曲杆和三铰拱

= − qR (1 − cos φ ) （受压）
例题2 图示1/4圆弧形曲杆，受沿杆轴竖向均布荷载q作用， 试求任意截面B的内力。 q B Φ C MB VB 解： 取BC为研究对象，
φ
0
NB B
q C
dα α
ds
Φ Y X
M B = ∫ qds(R sin Φ − R sin α )
= ∫ qRdα (R sin φ − R sin α )
N D − (VA − 同一水平线上,且承受竖向荷载； P − P2 ) ⋅ sin φD + H ⋅ cos φ D = 0 1
注：1、该组公式仅用于两底铰在
由上述计算可知，曲杆和三铰拱的计算并没有什么不同，只 需要能准确选取隔离体，正确画出受力。 例题1 图示拱轴方程为 y = 100kN/m C y H D f=6m x A YA 4m 4m 8m YB B H 解：1）支座反力 取整体为研究对象， ∑MA=0，得：YB=200 KN ， ∑Y=0，得： YA=600 KN
易验证，NBA就是相应三铰拱的推力。截面D的内力求法 与例1相同。
2）求VE左
y=
4f x (L − x ) 2 L
在E左侧作截面，取BE为研究对象，（此时，包含集中荷载） 8 kN 8 kN φ D C E VE左 f = 4m A B 8 kN 4m 4m 4m 4m Y 8 kN tgφ=1/2， sinφ=
一、概述
实际结构中，用曲杆组成的结构有圆形隧道、涵管，各类 拱形结构，剧院、礼堂中的看台圆弧梁等等。 1．拱的结构形式
无铰拱
二铰拱
三铰拱
三铰拱
顶铰 拱轴线 起拱线 跨度 L f 拱高
拱脚
2．拱的受力特征 ①拱脚有水平约束力，称为推力。因此，拱结构要求基础、 地基牢固（如，墙、柱、墩、台等）。 ②合理的拱轴线可使拱的内力只有轴力，而无弯矩和剪力。 故制造拱结构时可使用抗压材料，如砖、石等。
三铰拱在竖向荷载作用下，其 水平反力（推力）与拱的形状 无关，而仅与三个铰的位置有 关。荷载与跨度一定时，水平 推力与 拱高成反比
②任意截面内力计算 P1
P1
P2P2
D C
P3 P3 P4
P4
B
P1
P2 MD ND
VD
X
A
0 Y0A A
V
A
D C x x
YA
B
y
HA
L1
L1
L2
HB YB
VB0 H
2、在拱的左半跨ϕ取正右半跨取负； ND= (YA − P − P2 ) ⋅ sin φDV=dM/ds φD 3、仍有 + H ⋅ cos 即剪力等零处弯 1 矩达极值； 0 N D = VD ⋅ sin φ D + H ⋅ cos φ D -----------（3） 即得D截面的轴力： 4、 M、V、N图均不再为直线。 5、集中力作用处V图将发生突变。 （1）、（2）、（3）式中的фD由轴线确定（轴线y=f（x）的 6、集中力偶作用处M图将发生突变。 导数）
VD − (VA − P − P ) ⋅ cosφD + H ⋅ sinφD = 0 1 2
-----------（2）
，为代梁截面D的剪力。
P1 A H x
P1
P2 MD ND
VD
X
P2 D C
P3 y
φD P4 φD B
YA-P1-P2
VA Y0A
0
VB0
L1 Y
A
代梁 x
Y
φD H
∑X=0 ，
φ φ
例题3
求BC段任意截面K的弯矩Mφ C 解： 支座反力为零。 取KCDE为研究对象 R q φ H A R E R 0 Mφ q
q
K φ R q B O D
∑MK=0 ，得： 1 2 q(H + R cos φ ) （外侧受拉） Mφ= 2
例题4
求截面K的内力 C 300 R=L A L B L L D L E
∑M
B
=0
2
MB= qR (1 − cos φ ) （外侧受拉）
M B = ∫ qds ⋅ sin (φ − α ) ⋅ R
0
φ
C VB MB NB B
ds
dα α φ
O Φ-α
Y
φ
qds
X
ΣX=0，得：
VB= ∫0 qds ⋅ cos(φ − α ) = qR sin φ
φ
ΣY=0，得： NB= − ∫0 qds ⋅ sin(φ − α )
1 2 ，cos φ = 5 5
8-8=0
∑Y=0 ，VE左= 8sinφ= 8 ×
1 5
= 3.6kN
8 kN
3）求 VE右 ， 在E右侧作截面，取BE为研究对象，（此时不包含集中荷载） VE右 8 kN D A 4m 4m 4m 4m
1 5
C
E B
f = 4m
8 kN 8 kN 8
tgnφ=1/2，sinφ=
YA x
Y
代梁
取任意截面D以左为研究对象， ∑MD=0 ，
M D = YA ⋅ x − H ⋅ y − P ⋅ (x − a1 ) − P2 ⋅ (x − a2 ) 1
0 = YA ⋅ x − P ⋅ ( x − a1 ) − P2 ⋅ ( x − a2 ) − H ⋅ y 1
即得D截面的弯矩：MD= M x − H ⋅ y
16q 得：H= 3
q C f=4m x 8m 8m q x Mx YA=4q
t dt
y A
M (x ) = 4qx − ∫
B
x
0
qt (x − t )dt 8
M (x ) y= H qt (x − t )dt 4qx − ∫ 0 8 = 16q 3 3x x 3 = − 4 256
x
=400 kNm （内侧受拉） H YA ∑X=0， N D − (600 − 400) sin φ D −
φD 800/3
800 N D = (600 − 400 )sin φ D + cos φ D =333.33 （压力） 3 800 ∑Y=0， V D − (600 − 400) cos φ D + sin φ D = 0 3 800 V D = (600 − 400 ) cos φ D − sin φ D = 0 3
0 YA
P2 D C
P3
P4 B
x L1
2
YB0
YA ⋅ L1 − ∑ Pi (L1 − ai )
H=
i =1
由代梁的整体平衡
0 可得： YA =
∑ Pi ⋅ bi
i =1
n
f
0 MC H= f
Y =
0 B
0 C
L ∑ Pi ⋅ ai
n i =1
= YA
记为，
L
2 i =1
= YB
M = YA ⋅ L1 − ∑ Pi (L1 − ai )
，cos φ =
2 5
VE右 = 8 × sin φ − 8 × cos φ = −3.6kN
8 kN
四 三铰拱的合理拱轴
合理的拱轴线可使拱的内力只有轴力，而无弯矩和剪力。只 有轴力，各截面上产生均匀的正应力，材料能得到充分利用， 从力学的角度来看，这是最经济合理的。因此，在某种固定 荷载作用下，使拱的所有截面弯矩均为零的轴线称为三铰拱 的合理拱轴。 竖向荷载作用下，三铰拱任意截面的弯矩计算公式为 MD= M x − H ⋅ y D Mx为代梁对应于D处截面（x处）的弯矩。 当拱轴为合理拱轴时， MD= M x − H ⋅ y D =0
Mx 于是可得合理拱轴方程为 y = H
例题3，求合理拱轴 q C f=4m x 8m 8m B YA y HC x dx H VC x
y A
Y 解：由对称性， A=YB=
∫
8
0
qx dx = 4 q 8
8
取左半为研究对象， ∑MC=0， 8YA − 4 H − ∫0
qx dx(8 − x ) = 0 8
2P
450
解： 先计算附属部分，取CDE为研究对象 ∑X=0，HC= ∑MD=0，
− 2 P cos 450 = − P
0
VC HC VD
2P
H C L = VC L + 2 P sin 45 ⋅ L
得：VC= − 2 P
C 300 R=L A B D E
2P
450 VK MK NK 300 取KC为研究对象，
∑ P (L − a ) + Hf − Y
i =1 i 1 i
2
⋅ L1 = 0
YA
得： H=
YA ⋅ L1 − ∑ Pi (L1 − ai )
i =1
2
f
an a3 a2 a1 P2 P1 A L1 P1 A x L1 代梁 P2 C L2 P3 C b2 b1 P3 b3
bn
Pn B
Pn B
P1 A
-----------（1）
式中，Mx为代梁对应于D处截面（x处）的弯矩。
P1 A
0 Y0A A
P1
P2 MD ND P2
VD
X
P3 y
φD
YA-P1-P2 P4 B φD
V
H
D C x YA1 L x
Y
VB0
代梁
φD H
∑Y=0 ，
VD= (V A − P1 − P2 ) ⋅ cos φ D − H ⋅ sin φ D 即得D截面的剪力： 0 VD= V D ⋅ cos φ D − H ⋅ sin φ D 式中， D = (YA − P1 − P2 ) V0