用了定义、整体代换的方法，直接求出21MF MF 的值，这比分别求简单得多。
合理的应用定义有助于减少运算量，提高解题正确率。
下面推导任意角的焦点三角形的面积：已知M 是椭圆)0(12222>>=+b a bY a X 上的任意一点，F 1 ，F 2 是椭圆的两个焦点，θ=∠21MF F ，求21F MF ∆的面积。
分析：所涉及知识点：椭圆的定义，余弦定理，面积公式，三角形变换公式等。
解：在21F MF ∆中，由余弦定理得：21212221221cos 2MF F MF MF MF MF F F ∠-+==θcos 2)(21221MF MF MF MF -+ 而a MF MF c F F 2,22121=+=24422-=∴a c 21MF MFcos 221MF MF -∴θcos 12221+=b MF MF S ∴21F MF ∆=2121MF MF sin θ=21⋅θcos 12+b = b2⋅θθcos 1sin += b 2⋅2tanθ评注：在椭圆上一点和两个焦点为三个顶点的三角形中，通过余弦定理，巧妙的运用定义，推导三角形面积时，运用了整体思想。
高中数学讲义微专题72 圆锥曲线中的面积问题
微专题72 圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=V（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot2PF F S b θ=⋅V二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214xy +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F V 与12QF F V 关于原点对称，面积相等。
且四边形12PF QF 可拆成12PF F V 与12QF F V 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F V 面积最大，因为121212PF F p p S F F y c y =⋅=⋅V ，所以当p y 最大时，12PF F V 面积最大。
高中数学讲义微专题72 圆锥曲线中的面积问题
微专题72 圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot2PF F Sb θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214xy +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等。
且四边形12PF QF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p SF F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大。
即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大。
高三数学锥曲线中焦三角面积公式的应用
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。
焦三角的面积只与b 和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。
假设这个视角为θ，F 1、F 2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b 2tan 2θ,在双曲线里焦三角的面积S=b 2cot 2θ。
下面我们给出证明：若P 是椭圆22221x y a b+=（a>b>0）上一点，F 1、F 2是两个焦点，设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,三角形PF 1F 2的面积为S ，则S=121sin 2r r θ……（1） 在三角形PF 1F 2中，由余弦定理（2c ）2=222121212122cos ()2cos r r rr r r rr θθ+-=+-, (2)又r 1+r 2=2a ,……(3)代入（2）得：4c 2=4a 2-θcos 221r r ∴r 1r 2=θcos 22b 代入（1）中可得S=b 2tan2θ，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b 2cot 2θ。
在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。
例1（2004年高考福州）已知P 是椭圆2214x y +=的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积是___________。
由椭圆的焦三角面积公式，这里θ=600，2θ=300得△PF 1F 2 例2.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. C. 32 D. 42 解：由三角形外角性质可得∠F 1PF 2=3π，即θ=3π，再由双曲线的焦三角面积公式，S=b 2cot2θ=16cot 6π故选A 。
例3.在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直。
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中的面积型问题通常涉及到计算某个特定区域的面积，这些区域可能是由圆锥曲线（如椭圆、双曲线或抛物线）和直线或其他曲线围成的。
解决这类问题的一般步骤包括：
1.确定相关方程：需要明确给定的圆锥曲线和其他相关曲线的方程。
这些方程是解决问题的基础。
2.找出交点：接下来，找出这些曲线之间的交点。
这些交点通常是计算面积的关键点。
3.确定积分区间：根据交点，确定需要积分的区间。
对于二维问题，这通常是一个或多个区间；对于三维问题，则可能是一个区域。
4.进行积分计算：使用适当的积分公式或技巧，计算相关区域的面积。
这可能涉及到定积分、二重积分或三重积分，具体取决于问题的维度。
5.简化结果：最后，对计算出的结果进行简化，得出最终答案。
例如，在椭圆中，可能需要计算椭圆与某条直线围成的区域的面积。
需要找出椭圆和直线的交点，然后确定需要积分的区间，接着使用定积分或二重积分进行计算，最后简化结果。
需要注意的是，圆锥曲线中的面积型问题可能比较复杂，需要综合运用数学知识进行分析和计算。
在实际解题过程中，还需要注
意选择合适的计算方法和技巧，以提高解题效率和准确性。
高考数学热点问题专题解析——圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot2PF F Sb θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等。
且四边形12PF QF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p SF F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大。
即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大。
由2214x y +=可知2,1,a b c ===()())120,1,,P F F ，进而计算出12PF PF ⋅的值为2- 答案：2-例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为-，则12PF F 的面积是（ ） A.B.C.D.思路：将椭圆化为标准方程为22110064x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，设(),P x y，则有26PF y k x ==--，所以22162516006x y yx y ⎧+=⎪⎪=-⎨-⎪>⎪⎩可解得y =19y =-（舍去），所以1212111222PF F S F F y =⋅=⋅⋅= 答案：B例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.8D.思路：由2OA OB ⋅=入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122x x y y +=，进而想到可用韦达定理。