第15讲 线路与绕线中的波过程(二)
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线路和绕组的波过程
（2）uf=－zif
4.2 行波的折射与反射 一、波的折、反射 实际工程中波可能遇到线路参数突变的地方（节点） 架空线 电缆 架空线 终端（开路、短路）
波到达节点会产生折射和反射
u1q：入射波 u2q：折射波 u1f：反射波
一、折、反射波的计算－折、反射系数
Z1上：u=u1q+u1f i=i1q +i1f
u2q
u1q
2z2 z1 z2
u1q
u1q
z2 z1 z1 z2
u1q
uu1q
i1f
u1f z1
z2 z1
z1z1 z2
u1q
z1 z1
z2 z2
i1q
ii1q
0≤ ≤2 u
2z2 z1 z2
=u2q/u1q
u
电压折射系数
－1≤ ≤1 u
z2 z1 z1 z2
=u1f/u
电 缆 εr≈4 μr=1
Co
2 0r
ln 2hp
(F / m)
r
L0 0r ln 2hp (H / m) 2 r
3.电磁波的传播速度v 架空线：v0
1 3 108 (m / s)
0o
与hp、r无关
电 缆： v
1 v0 1 v0 1.5 108 (m / s)
rr
2
可见：电磁波的转播与导体周围介质有关，导体只起牵引
Z:电压u为导线对地电压，电流i为同方向导线电流 （2）R：耗能 电能 热能、光能等
Z：不耗能 将电场能量储存在导线周围的介质里 （3）R常常与导线长度 l 有关
Z只与L0和C0有关，与导线长度无关
二、波过程计算的基本方程
ABDCA回路：u
4.2 行波的折射与反射 一、波的折、反射 实际工程中波可能遇到线路参数突变的地方（节点） 架空线 电缆 架空线 终端（开路、短路）
波到达节点会产生折射和反射
u1q：入射波 u2q：折射波 u1f：反射波
一、折、反射波的计算－折、反射系数
Z1上：u=u1q+u1f i=i1q +i1f
u2q
u1q
2z2 z1 z2
u1q
u1q
z2 z1 z1 z2
u1q
uu1q
i1f
u1f z1
z2 z1
z1z1 z2
u1q
z1 z1
z2 z2
i1q
ii1q
0≤ ≤2 u
2z2 z1 z2
=u2q/u1q
u
电压折射系数
－1≤ ≤1 u
z2 z1 z1 z2
=u1f/u
电 缆 εr≈4 μr=1
Co
2 0r
ln 2hp
(F / m)
r
L0 0r ln 2hp (H / m) 2 r
3.电磁波的传播速度v 架空线：v0
1 3 108 (m / s)
0o
与hp、r无关
电 缆： v
1 v0 1 v0 1.5 108 (m / s)
rr
2
可见：电磁波的转播与导体周围介质有关，导体只起牵引
Z:电压u为导线对地电压，电流i为同方向导线电流 （2）R：耗能 电能 热能、光能等
Z：不耗能 将电场能量储存在导线周围的介质里 （3）R常常与导线长度 l 有关
Z只与L0和C0有关，与导线长度无关
二、波过程计算的基本方程
ABDCA回路：u
第15讲 线路与绕线中的波过程(二)
式中，下标q代表前行的意思
Zkk ：代表除导线k外，其余导线中的电流均为0时，单位前行电 流波流经导线k时，在导线k上形成的前行电压波。叫自波阻抗
1 Z kk v 2
kk
2hk 2hk ln 60ln rk rk
Zkm ：代表除导线m外，其余导线中的电流均为0时，导线m中流过 单位前行电流波时，在导线k上感应的前行电压波。叫互波阻抗
u uq u f i iq i f u q Ziq u f Zi f
uk ukq ukf i i i k kq kf ukq Zikq ukf Zikf
uqk Zk1iq1 Zk 2iq 2 ... Zkkiq1 ... Zkniqn
若Z0远大于Z1及Z2，表示中间线段的对地电容较小、电感较 大（架空线就是这种情况），就可以忽略电容而用一只串联 电感来代替中间线段、从而使波头陡度下降了。
（3） Z1＜Z0 ＜ Z2 （1与2异号）振荡
1
2Z 0 2Z 2 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2 Z 1 Z 0 Z2 Z0 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2
k1
v
1
vQ1
k2
v
vQ 2 ...
kk
v
vQ k ...
kn
v
vQ n
为波沿导线传播的速度
考虑到当Qk向前运动时，将形成沿导线前行的电流vqk ，将iqk＝vQk代入上式，得平行多导体系统中导线上的前行 电压波和前行电流波的关系式为：
uqk Zk1iq1 Zk 2iq 2 ... Zkkiq1 ... Zkniqn
Zkk ：代表除导线k外，其余导线中的电流均为0时，单位前行电 流波流经导线k时，在导线k上形成的前行电压波。叫自波阻抗
1 Z kk v 2
kk
2hk 2hk ln 60ln rk rk
Zkm ：代表除导线m外，其余导线中的电流均为0时，导线m中流过 单位前行电流波时，在导线k上感应的前行电压波。叫互波阻抗
u uq u f i iq i f u q Ziq u f Zi f
uk ukq ukf i i i k kq kf ukq Zikq ukf Zikf
uqk Zk1iq1 Zk 2iq 2 ... Zkkiq1 ... Zkniqn
若Z0远大于Z1及Z2，表示中间线段的对地电容较小、电感较 大（架空线就是这种情况），就可以忽略电容而用一只串联 电感来代替中间线段、从而使波头陡度下降了。
（3） Z1＜Z0 ＜ Z2 （1与2异号）振荡
1
2Z 0 2Z 2 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2 Z 1 Z 0 Z2 Z0 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2
k1
v
1
vQ1
k2
v
vQ 2 ...
kk
v
vQ k ...
kn
v
vQ n
为波沿导线传播的速度
考虑到当Qk向前运动时，将形成沿导线前行的电流vqk ，将iqk＝vQk代入上式，得平行多导体系统中导线上的前行 电压波和前行电流波的关系式为：
uqk Zk1iq1 Zk 2iq 2 ... Zkkiq1 ... Zkniqn
华北电力大学内部高电压技术课件线路和绕组中的波过程(二)
线路中的波过程(二) 线路中的波过程(
1
§7-3 波通过串联电感和并联电容
波通过串联电感
2u1q = i2 q ( z1 + z 2 ) + L
t − 2u1q 1 − e T i2 q = z1 + z 2
di2 q dt
t t − − 2 z2 u2 q = i2 q z 2 = u1q 1 − e T = αu1q 1 − e T z1 + z 2 2 z2 L 时间常数： T = 电压折射系数： α = z1 + z 2 z1 + z 2
9
β 1 > 0, β 2 > 0,α 1 < 1,α 2 > 1
β 1 < 0, β 2 < 0,α 1 > 1,α 2 < 1
Байду номын сангаас
β 1 < 0, β 2 > 0,α 1 > 1,α 2 > 1
β 1 > 0, β 2 < 0,α 1 < 1,α 2 < 1
10
§7-6 冲击电晕引起波的衰减和变形
2
t − z 2 − z1 2 z1 u1 f = u1q + u1q e T z1 + z 2 z1 + z 2
du2 q dt
=
2u1q ⋅ z 2 L
电感中的电流不能突变， 初始瞬间相当于开路 直角波通过电感后改变为 指数波，降低了行波陡度
e
−
t T
du2 q du2 q dt = dt max
k = ki k 0
电晕校正系数 k i = 1 . 1 ~ 1 . 5
1
§7-3 波通过串联电感和并联电容
波通过串联电感
2u1q = i2 q ( z1 + z 2 ) + L
t − 2u1q 1 − e T i2 q = z1 + z 2
di2 q dt
t t − − 2 z2 u2 q = i2 q z 2 = u1q 1 − e T = αu1q 1 − e T z1 + z 2 2 z2 L 时间常数： T = 电压折射系数： α = z1 + z 2 z1 + z 2
9
β 1 > 0, β 2 > 0,α 1 < 1,α 2 > 1
β 1 < 0, β 2 < 0,α 1 > 1,α 2 < 1
Байду номын сангаас
β 1 < 0, β 2 > 0,α 1 > 1,α 2 > 1
β 1 > 0, β 2 < 0,α 1 < 1,α 2 < 1
10
§7-6 冲击电晕引起波的衰减和变形
2
t − z 2 − z1 2 z1 u1 f = u1q + u1q e T z1 + z 2 z1 + z 2
du2 q dt
=
2u1q ⋅ z 2 L
电感中的电流不能突变， 初始瞬间相当于开路 直角波通过电感后改变为 指数波，降低了行波陡度
e
−
t T
du2 q du2 q dt = dt max
k = ki k 0
电晕校正系数 k i = 1 . 1 ~ 1 . 5
线路和绕组中的波过程ppt课件
51波在单根均匀无损导线上的传播52行波的折射与反射53行波通过串联电感与旁过并联电容54行波的多次折反射55行波在无损平行多导体中的传播56冲击电晕对线路上波过程的影响57变压器绕组中的波过程58旋转电机绕组中的波过程图51均匀无损的单导线a单根无损线首端合闸b等效电路511波传播的物理概念假设有一无限长的均匀无损的单导线见图51at0时刻合闸直流电源形成无限长直角波单位长度线路的电容电感分别为c线路参数看成是由无数很小的长度单元x构成如图51b所示51波在单根均匀无损导线上的传播合闸后在导线周围空间建立起电场形成电压
i x
C0
u t
(4)
L
Байду номын сангаас
u x
sL0 L[i]
(5)
L
i x
sC0 L[u ]
(6)
两边对dx求导：
L
d 2u dx2
sL0 L
i x
-s 2 L0C0 L[u ]
(7)
L0，R0，C0，G0 ：表示导线单位长度上的电感、电阻、对地电 容和电导。
5
高电压技术
波动方程解的推导
u
(u
u x
dx)
u x
dx
r0dxi
L0dx
i t
i
(i
i ) x
i x
g0dx(u
u x
dx)
C0dx
(u
u x t
27
i x
C0
u t
(4)
L
Байду номын сангаас
u x
sL0 L[i]
(5)
L
i x
sC0 L[u ]
(6)
两边对dx求导：
L
d 2u dx2
sL0 L
i x
-s 2 L0C0 L[u ]
(7)
L0，R0，C0，G0 ：表示导线单位长度上的电感、电阻、对地电 容和电导。
5
高电压技术
波动方程解的推导
u
(u
u x
dx)
u x
dx
r0dxi
L0dx
i t
i
(i
i ) x
i x
g0dx(u
u x
dx)
C0dx
(u
u x t
27
线路和绕组中的波过程
线路和绕组中的波过程
波是指一种能够传递能量的扰动或振动。
在线路和绕组中，波的传播
是电磁波或电磁场的传播过程。
在线路中，通常存在两种类型的波传播：行波和驻波。
行波是指波沿着线路传播的过程。
行波可以是平面波或波列，其中平
面波是指波的振动方向垂直于波的传播方向并且波前是平行的，而波列是
指波的波前是曲线的。
行波的传播速度取决于介质的特性，例如电磁波在
真空中的传播速度为光速。
驻波是指波在线路中的反射和干涉形成的波。
驻波形成时，波前和波
峰或波谷之间存在固定的空间间隔，这些区域被称为节点和腹部。
驻波的
形成与波的反射和干涉有关。
在驻波的波过程中，能量来回传播并在节点
处相互抵消，因此没有能量的传输。
驻波常见于终端开路或短路的线路中。
绕组是指由导线组成的线圈或线圈的一部分。
波在绕组中的传播也可
以是行波或驻波。
在绕组中，波的传播速度取决于绕组的各种参数，如线圈的自感和电容。
当频率较低时，波在绕组中的传播基本上是行波。
然而，当频率很高时，波在绕组中的传播会变得复杂，包括电磁波辐射和引入许多附加参数，如互感和电阻。
此时，驻波的形成也是可能的。
总结而言，线路和绕组中的波过程可以是行波或驻波。
行波是波沿着
线路传播的过程，而驻波是波的反射和干涉形成的波。
波的传播速度取决
于介质的特性和绕组的参数。
通过研究波的传播和行为，可以更好地理解
电磁波在线路和绕组中的特性和性能，从而应用于电路和电磁设备的设计
和分析中。
线路及绕组中的波过程
Z u L0
i
C0
波阻抗是表征分布参数电路特点的最重要的参数，它是
储能元件，表示导线周围介质获得电磁能的大小，具有
阻抗的量纲，其值决定线路于及单绕组位中长的波度过程导线的电感和电容
1.2 波过程的物理图景（续2）
改写上式可得
12L0i2 12C0u2
➢ 导线单位长度所具有的磁场能量恒等于电场能量，这 就是电磁场传播过程的基本规律
线路及绕组中的波过程
2.1 折射波和反射波的计算
连接点A处只能有一个电压电流值
必然有 u1q u1f u2q
i1q i1f
i2q
其中
i1 q
u1q Z1
i1 f
u1 f Z1
i2q
u2q Z2
u1q u0
代入得
u0 u0 Z1
u1 f u1 f
Z1
u2q u2q
Z2
解得
u2q u1f
2u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 2 2i
x 2
L0C 0 L0C 0
2u
t 2 2i
t 2
uiui11((xxvv))ttui22((xx vv))tt iuq'q'i"uf "f
u
' q
i
' q
为前行电压波和前行电流波
u
' f
i
' f
为反行电压波和反行电流波
线路及绕组中的波过程
1.3 波动方程及其解（续2）
➢ 导线单位长度的总能量为 L0i 2 或 C 0u 2 ➢ 若行波传播速度为v，它使导线获得磁场能
1 2
L0i2v
和
电场能
7 线路和绕组中的波过程
i C0Uv U L0iv
U L0 i C0
L0 C0
同向传播的电压和 电流的比值是常量 波阻抗
r 0 2hp ln r 0 r
Z
导线的波阻抗为
L0 1 Z C0 2
架空线的波阻抗一般在 300 ~ 500Ω 范围内； 对电缆线路，约在 10 ~ 100Ω 之间。
从电磁能量的角度对波的传播过程进行分析：
电压波的传播使导线对地电压升高的过程也就是在导线 对地电容中储存电场能的过程，电流波流过导线的过程也是 导线电感中储存磁场能的过程。 当电压波U和电流波i互相伴随着沿导线传播时，单位长度的 导线获得的电场能和磁场能分别为 1 C0U 2 和 1 L0i 2 。
du (u u i dx) u L0dx x t
di (i
i u dx) i C0 dx x t
u i L0 x t i u C0 x t
2
u u 1 u L C 0 0 2 2 x t v t 2
2 2
易求得
1 1 C0U 2 L0i 2，单位长度导线的电场能和磁场能相等。 2 2
已知波的传播速度为v，因此单位长度导线获得 C0U 2和 L0i 2 1 能量所需的时间为 v 。电压波和电流波伴随着沿导线传播时 散布在周围介质的功率为
u2 vC0U vL0i i2Z Z
2 2
从功率的观点看，分布参数电路中的波阻抗与集中参数电路 中的电阻相同，但在物理含义上不同： 波阻抗表示同一方向的电压波和电流波的比值，其大小只 决定于导线单位长度的电感和电容，与线路的长度无关， 而导线的电阻与长度成正比；
一部分能量会传递到线路z2上去，称为折射波u2q；另一部分能
线路和绕组中的波过程
10
对于架空线：
L0
0 2
ln
2h r
C0
2 0
ln 2h
r
式中h为导线离地面的平均高度（m）,
r为导线的半径（m），μ0、ε0分别为空气的磁导率和介电常
数。
因此：架空线中：v＝
1
＝30000000km/s
11
➢ 单根无损线波过程特点
波阻抗Z表示同一方向传播的电压波与电流波之间的比例大小；
不同方向的行波，Z前面有正负号；
33
u1 f
z2 z1 z1 z2
u1q
2z1 z1 z2
t
u1qe T
du2q
2u1q
z2
t
eT
dt
L
du2q dt
max
du2q dt
t 0
2u1q z2 L
电感中的电流不能突变，初始瞬间 相当于开路 直角波通过电感后改变为指数波， 降低了行波陡度
34
波通过并联电容
2u1q i1z1 i2q z2
第二篇 电力系统过电压及保护
第七章 线路和绕组中的波过程
1
✓ 电力系统中的各种绝缘在运行中除了受长期工作电压的作用外， 还会受到各种比工作电压高得多的电压的短时作用，这种电压就称 之为过电压。 ✓过电压就是指电力系统中出现的对绝缘有危险的电压升高和电位 升高。
2
电力系统过电压
过电压的分类
内部过电压
u2q =
2z2 z1 + z2
u 1q
= αuu1q
u1 f
= u2q -
u1q =
2z2 z1 + z2
u1q
-
u1q =
z2 z1 +
对于架空线：
L0
0 2
ln
2h r
C0
2 0
ln 2h
r
式中h为导线离地面的平均高度（m）,
r为导线的半径（m），μ0、ε0分别为空气的磁导率和介电常
数。
因此：架空线中：v＝
1
＝30000000km/s
11
➢ 单根无损线波过程特点
波阻抗Z表示同一方向传播的电压波与电流波之间的比例大小；
不同方向的行波，Z前面有正负号；
33
u1 f
z2 z1 z1 z2
u1q
2z1 z1 z2
t
u1qe T
du2q
2u1q
z2
t
eT
dt
L
du2q dt
max
du2q dt
t 0
2u1q z2 L
电感中的电流不能突变，初始瞬间 相当于开路 直角波通过电感后改变为指数波， 降低了行波陡度
34
波通过并联电容
2u1q i1z1 i2q z2
第二篇 电力系统过电压及保护
第七章 线路和绕组中的波过程
1
✓ 电力系统中的各种绝缘在运行中除了受长期工作电压的作用外， 还会受到各种比工作电压高得多的电压的短时作用，这种电压就称 之为过电压。 ✓过电压就是指电力系统中出现的对绝缘有危险的电压升高和电位 升高。
2
电力系统过电压
过电压的分类
内部过电压
u2q =
2z2 z1 + z2
u 1q
= αuu1q
u1 f
= u2q -
u1q =
2z2 z1 + z2
u1q
-
u1q =
z2 z1 +
线路与绕线中的波过程
单 击 此 处 添 加x小 标 题
电容C0dx上的电压和电流满足关系：
dx 单 击 此 处 添 加 小 标 题
l
两式联立，解得：
K x
单击此处添加小标题
其中
uA eB e 单 击 此 处 添 加 小 标 题 x B由初始条件决定
x
i K0 (du) dx t
diC0dxut
C0 K0
另外一种推导
U最大＝U稳态＋（U稳态－U初始）＝2U稳态－U初始
2） 由于各点频率不同，因此各点到达峰值时刻不同。将各点峰值点连接，可得最大电位包 络线。无损耗时的包络线如曲线4所示。
3） 末端接地时，最大电位出现在约1/3处，1.4U0
末端开路时，最大电位出现在末端，为1.9U0.
起始电压分布时，最大电位梯度在首端，为U0
(a)
(b)
B A 连 续 式 绕 组 B 纠 结 式 绕 组
K 1,6 1
K 5,10 10
(c)
(a) 线饼排列次序 (b) 电气接线图 (c) 等值纵向电容电路图
高电压技术
单击此处添加您的正文
8.7 波的衰减与变形、冲击电晕的影响
前面讨论的导线是以无损线路 为例，但实际上，任何波在线 路上传播都会有损耗，损耗来 源：
导线电阻；
1
导线对地电 导；
2
大地的损耗； 电晕损耗；
3
4
R0dx L0dx C0dx
8播.7时.1的衰波减沿和线x变路形传
单R0根dx有损长线L0的dx单元等值电路
在电磁波的传播过程中，可能在某一时刻，
磁能消耗>电能消耗，这样，空间电磁场就
R L 会发生电能向磁能0 的转换0 。 这样，电压波 G C 幅值就会下降，而0 电流波0 幅值会上升。也
线路和绕组中的波过程(二)
兔路和绕组中的波过程（二）
电气学习笔记2018-03-19
奇r朋友，前夫注；
老朋友，归客,r
陕祛切衬：'7B怒为诊@t 扣．乙OVI�
>冲击电晕对波形的影响由图可知，当电压超过起始电晕电压后，波形开始衰减与变形。
电压超过电晕电压的各点，以不同的速度向前运动，电压幅值愈高，其运动速度愈小。
显然，电压幅值愈高，相对于不衰减波形出现的时间愈晚。
如图中的A点，当不计及电晕时，其出现的时间为刊；当计及电晕后，
其出现的时间为-rO+A-r , 也就是说，由于电晕的作用使行波的波头拉长了。
这个效应对变电所防雷有重要
意义。
�r大小一方面取决于u的高低，另一方面也与波所传播的距离l有关，可用经验公式表示：
B B'.,...---0.--..... ....-,-u 。
(t)tu 、、.I 、I .A ''A I 了-�---iU I ＾ --7u k u 估算电压瞬时后移的时间的经验公式蠡�T = (0.5 + 0.008 u h ) l d p。
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6
12为波从波阻抗Z1 的线路直接向波阻抗Z2 的线路传播时的
折射系数，可见：
1) 中间线路的存在而不会影响到它的最终值。
2) 但中间线段的存在及其波阻抗的大小决定了折射波的波形。
如果1与2同号，则1 2>0,uB(t)的波形逐步递增
如果1与2异号，则1 2<0，uB(t)的波形振荡
15
将(1)式
uk k1Q1 k 2Q2 ... kk Qk ... kn Qn
变形，得
uk
k1
v
vQ1
k 2
vQ2 ...
kk
v
vQk ...
kn
v
vQn
其中， v 1
为波沿导线传播的速度
考虑到当Qk向前运动时，将形成沿导线前行的电流vqk，将iqk＝ vQk代入上式，得平行多导体系统中导线上的前行电压波和前 行电流波的关系式为：
uqk Z k1iq1 Z k 2iq 2 ... Z kk iq1 ... Z kn iqn
式中，下标q代表前行的意思
16
Zkk ：代表除导线k外，其余导线中的电流均为0时，单位前行电流 波流经导线k时，在导线k上形成的前行电压波。叫自波阻抗
1 Z kk v 2
u u1，i1 i u2，i2 u3，i3
解： u uq Ziq
又由
u1 Z11 u Z 2 21 u3 Z 31
Z12 Z 22 Z 32
Z13 i1 Z 23 i2 Z 33 i3
2Z 0 2Z 2 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2 Z 1 Z 0 Z2 Z0 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2
5
经过n次折射后，即当(2n－1)≤t≤(2n＋1) 时，节点B的电压为：
当t→∞时， 则（β1β2）n →0
波的幅值较低
11
8.6 平行多导线系统中的波过程
前面是以单导线为研究对象 实际上的输电线路是由多根平行导线组成的 线路之间会相互影响 因此，必须研究多导体系统中的波过程。
12
8.6.1 波在平行多导体系统中的传播
如果大地是理想导体，忽略电阻和电导，则平行多导体 系统中波的传播将仍为平面电磁波，且只有一个速度（ 即光速）。 在平面波的情况下，导线中的电流可以看成是单位长度 上的电荷q的运动形成。 各导线的电荷相对而言是静止的，所以，可将麦克斯韦
β 1＜0、β 2＜0、1＞1、2＜1
若Z0远大于Z1及Z2，表示中间线段的对地电容较小、电感较大（架 空线就是这种情况），就可以忽略电容而用一只串联电感来代替中 间线段、从而使波头陡度下降了。
9
（3） Z1＜Z0 ＜ Z2
1
2Z 0 2Z 2 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2 Z 1 Z 0 Z2 Z0 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2
u fk ( Z k 1i f 1 Z k 2i f 2 ... Z k k i fk ... Z k ni fn )
17
对于全部n根导线来说，可以得到以下矩阵方程：
u uq u f i iq i f uq Ziq u f Zi f
若Z0 远小于Z1 及Z2 ，表示中间线段的电感较小、对地电容较大（电 缆就是这种情况），就可以忽略电感而用一只并联电容来代替中间 线段、从而使波头陡度下降了
8
（2） Z1＜Z0、Z2＜Z0
例如在两电缆之间插接一段架空线
1
2Z 0 2Z 2 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2 Z 1 Z 0 Z2 Z0 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2
Z1 u Z11 2Z12 Z11 i1
考虑耦合后三相并联的波阻抗>不考虑耦合的三相并 联波阻抗 考虑耦合后单相波阻抗>不考虑耦合的单相波阻抗
原因：两导线间有互电感和互电容，互电感使电流减
小，互电容使电压升高。
20
例题：分析电缆芯和电缆外皮的耦合关系 当行波到达电缆首端时，如果 电压过高，则引起首端的保护间
u1 Z 11i 1 u 2 Z 12 i1
消去i1，得
Z12 u2 u1 Ku1 KU 0 Z 11
K为导线1对导线2的耦合系数。 因为Z12 < Z11，所以K < 1。
23
由i2＝0
根据耦合系数可以算出，当导线1上有电压波作用时 ，导线1和导线2间的电位差为
u1 u 2 (1 K )u1 两导线离得越近，导线间的电位差就越小。
避雷线1、2与导线3的 解： 解得
3
1
2
电压方程为
u1 Z 11i 1 Z 12i2 Z 13i3 u 2 Z 12 i1 Z 22i2 Z 23i3 u 3 Z 13i1 Z 23i2 Z 33i3
由于Z11=Z22，i1=i2，u1=u2， 且i3＝0，因此
Z11 Z12 Z 21 Z 22 Z ... ... Z n1 Z n 2
u [u1 u 2 ... u n ]T i [i1 i2 ... in ]T
其中
u q [u q1 u q 2 ... u qn ]T iq [iq1 iq 2 ... iqn ]T u f [u f 1 u f 2 ... u fn ]T i f [i f 1 i f 2 ... i fn ]T
kk
2hk 2hk ln 60 ln rk rk
Zkm ：代表除导线m外，其余导线中的电流均为0时，导线m中流 过单位前行电流波时，在导线k上感应的前行电压波。叫互波阻 抗
Z km
1 v 2
km
Dkm Dkm ln 60 ln d km d km
可以看出：Zkm＝Zmk，且导线k与m靠得越近，Zkm越大。 Zkm<Zkk 同理，对于qk向后运动时将形成－vqk的反向电流波，此时，平行多导体 系统中的反行电压波和反向电流波的关系将为：
β 1＜0、β 2＞ 0、1 ＞ 1、2 ＞ 1
波的幅值较高
10
（4） Z1＞Z0 ＞ Z2
1
2Z 0 2Z 2 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2 Z 1 Z 0 Z2 Z0 1 ， 2 Z 0 Z1 Z0 Z2
β 1＞0、β 2＜0、1 ＜ 1、2 ＜ 1
Z为波阻矩阵，为电位系数矩阵。以上方程，加上边界条件，即可求 18 解平行多导体系统中的波的传播问题
8.6.2 平行多导线系统的等值波阻
假设三相导线同时被直流电源作 用（如雷电感应过电压） ，导线无 限长（即不考虑其反射过程），三 相导线对称分布。 自波阻抗： Z11=Z22=Z33， 互波阻抗： Z12=Z13=Z23。
高电压技术
高电压工程系 何正浩 hzh@
作业
5-3 (Ｐ104) 5-4 (Ｐ104) 5-7 (Ｐ104) 5-9 (Ｐ104) 6-1 (Ｐ120) 6-2 (Ｐ120) 6-3 (Ｐ120)
2
课堂问题
①请说出输电线波阻抗的基本表达式； ②一般架空线、分裂导线以及电缆的波阻抗各为多少？ ③相连两段不同波阻抗线路，什么情况下电压会升高、 什么情况下电压会降低？ ④彼得逊法则的使用条件是什么？ ⑤波经过电感或电容会怎样，为什么？ ⑥为什么可以利用电感或电容保护发电机的匝间绝缘？
此现象类似于趋肤效应。 在直配电机的防雷保护中得到广泛应用。
22
8.6.3 平行多导线的耦合系数
当开关合上时，导线1上出现前行电压波u1＝U0，求此时 导线2上感应的电压波u2。
2 1 U0 u2 2
i2 0
2
u1
1
i1
1
解：
u1 Z 11i 1 Z 12i2 u 2 Z 12i1 Z 22i2
Z12 i1 Z 22 i2
由u1=u2=u，Z12＝Z21＝Z22，得 由于Z11>Z12，因此，i1＝0，
Z11i1 Z12i1
当芯线与外皮短接时，全部电流都流过外皮，不流过芯线
解释：当电流在电缆外皮上流动时，芯线上会感应出电压
相等，但方向相反的电动势，阻止电流流进芯线。
静电方程运用到波过程的分析中。
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根据麦克斯韦方程， 在与地面平行的n根导线中，导线k的电位为
uk k1Q1 k 2Q2 ... kk Qk ... knQn （1）
其中，Q1、Q2…Qk…Qn是第1、2、…k、…n导线上单位长度 的电荷，kk和km（m≠ k）分别为导线k单位长度的自电位系 数和单位长度的导线间的互电位系数。
隙或者避雷器动作，将首端的芯
线和外皮连在一起。
此时，芯线和外皮变成两条并联支路，u1＝u2 因为i2产生的磁通全部与电缆芯交联，外皮上 的电位将全部传给电缆芯。故Z22＝Z21。而i1 产生的磁通只有一部分与电缆外皮交联，故 Z11>Z12
21
不考虑反射过程，有
u1 Z11 u Z 2 21
3
8.4 波的多次折反射
常用波的多次折、反射计算法 1) 网格法 2) 特性线法（贝杰龙法）两种
网格法：用网格图把波在节点上的各次折、
反射的情况，按照时间的先后逐一表示出来 ，使我们可以比较容易地求出节点在不同时 刻的电压值 。
4
网格法
设在两条波阻抗 各为Z1和Z2的长线 之间插接一段长度 为l0 、波阻抗为Z0 的短线，假设两侧 的两条线路均为无 限长线。求B点的 电压。