第09 单元 旋转探究

第09 单元 旋转探究联想融通：试试看，提起“旋转”二字，与“旋转”相关的知识你能想起多少？请把它写出来。

正用：知旋转用性质:①旋转角相等，②每对对应点与旋转中心三点构成的都是等腰三角形、这些三角形都相似，③旋转变换是全等变换，出等边、等角；逆用：出现具有公共端点的线段时，要①从旋转的视角去观察图形，②用旋转的方法构造图形…… 一、知旋转用性质[9]解法归一：知旋转用性质，找旋转角、找等腰三角形、找相似（含全等）．例9 – 1 –1 （1）如图9 – 1 –1①，在△ABC 中，∠CAB ＝75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′ C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′＝（ ）（2）如图9 – 1 –1②，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的点D ，点A 旋转到点E 的位置．F 、G 分别是BD ，BE 上的点，BF ＝BG ，延长CF 与DG 交于点H ．则CF _______DG （填“＝、≠”），∠FHG ＝________．例9 – 1 –2 如图9 – 1 –2①，矩形AEFG 的宽AE ＝72 ，EF ＝72 3 ，正方形ABCD 的边长为3 2 ，将矩形AEFG 绕点A 顺时针旋转15°得到长方形AMNH （如图9 – 1 –2②）这时BD 交MN 于点O ．（1）求∠DOM 的度数；（2）在图9 – 1 –2②中，求D 、N 两点间的距离；（3）若把长方形AMNH 绕点A 在顺时针旋转15°得到长方形ARTZ ，请问此时点B 在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由．AE BC F G DAAB OC N HD图9 -1 -2①图9 -1 -2②ACFHGED 图9 -1 -1 ②B C B ′ C ′图9 -1 -1①交流分享：（1）略；（2）连AN ，则∠MAN ＝60°，∠RAN ＝45°；（3）证MN 与直线AB 交于点P ，比较AP 与AB 的长．例9 – 1 –3 在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图9 – 1 –3①，当点C 1在线段CA 的延长线上时，则∠CC 1B 的度数为_______； （2）如图9 – 1 –3②，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积．（3）如图9 – 1 –3③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．交流分享：（1）△ABC 是等腰三角形；（2）△CBC 1∽△ABA 1；（3）垂线段最短、即BP 垂直AC 时有最小值．体验与感悟9 —1 1．如图9 – 1 –4，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°、OA ＝2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°，至OA ′ B ′ C ′ 的位置，则点B ′的坐标为（ ）A ．（ 2 ，－ 2 ）B ．（－ 2 ， 2 ）C ．（2，－2）D ．（ 3 ，－ 3 ）图9 -1 -4AP C BE C 1 A 1P 1图9 -1 -3③ABC A 1C 1图9 -1 -3②ABCC 1A 1图9 -1 -3①2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A 1B 1C ．（1）如图9 – 1 –5①，设△ACA 1和△BCB 1的面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝______；（2）如图9 – 1 –5②，设AC 的中点为E ，A 1B 1的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ．当θ＝____°时，EP 的长度最大，最大值为_____ ．3．如图9 – 1 –6，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A ．75° B ．60° C ． 45° D ．30°4．如图9 – 1 –7，Rt △ABC 是由Rt △AB ′ C ′绕点A 顺时针旋转得到的，连接CC ′交斜边于点E ，CC 的延长线交BB ′于点F ．（1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC ＝α，∠CAC ＝β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．（提示：执果索因）5．两个全等三角形纸片重叠放置，其中∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°．然后将其绕公共顶点B 旋转△DBE ，DB 与AC 交于点G ，如图9 – 1 –8，在EB 上取一点F ，连接CF 、FG ，设BC ＝1，当CF ⊥AC 时，求△FCG 面积的最大值．BE F B ′C ′图9 -1 -7APBECD图9 -1 -6AECC BPA 1θ图9 -1 -5②A CB θA 1B 1图9 -1 -5①6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转得到△ACD ′ ，连结D ′E ． （1）如图9 – 1 –9①，当∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°时，求证：DE ＝D ′ E ；（2）如图9 – 1 –9②，当DE ＝D ′ E 时，∠DAE 与∠BAC 有怎样的数量关系？写出并说明理由．（3）如图9 – 1–9③，在（2）的结论下，当∠BAC ＝90°，BD 与DE 满足怎样的数量关系时，△D ′ EC 是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．提醒：旋转有那些性质？那些你熟？那些不熟？哪几道题让你印象深刻？二、见有公共端点的二等线段用旋转[ 8 ]解法归一：见有公共端点的两线段（注：多以等腰三角形的两腰、正多边性的邻边形式出现），把其中一条线段连带它所在的三角形旋转到和它相等那条边的位置、把不在一个三角形的线段拼凑在一个三角形中，通过线段的转移，来解决问题．例9 – 2 –1 如图9 – 2 –1 ，已知点D 在等腰Rt △ABC 内，DA ＝1，DC ＝2，DB ＝3，∠ACB ＝90°，求∠ADC =?交流分享：根据AC ＝BC 旋转三角形．例9 – 2 –2 （1）如图9 – 2 –2①，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠GCE ＝45°，求证：GE ＝BE ＋GD ．AB D图9 -2 -1ABDCD ′E图9 -1 -9③AB D EC D ′图9 -1 -9②AB D EC D ′图9 -1 -9①ABFE CDG图9 -1 -8交流分享：见有公共端点的两线段，把其中一条线段连带它所在的三角形旋转到和它相等的那条边的位置．（2）运用（1）中图形所得结论完成下面的问题：如图9 – 2 –2②，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，DE ＝10，求直角梯形ABCD 的面积．交流分享：本题借助线段进行了旋转、借助相对两角互补使得三点在同一直线上．体验与感悟9 — 2 1．（1）如图9 – 2 –3①，在Rt △ABC 中，D 为斜边AB 上的一点，AD ＝2，BD ＝1，且四边形DECF 是正方形，则阴影部分的面积为_________．（2）如图9 – 2 –3，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，BC ＝5，CD ＝3，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE 的长是____________．AB ED图9 -2 -3②图9 -2 -3①ADE BC 图9 -2 -2②AE BCDG图9 -2 -2①（3）如图9 – 2 –3③，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°得到线段BE ，连接AE ．若AB ＝2，DC ＝4，则△ABE 的面积为________．2．如图9 – 2 –4，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2，则AC 的长是_______cm ．3．如图9 – 2 –5，O 是正△ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，连接AO ′：①△BAO ′可以由△BCO 绕点B 逆时针旋转60°得到； ②线段OO ′＝4；③S 四边形AOBO ′ ＝6＋3 3 ；④∠AOB ＝150°；⑤S △AOC ＋S △AOB ＝6＋934 ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③⑤B ．①②④⑤C ．①②④⑤D ．①②③4．（1）已知：如图9 – 2 –6①，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 点为弧BC 上一动点， 求证：PA ＝PB ＋PC ．ABCD图9 -2 -4A BC E图9 -2 -3③（2）如图9 – 2 –6②，四边形是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：P A ＝PC ＋2PB ．5．（1）如图9 – 2 –7①，在等腰梯形ABCD 中AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探索线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，再给予证明；（2）如图9 – 2 –7②，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN ＝12 ∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．提醒：见到题中有2条相等的线段具有公共的端点怎么办？三、旋转法求最值[ 8 ]解法归一：利用旋转60°，造一个等边三角形的手段，就可以把求三条线段和的最小值问题，转化为一条折线长的问题，再利用“两点之间线段最短”求出最小值．例9 – 3 阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图9 – 3 – 1①，△ABC 中，∠ACB ＝30°，BC ＝6；AC ＝5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．小华经过思考后发现：通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图9 – 3 – 1②，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你用图9 – 3 – 1②，按小华的思路求出P A＋PB＋PC的最小值；（2）参考小华的方法，解决虾类问题：①如图9 – 3 – 1③，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图9 – 3 – 1③中画出并指明长度等于P A＋PB＋PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当P A＋PB＋PC值最小时PB的长．交流分享：（1）把AP、PC所在△ACP旋转60°得到△ECD，实现AP的转化；（2）连结PD得等边三角形△PCD，实现线段PC的转化，通过以上两步，把P A＋PB＋PC的和转化为折线BPDE的长，再由“两点之间线段最短”求得P A＋PB＋PC最小值．体验与感悟9—31．如图9 –3 –2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ 3 ，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA＋OB＋OC＝________．（提示：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°）2．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图9 – 3 – 3①，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟的方法是：以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′ BC，连接A′ A，当点A落在A′ C上时，此题可解（如图9 – 3 – 3②）．（1）请你回答：AP的最大值是___________．（2）参考小伟的方法，解决下列问题：如图9 – 3 – 3③，等腰Rt△ABC边AB＝4，P为△ABC内部一点，则AP＋BP＋CP的最小值是多少？（结果可以不化简）．提醒：请反思一下为什么要旋转60°？思考一下什么时候旋转90°？什么时候旋转120°呢？四、两组等线段共端点找全等三角形[ 9 ]解法归一：见共顶角顶点的两相似等腰三角形（或多边形），立刻找全等三角形！例9 – 4 – 1 （1）如图9 – 4 – 1①，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD．请你用尺规完成图形（不写做法保留痕迹），并写出BE与CD的数量庴及所夹锐角：________，_________；（2）如图9 – 4 – 1②，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE．连接BE，CD 请你猜想BE与CD的关系，并证明你的猜想．（3）运用你解答（1）、（2）所积累的经验和知识，完成下题：如图9 – 4 – 1③，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE．求BE的长．交流分享：第（3）问只需要以AB为边构造一个等腰直角三角形就和前面一样了．例9 – 4 – 2 如图9 – 4 – 2，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为_________；（2）连接AC、BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标：②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并什么理由．交流分享：见有共顶角顶点的两相似等腰三角形（或多边形）找全等，就搭建了问题与已知的桥梁．体验与感悟9—41．如图9 – 4 – 3，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′ B＝135°，P′ A：P′C＝1：3，则P′A：PB＝（）A．1： 2 B．1：2C．3：2D．1：32．已知，点C、A、D在同一条直线上，∠ABC＝∠ADE＝α，线段BD、CE交于点M．（1）如图9 – 4 – 4①，若AB＝AC，AD＝AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图9 – 4 – 2②，若AB＝BC＝kAC，AD＝ED＝kAE则线段BD与CE的数量关系为__________，∠BMC＝______（用α表示）；3．（1）如图9 – 4 – 5①，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．11 （2）如图9 – 4 – 5②，当动点D 在等边△ABC 的中线AM 所在直线上运动时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边△CDE ，连接BE ．若AB ＝8，以点Ｃ为圆心，以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．4．如图9 – 4 – 6，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，作射线QE 交射线BC 于点F ．（1）猜想∠QFC ＝_______°；并加以证明．（2）已知线段AB ＝2 3 ，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，且AB ＝1，CB ＝CD ＝2，对角线相交于O 点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C 旋转．（1）当三角板旋转到图9 – 4 – 7①的位置时，DE 与BF 的数量关系是_________；（2）在（1）问条件下，若BE ：CE ＝1：2，∠BEC ＝135°，求sin ∠BFE 的值．（3）如图9 – 4 – 7②，当三角板的一边CF 与梯形对角线AC 重合时，作DH ⊥PE 于H ，若OF ＝56时，求PE 及DH 的长．提醒：对本单元的题型进行归纳吧。