高考数学热点专题专练专题五数列、不等式、推理与证明测试题理

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高三数学考前基础知识专练：不等式推理与证明

高三数学基础知识专练不等式推理与证明一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中“( )”内. 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(mmHg) 110 115 120 125 130 135 ( ) 145 舒张压(mmHg)707375788083( )882、一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为__________________.3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2)1(1-+=成立.类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 22)(221x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=x ax a x xx f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且ca mc b b a -≥-+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1)(1(bb a a ++的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0，则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”或“负数).13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2008项为__________.14、下面使用类比推理正确的序号是__________.(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是全等的平行四边形”；(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题15. 已知f (x )=a 2x －12x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。

高考数学(理)三年真题专题演练—不等式、推理与证明

高考数学三年真题专题演练—不等式、推理与证明
1．【2021·浙江高考真题】若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.
【详解】
画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
故选：B
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．
C． D．
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时 .
若，则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

高三数学不等式推理与证明训练试题集

高三数学不等式、推理与证明训练试题集一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列符合三段论推理形式的为A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．② C．①②③ D．③解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.答案：C3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.答案：D4．已知ai，bi∈Ri＝1,2,3，…，n，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为A．1 B．2 C．n2 D．2n解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.答案：A5．在下列函数中，最小值是2的是A．y＝x2＋2xB．y＝x＋2x＋1x＞0C．y＝sinx＋1sinx，x∈0，π2D．y＝7x＋7－x解析：A中x的取值未限制，故无最小值．D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为A．－6 B．6 C．－5 D．5解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×－2＝6.答案：B7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是A．2 B．22 C．4 D．5解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.答案：C8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤kx－1－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是A．－∞，－1 B．－1,2C．－∞，－1∪2，＋∞ D．2，＋∞解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．若k＞0，将阴影部分的点如0,0代入y≤kx－1－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝kx－1－1是过定点1，－1的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是11a＜1b； 2a3＞b3；3a2＋1＞b2＋1; 42a＞2b.A．23 B．13 C．34 D．24解析：∵a、b符号不定，故1不正确，3不正确．∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故2正确．∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故4正确.答案：D10．设函数fx＝－3 x＞0，x2＋bx＋c x≤0，若f－4＝f0，f－2＝0，则关于x的不等式fx≤1的解集为A．－∞，－3]∪[－1，＋∞ B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪0，＋∞ D．[－3，＋∞解析：当x≤0时，fx＝x2＋bx＋c且f－4＝f0，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f－2＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，fx＝－2≤1显然成立．故不等式的解集为[－3，－1]∪0，＋∞.答案：C11．若直线2ax＋by－2＝0a＞0，b＞0平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得x－12＋y－22＝11，若2ax＋by－2＝0平分圆，∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，∴2a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝3＋2ba＋ab≥3＋2 2baab＝3＋22，当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.答案：C12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的’距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A．5 km处 B．4 km处C．3 km处 D．2 km处解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝20x ，y2＝0.8xx为仓库到车站的距离，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.答案：A第Ⅱ卷非选择共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是 .解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：9 2114．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an＝a1＋a2＋…＋an－1a1＋1a2＋…＋1an＝a11－qn1－q－1a11－1qn1－1q＝a11－q41－q－q1－qna11－qqn≥0，∴a11－qn1－q≥q1－qna11－qqn.因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.答案：516．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，即yx∈13，2，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.答案：－83，32三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．17．10分在三角形中有下面的性质：1三角形的两边之和大于第三边；2三角形的中位线等于第三边的一半；3三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；4三角形的面积为S＝12a＋b＋crr为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长．请类比出四面体的有关相似性质．解析：1四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；2四面体的中位面过三条棱的中点的面的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]3四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；4四面体的体积为V ＝13S1＋S2＋S3＋S4rr为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积．18．12分已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.解析：b2a＋a2b－a＋b＝b2a－a＋a2b－b＝b＋ab－aa＋a＋ba－bb＝a－ba＋b1b－1a＝1aba－b2a＋b，∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.19．12分为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量x万件与年促销费用tt≥0万元满足x＝4－k2t＋1k 为常数．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分．1将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；2该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：1由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－6＋12x－t＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t＝27－182t＋1－tt≥0．2由1知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时，等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．20．12分设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….1求a1，a2；2猜想数列{Sn}的通项公式．解析：1当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是a1－12－a1a1－1－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得 a2＝16.2由题设Sn－12－anSn－1－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由1得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….21．12分设二次函数fx＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立．1求f1的值；2求fx的解析式；解析：1由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，若[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立，即x≤fx≤x2＋12恒成立，令x＝1得1≤f1≤12＋12＝1，故f1＝1.2由函数零点为－1得f－1＝0，即a－b＋c＝0，又由1知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.又fx－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，因为fx－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，因此ac≥116①于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，得ac≤c＋a22＝116②故ac＝116，且a＝c＝14，故fx的解析式是fx＝14x2＋12x2＋12x＋14.22．12分某少数民族的刺绣有着悠久的，下图1、2、3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求出f5；2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出fn+1与fn的关系，并根据你得到的关系式求fn的表达式．解析：1∵f1=1，f2=5，f3=13，f4=25，∴f5=25+4×4=41.2∵f2-f1=4=4×1，f3-f2=8=4×2，f4-f3=12=4×3，f5-f4=16=4×4，由上式规律得出fn+1-fn=4n.∴fn-fn-1=4n-1，fn-1-fn-2=4n-2，fn-2-fn-3=4n-3，…f2-f1=4×1，∴fn-f1=4[n-1+n-2+…+2+1]=2n-1n，∴fn=2n2-2n+1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2022年高考数学真题分类汇编第5讲数列与不等式(2022年高考真题)(解析版)

2022年高考数学真题分类汇编第5讲数列与不等式一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D2．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b +，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.3．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .二、填空题4．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =.故答案为：2.三、解答题5．（2022·全国·高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．(1)设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．(2)由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．6．（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得.(1)∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；(2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7．（2022·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．(1)解：因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．(2)解：由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时()min 78n S =-．第6讲立体几何一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1233432,2sin 60sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．2．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ． 2.65≈）（）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎣⎦，.故选：C.4．（2022·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明EF ⊥平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥，又1BD DD D = ，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ，()()12,2,0,2,0,2DB DA == ，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1m =- ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-，则122110m n ⋅=-+=≠，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m 与2n uu r 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m 与3n不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.5．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．13B ．12CD ．22【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则212327O ABCDV r h -=⋅⋅=≤=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C6．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（）A B ．C D ．4【答案】C 【解析】【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则11222S rl rS r l r ππ===甲乙，所以122r r =，又12222r r l l πππ+=，则121r r l+=，所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高13h l ==，乙圆锥的高2h l ，所以2211222143913r h l V V r h ππ===甲乙故选：C.7．（2022·全国·高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30°，则（）A ．2AB AD=B ．AB 与平面11AB C D 所成的角为30°C ．1AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D== ，即b c =，12B D c ==a =．对于A ，AB a =，AD b =，AB ，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为tan 2c BAE a ∠==30BAE ∠≠ ，B 错误；对于C，AC =，1CB =，1AC CB ≠，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，112sin 22CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠< ，所以145DB C ∠= ．D 正确．故选：D ．二、多选题8．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D = ，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，3EF a ==，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM S EM FM =⋅= ，AC =，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅= ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.9．（2022·全国·高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒【答案】ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥，因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1A C ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确；连接11AC ，设1111AC B D O = ，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥，因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ，所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则122C O =，1BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30 ，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠= ，故D 正确.故选：ABD三、解答题10．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC(2)解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD，AB =所以12AC =，所以()2,0O，()B，()2,3P ，()0,12,0C ，所以32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()AB = ，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =- ；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令a 6c =-，0b =，所以)6m =- ；所以cos ,n m n m n m⋅== 设二面角C AE B --为θ，由图可知二面角C AE B --为钝二面角，所以cos 13θ=-，所以11sin 13θ==故二面角C AE B --的正弦值为1113；11．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得h =所以点A 到平面1A BC ；(2)取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =12AA AB ==，1A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC == ,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()1,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()0,1,1n =-r ，则1cos ,2m n m n m n ⋅===⋅ ，所以二面角A BD C --=12．（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【答案】(1)证明详见解析(2)4【解析】【分析】（1）通过证明AC ⊥平面BED 来证得平面BED ⊥平面ACD .（2）首先判断出三角形AFC 的面积最小时F 点的位置，然后求得F 到平面ABC 的距离，从而求得三棱锥F ABC -的体积.(1)由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .(2)依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,AC AE CE BE ===由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得2EF =，所以13,222DF BF DF ===-=，所以34BF BD =.过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =,所以1113233244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯= .13．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为7【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABD CBD ≌△△，得到AB CB =，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE DE ⊥，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.(1)因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .(2)连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE ，因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==,在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y =()n = ，又因为()31,0,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎝⎭，所以cos ,7n CF n CF n CF ⋅=== ，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ==所以CF 与平面ABD14．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 的中点,M N ，连接MN ，由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥，EM FN =，依题从而可证EM ⊥平面ABCD ，FN ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知//EM FN ，即可知四边形EMNF 为平行四边形，于是//EF MN ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL EFGH -的体积加上四棱锥B MNFE -体积的4倍，即可解出．(1)如图所示：，分别取,AB BC 的中点,M N ，连接MN ，因为,EAB FBC 为全等的正三角形，所以,EM AB FN BC ⊥⊥，EM FN =，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EM ⊂平面EAB ，所以EM ⊥平面ABCD ，同理可得FN ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知//EM FN ，而EM FN =，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以//EF MN ，又EF ⊄平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ．(2)如图所示：，分别取,AD DC 中点,K L ，由（1）知，//EF MN 且EF MN =，同理有，//,HE KM HE KM =，//,HG KL HG KL =，//,GF LN GF LN =，由平面知识可知，BD MN ⊥，MN MK ⊥，KM MN NL LK ===，所以该几何体的体积等于长方体KMNL EFGH -的体积加上四棱锥B MNFE -体积的4倍．因为MN NL LK KM ====8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 的距离即为点B到直线MN 的距离d ，d =(21V=⨯⨯⨯==3。

高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)

高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0,1)-；乙：直线l 经过点(1,0)；丙：直线l 经过点(1,1)-；丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+．则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边．所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=．证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ．这两个球的半径比为：:R r ，表面积比为：22224:4:R r R r ππ=，体积比为：333344::33R r R r ππ=，所以，两个球是相似体．故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++，当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++，故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++，故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+．故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同，从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+，故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，当63n =时，()6363120162⨯+=，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=，即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯，即11122-=，故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈，这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈，由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++．证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=，则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。

高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析

高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第行的各数之和等于22017（） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；当分母的指数为2时，分子为224=；当分母的指数为3时，分子为3327=；据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙【答案】B 【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（） A ．13V abc =B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）【答案】D 【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数．【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数，所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，所以第191个奇数为21911381⨯-=．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.17．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅，其中,,a b c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．13V abc =B．13V Sh =C．1()3V ab bc ca h=++，（h为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（） A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法篇专题5 数列、推理与证明第23练含答案精品

第23练常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望] 利用递推关系式求数列的通项公式及前n 项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键.一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.体验高考1.(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.2.(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 答案－1n解析由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.3.(2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________. 答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2.令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.4.(2016·课标全国丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.高考必会题型题型一利用累加法解决递推问题例1 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)，则a n 等于( )A.2－1nB.1－1nC.1nD.2－1n －1答案 A解析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)，∴a 2－a 1＝11×2，a 3－a 2＝12×3，a 4－a 3＝13×4，…，a n －a n －1＝1n (n －1)(n >1)，以上各式左右两边分别相加得a n －a 1＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ，∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，又a 1＝1适合上式， ∴a n ＝2－1n ，故选A.(2)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (n ∈N *，常数c ≠0)，且a 1，a 2，a 3成等比数列. ①求c 的值；②求数列{a n }的通项公式.解 ①由题意知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， ∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴(2＋c )2＝2(2＋3c )，解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2.②当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn ，得a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ，以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c .又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，上式也成立，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *).点评由已知递推关系式，若能转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )，或1a n ＋1－1a n ＝f (n )且f (n )的和可求，则可采用累加法.变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n )，则a n 等于( )A.1＋n ＋ln nB.1＋n ln nC.1＋(n －1)ln nD.1＋ln n 答案 D解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln(1＋1n －1)＋ln(1＋1n －2)＋…＋ln(1＋1)＋1＝ln(n n －1×n －1n －2×…×2)＋1＝1＋ln n . 题型二利用累乘法解决递推问题例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝2n ＋1 C.a n ＝n ＋12 D.a n ＝n(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，则a 2 016＝________.答案 (1)B (2)2 016解析 (1)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…， a n a n －1＝n n －1，各式相乘得a na 1＝n ，∴a n ＝n (n ＝1适合)，∴a 2 016＝2 016.点评若由已知递推关系能转化成a n ＋1a n ＝f (n )的形式，且f (n )的前n 项积能求，则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式.变式训练2 数列{a n }的前n 项和S n ＝n2a n (n ≥2)，且a 1＝1，a 2＝2，则{a n }的通项公式a n ＝______________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2解析 ∵S n －1＝n －12a n －1 (n ≥3)，∴S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，∴a n ＝n 2a n －n －12a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2.∴当n ≥3时，a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝2·32·43·…·n －1n －2，∴a na 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)·a 2＝2(n －1)(n ≥3). ∵a 2＝2满足a n ＝2(n －1)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2.题型三构造法求通项公式例3 (1)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝na n(n ＋1)(na n ＋2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1，则a n ＝________.答案 (1)1n (3·2n －1－1)(2)1n解析 (1)由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na nna n ＋2，设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b nb n ＋2，所以1b n ＋1＝2b n＋1，两边都加1可得1b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(1b n ＋1)，即{1b n ＋1}是公比为2，首项为3的等比数列. 故1b n＋1＝3·2n －1，所以1b n ＝3·2n －1－1＝1na n，所以a n ＝1n (3·2n －1－1)(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝1n (3·2n －1－1). (2)由a n ＋1＝a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝1(常数)，又1a 1＝1，∴{1a n }为以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n ＝n ，从而a n ＝1n ，即所求通项公式为a n ＝1n. 点评构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“a n ＝ca n －1＋b ”的条件下，可构造“a n ＋x ＝c (a n －1＋x )”在“a n ＝ma n －1ka n －1＋m”的条件下，可构造“1a n ＝1a n －1＋k m ”.变式训练3 已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝7a n －1－33a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式.解因为当n ≥2时，a n －1＝4a n －1－43a n －1＋1，两边取倒数，得1a n －1＝1a n －1－1＋34.即1a n －1－1a n －1－1＝34，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝1，公差为34的等差数列.所以1a n －1＝1a 1－1＋34(n －1)＝3n ＋14.所以a n ＝3n ＋53n ＋1.又当n ＝1时，上式也成立，故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n ＋53n ＋1(n ∈N *). 高考题型精练1.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ≥2)，则a n 等于( )A.1n ＋1B.(23)n －1C.(23)nD.2n ＋1答案 D解析由题意知{1a n }是等差数列，又1a 1＝1，1a 2＝32， ∴公差为d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12， ∴a n ＝2n ＋1，故选D.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10等于( ) A.28 B.33 C.133 D.128答案 D解析由已知1a n ＋1－1a n＝3(n ∈N *)，所以数列{1a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，即1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，解得a n ＝13n －2，a 10＝128，故选D.3.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝n n ＋1C.a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2 D.a n ＝n ＋1n ＋2答案 B解析由a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2可得，a n ＋1－a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以a 2－a 1＝12－13，a 3－a 2＝13－14，a 4－a 3＝14－15，…，a n －a n －1＝1n －1n ＋1，累加可得a n －a 1＝12－1n ＋1，又a 1＝12，所以a n ＝nn ＋1，故选B.4.已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，n 为正整数，则a 2 016等于( )A.2 015B.2 009C.1 005D.1 006 答案 A解析因为f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x1－x ＋1＋log 21－x x ＋1＝2.所以f (1n )＋f (n －1n )＝2，f (2n )＋f (n －2n )＝2，…， f (n －1n )＋f (1n)＝2，由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1，所以a 2 016＝2 016－1＝2 015，故选A.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n (n －1)2＋2n －1－1B.n (n －1)2＋2n －1C.n (n ＋1)2＋2n ＋1－1D.n (n －1)2＋2n ＋1－1答案 B解析 ∵a n ＋1＝a n ＋n ＋2n ， ∴a n ＋1－a n ＝n ＋2n .∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋(1＋2)＋(2＋22)＋…＋[(n －1)＋2n －1]＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(2＋22＋…＋2n －1)＝1＋(n －1)n 2＋2(1－2n －1)1－2＝n (n －1)2＋2n－1.6.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7等于( ) A.53 B.54 C.55 D.109 答案 C解析 ∵a n －a n －1＝2n (n ≥2)， ∴a 2－a 1＝4， a 3－a 2＝6， a 4－a 3＝8， …a 7－a 6＝14，以上各式两边分别相加得 a 7－a 1＝4＋6＋…＋14， a 7＝1＋(4＋14)×62＝55.7.数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.答案 3n －2解析因为a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)，所以a n －a n －1＝2·3n －1(n ≥2)，由叠加原理知a n －a 1＝2(3＋32＋33＋…＋3n －1)(n ≥2)，所以a n ＝a 1＋23(1－3n －1)1－3＝1＋3n －3＝3n －2(n ≥2)，因为a 1＝1也符合上式，故a n ＝3n －2.8.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________. 答案 2×3n －1－1解析设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1). ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.9.若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝4a n ＋2n ，则通项a n ＝________________. 答案 22n －1－2n －1解析 ∵a n ＋1＝4a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝2a n 2n ＋12，设b n ＝a n 2n ，则b n ＋1＝2b n ＋12，∴b n ＋1＋12＝2(b n ＋12)，即b n ＋1＋12b n ＋12＝2，又b 1＋12＝1，∴{b n ＋12}是等比数列，其中首项为1，公比为2， ∴b n ＋12＝2n －1，即b n ＝2n －1－12，即a n 2n ＝2n －1－12， ∴a n ＝2n (2n －1－12)＝22n －1－2n －1.10.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________________. 答案 1n解析对原关系式进行等价变形可得(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)⇒[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，因为{a n }是正项数列，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，从而(n ＋1)a n ＋1na n＝1，即数列{na n }是首项为1，公比为1的等比数列，所以na n ＝1，即a n ＝1n.11.数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明由a n＋2＝2a n＋1－a n＋2，得b n＋1－b n＝a n＋2－2a n＋1＋a n＝2a n＋1－a n＋2－2a n＋1＋a n＝2，又b1＝a2－a1＝1，∴{b n}是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解由(1)得b n＝2n－1，于是a n＋1－a n＝2n－1，a n＝[(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)]＋a1＝[1＋3＋…＋(2n－3)]＋1＝(n－1)2＋1，而a1＝1也符合，∴{a n}的通项公式a n＝(n－1)2＋1.12.已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*).(1)证明数列{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n＋n}的前n项和T n.解(1)由已知，S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*)，当n≥2时，S n＝2S n－1＋n，两式相减得，a n＋1＝2a n＋1，于是a n＋1＋1＝2(a n＋1)(n≥2).当n＝1时，S2＝2S1＋1＋1，即a1＋a2＝2a1＋1＋1，所以a2＝3，此时a2＋1＝2(a1＋1)，且a1＋1＝2≠0，所以数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.所以a n＋1＝2·2n－1，即a n＝2n－1(n∈N*).(2)令c n＝na n＋n，则c n＝n·2n，于是T n＝1·21＋2·22＋…＋n·2n，2T n＝1·22＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，两式相减得，－T n＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2(2n－1)2－1－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以T n＝(n－1)·2n＋1＋2.。

高考解答题专题训练五数列与不等式(理)参考答案

1．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则根据条件得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.45,105131211q a q a q a a 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.45)1(,10)1(23121q q a q a …………………………2分②÷①得.21,813==q q 所以代入①解得.81=a …………………………5分所以.)21()21(84)111---=⋅==n n n n q a a（Ⅱ）因为2lg 2lg lg lg 2221-+++++na a a nn n 2lg 221lg)42(21lg )2(21lg )3(2--++-+-=nn n n 2lg 221lg )42()2()3(2--++-+-=nn n n 2lg 221lg 2)]42()3[(2--+-=n n n n (9)分2lg 272lg 272lg 22lg 272lg 232lg 221lg )2723(-=-+-=--=n n n ,2lg )11(27-=n………………………………10分设,2lg )11(27)(-=nn g 因为n n g 是关于)(的减函数，所以).)(1(|)()(*max N n g n g n g ∈=≤即.02lg )111(27|2lg )11(272lg )11(27max =-=-≤-nn所以.2lg 2lg lg lg 2221≤+++++n a a a nn n …13分2．解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且，∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， ………3分即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． …………4分 ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． …………5分（Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n (7)分∴n n n a 2)21(⋅-=． (8)分)2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S ……………………………10分1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S 得12)21(2222132-⋅--++++=+n n n12)21(21)21(21-⋅----=+n n n32)23(-⋅-=n n ．∴32)32(+⋅-=n n n S ． ………………13分3．解：（Ⅰ）∵221120n n n n a a a a ++--=，∴11()(2)0n n n n a a a a +++-=,∵数列{n a }的各项均为正数，∴10n n a a ++>， ∴120n n a a +-=，即12n n a a +=，所以数列{n a }是以2为公比的等比数列.…………………………3分∵23+a 是42,a a 的等差中项，∴24324a a a +=+，∴1112884a a a +=+，∴12a =，∴数列{n a }的通项公式2n n a =.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及n b =12log n n a a 得，2n n b n =-⋅， ……………………………8分∵12n n S b b b =++⋅⋅⋅+， ∴23422232422n n S n =--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅○1 2345122223242(1)22n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ○2 ○2-○1得，234512222222n n n S n +=+++++⋅⋅⋅+-⋅ =112(12)2(1)2212n n n n n ++--⋅=-⋅--……………………………12分要使S 12+⋅+n n n >50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，n 5 ∴使S 12+⋅+n n n >50成立的正整数n的最小值为5. ……………………………14分4．解：（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a …………2分解得⎩⎨⎧==.5,21a d…………4分 32+=∴n a n .…………5分)4(2)325(+=++=n n n n S n …………6分① ②（II ）由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n nn,3).2(3)41)(1()(()()(,211121112211也适合对时当=+=++--=++++=+-++-+-=≥-----b n n n n b a a a b b b b b b b b n n n n n n n n ))(2(*∈+=∴N n n n b n…………8分).211(21)2(11+-=+=∴n n n n b n …………10分)211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n)2)(1(4532+++=n n nn…………13分5．解：（I ）,31,111===a b n 时当 111,21111=⋅-=-=-≥----n n n n n n n n a a a a a a b b n 时当， ∴数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， ∴通项公式为2+=n b n .…………5分（II ）,)2(11+=n n nb n)2(1531421311+++⋅+⋅+⋅=∴n n T n,2143]2223[21)2)(1(3223[21.22)2)(1(22,22)2)(1(22)2)(1(32],)2)(1(3223[21)]2111(23[21)]211()5131()4121()311[(21+-=+-<+++-∴+-<+++-∴+=+++>++++++-=+++-=+-++-+-+-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 2143+-<∴n T n …… …13分6．（1）()()2)1(1),1(11≥-+=-∴++=-+n n n S a n n n S na n n n n ，()na n n S n n S a n na n n n n n 2)1()1(111+=---++=--∴-+)2(≥n()221≥=-∴+n a a n n又当1=n 时，212+=S a ，即212=-a a ，对于正整数n 都有21=-∴+n n a a ，{}n a ∴是等差数列()n d n a a n 211=-+=.（2）()1 ,21++==+n n S na n a n n n ，()()nn n n n n n S b n n S 212 1+==∴+=∴ ()()()()(),22121221111+++-+=+-++=-∴n nn nn n n n n n n b bnn b b n b b <≥=∴+1323,时，当，23,1321===b b b 又 ∴数列{}nb 中最大值是2332==b b ∴t 的最小值为23.7．证明：（I ）由32S n a n n =+() 得31211S n a n n n --=+≥()()二式相减得3211a n a n a n n n =+-+-()()()()n a n a n n -=+-111 ∴=+-≥-a a n n n n n 1112() ∴=-===--a a n n a a a a a n n 1232211242312；；；；叠乘得：a n n n N n =+∈()()*1（II ）111111a n n n n n =+=-+()∴=-+-+-++-+=-+=+T n n n n n n 112121313141111111（III ）令||||T n n n n -=+-=+<11111110得：n n +>>1109，故满足条件的M 存在，M n N n n N =∈>∈{|}*9，是一个这样的集合8．（Ⅰ）解：由a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋1得，对n ∈N *，a n ≠0．从而由a n ＋1＝2a na n ＋1两边取倒数得，1a n ＋1＝12＋12a n ．即1a n ＋1－1＝12(1a n－1)， ∵a 1＝2，1a 1－1＝－12．∴数列{1a n －1}是首项为－12，公比为12的等比数列．…………………………………4分 ∴1a n －1＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n． ∴1a n ＝1－12n ＝2n －12n ．∴a n ＝2n2n －1．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2n －1．…………6分（Ⅱ）证法一：∵a n ＝2n2n －1，∴a i (a i －1)＝2i(2i －1)2(i ＝1，2，…，n ) ，当i ≥2时，∵a i (a i －1)＝2i(2i －1)2＜2i(2i －1)(2i －2)＝2i －1(2i －1)(2i －1－1)＝12i －1－1－12i －1，……11分∴∑ni=1a i (a i －1)＝a 1(a 1－1)＋a 2(a 2－1)＋…＋a n (a n －1)＝21(21－1)2＋22(22－1)2＋ (2)(2n －1)2＜21(21－1)2＋(121－1－122－1)＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－1－12n －1) ＝2＋1－12n －1＝3－12n －1＜3．…………………………………14分证法二：∵a n ＝2n2n －1，∴a i (a i －1)＝2i(2i －1)2 (i ＝1，2，…，n ) ，当i ≥2时，∵a i (a i －1)＝2i(2i －1)2＜2i(2i －1－1)(2i +1－1)＝23(12i －1－1－12i +1－1)，………………11分∴∑ni=1a i (a i －1)＝a 1(a 1－1)＋a 2(a 2－1)＋…＋a n (a n －1)＝21(21－1)2＋22(22－1)2＋…＋2n(2n －1)2＜21(21－1)2＋23(122－1－1－122+1－1)＋23(123－1－1－123+1－1)＋…＋23(12n －1－1－12n +1－1) ＝2＋23(1＋13－12n －1－12n +1－1)＜2＋89＜3．…………………………14分9．解：（I ） y x x y x x =-∴=-322336，'过点，的切线的方程为又过点，或P x y l y x x x x x x l O x x x x x x x x x 111113*********121121131211336003362332()()()()()()()--=--∴--=--∴=∴==P O x 1132与不重合，∴=（II ）过点，的切线的方程为：P x y l n n n n ++++1111()y x x x x x x l P x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n --=--∴---=---+--=-+++++++++++++++++()()()()()()()()()()()(3121211113231212111121121233633362302又过点，整理得130-=)由已知得x x x x n n n n ≠∴+=++1123，（III ） x x n n +=-+11232{}∴-=--∴--=--=-⎛⎝ ⎫⎭⎪∴=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-x x x x x x n n n n n n n 111112111121211212112()是以为首项，为公比的等比数列∴→∞=lim n x n 110．（Ⅰ）解：),(22*N n a S n n ∈-= ①),2(22*11N n n a S n n ∈≥-=∴-- ②………1分①—②，得.221--=n n n a a a ),2(*N n n ∈≥,0≠n a .21=∴-n n a a),2(*N n n ∈≥即数列{}n a 是等比数列.……………3分,11S a = .2,22111=-=∴a a a 即).(2*N n a n n ∈=∴ (5)分（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n ，总有.1)(log 1222n a b n n==……………………6分 n n nT n )1(1321211112111222-++⋅=⋅+≤+++=∴ .21211131212111<---++-+-+=nn n（Ⅲ）解：由.1)1ln(ln )(21)(*111++=∈+=+++n n c N n a n c nn n n n 知令.ln 111)(,ln )(22x x x nxx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵在区间（0，e ）上，.0)(,),(,0)(<'+∞>'x f e x f 上在区间在区间)(),(x f e 上+∞为单调递减函数.………12分∴.|ln |,2*是递减数列时且n c N n n ∈≥ 又.3ln 31ln |ln |,ln ln 221=∴<c c c c n 中的最大项为数列 11．（Ⅰ）解：2232n n S a n n =+--，()()21121312n n S a n n ++∴=++-+-.()11222,212(2)n n n n a a n a n a n ++∴=-+∴-+=-.{}2n a n ∴-是以2为公比的等比数列（Ⅱ）111124,4a S a a ==-∴=,∴121422a -⨯=-=.22,22n n n n a n a n ∴-=∴=+. 4分当n 为偶数时，12313124()()n n n n P b b b b b b b b b b -=++++=+++++++()()()31221223221n n -⎡⎤=-+⨯-+⨯--+-⎣⎦()()()2422222422n n ++⨯++⨯+++⨯()()224122122(21)12123n n n n n--=-+=⋅-+--；当n 为奇数时，P n=()12213n n ++--+. 综上，125,332(21)3n n n n n P n n +⎧---⎪⎪=⎨⎪⋅-+⎪⎩（为奇数），（为偶数）. (Ⅲ)112n n n c a n n==-+. 当=1时，1T =13 3744<当≥2时，12323111121222321111 <3222n nnT n =++++++++++++=111(1)1421312n --+-1113225153762644n n =+-=-<<综上可知：任意n N ∈，3744n T <.12．（Ⅰ）解：令120x x ==，由①对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴(0)3f ≥ 1分又由②得 (0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ 2分∴(0) 3.f = 3分（Ⅱ）解：任取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2121121()[()]()()3,f x f x x x f x f x x =+-≥+--因为210x x ->，所以21()3f x x -≥，即21()30,f x x --≥∴ 12()()f x f x ≤. ∴当x ∈[0,1]时，()(1)4f x f ≤=. 7分（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：1111()3(*)33n n f n N --≤+∈ 当n=1时，0011()(1)413333f f ===+=+，不等式成立；假设当n=k 时，1111()3(*)33k k f k N --≤+∈ 由11111111()[()]()()33333333k k k k k k k f f f f -=++≥++- 111()()()6333k k kf f f ≥++- 得111113()()69.333k k k f f --≤+≤+ 即当n=k+1时，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式1111()333n n f --≤+对一切正整数都成立.于是，当111(,](1,2,3,)33nn x n -∈=⋅⋅⋅时，1111133333()333n n n x f --+>⨯+=+≥，而x ∈[0,1]，()f x 单调递增∴111()()33n n f f -< 所以，11()()3 3.3n f x f x -<<+ 13．（Ⅰ）解：如.2n a n =（答案不惟一，结果应为C Bn An a n ++=2的形式，其中0≠A ）……3分（Ⅱ）解：依题意 ,3,2,1,21==-+n a a n n n 所以11232211)()()()(a a a a a a a a a an n n n n n n+-++-+-+-=-----.22222321n n n n =++++=--- ……5分从面{}n a 是公比数为2的等比数列，所以.2221)21(21-=--=+n n n S (7)分（Ⅲ）解：① 由nn n n n n n n b b a b b a 221221111⋅-=⋅-=--+及，两式相除得,2111=-+n n b b 所以数列{}{}n n b b 212,-分别是公比为21的等比数列由.14724-=-=b b 得令.23221,161211⋅=⋅-==b b b a n n 得由所以数列{}n b 的通项为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥⋅⋅=--),2()21(14),1()21(2312216是偶数且是奇数且n n n n b nn n ………10分②记数列{}nb 前n 项的积为T n .令,1|)21(2,181<⋅-<-+n n n b b 得即.13,211)21(1≥<-n n 解得所以当n 是奇数时，,1||,1||,1||,,1||,1||1615141312114321<<>>>b b b b b b b b b b 从而.|||||,|||||14121242 >><<T T T T T当n 是偶数时，,1||,1||,1||,,1||,1||1716151413125432<<>>>b b b b b b b b b b 从而.|||||,|||||15131331 T T T T T ><<注意到,3,0,012121213131312T T T b T T T >==>>且所以当数列{}n b 前n 项的积T n 最大时.13=n ………………………………14分14．解：（1）∴对任意的n ∈N ，a n =p(p 为常数)， ∴a n =a n+1=a 0=p ，则124+-p p =p ，得p 2－3p+2=0，所以p=1或p=2，故a 0的值为1或2.………4分（2）解法1：由已知，得a n+1－1=,1)1(3+-n n a a 1)2(221+-=-+n n n a a a ， a 0=4，所以由（1）得a n ≠1，2对任意n ∈N 成立..3,65161)23(1,65162.1)23(1)23(2,)23(21,212321111111≥≤-≤--=∴=----⋅=--++++++n a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n 得得由进而由此得∴所求的自然数n 的集合为：{n|n ≥3，n ∈N}…8分解法2：由a 0=4>2，a 1=f(a 0)=514>2，可假设当n=k(k ≥1且k ∈N)时，a k >2成立，则当n=k+1时，a k+1=4－16+k a . ∵a k +1>3，∴4－16+k a >2，即得a k+1>2.∴当n=k+1(k ≥1且k ∈N)时，a k+1>2成立.由此可得a n >2对任意的自然数n 都成立. 所以此时01)2)(1(1<+---=--n n n n n a a a a a ，知数列{a n }是递减数列.由计算可知：65162,1946,514,43210====a a a a ，因此n ≥3，n ∈N 即为所求的自然数n 的范围.∴所求的自然数n 的集合为：{n|n ≥3，n ∈N}………………………………8分（3）解不等式a n <a n+1，得a n <124+-n n a a ，得a n <－1或1<a n <2.要使a 1<a 2，则a 1<－1或1<a 1<2. （i ）当a 1<－1时，a 2=f(a 1)=4－161+a >4，而a 3=f(a 2)=4－162+a <4<a 2，明显不满足题意，舍去；（ii ）当1<a 1<2时，由a 2=4－161+a ，得1<a 2<2，由a 3=4－162+a ，和1<a 3<2，…，…，依此类推，a n =4－161+-n a ，得1<a n <2，而1<a n <2时，不等式a n <a n+1成立.∴数列{a n }中的所有项均满足a n <a n+1(n ∈N*). 综上所述，a 1∈（1，2），由a 1=f(a 0)，得a 0∈（1，2）15．（1）解：设等差数列{a n }的公差是d ，则a 1+2d=4，3a 1+3d=18，解得a 1=8，d=－2，所以n n d n n na S n 92)1(21+-=-+=……2分由)]1(18)1(2)2(9)2()9[(21222212+-+++++-+-=-+++n n n n n n S S Sn n n=－1＜0得,212++<+n n n S S S 适合条件①；又481)29(922+--=+-=n n n S n所以当n=4或5时，S n 取得最大值20，即S n≤20，适合条件②综上，{S n }∈W ………………………4分（2）解：因为n n n n n n n b b 25252)1(511-=+--+=-++所以当n ≥3时，01<-+n n b b ，此时数列{b n }单调递减；当n =1，2时，01>-+n n b b ，即b 1＜b 2＜b 3，因此数列{b n }中的最大项是b 3=7 所以M ≥7…………………8分（3）解：假设存在正整数k ，使得1+>k k c c 成立由数列{c n }的各项均为正整数，可得1111-≤+≥++k k k k c c c c 即因为2)1(22,21212-=--≤-≤≤+++++k k k k k k k k kc c c c c c c c c 所以由1,2,2121122112-≤=-<>-≤+++++++++k k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c c故得及因为32)1(22,2111123231-≤-=--≤-≤≤++++++++++k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c 所以……………………依次类推，可得)(*N m m c c k m k ∈-≤+设0),(*=-≤=∈=+p c c p m N p p c k p k k 时，有则当这显然与数列{c n }的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意n ∈N *, 都有1+≤n n c c 成立.……………………14分16．解：（I ）当,2)(,2xx x f t +==时0221)(222>-=-='x x x x f …2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞…（II ）设M 、N 两点的坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x x tx t x P PM x x x tx t x y PM xtx f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2）由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x…………8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+ 把（*）式代入，得,2020||2t t MN += 因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，,)()()()().()()()2().1,,2,1)(()2(12121成立对一切正整数则n a g a g a g a g a g a g a g g m m i a g g m m m i +<++++++≥⋅+=≤∴恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴,)64(20)64(2022022022nn n n m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m n n n n n n n nn n n m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m . …………13分又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6. 因此，m 的最大值为6. …………14分由于m 为正整数，6≤∴m . …………13分。

高考数学(理)二轮专题练习：数列、不等式(含答案)

数列、不等式S 1n ＝ 1．已知前 n 和 S n ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯ ＋a n ， a n ＝ .S n － S n －1n由 S n 求 a n ，易忽视 n ＝1 的状况．[1] 已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝ n 2＋ 1， a n ＝ ________. 答案2， n ＝ 12n － 1，n ≥22．等差数列的相关观点及性(1) 等差数列的判断方法：定法a n ＋ 1－ a n ＝ d(d 常数 )或 a n ＋1－ a n ＝ a n － a n －1 (n ≥ 2)．(2) 等差数列的通： a n ＝ a 1＋ ( n － 1)d 或 a n ＝ a m ＋ (n － m)d.(3) 等差数列的前 n 和： S n ＝n a 1＋ a n ， S n ＝ na 1＋ n n －d.22(4) 等差数列的性①当公差 d ≠0 ，等差数列的通公式a n ＝ a 1＋ (n － 1) ·d ＝ dn ＋ a 1 －d 是对于 n 的一次函数， n n －d 2 d且斜率公差 d ；前 n 和 S n ＝ na 1＋2d ＝n ＋(a 1－ )n 是对于 n 的二次函数且常数220.②若公差 d>0，增等差数列；若公差 d<0，减等差数列；若公差d ＝ 0，常数列．③当 m ＋ n ＝ p ＋ q ，有 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q ，特地，当 m ＋ n ＝ 2p ，有 a m ＋ a n ＝ 2a p .④ S n ， S 2n － S n ， S 3n － S 2n 成等差数列．nn ，且 S 10＝ 12，S 20＝17， S 30 ()[2] 已知等差数列 { a } 的前 n 和 SA ．15B ． 20C ． 25D ．30答案 A3．等比数列的相关观点及性(1) 等比数列的判断方法：定法a n＋1＝ q(q 常数 )，此中 q ≠0， a n ≠0或a n＋1＝a n(n ≥ 2)．如一a na n a n －1个等比数列 { a n } 共有 2n ＋ 1 ，奇数之100，偶数之120， a n ＋ 1＝5.6(2) 等比数列的通： a n ＝ a 1q n － 1 或 a n ＝a m q n － m.(3) a 1－q n a 1－ a n q等比数列的前 n 和：当 q ＝1 ， S n ＝ na 1 ；当 q ≠1 ， S n ＝1－ q＝.1－ q易警告：因为等比数列前n 和公式有两种形式，此在求等比数列前n 和，第一要判断公比 q 能否1，再由q 的状况乞降公式的形式，当不可以判断公比q 能否1 ，要q 分 q ＝ 1 和q ≠1两种情况求解．(4) 等比中：若a ， A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中．得注意的是，不是任何两数都有等比中，只有同号两数才存在等比中，且有两个，即 ± ab.如已知两个正数 a ， b( a ≠b)的等差中A ，等比中B ，A 与B 的大小关系A>B.(5) 等比数列的性当 m ＋ n ＝ p ＋ q ，有a m ·a n ＝ a p ·a q ，特地，当 m ＋ n ＝ 2p ，有 a m ·a n ＝ a2p.[3] (1)在等比数列 { a n } 中，a 3＋ a 8＝ 124，a 4a 7＝－ 512，公比 q 是整数，a 10＝________.(2) 各均正数的等比数列 { a n } 中，若 a 5·a 6＝ 9， log 3a 1＋log 3a 2＋ ⋯＋ log 3a 10＝ ________.答案(1)512 (2)104．数列乞降的方法(1) 公式法：等差数列、等比数列乞降公式；(2) 分乞降法； (3) 倒序相加法； (4) 位相减法；(5) 裂法；如：11－ 1；1 ＝ 1 1 1 n n ＋＝n ＋ kk －n ＋ k.n n ＋ 1 nn(6) 并法．数列乞降要明确：数、通，并注意依据通的特色取适合的方法．[ 4] 数列 { a n } 足 a n ＋ a n ＋1 ＝12(n ∈ N ， n ≥ 1)，若 a 2＝ 1，S n 是 { a n } 的前 n 和， S 21 的________．9 答案25．在求不等式的解集、定域及域，其果必定要用会合或区表示，不可以直接用不等式表示．[ 5]不等式－ 3x 2＋ 5x － 2>0 的解集 ________．2答案， 16．不等式两头同乘以一个数或同除以一个数，必个数的正．两个不等式相乘，必注意同向同正才能行．[6] 已知 a ， b ， c ， d 正数，且 c>d ， “a>b ”是 “ac>bd ”的 ________条件．答案充足不用要a＋ b7．基本不等式：≥ ab (a，b>0)2(1) 推行：a2＋ b2 a＋ b2(a， b>0) ．≥≥ ab≥221＋1a b(2) 用法：已知 x， y 都是正数，①若 xy 是定 p，当 x＝ y ，和 x＋y 有最小 2 p；②若和 x＋ y 是定 s，当 x＝y ， xy 有最大1 2 4s .易警告：利用基本不等式求最，要注意“一正、二定、三相等”的条件．[7]1＋4的最小是 ________．已知 a>0， b>0， a＋ b＝1， y＝a b答案 98．解性划，要注意界的虚；注意目函数中y 的系数的正；注意最整数解．[8]x≥0，定点 A(0,1)，点 P(x， y)的坐足条件|PA|的最小是 ________．y≤x，答案22易点 1 忽等比数列中公比的分致例 1等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，若 S3＋ S6＝ S9，数列的公比q 是 ________．解－ 1找准失分点当 q＝ 1 ，切合要求．好多考生在做本都想自然地q≠1.正解①当 q＝ 1 ， S3＋ S6＝ 9a1， S9＝9a1，∴ S3＋ S6＝ S9建立．②当 q≠1 ，由 S3＋ S6＝ S9得 a1－ q 3＋ a1－ q6＝ a1－ q91－ q1－ q1－ q∴q9－ q6－ q3＋ 1＝ 0，即 (q3－ 1)(q6－ 1)＝ 0.36∵ q≠1，∴ q － 1≠0，∴ q ＝ 1，∴ q＝－ 1.易点 2忽分或不妥致例 2 若等差数列 { a n} 的首 a1＝ 21，公差 d＝－ 4，求： S k＝ |a1 |＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a k|.解由意，知a n＝ 21－ 4(n－1)＝ 25－ 4n，25，即数列 { a n} 的前 6大于 0，从第 7 开始，此后各均小于 0.所以由 a n≥0，解得 n≤4|a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a k|＝(a1＋ a2＋ a3＋⋯＋a6 )－ (a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2(a1＋ a2＋⋯＋a6)－ (a1＋ a2＋⋯＋ a6＋ a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2k2－ 23k＋132所以 S k＝ 2k2－ 23k＋132.找准失分点忽了 k≤6 的状况，只出了k≥7 的状况．正解由意，知 a n＝ 21－ 4(n－1)＝ 25－ 4n，所以由25，即数列 { a n} 的前 6 a n≥0，解得 n≤4大于 0，从第 7 开始，此后各均小于0.当 k≤6 ，S k＝ |a1|＋ |a2 |＋⋯＋ |a k|＝ a1＋ a2＋⋯＋a k＝－ 2k2＋ 23k.当 k≥7 ， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a k|＝(a1＋ a2＋ a3＋⋯＋a6 )－ (a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2(a1＋ a2＋⋯＋a6)－ (a1＋ a2＋⋯＋ a6＋ a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2k2－ 23k＋132，－2k2＋23k k所以 S k＝k .2k2－23k＋易点 3忽等比数列中的含条件致例 3各均数的等比数列{ a n} 的前 n 和 S n，若 S10＝10，S30＝ 70， S40＝________.解150 或－ 200找准失分点数列 S10， S20－ S10， S30－ S20， S40－S30的公比 q10>0.忽视了此含条件，就生了增解－ 200.正解b1＝ S10， b2＝ S20－ S10，b3＝ S30－S20，b4＝S40－S30，b1， b2， b3， b4是以公比r ＝q10>0 的等比数列．∴b1＋ b2＋ b3＝ 10＋ 10r＋ 10r 2＝ S30＝ 70，∴r2＋ r－ 6＝ 0，∴ r ＝ 2 或 r＝－ 3(舍去 )，∴ S40＝ b1＋ b2＋ b3＋ b4＝－ 24＝150. 1－ 2答案 150易点 4忽基本不等式中等号建立的条件致例 4 已知： a>0，b>0， a＋ b＝ 1，求 a＋12＋ b＋12的最小．a b121 22 21 1错解由 a ＋ a ＋ b ＋b ＝ a ＋ b ＋ a 2＋ b 2＋ 42 ＋ 4≥4 1 ≥2ab ＋ab ab · ＋ 4＝ 8，ab得 a ＋1a 2＋ b ＋1b 2的最小值是 8.找准失分点两次利用基本不等式，等号不可以同时取到．正解1 2＋1 2a ＋ ab ＋b221 1 2211＝ a ＋ b ＋ a 2＋ b 2＋ 4＝ (a ＋ b)＋ a 2＋b 2＋ 4 21122＝ [(a ＋ b) －2ab]＋＋－＋ 41＝ (1－ 2ab) 1＋a 2b 2 ＋ 4由 ab ≤a ＋ b 2＝ 1，得 1－ 2ab ≥1－1＝ 1，24 2 211且 a 2b 2≥16,1＋ a 2b 2≥17.1 2511 2＋ 1 2 的最小值是 25∴原式 ≥时，等号建立 )， ∴a ＋ab ＋ b2.2×17＋ 4＝ 2 (当且仅当 a ＝ b ＝21．在等差数列 { a n } 中，已知 a 3＋ a 8＝ 10，则 3a 5＋ a 7 等于 ( )A ．10B ．18C ． 20D ．28答案 C分析因为 a 3＋ a 8＝ 10，所以由等差数列的性质，得a 5＋ a 6＝ 10，所以 3a 5 ＋ a 7＝2a 5＋ 2a 6＝ 20，选 C.1 12．若 a |b|；③ a0，所以 a ＋ b<ab ，即 ① 正确；1 1 <0，得1 > 1，由 < a b a b两同乘 |ab|，得 |b|>|a|，故 ② ；由 ①② 知 |b|>|a|， a<0， b<0，所以 a>b ，即 ③ ， B.1 13．已知， x>1 ， y>1，且 4ln x ， 4，ln y 成等比数列， xy 有 ()A ．最小 eB ．最小 eC ．最大 eD ．最大e答案 A分析x>1， y>1，且 1ln x ，1， ln y 成等比数列， 1ln x ·ln y ＝ ( 1 )2，即 1＝ ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y )2，44 4 4 42ln x ＋ ln y ≥1， ln xy ≥1，故 xy ≥e.4．等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 S 10∶ S 5＝ 1∶ 2， S 15∶ S 5 等于 ( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3答案A分析∵ { a n } 是等比数列，∴ S 5， S 10－ S 5， S 15－ S 10 也组成等比数列，S 5＝ 2k(k ≠0)， S 10＝k ，可得 S 10－ S 5＝－ k ，而得 S 15－ S 10＝12k ，于是 S 15＝ 32k ，3故S 15∶S 5＝2k ∶ 2k ＝ 3∶ 4.5．把一数列挨次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，⋯ 循分 (1)， (3,5)，(7,9,11) ，(13)， (15,17) ，(19,21,23) ， (25) ，⋯ ，第50 个括号内各数之和 ()A ．195B ．197C ． 392D ．396答案 C分析将三个括号作一，由 50＝ 16×3＋2，知第 50 个括号第 17 的第二个括号，即第 50 个括号中是两个数．又因每中含有6 个数，所以第 48 个括号的最末一个数数列 {2 n － 1} 的第 16×6＝96 ，第 50 个括号的第一个数数列 {2 n － 1} 的第 98 ，即 2×98－ 1＝ 195，第二个数2×99－ 1＝ 197，故第 50 个括号内各数之和 195＋ 197＝ 392.故 C.6．已知点 A(m ， n)在直 x ＋ 2y － 1＝ 0 上， 2m ＋ 4n 的最小 ________．答案 2 2分析点 A(m ，n)在直 x ＋ 2y －1＝ 0 上， m ＋ 2n ＝ 1；2m ＋ 4n ＝ 2m ＋22 n ≥2 2m ·22n ＝2 2m ＋2n＝ 2 2.a＋b27．已知 x>0， y>0， x， a， b，y 成等差数列， x，c， d， y 成等比数列，的最小cd是 ________．答案4分析由 x， a， b， y 成等差数列知a＋b＝ x＋ y，①由 x， c，d， y 成等比数列知 cd＝ xy，②a＋ b2a＋ b 2x＋ y 2x2＋ y2＋ 2xy≥4，∴a＋ b2把①② 代入得＝＝xy cd 的最小 4.cd cd xy0≤x≤ 28．已知平面直角坐系xOy 上的地区 D 由不等式 y≤2定．若 M(x，y) D 上的x≤ 2y点，点 A 的坐→ →( 2， 1)， z＝ OM ·OA的最大 ________．答案4分析画出可行域 D ，如中暗影部分所示，而→ →2x＋ y，z＝ OM·OA＝∴y＝－ 2x＋z，令 l0： y＝－ 2x，将 l0平移到点 ( 2， 2)，截距 z 有最大，故 z max＝2× 2＋ 2＝ 4.9．已知函数 f(x)＝－ax＋x，*)，且2(a>0， a≠ 1)．数列 { a n} 足 a n＝ f(n)(n∈Nx－5xa{ a n} 是增数列，数 a 的取范是 ________．答案(4,8)分析∵ { a n} 是增数列，a4－2>0a<8∴ a>1，a>1，－a×6＋ 4<a2a<－ 7或a>42∴ 4<a<8.10．已知正数列{ a n} ，其前 n 和 S n足 8S n＝ a2n＋ 4a n＋3，且 a2是 a1和 a7的等比中．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2) 符号 [x] 表示不超数x 的最大整数，b n＝ [log 2(a n＋ 34)] ，求 b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n.解(1)由 8S n＝ a2n＋ 4a n＋ 3，①知 8S n－1＝a2n－1＋4a n－1＋ 3(n≥2， n∈N)．②由① －②得 8a n＝ (a n－ a n－1)( a n＋ a n－1)＋4a n－ 4a n－1，整理得 (a n－ a n－1－ 4)(a n＋ a n－1)＝ 0(n≥2， n∈N)．∵{ a n} 正数列，∴a n＋ a n－1>0，∴a n－ a n－1＝ 4(n≥2， n∈N )．∴{ a n} 公差 4 的等差数列，由 8a1＝ a21＋ 4a1＋3，得 a1＝ 3 或 a1＝ 1.当 a1＝ 3 ， a2＝ 7， a7＝ 27，不足 a2是 a1和 a7的等比中．当 a1＝ 1 ， a2＝ 5， a7＝ 25，足 a2是 a1和 a7的等比中．∴ a n＝ 1＋(n－1)4＝ 4n－ 3.(2) 由 a n＝ 4n－ 3 得 b n＝ [log 2a n＋ 3( 4)] ＝ [log 2n] ，由符号 [x]表示不超数 x的最大整数知，当2m≤n<2 m＋1，n [log 2n]＝ m，所以令S＝ b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n＝ [log 2 1]＋ [log 22]＋ [log 23]＋⋯＋ [log 22 ]＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋⋯＋ 3＋⋯＋ 4＋⋯＋n－ 1＋⋯＋ n.∴S＝ 1×21＋ 2×22＋ 3×23＋ 4×24＋ (n－ 1) ×2n－1＋ n，①2345n2S＝ 1×2 ＋2×2 ＋ 3×2 ＋ 4×2 ＋( n－ 1) ×2 ＋ 2n.②－S＝ 2＋ 22＋ 23＋ 24＋⋯＋2n－1－ (n－ 1)2n－ n＝－2n－ 1－ (n－ 1)2n－n＝ (2－ n)2n－ n－ 2，1－ 2∴S＝ (n－ 2)2n＋n＋ 2，即 b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n＝ (n－ 2)2n＋ n＋ 2.。

高考数学不等式、推理与证明、复数(含高考真题)

高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)，故z max =3×2+4×3=18，故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-，所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-，所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-，所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（），则z =（） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-，故i z =-，故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=，当且仅当2x y =时取等号，所以2x y +的最小值为2．故选：B ．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。

2019年高考数学热点专题专练专题五数列、不等式、推理与证明测试题理10页word文档

专题五数列、不等式、推理与证明测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( ) A.a 4a 6<a 6a 8 B.a 4a 6≤a 6a 8 C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析 a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析由题意知，数列{a n }为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8，k ∈N *，得到k ＝8.答案 B3．对于非零实数a 、b ，“b (b －a )≤0”是“ab≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ≠0，b ≠0，故有b (b －a )≤0⇔b －a b ≤0⇔1－a b ≤0⇔ab≥1.故选C. 答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析由题知f (x )在R 上是增函数，可得2－a 2>a ，解得－2<a <1，故选C. 答案 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为0的实数)，那么{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案 C6．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 008，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 008的值为( )A ．－2 006B ．2 006C ．－2 008D ．2 008解析由已知S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n 项和S n 的变式，S nn＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，得d 2＝1，S 2 0082 008＝－2 008＋(2 008－1)·1＝－1，∴S 2008＝－2 008. 答案 C7．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≤3D ．a 2＋b 2≥2解析 ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2. 答案 D8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3，当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q ·⎝⎛⎭⎪⎫－1q＝－1， ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D9．(2019·广东广州模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc · b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ，故选B.答案 B10．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S nn ＋32S n ＋1的最大值为( )A.120B.130C.140D.150解析由S n ＝n n ＋12得f (n )＝n n ＋32n ＋2＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150.答案 D11．(2019·广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析先画出可行域如图所示，再将z ＝3x ＋y 变形为截距式方程y ＝－3x ＋z ，把l 0：y ＝－3x 平移到经过点A (3,2)时，截距z 有最大值，∴z max ＝3×3＋2＝11.答案 B12．(2019·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的．答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项之积，则有____________________________．答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 10014．(2019·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析 ∵a n ＝n cosn π2＋1，∴当n 为奇数时a n ＝1，当n 为偶数2,6,10,14，…时，a n ＝－n ＋1；当n 为偶数4,8,12,16，…时，a n ＝n ＋1，∴数列{a n }的前4项和为：1＋(－1)＋1＋5＝6；第5至第8项和为：1＋(－5)＋1＋9＝6；…由此可知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝1＋(－n －1＋1)＋1＋n ＋3＋1＝6(n ＋3是4的倍数)，即数列{a n }的相邻四项之和均为6，故S 2 012＝S 4×503＝503×6＝3 018.答案 3 01815．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0，(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式__________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为____________________．解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1 (2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－……＋(－1)n C nn a n ＋1＝016．(2019·新课标)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．解析当n ＝2k －1，k ∈N *时，a 2k －a 2k －1＝2(2k －1)－1；当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k＝2(2k )－1；于是a 2k ＋1＋a 2k －1＝2；a 2k ＋a 2k －2＝8k －8；前一个式子中k ＝1,3,5，…，29，后一个式子中k ＝2,4,6，…，30，得a 3＋a 1＝2，a 5＋a 3＝2，…，a 29＋a 27＝2；a 4＋a 2＝8×2－8，a 8＋a 6＝8×4－8，…，a 60＋a 58＝8×30－8，∴S 60＝15×2＋8(2＋4＋…＋30)－8×15＝1 830.答案 1 830三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，求证：数列{a n }是等差数列．解 (1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. 由f (1)＝2＝b a －1，得2a －2＝b ，①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得bax ＋2－1＝－ba 2－x －1，由此解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2， ∴S n ＝14(a n ＋1)2，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列． 18．(本小题满分12分)(2019·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，有a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n＋1，两式相减是a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2，又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n2n －1＋2是以首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n－2n，n ＝1时也合适此式，{a n }的通项公式是a n ＝3n－2n. (3)由(2)得1a n＝13n －2n ＝12＋1n－2n＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1，∴1a i <1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32. 19．(本小题满分12分)(2019·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c(n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0.(2)(i)假设{x n }是递增数列，由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c .由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n －x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －xn ＋1＝x 2n ＋x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )， ②由①式和②式可得1－c －x n >0即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )x的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.(ii)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0.即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即：x k <c ，因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k)<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.20．(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤n ≤20110n ，21≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 381＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解 (1)当n ＝1时，b 1＝181；当n ＝2时，b 2＝182.(2)当1≤n ≤20时，a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n －1＝a n ＝1.∴b n ＝a n 81＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝181＋n －1＝1n ＋80.当21≤n ≤60时，b n ＝a n81＋a 1＋…＋a 20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 81＋20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 101＋n －21n ＋2020＝2nn 2－n ＋1 600，∴第n 天的利润率b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋80，1≤n ≤20n ∈N *，2nn 2－n ＋1 600，21≤n ≤60n ∈N*.(3)当1≤n ≤20时，b n ＝1n ＋80是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝181；当21≤n ≤60时，b n ＝2nn 2－n ＋1 600＝2n ＋1 600n－1≤22 1 600－1＝279(当且仅当n ＝1 600n，即n ＝40时，“＝”成立)．又∵279>181，∴当n ＝40时，(b n )max ＝279.∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为279.21．(本小题满分12分)(2019·山东)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m，则9m＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1，于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.22．(本小题满分14分)(2019·江苏)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b n a 2n ＋b 2n，n ∈N *. (1)设b n ＋1＝1＋b n a n，n ∈N *，求证：数列{⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2}是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b n a n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．解 (1)由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b na n1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1an ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫b n an2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1. 若q >1，则a 1＝a 2q<a 2≤2，故当n >log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n>2，与(*)矛盾；若0<q <1，则a 1＝a 2q>a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n<1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2.又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列．若a 1≠2，则2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.。

{高中试卷}春高考数学(文)二轮专题复习训练：专题五数列、推理与证明、不等式

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：专题五数列、推理与证明、不等式时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：20XX85620XX5)(20XX·九江调研)等差数列{a n }中，a 3＝－5，a 7＝1，则a 11等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92．(导学号：20XX85620XX6)(20XX·龙岩质检)设a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列命题正确的是( )A ．a 2＞b 2B.b a＞1C ．log 2(a －b )＞0D ．2－a ＜2－b3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋1＝( )A.43(1－14n )B.43(1－14n ＋1)C.43(1＋14n )D.43(1＋14n ＋1) 5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，x≤0，x2－ax ，x ＞0，若f (f (－1))≥a 2－1，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[1,2]D ．[－1,2]6．(导学号：20XX85620XX7)(20XX·四平摸底考试)已知12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6,12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，则12－22＋32－42＋…＋(－1)10×92的值为( )A ．－36B ．36C ．－45D ．457．(导学号：20XX85620XX8)已知不等式|y ＋4|－|y |≤2x ＋a2x对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．(导学号：20XX85620XX9)(20XX·安顺二模)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．3B ．1 C.12 D.139．(导学号：20XX85620XX0)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0.夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B.2 C.322D.5 10．(导学号：20XX85620XX1)(20XX·大理调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝xy ，则x ＋2y 的最小值为( )A ．5B ．7C ．8D ．911．(导学号：20XX85620XX2)(20XX·内江联考)把正整数1,2,3,4,5,6，……按某种规律填入下表，按这种规律填写，出现在( )A ．第3行，第1520XX 列B ．第3行，第1520XX 列C ．第2行，第1520XX 列D ．第2行，第1510列12．(导学号：20XX85620XX3)(20XX·铜仁质检)数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，且满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，则a 2021的值为( )A ．bB ．b －aC ．－bD ．－a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：20XX85620XX4)(20XX·甘孜调研)等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12x ＋1≥1的解集为________________________________________________．14．在等比数列{a n }中，如果a 2和a 6是一元二次方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，那么a 4的值为__________．15．(导学号：20XX85620XX5)(20XX·绵阳二模)不等式|x ＋1|－|x －2|≥2的解集为__________．16．(导学号：20XX85620XX6)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(导学号：20XX85620XX7)(本小题满分10分) (20XX·潭州联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a . (1)当a ＝4时，解不等式f (x )＞16；(2)若f (x )≥1对任意x 恒成立，求实数a 值．18.(导学号：20XX85620XX8)(本小题满分12分) 已知m，n∈R＋，f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|.(1)当m＝n＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)的最小值为2，求证1m＋2n≥2.19.(导学号：20XX85620XX9)(本小题满分12分)已知正项等比数列{a n}(n∈N*)，首项a1＝3，前n项和为S n，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{na n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n∈[a，b]，求b －a的最小值．20.(导学号：20XX85620XX0)(本小题满分12分)(20XX·湖州联考)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x≤4，5－12x ，4＜x≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．21.(导学号：20XX85620XX1)(本小题满分12分)如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．22.(导学号：20XX85620XX2)(本小题满分12分)(20XX·丹东调研)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且对任意x＞0，都有f′(x)＞错误!.(1)判断函数F(x)＝错误!在(0，＋∞)上的单调性；(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；(3)请将(2)中结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．专题五数列、推理与证明、不等式1.B设公差为d，则a7－a3＝4d＝6，a11＝a7＋4d＝7.2．D ∵a ＞b ，∴(12)a ＜(12)b ，即2－a ＜2－b .3．A 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.4．B 依据递推公式的特征，可以分项求和，则S 2n ＋1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋a 2n ＋1)＝1＋122＋124＋…＋122n ＝43(1－14n ＋1)．故选B. 5．B ∵f (f (－1))＝1－a ，∴1－a ≥a 2－1，化简解得－2≤a ≤1.6．D 观察等式规律可知，第n 个等式的右边＝(－1)n ＋1·错误!，所以12－22＋32－42＋…＋(－1)10×92＝(－1)10·错误!＝45.7．D ∵|y ＋4|－|y |≤|y ＋4－y |＝4，∴(|y ＋4|－|y |)max ＝4，要使不等式对任意实数x ，y 都成立，应有2x＋a2x≥4，∴a ≥－(2x )2＋4×2x ＝－(2x －2)2＋4，令f (x )＝－(2x －2)2＋4，则a ≥f (x )max ＝4，∴a 的最小值为4，故选D. 8．A x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．9．B 画出不等式组的平行区域如题所示：由⎩⎨⎧ x －2y ＋3＝0x ＋y －3＝0得A (1,2)．由⎩⎨⎧2x －y －3＝0x ＋y －3＝0得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝错误!＝错误!.故选B.10．D由题意得，2x＋y＝xy⇒1x＋2y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(1x＋2y)＝5＋2yx＋2xy≥5＋22yx·2xy＝9，当且仅当2yx＝2xy时，即x＝y等号是成立的．11．C由3,7,11,15知a520XX＝20XX，∴20XX是第二行，第1520XX列．12．D a n＋2＝a n＋1－a n，∴a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，…，∴a n是以6为周期的数列，∴a2021＝a6×336＋4＝a4＝－a.13．(－12，1]d原不等式变形为：(12)≥(12)0∵12＜1，∴x－12x＋1≤0同解变形为错误!解得：－错误!＜x≤1，∴原不等式的解集为：(－12，1]．14．2方程x2－5x＋4＝0的两个根为1和4，等比数列{a n}中，a4a4＝a2a6＝4，a24＝a2a6＝4，又a4＝a2q2＞0，所以a4＝2.15．{x|x≥3 2 }16．－1n∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n S n＋1，∴S n＋1－S n＝S n S n＋1.∵S n≠0，∴1Sn －1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，∴(1Sn)是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1Sn＝1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴S n＝－1n.17．(1)a＝4时，不等式f(x)＞16，即x2＋4x－12＞0，即(x＋6)(x－2)＞0，解得x＜－6或x＞2.故a＝4时，不等式f(x)＞16的解是(－∞，－6)∪(2，＋∞).5分(2)f(x)≥1对任意x恒成立，即不等式x2＋ax＋a－1≥0对任意x恒成立，即Δ＝a 2－4(a －1)＝(a －2)2≤0，故a ＝2.10分18．(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1－x ＋2，－1≤x≤123x ，x ＞12，∴f (x )在(－∞，12)是减函数，在(12，＋∞)是增函数，∴当x ＝12时，f (x )取最小值32.6分 (2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －m ＋n ，x≤－m－x ＋m ＋n ，－m ＜x ＜n23x ＋m －n ，x ≥n2，∴f (x )在(－∞，n2)是减函数，在(n2，＋∞)是增函数， ∴当x ＝n 2时，f (x )取最小值f (n 2)＝m ＋n2.∵m ，n ∈R ，∴1m ＋2n ＝12(1m ＋2n )(m ＋n2)＝12(2＋2m n ＋n2m)≥2.12分 19．(1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3＋a 3、S 5＋a 5、S 4＋a 4成等差数列， ∴有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)，化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12，∵a n ＞0，∴q ＝12，得a n ＝3×(12)n －1.5分(2)由(1)知，na n ＝3n ×(12)n －1，T n ＝3×1＋3×2×(12)＋3×3×(12)2＋…＋3n (12)n－112T n ＝3×1×(12)＋3×2×(12)2＋…＋3(n －1)×(12)n －1＋3n (12)n 两式相减得：12T n ＝3×1＋3×(12)＋3×(12)2＋…＋3×(12)n －1－3n (12)n ＝3×错误!－3n (错误!)n ＝6－错误!，∴T n ＝12－6＋3n 2n －1＜12. 又na n ＝3n ×(12)n －1＞0，∴{T n }单调递增， ∴(T n )min ＝T 1＝3，故有3≤T n ＜12.∵对任意正整数n ，都有T n ∈[a ，b ]，∴a ≤3，b ≥12.即a 的最大值为3，b 的最小值为12.故(b －a )min ＝12－3＝9.12分20．(1)∵第一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f (x )＝4y ＝⎩⎨⎧ 648－x－4，0≤x≤4，20－2x ，4＜x≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得0≤x ≤8，∴此时0≤x ≤4. 当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，∴此时4＜x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天.6分(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2(5－12x )＋a [错误!－1] ＝10－x ＋16a 14－x－a ＝(14－x )＋16a 14－x－a －4 ≥2错误!－a －4＝8a－a－4.∵14－x∈[4,8]，从而1≤a≤4.∴4a∈[4,8]．故当且仅当14－x＝4a时，y有最小值为8a－a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，∴a的最小值为24－162≈1.6.12分21．(1)如图所示，取CD的中点G，连接MG，NG.设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN＝6，∴sin∠MNG＝6 3 .故MN与平面DCEF所成角的正弦值为63.6分(2)假设直线ME与BN共面，连接EN，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.∵两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，CD⊂平面DCEF，∴AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线.12分22．(1)对F(x)求导数，得F′(x)＝错误!.∵f′(x)＞错误!，x＞0，∴xf′(x)＞f(x)，即xf′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0.故F(x)＝错误!在(0，＋∞)上是增函数.4分(2)∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2.由(1)，知F(x)＝错误!在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即错误!＜错误!.∵x1＞0，∴f(x1)＜x1x1＋x2f(x1＋x2)．同理可得f(x2)＜x2x1＋x2f(x1＋x2)．以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2).8分(3)(2)中结论的推广形式为：设x1，x2，…，x n∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x n)＜f(x1＋x2＋…＋x n)．∵x1＞0，x2＞0，…，x n＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋x n.由(1)，知F(x)＝错误!在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋x n)，即错误!＜错误!.∵x1＞0，∴f(x1)＜x1x1＋x2＋ (x)f(x1＋x2＋…＋x n)．同理可得f(x2)＜x2x1＋x2＋ (x)f(x1＋x2＋…＋x n)，f(x3)＜x3x1＋x2＋ (x)f(x1＋x2＋…＋x n)，…f(x n)＜xnx1＋x2＋ (x)f(x1＋x2＋…＋x n)．以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x n)＜f(x1＋x2＋…＋x n).12分。

)高三数学10月专项练习数列、不等式、算法初步及推理与证明形成性测试理试题

欠风丹州匀乌凤市新城学校<数列、不等式、算法初步及推理与证明>形成性测试卷第一卷〔选择题共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，那么数列{a n }的公差为〔〕〔A 〕1〔B 〕2 〔C 〕3〔D 〕42．不等式091242≥-+-x x的解集为〔〕〔A 〕Ø〔B 〕R〔C 〕}23|{≠x x〔D 〕}23{3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1等于〔〕〔A 〕13〔B 〕－13〔C 〕19〔D 〕－194． 0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为〔〕〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕34〔D 〕235．假设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，那么a 1＋a 2＋…＋a 10等于〔〕〔A 〕15〔B 〕12〔C 〕－12〔D 〕－156．执行如下列图的算法框图，那么输出的k 的值是〔〕〔A 〕3B ．4C ．5D ．67．假设,,x y R ∈那么"1"xy≤是22"1"x y +≤的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件8．数列{}n a 满足n n a n na a 2,111+==+，那么此数列的通项公式n a 等于〔〕〔A 〕2)1(2+n〔B 〕)1(2+n n〔C 〕121-n〔D 〕121-n 9．设a >b >1，c <0，给出以下三个结论：①c a >c b；②a clog a (b －c )．其中所有正确结论的序号是〔〕〔A 〕①〔B 〕①②〔C 〕②③〔D 〕①②③10．数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列的前2 014项之和S 2 014等于〔〕〔A 〕2 008〔B 〕2 010〔C 〕1〔D 〕011．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．假设对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，那么称A 对运算⊕封闭．以下数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四那么运算都封闭的是〔〕〔A 〕自然数集〔B 〕整数集〔C 〕有理数集〔D 〕无理数集12．数列{}n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，那么{}n a 的前60项和为〔〕〔A 〕3690 〔B 〕3660〔C 〕1845〔D 〕1830第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分. 请把答案填在答题卷的相应位置.13．假设关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->,0,1a x ax 的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是__________.14．f (x )＝x1＋x，x ≥0，假设f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，那么f 2021(x )的表达式为________．15．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，那么d 的取值范围为________． 16．定义：假设存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|成立，那么称函数f (x )在定义域D 上满足利普希茨条件．假设函数f (x )＝x (x ≥1)满足利普希茨条件，那么常数k 的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，每题分数见旁注，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．求以下关于x 的不等式的解集：(I)1)2()3(-+≤-x x x x ；(II)(2)30x x -⋅-<.18．函数bax x x f +=2)(〔a 、b 为常数〕，且方程012)(=+-x x f 有两个实根为4,321==x x .(I)求函数)(x f 的解析式；(II)设1>k ，解关于x 的不等式：xkx k x f --+≤2)1()(.19．数列{}n a 满足)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+.(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)假设数列{}n b 满足)(,1*11N n a b b b n n n ∈+==+，求通项公式n b ；20．定义：由n 个有顺序的数123,,,...,n x x x x 所组成的有序数组()123,,,...,n x x x x 称为n 维向量，记作123(,,,...,)n a x x x x =，它的模21||a x =+||a =1，分别解答以下问题：〔Ⅰ〕当n =2时，求证：12x +x ；〔Ⅱ〕当n =3时，比较123x +x x +的大小，并加以证明；据此写出一个一般性的正确结论〔无需证明〕.21．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此开展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41.(I)设n 年内〔本年度为第一年〕总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n n b a ,的表达式； (II)问至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？〔参考数据：3.02lg ≈〕22．函数f 0(x )＝sin x x(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(I)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(II)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． <数列、不等式、算法初步及推理与证明>形成性测试卷参考答案1．B 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.2．D 【解析】依题意，2(23)0,x -≤解得32x =. 3．C 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4．B 【解析】∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．5．A 【解析】由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.6．C 【解析】由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出的k 值为5.7．B 【解析】假设221xy +≤，那么由2212x y xy ≥+≥得1,2xy ≤故 1.xy ≤假设1,xy ≤那么取1,1,x y==-满足1,xy ≤但2221x y +=>应选B.8．B 【解析】12111212121113(1)nn n n n n n n a a a a n n nn n n n -------=====++++. 9．D 【解析】∵a >b >1，∴1a <1b. 又c <0，∴c a >cb，故结论①正确；函数y ＝x c(c <0)为减函数，又a >b ，∴a clog b (b －c )>log a (b －c )，故③正确． ∴正确结论的序号是①②③. 10．B 【解析】由得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.11．C 【解析】A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四那么运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭． 12．D 【解析】因为12)1(1-=-++n a a n n n ，所以所以13．(1,)-+∞【解析】设{|1}P x ax =>-，{|0}Q x x a =+>当0a=时，{|1}P x ax R =>-=，{|0}Q x x =>，此时P Q ⋂≠Ø;当0a>时，1{|}P x x a =>-，{|}Q x x a =>-，此时P Q ⋂≠Ø;当0a <时，1{|}P x x a =<-，{|}Q x x a =>-，要使P Q ⋂≠Ø，那么1a a->-，解得10a -<<，综上，1a >-.14．x1＋2021x 【解析】2()()1()12f x x f x f x x==++2320152(),(),,().1()1312015f x xxf x f x f x x x===+++15. ⎝⎛⎭⎫－1，－78【解析】81910,70,770,71.0807808a a d d d a a d d >+>+>⎧⎧⎧⇔⇔⇔-<<-⎨⎨⎨<+<+<⎩⎩⎩ 16．12 【解析】由中利普希茨条件的定义，假设函数f (x )＝x (x ≥1)满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|成立，不妨设x 1>x 2，那么k ≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2，而0<1x 1＋x 2<12，所以k 的最小值为12.17．解：〔I 〕原不等式可化为0122≥--x x ，即0)1)(12(≥-+x x ，解得12x ≤-，或1x ≥.故原不等式的解集为),1[]21,(+∞--∞ ；〔II 〕〔1〕当0≥x 时，原不等式可化为0322<--x x ，所以0)1)(3(<+-x x ，所以31<<-x ，此时30<≤x ；〔2〕当0<x时，原不等式可化为0322>+-x x ，此不等式显然恒成立，所以0<x .综上，原不等式的解集为)3,(-∞18．解(I)将4,321==x x 分别代入方程012)(=+-x x f 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+,8416,939ba b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以)2(2)(2≠-=x xx x f .(II)不等式即为xkx k x x --+≤-2)1(22，可化为02)1(2≤-++-x k x k x ，即02))(1(≥---x k x x .〔1〕当21<<k 时，解得k x ≤≤1或2>x ，解集为),2(],1[+∞ k ；〔2〕当2=k 时，解得1≥x 且2≠x ，解集为),2()2,1[+∞ ；〔3〕当2>k时，解得21<≤x 或k x ≥，解集为),[)2,1[+∞k .19．解〔I 〕因为)(12*1N n a a n n ∈+=+，所以))(1(21*1N n a a n n ∈+=++，又由11=a 知01≠+n a ，故{}1+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，于是n na 21=+，即)(12*N n a n n ∈-=.〔II 〕依题意)(12*1N n b b n n n ∈-=-+，所以当2≥n 时，当1=n时也符合上式，所以)(2*N n n b n n ∈-=.20．解：〔Ⅰ〕当n =2时，由||a =1得22121x +x =∴222121212()2x +x x x x x =++∴12x +x ≤122x x ==时，等号成立〔注：未写等号条件不扣分，其他方法酌情给分〕〔Ⅱ〕当n =3时，123x +x x +≤证明如下：由||a =1得2221231x +x x +=.∴2222123123122331()222x +x +x x x x x x x x x x =+++++222222222123122331()()()3x x x x x x x x x ≤++++++++=.∴123x +x +x 123x x x ===时，等号成立根据以上结论可得一般性的结论：123...n x x x x ++++≤21．解：〔Ⅰ〕第1年投入为800万元，第2年投入为)511(800-⨯万元，…，第n 年投入为1)511(800--⨯n 万元，所以，n 年内的总投入])54(1[4000)54(800548008001n n n a -⨯=⨯++⨯+=- ；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为)411(400+⨯万元，…，第n 年投入为1)411(400-+⨯n 万元，所以，n 年内的旅游业总收入]1)45[(1600)45(400454004001-⨯=⨯++⨯+=-n n n b .所以，所求]1)45[(1600],)54(1[4000-⨯=-⨯=n n n n b a .〔Ⅱ〕设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入，即0>-n na b ，即0])54(1[4000]1)45[(1600>-⨯--⨯n n ，令n x )54(=，代入上式整理得02752>--x x ，解此不等式得52<x 或1>x 〔舍去〕，即52)54(<n ，两边取常用对数得5lg 2lg )5lg 2lg 2(52lg 54lg -<-⇔<n n ，又15lg 2lg =+，所以419.016.012lg 312lg 212lg 2)12lg 3(=--≈-->⇔-<-n n ，又*N n ∈，所以5min =n .答：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.22．解：(I)由，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x′＝cos x x －sin xx2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x′－⎝⎛⎭⎫sin xx2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin xx3，所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.(II)证明：由得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．(i)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2.因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋〔k ＋1〕π2，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋〔k ＋1〕π2，因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *)，所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝2(n ∈N *)．。

高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题5数列、推理与证明第23练Word版含解析

第 23 练数列乞降问题[ 题型剖析·高考展望 ] 数列乞降是数列部分高考考察的两大要点之一，主要考察等差、等比数列的前 n 项和公式以及其余乞降方法，特别是错位相减法、裂项相消法是高考的热门内容，常与通项公式相联合考察，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题．体验高考11． (2015 ·徽安 )已知数列 { a n} 中， a1＝ 1， a n＝ a n－1＋2(n≥ 2) ，则数列 { a n} 的前9 项和等于________．答案 271分析由已知数列 { a n } 是以 1 为首项，以2为公差的等差数列．9×81∴S9＝ 9× 1＋× ＝9＋18＝27.2．(2016 浙·江 )设数列n n2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则 a1＝ ______，{ a } 的前 n 项和为 S .若 SS5＝ ______.答案 1121a2＝ 2a1＋1，解得 a1＝ 1， a2＝ 3，分析由a2＋ a1＝ 4，当 n≥ 2 时，由已知可得：a n＋1＝ 2S n＋ 1，①a n＝ 2S n－1＋ 1，②①－②得 a n＋1－ a n＝ 2a n，∴ a n＋1＝ 3a n，又 a2＝3a1，∴{ a n} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列．1n∴S n＝ (3－ 1)．∴ S5＝ 121.23． (2015 课·标全国Ⅰ )S n为数列 { a n} 的前 n 项和．已知2a n>0， a n＋ 2a n＝ 4S n＋3.(1) 求 { a n} 的通项公式；(2) 设 b n＝1，求数列 { b n} 的前 n 项和．a n a n＋1解(1) 由 a2n＋ 2a n＝ 4S n＋ 3，①可知 a 2n ＋ 1＋ 2a n ＋1 ＝4S n ＋ 1＋ 3.②②－ ① 可得 a 2n ＋ 1－ a 2n ＋ 2(a n ＋1－ a n )＝ 4a n ＋1，22即 2(a n ＋1＋ a n )＝ a n ＋ 1－ a n ＝ (a n ＋1＋a n )(a n ＋ 1－ a n )．因为 a n >0，可得 a n ＋ 1－ a n ＝ 2.又 a 21＋ 2a 1＝ 4a 1＋ 3，解得 a 1＝－ 1( 舍去 )或 a 1＝ 3.所以 { a n } 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为a n ＝ 2n ＋ 1.(2) 由 a n ＝ 2n ＋ 1 可知b n ＝ 1 ＝ 1 ＝ 11 － 1 .2n ＋ 1 2n ＋ 3 2 2n ＋ 12n ＋3a n a n ＋1 设数列 {b n n ，则} 的前 n 项和为 Tn ＝b 1＋ b 2＋＋ b nT1 1 1 1 11 － 1＝ 2 3－ 5 ＋ 5－7 ＋＋ 2n ＋ 1 2n ＋ 3n＝ .3 2n ＋34． (2016 ·东山 )已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3n 2＋ 8n ， { b n } 是等差数列，且 a n ＝ b n ＋b n ＋ 1. (1) 求数列 { b n } 的通项公式；n ＋ 1a n ＋ 1(2) 令 c n＝b n ＋2 n ，求数列 { cn } 的前 n 项和 T n .解(1) 由题意知，当 n ≥ 2 时， S n － 1＝ 3n 2＋ 2n － 5， a n ＝S n －S n －1＝ 6n ＋ 5，当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝ 11，切合 { a n } 通项公式，所以 a n ＝ 6n ＋5.设数列 { b n } 的公差为 d.由a 1＝b 1＋ b 2，a 2＝b 2＋ b 3，1＋ d ，11＝ 2b可解得 b 1＝4， d ＝ 3，所以 b n ＝ 3n ＋ 1.即17＝ 2b 1＋ 3d ，6n ＋6n ＋11(2) 由 (1)知， c n ＝n.3n ＋ 3 n ＝ 3(n ＋ 1) ·2＋又 T n＝ c1＋ c2＋＋c n，得T n＝3× [2×22＋3×23＋＋(n＋1)×2n＋1]，2T n＝ 3× [2 ×23＋ 3×24＋＋ (n＋ 1) ×2n＋2 ]．两式作差，得－T n＝ 3× [2 ×22＋ 23＋ 24＋＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3× 4＋4 1－2n－ n＋1 × 2n＋2 1－ 2＝－ 3n·2n＋2，所以 T n＝ 3n·2n＋2 .高考必会题型题型一分组转变法乞降例 1(2016·天津 )已知 { a n} 是等比数列，前 n 项和为 S n(n∈N* )，且1－1＝2， S6＝63. a1 a2 a3(1)求 { a n} 的通项公式；(2) 若对随意的n∈N*， b n是 log 2a n与 log2a n＋1的等差中项，求数列{( － 1)n b2n} 的前 2n 项和．解(1) 设数列 { a n} 的公比为 q.112由已知，有a1－a1q＝a1q2，解得 q＝ 2 或 q＝－ 1.1－ q6又由S6＝ a1·＝ 63，知q≠ －1，1－q1－ 26所以a1·＝ 63，得a1＝ 1.1－ 2所以 a n＝ 2n－1.1(2) 由题意，得b n＝2(log 2a n＋ log2a n＋1)＝12(log 22n－1＋ log22n)＝ n－12，1即{ b n} 是首项为2，公差为 1 的等差数列．设数列 {( －1) n b2n} 的前 n 项和为 T n，则T2n＝ (－ b21＋b22) ＋ (－ b23＋ b24)＋＋ (－ b22n－1＋ b22n)＝b1＋ b2＋ b3＋ b4＋＋b2n－1＋ b2n2n b1＋b2n2＝＝ 2n .评论分组乞降常有的方法：(1) 依据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可能是等差数列或等比数列；(2) 依据正号、负号分组；(3)依据数列的周期性分组；(4)依据奇数项、偶数项分组．变式训练1(2016·浙江 )设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 S2＝ 4， a n＋1＝ 2S n＋1， n∈N* .(1)求通项公式 a n；(2)求数列 {| a n－ n－ 2|} 的前 n 项和．1＋a2＝4，a1＝1，a解(1) 由题意得则又当 n≥ 2 时，a2＝ 2a1＋1，a2＝ 3.由 a n＋1－ a n＝ (2S n＋ 1)－ (2S n－1＋ 1)＝ 2a n，得 a n＋1＝ 3a n.所以数列 { a n} 的通项公式为a n＝ 3n－1， n∈N* .(2)设 b n＝ |3n－1－ n－ 2|， n∈N*，则 b1＝ 2， b2＝ 1，当 n≥ 3 时，因为3n－1＞n＋ 2，故 b n＝3n－1－ n－ 2， n≥ 3.设数列 { b n} 的前 n 项和为 T n，则 T1＝ 2，T2＝ 3，9 1－ 3n－2n＋ 7 n－ 2当 n≥ 3 时， T n＝ 3＋－21－ 33n－ n2－ 5n＋ 11＝，232－ 22－ 5× 2＋ 11＝ 3，切合．当 n＝ 2 时， T2＝22， n＝1，所以 T n＝3n2－ n － 5n＋ 11， n≥ 2，n∈N*.2题型二错位相减法乞降例 2(2015·湖北 )设等差数列 { a n} 的公差为d，前 n 项和为 S n，等比数列 { b n} 的公比为q，已知b1＝ a1，b2＝ 2， q＝ d， S10＝ 100.(1)求数列 { a n} ， { b n} 的通项公式；(2)当 d>1 时，记 c n＝a n，求数列 { c n} 的前 n 项和 T n.b n10a1＋ 45d＝100，2a1＋9d＝ 20，解(1) 由题意有，即a1d＝ 2，a1d＝2，a1＝ 1，a1＝ 9，解得或2d＝2d＝9.1a n＝ 2n－ 1，a n＝9 2n＋ 79 ，故n－ 1或2b n＝ 2b n＝ 9·n－1 .9(2) 由 d>1，知 a n＝ 2n－ 1， b n＝ 2n－1，故 c n＝2n－ 12n－1，于是35792n－ 3 2n－ 1T n＝1＋2＋22＋23＋24＋＋2n－1＋2n－1，①11＋35792n－ 1T n＝22＋3＋4＋5＋＋n .②222222①－②可得11112n－ 12n＋ 32T n＝ 2＋2＋22＋＋2n－2－2n＝ 3－2n，2n＋ 3故 T n＝ 6－n 1.2 －评论错位相减法的关注点(1) 合用题型：等差数列{ a n} 乘以等比数列 { b n} 对应项“ { a n·b n} ”型数列乞降．(2) 步骤：①乞降时先乘以数列{ b n} 的公比；②把两个和的形式错位相减；③整理结果形式．变式训练2(2015·山东 )设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.已知 2S n＝ 3n＋3.(1)求 { a n} 的通项公式；(2)若数列 { b n} 知足 a n b n＝ log3a n，求 { b n} 的前 n 项和 T n. 解(1) 因为 2S n＝ 3n＋ 3，所以 2a1＝ 3＋3，故 a1＝ 3，当 n≥ 2 时， 2S n－1＝ 3n－1＋3，此时 2a n＝ 2S n－ 2S n－1＝ 3n－ 3n－1＝ 2×3n－1，即 a n＝ 3n－1，3，n＝ 1，所以 a n＝3n－1， n≥ 2.(2) 因为 a n b n＝log 3a n，当 n＝ 1时， b1＝1，所以 T1＝ b1＝1；33当 n≥ 2时， b n＝1n n1＝ (n－ 1)1 n 3－log33－·3－.当 n≥ 2 时， T n＝ b1＋ b2＋ b3＋＋ b n＝13＋ (1× 3－1＋ 2× 3－2＋＋ (n－1) ×31－n)，所以 3T n＝ 1＋(1 ×30＋ 2× 3－1＋＋ (n－1) ×32－n)，两式相减，得 2T n＝23＋(3 0＋ 3－1＋ 3－2＋＋ 32－n)－ (n－ 1)×31－n＝2＋1－31－n－( n－1)×31－n3 1－3－1＝136n＋ 36n＋ 3－n，所以 T n＝13－n ，62× 3124× 3经查验， n＝ 1 时也合适．136n＋ 3综上可得 T n＝12－4×3n.题型三裂项相消法乞降例11*)．3(2016·安徽淮南一模 ) 若数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，点 (a n，S n)在 y＝－ x 的图象上 ( n∈N63(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)若 c1＝ 0，且对随意正整数1n≥ 2，总有1≤1 n 都有 c n＋1－ c n＝ log a n，求证：对随意正整数3c2 2＋ 1＋ 1＋＋ 1＜3c3 c4c4n.1 1(1) 解 ∵ S n ＝6－ 3a n ，11∴当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n －1＝ 3a n － 1－ 3a n ，1∴an ＝4a n － 1.1 11 又∵ S 1＝ 6－ 3a 1，∴ a 1＝ 8，∴a n ＝ 1 1 n1 1 2n 1 8(4)－＝(2) ＋.1(2) 证明由 c n ＋ 1－ c n ＝ log 2a n ＝ 2n ＋1，得当 n ≥ 2 时， c n ＝c 1＋ (c 2－ c 1)＋ (c 3－ c 2)＋＋ (c n － c n － 1)＝ 0＋ 3＋ 5＋＋ (2n － 1)＝ n 2－ 1＝ (n ＋ 1)(n － 1)．∴1＋1＋ 1 ＋＋ 1c 2 c 3 c 4c n＝ 2 1 ＋ 21 ＋ 2 1＋＋ 2 1 2 － 1 3 － 1 4 － 1 n －1＝ 11 1 1 1 11 － 1×[(1－ )＋( －)＋( －)＋＋()]232 43 5n － 1 n ＋ 11 1 1 1＝ 2[(1 ＋2)－ (n ＋)]n ＋ 1＝3－ 1(1＋1)< 3 .42 nn ＋ 1 41 1 1 1 1 1 又∵ c 2＋ c 3＋ c 4 ＋＋ c n ≥ c 2＝ 3，∴原式得证．评论 (1)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分进而计算和的方法，适111 1 －1用于求通项为的前 n 项和，此中 { a n } 若为等差数列，则＝ ·( )．其余还a n ·a n ＋1a n ·a n ＋1d a n a n ＋1有公式法乞降等．(2) 利用裂项相消法乞降时，应注意抵消后其实不必定只剩第一项和最后一项，也可能前方剩两项，后边也剩两项．变式训练 3 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S n ＝3a n － n(n ∈N * )．2(1) 求证： { a n ＋ 1} 是等比数列，并求数列 { a n } 的通项公式；(2) 证明：a 1 a 2 a 3a n n1＋＋＋＋>－ .a 2 a 3 a 4a n ＋1 38证明 (1) ∵S n ＝ 3a n － n ， ∴a 1＝ 2.23 33当 n ≥ 2 时， S n －1＝ a n －1－(n － 1)， ∴ a n ＝a n － a n －1－ 1，即 a n ＝3a n －1＋ 2，22 2∴a n ＋ 1＝ 3(a n － 1＋ 1)，又 a 1＋ 1＝ 2＋ 1＝ 3>0 ，a n ＋ 1∴ a n ＋ 1≠ 0， ∴＝ 3，a n － 1＋ 1∴ { a n ＋ 1} 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，∴ a n ＝ 3n － 1(n ∈ N * )．(2) ∵a n ＝3n － 1＝ 1－ 2＝ 1－ 2 ＝ 1－2≥1－ 2 n，n ＋13 n ＋ 1－ 13n ＋1－ 13n － 33n ＋ 3n － 33 8·3a3 39·38·3∴ a 1 a 2 a n12 1 212n 1 11 1a 2 ＋＋＋≥－＋－2－n －＋ 2＋＋na 3a n ＋1 3 8·3 3 8·3 ＋＋ 3 8·3＝3 4 333n 11 n 1 ＝ 3－ 8 1－3n>3－ 8.高考题型精练1．已知数列 11， 31， 51， 7 1，，则其前 n 项和 S n 等于 ________．2 4 8 162 1答案 n＋ 1－ n2分析因为 a n ＝2n － 1＋ 21n ，1 11＋ 2n －11－ n ·1222则 S n ＝ 2 n ＋1 ＝ n ＋ 1－ 2n .1－21，1＋ 2，1＋2＋3，， 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋9 ，，若 b ＝ 1 ，那么2．已知数列 { a n } ：2 3 3 4 4 4 10 101010na n a n ＋1数列 { b n } 的前 n 项和 S n 等于 ________．答案4nn ＋ 1分析 ∵ a ＝1＋2＋3＋＋ n＝ n ，nn ＋ 12141 1∴b n ＝＝＝ 4 －n ＋ 1 ，n n ＋ 1 a n a n ＋ 1 n1 1 111∴S n ＝ 41－2 ＋ 2－ 3＋＋ n－n ＋ 1＝ 4(1－ 1 )＝4n.n ＋ 1 n ＋ 13．数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝(－1) n －1·(4n － 3)，则它的前 100 项之和 S 100＝ ________.答案－ 200分析 S 100＝ (4× 1－ 3)－(4× 2－ 3)＋ (4× 3－3)－－ (4× 100－ 3)＝ 4× [(1 － 2)＋(3－ 4)＋＋(99－100)] ＝ 4× (－ 50)＝－ 200. 4．已知函数 f( n) ＝ n 2，当 n 为奇数时，2且 a n ＝ f(n)＋ f(n ＋ 1)，则 a 1＋ a 2＋ a 3 ＋＋ a 100－ n ，当 n 为偶数时，＝________.答案 100分析由题意，得 a 1＋ a 2＋ a 3 ＋＋ a 100＝ 12－ 22－ 22＋ 32＋ 32－ 42－ 42＋ 52＋＋ 992－ 1002－1002＋ 1012＝－ (1＋ 2)＋ (3＋ 2)－ (4＋ 3)＋－ (99＋ 100)＋(101 ＋ 100)＝－ (1＋ 2＋＋ 99＋ 100)＋ (2＋ 3＋＋ 100＋ 101)＝－ 50× 101＋ 50× 103＝ 100.5．若数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝2 ，则其前 n 项和 S n 为 ________．n n ＋ 2答案3－1－12 n ＋ 1 n ＋ 2分析因为 a ＝2 ＝ 1－ 1 ，nn n ＋ 2nn ＋2所以 S n ＝ a 1＋ a 2＋＋ a n1 1 1 1 1 1 1 1 1＝1－ 3＋ 2－ 4＋ 3－ 5＋＋－ n ＋ 1 ＋n －n ＋ 2n － 1＝1＋1－1－12n＋ 1 n＋ 2＝3－1－1.2n＋ 1 n＋ 21 1 116．已知数列 { a n} 为等比数列，前三项为：a，2a＋2，3a＋3，且 S n＝ a1＋ a2＋＋ a n，则 T n ＝a21＋ a22＋＋ a2n＝________.答案814n51－911211分析由2a＋2＝ a3a＋3，解得 a＝ 3(a＝－ 1 舍去 )，24n222a11－9T n＝a1＋ a2＋＋ a n＝41－981 4 n＝51－9 .7．关于数列 { a n } ，定义数列 { a n＋1－ a n} 为数列 { a n} 的“差数列”，若 a1＝ 1，{ a n} 的“差数列”的通项公式为 a n＋1－ a n＝2n，则数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝________.答案 2n＋1－n－ 2分析因为 a n＋1－ a n＝ 2n，应用累加法可得a n＝ 2n－ 1，所以 S n＝ a1＋ a2＋ a3＋＋ a n＝2＋ 22＋ 23＋＋2n－ n2 1－ 2n＝－ n1－ 2＝2n＋1－ n－ 2.8．若数列 { a n} 的通项公式为a n＝ 2n＋ 2n－1，则数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ ________.n＋ 12答案 2－2＋ n分析 S n＝2 1－ 2n n 1＋ 2n－ 11－ 2＋n2.＋＝2n＋1－ 229．数列 { a n} 知足 a n＋1＋ (－ 1)n a n＝ 2n－ 1，则 { a n } 的前 60 项和为 ________．答案 1830分析∵ a n＋1＋ (－ 1)n a n＝ 2n－ 1，∴a2＝ 1＋ a1， a3＝ 2－ a1， a4＝ 7－ a1， a5＝a1，a6＝ 9＋ a1， a7＝ 2－a1， a8＝ 15－ a1， a9＝ a1，a10＝ 17＋ a1， a11＝ 2－ a1， a12＝ 23－ a1，，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋ a2＋＋ a60＝ (a1＋ a2＋ a3＋ a4) ＋ (a5＋ a6＋ a7＋ a8) ＋＋ (a57＋ a58＋ a59＋ a60)＝ 10＋ 26＋42＋＋234＝15× 10＋ 234＝1830.210．在等比数列 { a n } 中， a1＝3， a4＝ 81，若数列 { b n} 知足 b n＝ log 3a n，则数列1的前 n b n b n＋1项和 S n＝ ________.答案nn＋ 1分析设等比数列 { a n } 的公比为q，则a4＝ q3＝ 27，解得 q＝3. a1所以 a n＝ a1q n－1＝ 3× 3n－1＝ 3n，故 b n＝ log3a n＝ n，所以1＝1＝1－1.b n b n＋1n n＋ 1n n＋ 1则数列1的前 n 项和为 S n＝ 1－1＋1－1＋＋1－1＝1－ 1 ＝ n.b n b n＋1223n n＋ 1n＋ 1 n＋1S n(n∈N* )均在函数 y＝ 3x－ 2 的图象上．11．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，点n，n (1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)设 b n＝3， T n是数列 { b n} 的前 n 项和，求使得 T n＜m对全部 n∈N*都建立的最小正整a n a n＋120数 m.解(1) 依题意得，Sn n＝3n－ 2，即 S n＝ 3n2－ 2n.当 n≥ 2 时，a n＝ S n－S n－1＝(3n2－2n)－ [3( n－ 1)2－2(n－ 1)] ＝ 6n－ 5.当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 3× 12－2× 1＝ 1＝6× 1－ 5，所以 a n ＝ 6n －5(n ∈ N * )．(2) 由 (1)得 b n ＝ 33＝6n － 5 [6 n ＋ 1 － 5]a n a n ＋1 111＝ 2 －6n － 5 6n ＋ 1.n故 T n ＝ b ni ＝11 1 1 111＝ 2 1－ 7 ＋ 7－ 13 ＋＋ 6n － 5－6n ＋ 11 11－＝ 26n ＋ 1.1 1－1m*)建立的 m 一定知足 1≤ m，即 m ≥ 10，6n ＋ 1所以，使得 2＜ 20(n ∈ N 2 20 故知足要求的最小正整数 m 为 10.12．在数列 { a n } 中， a 1＝ 3， a 2＝ 5，且 { a n －1} 是等比数列．(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 若 b n ＝ na n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 解(1) ∵ { a n － 1} 是等比数列且 a 1－ 1＝2，a 2－ 1a 2－ 1＝ 4，＝ 2，a 1－ 1∴ a n － 1＝ 2·2n － 1＝ 2n ， ∴a n ＝ 2n ＋ 1.(2) b n ＝ na n ＝ n ·2n ＋ n ，故 T n ＝ b 1＋ b 2＋ b 3＋＋ b n ＝ (2＋ 2× 22＋3× 23＋＋n ·2n )＋ (1＋ 2＋ 3＋＋n) ．令 T ＝ 2＋ 2× 22＋ 3× 23＋＋ n ·2n ，234n 1 则 2T ＝2 ＋2×2 ＋3×2＋＋n ·2 ＋.两式相减，得－ T ＝2＋ 22＋ 23＋＋2n － n ·2n ＋12 1－ 2n＝－ n ·2n ＋1，1－ 2∴T ＝ 2(1－ 2 nn 1n1)＋ n ·2＋＝ 2＋ (n － 1) ·2 ＋ .1 2 3nn n 12n1n2 n 4.T n (n 1) ·2＋2。

福建高考数学不等式推理与证明专项测试(含答案)题型归纳

福建高考数学不等式推理与证明专项测试（含答案）题型归纳通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(_，y，，z)G(_，y，，z )。

以下是不等式推理与证明专项测试，希望考生可以认真练习。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(____山东青岛一模)若a,b是任意实数,且ab,则下列不等式成立的是()A.a2b2B.1C.lg (a-b)0D.2.用反证法证明命题:若a,bN,ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除时,假设的内容应该是()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a能被5整除3.因为指数函数y=a_是增函数(大前提),而y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论),上面推理的错误在于()A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错4.|_|是_2-_-6的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题错误的是()A.若a0,则B.若,则a0C.若a0,且,则abD.若,且ab,则a06.设_,y,z0,则三个数()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于27.若P=,Q=(a0),则P,Q的大小关系()A.PQB.P=QC.P0,b0)的最大值为12,则的最小值为()A. B. C. D.412.(____河南郑州模拟)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为()A. B.4 C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上)13.在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= .14.观察下列不等式1+,1+,1+,照此规律,第五个不等式为 .15.(____福建龙岩模拟)设a,bR,给出下列条件:①a+b②a+b=2;③a+b④a2+b2⑤ab1,其中能推出:a,b中至少有一个实数大于1的条件是 .16.设_,y满足约束条件则z=_+4y的最大值为 .三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知非零向量ab,求证:.18.(12分)(____山东省实验中学高三诊断)记f(_)=a_2-b_+c,若不等式f(_)0的解集为(1,3),试解关于t的不等式f(|t|+8)k的解集为{_|_-3,或_-2},求k的值;(2)若对任意_0,f(_)t恒成立,求实数t的范围.20.(12分)一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形,它们完全重合,把其中一个长方形绕中点旋转90后而得的组合图叫正十字型),为保证所需的磁通量,要求十字应具有4 cm2的面积,问应如何设计十字型宽_及长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.21.(12分)在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)anna2n对任意nN_都成立.(1)求a2的取值范围;(2)判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.22.(14分)设函数f(_)=a_-(1+a2)_2,其中a0,区间I={_|f(_)0}.(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为-(2)给定常数k(0,1),当1-k1+k时,求I长度的最小值.1.D 解析:01,y=是减函数.又ab,.2.B 解析:至少有一个的反面应是一个都没有.故应选B.3.A 解析:当a1时,y=a_为增函数;当00或a0,b=0或a0.故D错误.6.C 解析:假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6.又2+2+2=6(当且仅当_=y=z时等号成立),与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.另取_=y=z=1,可排除A,B.7.C 解析:假设P0,b0)过直线_-y+2=0与直线3_-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=a_+by(a0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.则+2=.12.D 解析:因为1=a+2b2,所以ab,当且仅当a=2b=时,等号成立.又a2+4b2+2=4ab+.令t=ab,则f(t)=4t+单调递减,所以f(t)min=f.此时a=2b=.13. 解析:平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比,所以.14.1+ 解析:先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1+.15.③ 解析:对于①,a,b均可小于1;对于②,a,b均可等于1;对于④⑤,a,b均可为负数;对于③,若a,b都不大于1,则a+b2,与③矛盾.故若③成立,则a,b中至少有一个实数大于1.16.5 解析:画出_,y的可行域如图阴影区域.由z=_+4y,得y=-_+.先画出直线y=-_,再平移直线y=-_,当经过点B(1,1)时,z=_+4y取得最大值为5.17.证明:ab,ab=0.要证,只需证|a|+|b||a-b|,两边平方,得|a|2+|b|2+2|a||b|2(|a|2+|b|2-2ab),只需证|a|2+|b|2-2|a||b|0,即(|a|-|b|)20,显然成立.故原不等式得证.18.解:由题意知f(_)=a(_-1)(_-3),且a0,则二次函数在区间[2,+)上是减函数.又因为8+|t|8,2+t22,所以由二次函数的单调性知不等式f(|t|+8)2+t2,即|t|2-|t|-60,解得|t|3,即不等式的解为-3kk_2-2_+6k0,由已知其解集为{_|_-3,或_-2},得_1=-3,_2=-2是方程k_2-2_+6k=0的两根,则-2-3=,解得k=-.(2)_0,f(_)=(当且仅当_=时,等号成立),又已知f(_)t对任意_0恒成立,实数t的取值范围是.20.解:设y=_+2h,由条件知_2+4_h=4,即h=.设外接圆的半径为R,即求R的最小值,4R2=_2+(2h+_)2=2(_2+2h_+2h2),2R2=f(_)=_2+_2+(0a1,即a22.又(n+1)anna2n,令n=1,则有2a1a2,即a24,所以a2(2,4].(2)数列{an}不是等比数列.用反证法证明:假设数列{an}是公比为q的等比数列,由a1=20,得an=2qn-1.因为数列{an}单调递增,所以q1.因为(n+1)anna2n对任意nN_都成立,所以对任意nN_,都有1+qn.①因为q1,所以存在n0N_,使得当nn0时,qn2.因为1+2(nN_).所以存在n0N_,使得当nn0时,qn1+,与①矛盾,故假设不成立.22.解:(1)因为方程a_-(1+a2)_2=0(a0)有两个实根_1=0,_2=.所以f(_)0的解集为{_|_1不等式推理与证明专项测试及答案的所有内容就为考生分享到这里，更多精彩内容请考生持续关注。

2020-2021高考理科数学不等式、推理与证明基础考点专练(8页)

2020-2021高考理科数学不等式、推理与证明基础考点专练(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·衡水中学摸底)已知全集U ＝R ，M ＝{x |－x 2≥2x }则∁U M ＝ A ．{x |－2<x <0} B ．{x |－2≤x ≤0} C ．{x |x <－2或x >0 }D ．{x |x ≤－2或x ≥0}解析 ∵全集U ＝R ，M ＝{x |x 2＋2x ≤0}＝{x |－2≤x ≤0}， ∴∁U M ＝{x |x ＜－2或x ＞0}．故选C. 答案 C2．(2019·武汉示范高中联考)下列命题中正确的是 A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b ，则1a <1b解析对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误．当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c <bd ，故B 选项错误．当a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0时，a －c ＝b －d ，故C 选项错误，故D 选项正确．故选D.答案 D3．(2019·沁县期中)已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1 ，则a 的值为A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得：x ＋ax n ≥n ＋1中，a 的值为n n . 故选B. 答案 B4．(2019·宝鸡三模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为A ．41B ．5C ．25D ．1解析由题得不等式组对应的可行域如图所示，z ＝(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的动点(x ，y )到点P (－1，0)的最大距离的平方，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋2＝0得点A (3，5)，所以z 的最大值为(3＋1)2＋52＝41. 故选A. 答案 A5．(2019·林州一中月考)若关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为错误!，则m 的取值范围是A ．m >0B ．0<m <2C ．m >12D ．m <0解析 (mx －1)(x －2)>0，mx 2－2mx －x ＋2>0，因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2)，所以二次项的系数小于0，m <0.故选D. 答案 D6．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥62x －y ≥0表示的平面区域为D ，命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.给出了四个命题：①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q ，这四个命题中，所有真命题的编号是A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④解析如图，平面区域D 为阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x ＋y ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝4，即A (2，4)，直线2x ＋y ＝9与直线2x ＋y ＝12均过区域D ，则p 真q 假，有綈p 假綈q 真，所以①③真②④假．故选A.答案 A7．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙解析若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意．故选A.答案 A8．(2019·九江三模)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －y ＋1≥02x －y －2≤0表示的平面区域为D ，若对任意的(x ，y )∈D ，不等式x －2y －t ≥0恒成立，则实数t 的最大值为A ．1B ．－1C ．－4D ．－5解析由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)当直线z ＝x －2y 经过点A (3，4)时，直线的纵截距最大，z 最小，∴z min ＝3－2×4＝－5，∴t ≤－5.故选D.答案 D9．(2019·化州一模)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，当3x ＋4y 取得最小值时，x ＋2y 的值为A.245B ．2C. 285D ．5解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，x ＞0，y ＞0∴15y ＋35x ＝1∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋4y 5x ×3≥135＋2 3x 5y ·12y5x ＝5当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝2y ＝1时取等号，x ＋2y 的值为2.故选B. 答案 B10．(2019·临沂联考)在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N *，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N *，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有A ．b m ＋b n ＋b p ＝3b rB ．b m ＋b n ＋b p ＝b 3rC ．b m b n b p ＝3b rD ．b m b n b p ＝b 3r解析由题意，类比上述性质：在等比数列{b n }中，则由“如果m ，n ，p ，r ∈N *，且m ＋n ＋p ＝3r ”，则必有“b m b n b p ＝b 3r ”成立．故选D.答案 D11．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，即4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数a 1，a 2，…，a n 满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝n时，你能得到的结论是A ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤2nB ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 2C ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤nD ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤n解析构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋n ，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，即4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n 2≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .答案 D12．(2019·湖南五市十校联考)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c 的最大值为A ．3B.94C ．1D ．0解析由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c ，当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ，最大值为1.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·昌吉教育共同体月考)不等式1x －1＋2≥0的解集为________．解析原不等式等价于2x －1x －1≥0，解得x >1或x ≤12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ≤12)14．(2019·西安二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0x －3y ＋2≥0x ＋2y ＋2≥0，则2x ＋y 的最小值是________．解析先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z ＝2x ＋y ，所以y ＝－2x ＋z ，当直线经过点A 时，直线的纵截距最小，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋2＝0x ＋2y ＋2＝0得A (－2，0)，所以z min ＝2×(－2)＋0＝－4. 答案－415．已知圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 232＋y 28＝1在点(4，2)处的切线方程为________．解析圆的方程可写成x 2r 2＋y 2r 2＝1，圆在点(x 0，y 0)处的切线方程为xx 0r 2＋yy 0r 2＝1，类似地，因椭圆方程为：x 232＋y 28＝1，故椭圆在点(4，2)处的切线方程为x ×432＋y ×28＝1，即x 8＋y4＝1. 答案 x 8＋y4＝116．(2019·大连二模)A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 为此圆上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．解析 ∵O 到弦AB 距离为32，∴cos ∠AOB ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12，OC→＝λOA →＋μOB →⇒OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2 即λ2＋μ2＋2λμcos ∠AOB ＝λ2＋μ2＋λμ＝(λ＋μ)2－λμ＝1由均值不等式可知：λμ≤⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ22，∴(λ＋μ)2≤43， ∴λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233。

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(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( ) A.a 4a 6<a 6a 8B.a 4a 6≤a 6a 8 C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析 a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析由题意知，数列{a n }为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8，k ∈N *，得到k ＝8.答案 B3．对于非零实数a 、b ，“b (b －a )≤0”是“a b≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ≠0，b ≠0，故有b (b －a )≤0⇔b －a b ≤0⇔1－a b ≤0⇔ab≥1.故选C. 答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析由题知f (x )在R 上是增函数，可得2－a 2>a ，解得－2<a <1，故选C. 答案 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为0的实数)，那么{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案 C6．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 008，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 008的值为( )A ．－2 006B ．2 006C ．－2 008D ．2 008解析由已知S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n 项和S n 的变式，S nn＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，得d 2＝1，S 2 0082 008＝－2 008＋(2 008－1)·1＝－1，∴S 2008＝－2 008. 答案 C7．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≤3 D．a 2＋b 2≥2解析 ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2. 答案 D8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3，当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q ·⎝⎛⎭⎪⎫－1q＝－1， ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D9．(2011·广东广州模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ，故选B.答案 B10．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S nn ＋32S n ＋1的最大值为( )A.120B.130C.140D.150解析由S n ＝n n ＋12得f (n )＝n n ＋32n ＋2＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150.答案 D11．(2012·广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析先画出可行域如图所示，再将z ＝3x ＋y 变形为截距式方程y ＝－3x ＋z ，把l 0：y ＝－3x 平移到经过点A (3,2)时，截距z 有最大值，∴z max ＝3×3＋2＝11.答案 B12．(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的．答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项之积，则有____________________________．答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 10014．(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析 ∵a n ＝n cosn π2＋1，∴当n 为奇数时a n ＝1，当n 为偶数2,6,10,14，…时，a n ＝－n ＋1；当n 为偶数4,8,12,16，…时，a n ＝n ＋1，∴数列{a n }的前4项和为：1＋(－1)＋1＋5＝6；第5至第8项和为：1＋(－5)＋1＋9＝6；…由此可知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝1＋(－n －1＋1)＋1＋n ＋3＋1＝6(n ＋3是4的倍数)，即数列{a n }的相邻四项之和均为6，故S 2 012＝S 4×503＝503×6＝3 018.答案 3 01815．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0，(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式__________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为____________________．解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1 (2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－……＋(－1)n C nn a n ＋1＝016．(2012·新课标)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．解析当n ＝2k －1，k ∈N *时，a 2k －a 2k －1＝2(2k －1)－1；当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k＝2(2k )－1；于是a 2k ＋1＋a 2k －1＝2；a 2k ＋a 2k －2＝8k －8；前一个式子中k ＝1,3,5，…，29，后一个式子中k ＝2,4,6，…，30，得a 3＋a 1＝2，a 5＋a 3＝2，…，a 29＋a 27＝2；a 4＋a 2＝8×2－8，a 8＋a 6＝8×4－8，…，a 60＋a 58＝8×30－8，∴S 60＝15×2＋8(2＋4＋…＋30)－8×15＝1 830.答案 1 830三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，求证：数列{a n }是等差数列．解 (1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. 由f (1)＝2＝b a －1，得2a －2＝b ，①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得bax ＋2－1＝－ba2－x －1，由此解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2， ∴S n ＝14(a n ＋1)2，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列． 18．(本小题满分12分)(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3，① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，有a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n＋1，两式相减是a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2，又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n2n －1＋2是以首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n－2n，n ＝1时也合适此式，{a n }的通项公式是a n ＝3n－2n. (3)由(2)得1a n＝13n －2n ＝12＋1n－2n＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1，∴1a i <1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32. 19．(本小题满分12分)(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c(n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0.(2)(i)假设{x n }是递增数列，由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c .由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n －x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －xn ＋1＝x 2n ＋x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )x的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.(ii)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0.即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即：x k <c ，因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k)<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.20．(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤n ≤20110n ，21≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n。