第二十三章旋转精品讲义

初三数学第二十三章旋转复习讲义一、图形的旋转1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．2．旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和方向.3．旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等.4．简单图形的旋转作图：（1）确定旋转中心；（2）确定图形中的关键点；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.例1.台风“麦莎”过去后，许多大树被大风刮倒吹折.一棵笔直的大树被风吹折后倒地，折断点为B（B点离地面为树高的1/3 处）.求∠B的度数.例2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．例3．把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．二、中心对称1．中心对称和对称中心：把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果它能和另一个图形完全重合，那么称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点.2．中心对称图形：在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.3．关于中心对称的作图： （1）确定对称中心； （2）确定关键点；（3）作关键点的关于对称中心的对称点； （4）连结各点，得到所需图形. 4．关于原点对称的点的坐标：（a ，b ）关于原点的对称点是（-a ，-b ） 例4．下列图形中，中心对称图形是 （ ）例5．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是( )例5．把正方形ADCB 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE ，边BC 与GF 交于点H （如图）．试问线段GH 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．例6、点P （-1，3）关于原点对称的点的坐标是 ；点P （-1，3）绕着原点顺时针旋转90o 与P ’重合，则P ’的坐标为 ；例7.有甲、乙两棵“小树”，你能对甲“树”进行适当的操作，将它与乙“树”重合吗？写出你的操作过程.例8.边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O,AB ∥X 轴，BC ∥y 轴，反比例函数的图像均与正方形ABCD 的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、6三、旋转的应用：例9．已知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求 △BEF 的周长.随堂训练一、选择题1．（苏州）下列图形中，旋转600后可以和原图形重合的是（ ） A 、正六边形 B 、正五边形 C 、正方形 D 、正三角形 2．（眉山）数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（ ） A 、甲 B 、乙 C 、丙 D 、丁3．（南平）如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥，则BAC ∠的度数是（ ）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°4．（安徽）在平面直角坐标系中，A 点坐标为（3，4），将OA 绕原点O 逆时针旋转900得到OA ´，则点A ´的坐标是（ ） A 、（-4，3） B 、（-3，4） C 、（3，-4） D 、（4，-3） 5．（济宁）在平面直角坐标系中，将点A 1（6，1）向左平移4个单位到达点A 2的位置，再向上平移3个单位到达点A 3的位置，△A 1A 2A 3绕点A 2逆时针方向旋转900，则旋转后A 3的坐标为（ ） A 、（-2，1） B 、（1，1） C 、（-1，1） D 、（5，1）6．（嘉兴）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MNABC分别作下列变换：①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A °； ③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4时针方向旋转90其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 7．（黑龙江）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )第2题第3题E F第6题图 第10题图A B C D8．（潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30︒到正方形AB C D'''，图中阴影部分的面积为（）A、12B C、1D、1二、填空题9．（盐城）写出两个．．你熟悉的中心对称的几何图形名称，它是．10．（衡阳）如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_____________．11．（吉林）如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_________．12．（邵阳）如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A'B'C'，则A点的对应点A'点的坐标是_____________．13.（江阴）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，则AE的长为．14．（北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数xky=的图象的一个交点为A(a，3)，则反比例函数的解析式是______．15．（青岛）如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为_______，∠APB＝______°．16．（东营）在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________．三、解答题17．（宿迁）如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．AB CDEAB CDE第13题图D'第8题第11题图第12题第15题18．（大连）如图，已知△ABC 和△A″B″C″及点O ． ⑴画出△ABC 关于点O 对称的△A′B′C ′；⑵若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O ′对称，请确定点O′的位置； ⑶探究线段OO′与线段CC″之间的关系，并说明理由． 19．如图，在网格中有一个四边形图案．(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A 1、A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积； (3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（－6，1），点B 的坐标为（－3，1），点C 的坐标为（－3，3）．（1）将原来的Rt △ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到Rt △A 1B 1C 1，试在图上画出Rt △A 1B 1C 1的图形。

（2）求线段BC 扫过的面积。

（3）求点A 旋转到A 1路径长。

EF 是中位线，EG AB ⊥于G ，20．（贺州）如图，梯形ABCD 中，DC AB ∥，1()2h AB DC =+．沿着F H A ⊥于H ，梯形的高C″B″A ″图 10CB A 第20题图GE HF ，分别把AGE △，BHF △剪开，然后按图中箭头所指方向，分别绕着点E F ，旋转180，将会得到一个什么样的四边形？简述理由． 21．（汉川）如图，边长为2的等边三角形OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B 点位于第一象限。

将△OAB 绕点O 顺时针旋转30°后，恰好点A 落在双曲线)0(＞x x k y =上。

（1）求双曲线)0(＞x xky =的解析式；（2）等边三角形OAB 继续按顺时针旋转多少度后，A 点再次落在双曲线上？22．（衡阳）已知，如图□ABCD 中，A B ⊥AC ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 交于0点，将直线AC 绕点0顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点0顺时针旋转的度数．四、附加题23．（聊城）如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即111A B C △和222A B C △． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重合到222A B C △上；（2）在方格纸中将111A B C △经过怎样的变换后可以与222A B C △成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．24．（内蒙古）如图（a ），两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O ．（1）将图（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转90角，在图（b ）中作出旋转后的OAB △（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．（2）在图（a ）中，你发现线段AC ，BD 的数量关系是 ，直线AC ，BD 相交成 度角．（3）将图（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转一个锐角，得到图（c ），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若OAB △绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．Ａ Ｏ Ｏ图（a ） 图（b ） 图（c ）2A九年级数学第二十三章旋转测试题一、选择题1．如果两个图形可通过旋转而相互得到，则下列说法中正确的有( )． ①对应点连线的中垂线必经过旋转中心．②这两个图形大小、形状不变．③对应线段一定相等且平行． ④将一个图形绕旋转中心旋转某个定角后必与另一个图形重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．如图1，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的， 其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心( )．A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到图1 图2 图33．如图2，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对4．如图3，△ABC 中，AD 是∠BAC 内的一条射线，BE ⊥AD ，且△CHM 可由△BEM 旋转而得，则下列结论中错误的是( )．A ．M 是BC 的中点B ．EH 21FMC ．CF ⊥AD D ．FM ⊥BC 5．如图4，O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是△ABC 内不同于O 的另一点；△A ′BO ′、△A ′BP ′分别由△AOB 、△APB 旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有( )． ①△O ′BO 为等边三角形，且A ′、O ′、O 、C 在一条直线上．②A ′O ′＋O ′O ＝AO ＋BO ．③A ′P ′＋P ′P ＝PA ＋PB ． ④PA ＋PB ＋PC>AO ＋BO ＋CO ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个图 46．如图5，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．7．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z ，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ） ① F R P J L G （ ） ② H I O （ ）③ N S （ ） ④ B C K E （ ） ⑤ V A T Y W U （ ）A ．Q X Z M DB ．D M Q Z XC．Z X M D Q D．Q X Z D M8．4张扑克牌如图6（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图6（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张图6（1）图6 （2）9．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.（A）︒60（D）︒9045（C）︒30（B）︒10．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）（A）︒9060（D）︒45（C）︒30（B）︒图8二、填空题11．如图9所示，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA旋转所得，则∠PBM＝________．12．如图10，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA_______PB＋PC (填“>”、“<”或“＝”)．13．如图11，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，则∠EAF＝________．图10 图11 图12 图1314．如图12，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕B点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三形是_____________．15．如图13，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有_____________．三、作图题16．如图14，将图形绕O 点按顺时针方向 旋转45°，作出旋转后的图形．四、解答题17．如图15，△ABC 、△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC 、DE 分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？18．如图16，△ABC 是等腰三角形，∠BAC=36°，D 是BC 上一点， △ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置， ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？19． 如图17所示，△ABP 是由△ACE 绕A那么△ABP 与△ACE 是什么关系？若∠BAP ＝40∠PAC ＝20°，求旋转角及∠CAE 、∠E 、∠BAE20．在△ABC 中，∠B=100，∠ACB=200，AB=4cm ， △ABC 逆时针旋转一定角度后与△成为AD 中点，如图19，⑴指出旋转中心，并求出旋转的度数。