选修2-1 3.1.5 空间向量运算的坐标表示导学案
人教版数学高二A版选修2-1学案 3.1.5空间向量运算的坐标表示
3．1.5 空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．[学生用书P60]1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23 . 3．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同．( ) (2)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.( )(3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.( ) (4)若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝AB →·AB→＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a ·b ＝10 D.|a |＝6答案：D与向量m ＝(0，1，－2)共线的向量是( ) A ．(2，0，－4) B ．(3，6，－12) C ．(1，1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 答案：D已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．答案：π探究点1 空间向量的坐标运算[学生用书P61](1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．②设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．因为AP→＝12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝3y＋1＝32，z－2＝－2解得x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1 B．1C．0 D.－2解析：选A.因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．已知△ABC中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC→＝(3，－2，5)，求顶点B、C 的坐标及CA→.解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以AB→＝(x－2，y＋5，z－3)，BC→＝(x1－x，y1－y，z1－z)．因为AB→＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1＋4＝－2z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9y 1＝－6z 1＝10，所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7)． 探究点2 坐标形式下的平行与垂直[学生用书P61]已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【解】 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )， 所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[变条件]将本例(2)中“若k a＋b与k a－2b互相垂直”改为“若k a＋b与a＋k b互相平行”，其他条件不变，求k的值．解：a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，所以k a＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．a＋k b＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)，因为k a＋b与a＋k b平行，所以k a＋b＝λ(a＋k b)，即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k－1＝λ（1－k），k＝λ·1，2＝λ·2k，则⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，λ＝1.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或x1x2＝y1y2＝z1z2(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．1.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14 D.x＝1，y＝－1解析：选B.由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎨⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.2．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．解析：设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，所以OA →＝λOH →，即 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λx ，1＝λy ，0＝λz②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12，z ＝0.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 探究点3 向量夹角与长度的计算[学生用书P62]如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【解】 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为夹角与距离问题．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．求：(1)向量AB →，AC →的模； (2)向量AB →，AC →夹角的余弦值．解：(1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， 所以|AB →|＝ 12＋（－3）2＋22＝14，|AC →|＝22＋02＋（－8）2＝217.(2)因为AB →·AC →＝(1，－3，2)·(2，0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－1414×217＝－23834.因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－23834.1．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选 B.λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3.2．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)3．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影的长． 解：(1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)， 所以b ＝－2a ，所以a ∥b .(2)因为a ∥c ，所以21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4.所以c ＝(2，4，－4)，从而|c |＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即(－2，－4，4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0，解得x ＝－5，所以c ＝(2，－5，－4)． 所以c 在a 方向上的投影的长为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c |a ||c |＝1×2－2×5＋2×412＋22＋（－2）2＝2－10＋83＝0.[学生用书P63]知识结构深化拓展对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.[学生用书P135(单独成册)][A基础达标]1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝()A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1)C．(9，3，0) D.(9，0，0)解析：选 C.a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D.5解析：选B.设BC边的中点为D，则AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－1，－2，2)，所以|AD→|＝1＋4＋4＝3.3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2 B．－2C．0 D.1解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2. 所以x ＝2.4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )A.10 B ．－10 C ．2 5D.±10解析：选D.CB →＝(－6，1，2k )，CA →＝(－3，2，－k )， 则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0， 所以k ＝±10.5．(2018·四川南充高二(下)月考)已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D.150°解析：选 C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 6．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.答案：0 07．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 一定是________三角形．解析：因为AB →＝(3，4，－8)，AC →＝(5，1，－7)，BC →＝(2，－3，1)，所以|AB →|＝32＋42＋（－8）2＝89，|AC →|＝52＋12＋（－7）2＝53，|BC →|＝22＋（－3）2＋1＝14，所以|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，所以△ABC 一定为直角三角形． 答案：直角8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .(1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由第一问得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219. 10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，且－24＝3－6＝－36，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，且0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．[B 能力提升]11．从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A ．(－7，0，19)B ．(9，4，－13)C ．(－7，0，19)或(9，4，－13)D ．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)解析：选C.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8)．由|PQ |＝18得（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，23，34C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：选C.设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB→－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－43)2－13]． 所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝(43，43，83)，即点Q 的坐标为(43，43，83)． 13．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．(1)求分别以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →均垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：(1)因为AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以|AB →|＝（－2）2＋（－1）2＋32＝14， |AC →|＝12＋（－3）2＋22＝14，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， 所以S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，所以a ＝(1，1，1)或(－1，－1，－1)．14．(选做题)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC，GP，设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则P(0，0，t)，D(0，4－t，0)．因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0)．所以GC→＝(1，3－t－m，0)，GD→＝(0，4－t－m，0)，GP→＝(0，－m，t)．由|GC→|＝|GD→|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D 的距离都相等．。
2020年数学选修2-1人教A全册教案导学案--3.1.5空间向量运算的坐标表示
3. 1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程：（一）复习上一节内容（二）新课讲解：设a ＝，b ＝(1) a ±b ＝ 。
(2) a ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ；a b ．（5）模长公式：若， 则． （6）夹角公式：．（7）两点间的距离公式：若，，则(8) 设 则＝ ， ． AB 的中点M 的坐标为 ． 例题分析：例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各组向量共面的是（ ）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知或；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
),,(321a a a ),,(321b b b λ⇔⊥⇔123(,,)a a a a =r 222123||a a a a a a =⋅=++r r r 112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++r rr r r r 111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-uuu r uuu r ),,(),,,(222111z y x B z y x A ==AB =AB a b a a b b a b a b a a b a b c a b c a b c a b c ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x ⎩⎨⎧=-=.1,4y x点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
高中数学人教A版选修2-1导学案设计：3.1.5--空间向量运算的坐标表示(学生版)
安阳县实验中学“四步教学法”导学案Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人： 审核人：高二数学组班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__一. 自主学习 1学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.2学习指导一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .二. 合作交流1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥..三.拓展延伸如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。
高中数学人教A版选修(2-1)3.1 教学设计 《空间向量运算的坐标表示》(人教A版)
3.1.5空间向量运算的坐标表示
在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【知识与能力目标】
1、理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
【过程与方法目标】
2、掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直；掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
【情感态度价值观目标】
3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。
【教学重点】
掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．
【教学重点】
掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相
关问题．
多媒体课件。
数学选修2-1人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1.5 空间向量运算的坐标表示
§3．1.5 空间向量运算的坐标表示知识点一 空间向量的坐标运算设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 (1)k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2，且z 1＝λz 2(λ∈R )；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件．解 （1）设M 是线段AB 的中点，则OM ＝12(OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2，32，3)，所以线段AB 的中点坐标是(2，32，3)．|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29. (2)点P (x ，y ，z )到A ，B 两点距离相等，则(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简，得4x ＋6y －8z ＋7＝0.即到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.知识点二证明线面的平行、垂直在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D （0，0，0），A （2，0，0），E （2，2，1），F （0，1，0），D 1（0，0，2），所以AD＝(－2,0,0)，D 1F →＝(0,1，－2)，AD →·D 1F →＝0＋0＋0＝0，所以D 1F ⊥AD .又AE →＝(0,2,1)，所以AE →、D 1F →＝0＋2－2＝0，所以D 1F ⊥AE .又AD ∩AE ＝A ，所以D 1F ⊥平面ADE .【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明 设O 为坐标原点，依题意 OA =（-2，3，1），OB =（2，-5，3）， ∴AB =OB -OA = (2, -5,3) - (-2,3,1) = (4, -8 , 2). 同理可得DC = (4,-8,2),AD = (6,6,5),BC = (6,6,5).由AB =AB DC ，AD =BC ，可知AB ∥AB ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形.知识点三 向量坐标的应用棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．(1)求证：B 1O 3⊥P A ；(2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值； (3)求PO 2的长．(1)证明 以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则B 1(1,1,1)，O 3(12 ， 12,0)，P(0,0，12)，A(1,0,0)，13B O ＝(－12，－12，－1)，P A →＝(－12，－12，－1)，P A →＝(1,0，－12)，∴13B O ·P A →＝－12＋0＋12＝0，即 13B O ⊥P A →∴B 1O 3⊥P A .(2)解 ∵O 1(12，12，1)，O 2(12，1，12)，则12O O =（0，12，12-）.又∵3PO =（ 12，12，-12），∴cos 〈3PO ，12O O 〉=PO 3→·O 1O 2→|PO 3→||O 1O 2→|＝0＋(12)2＋(－12)2(12)2＋(12)2＋(－12)2·02＋(12)2＋(－12)2＝63， ∴异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值为63. (3)∵P (0,0，12)，O 2(12，1，12)，2PO ＝(12，1,0)．∴|2PO |＝(12－0)2＋(1－0)2＋(12－12)2＝52.【反思感悟】 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2，N 是AA 1的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值．解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则 (1)B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴BN ＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝ 3.(2)A 1(1,0,2)，C (0,0,0)， B 1(0,1,2)．∴1BA ＝(1，－1,2)，B 1C →＝(1，－1,2)，B 1C →＝(0，－1，－2)，1BA ·B 1C →＝1－4＝－3，|1BA |＝6，|B 1C →|＝5， ∴cos 〈1BA ，B 1C →〉＝1111·||||B CBA BA BC＝－36×5＝－3010.∴BA 1，B 1C 所成角的余弦值为3010.一、选择题1．已知点A (x 1，y 1，z 1)，则点A 关于xOz 平面的对称点A ′的坐标为( ) A ．(－x 1，－y 1，－z 1) B ．(－x 1，y 1，z 1) C ．(x 1，－y 1，z 1) D ．(x 1，y 1，－z 1) 答案 C解析 点A 与A ′关于xOz 平面对称，即AA ′⊥平面xOz .且A 、A ′到面xOz 的距离相等，所以A 与A ′的x ，z 的值相同，y 的值互为相反数．2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6) 答案 B解析 ∵b ＝12x －2a ，∴x ＝4a ＋2b ＝(0,6，－20)．3．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ，1tan θ)，有a ⊥b ，则θ等于( )A ．－π4 B.π4C ．2kπ－π2 (k ∈Z )D ．kπ－π4(k ∈Z )答案 D 解析 a·b ＝2sin θcos θ＋1＝sin2θ＋1＝0，2θ＝2kπ－π2，θ＝kπ－π4.4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255答案 C解析 由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝6－λ35＋λ2＝89，化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝255.5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° 答案 A解析 ∵|a |＝|b |＝2， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. 二、填空题6．模等于27且方向与向量a ＝(1,2,3)相同的向量为________________． 答案 (2，22，32) 解析 设b ＝λa (λ>0)．则λ2＋4λ2＋9λ2＝28，λ2＝2，故λ＝ 2.7．已知三个力f 1＝(1,2,3)，f 2＝(－1,3，－1)，f 3＝(3，－4,5)，若f 1，f 2，f 3共同作用于一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移动到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功是________．答案 16解析 合力f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,1,7)， 位移s ＝(2,3,1)， ∴功w ＝f·s ＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．已知点A (2，－5，－1)，B (－1，－4，－2)，C (λ＋3，－3，μ)在同一直线上，则λ＝________，μ＝________.答案 －7 －3解析 AB ＝(－3,1，－1)，AC →＝(λ＋1,2，μ＋1)，则AB ∥AC →，所以λ＋1－3＝21＝μ＋1－1，故λ＋1＝－6，μ＋1＝－2.即λ＝－7，μ＝－3. 三、解答题9．E ，F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中线段A 1D ，AC 上的点，且DE ＝AF ＝13AC .求证：(1)EF ∥BD 1；(2)EF ⊥A 1D .证明 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)， A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E 11,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 21,,033⎛⎫ ⎪⎝⎭. EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13， 1BD ＝(－1，－1,1)＝－3EF →.∴1BD ∥EF →，又F ∉BD 1， ∴EF ∥BD 1.（2）1AD ＝(－1,0，－1)，EF ·A 1D →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13·(－1,0，－1) ＝－13＋13＝0，∴EF ⊥A 1D →，即EF ⊥A 1D . 10.,,如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC. 证明：A 1C ⊥平面BED.证明 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线DD 1为z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D —xyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)， E(0,2,1)，A 1(2,0,4).DE ＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，1A C ＝(－2,2，－4)， 1DA ＝(2,0,4)．因为1A C ·DB →＝0，1A C ·DE ＝(－2,2，－4)， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又BD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BED .。
数学北师大版选修2-1导学案4空间向量运算的坐标表示导学案
§3.3 空间向量运算的坐标表示[学习目标]1．能将空间向量线性运算及数量积用坐标表示．(重点)2．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)一、知识记忆与理解[自主预习]阅读教材P36-P38，完成下列问题 1．空间向量运算的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则： (1)a ＋b ＝ ，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的 。
(2)a －b ＝ ，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的 。
(3)λa ＝ (λ∈R )，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的 。
(4)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b＝ .即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的 。
2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系： 若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝ 。
3．空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示： 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 (1) 若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λ b ⇔(λ∈R )；(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ 。
|a |＝a 2＝ 。
cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝ 。
(a ≠0，b ≠0) [预习检测]1．已知a ＝(1,2，－3)，b ＝(5，－7,8)，则2a ＋b 的坐标为( )A ．(7，－3,2)B ．(6，－5,5)C ．(6，－3,2)D ．(11，－12,13) 2．在空间直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2,3)，点B 的坐标为(4,5,6)，则AB →＝________。
3．已知a ＝(1，－5,6)，b ＝(0,6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2)5．P38练习1-5二、 思维探究与创新[问题探究]1、空间向量的坐标运算：探究一：(已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(1,2，－1)，则a ＋b ＝________，2a －b ________，=-→→b a 23 。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案3.1.5空间向量运算的坐标表示
3．1.5空间向量运算的坐标表示预习课本P95～97，思考并完成以下问题1．类比平面向量，在空间向量中，a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？2．空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|如何表示？[新知初探]1．空间向量的加减和数乘运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(2)|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23；(4)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．(1)AB＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)d AB＝|AB|＝(a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2.[小试身手]1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是() A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．|a |＝6答案：D2．与向量m ＝(0,1，－2)共线的向量是( ) A ．(2,0，－4) B ．(3,6，－12) C ．(1,1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 答案：D3．已知a ＝(2,1,3)，b ＝(－4,5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________. 答案：1空间向量的坐标运算[典例] 已知，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1) OP ＝12(AB －AC )；(2) AP ＝12(AB －AC )．[解] AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)， ∴AB －AC ＝(6,3，－4)．(1) OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )， 则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2)，∵12(AB －AC )＝AP ＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0.(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[活学活用]已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB ，q ＝CD .求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．解：因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB ＝(2,1,3)，q ＝CD ＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.空间向量的平行与垂直[典例] 11111B 1D 1，BD 上的点，且3B P 1＝PD 1，若PQ ⊥AE ，BD ＝λDQ ，求λ的值．[解] 如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)， 由题意，可设点P 的坐标为(a ，a,1)，因为3 B P 1＝PD 1，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a,0)， 所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1. 由题意可设点Q 的坐标为(b ，b,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ ·AE ＝0， 所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0， 即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0，解得b ＝14， 所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0，因为BD ＝λDQ ，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.[一题多变]1．[变条件]若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其它条件不变，结果如何？ 解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c,0)，因为B 1Q ⊥EQ ，所以B Q 1·EQ ＝0， 所以(c －1，c －1，－1)·⎝⎛⎭⎫c ，c ，－12＝0， 即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0， 所以点Q 是线段BD 的中点， 所以BD ＝－2 DQ ，故λ＝－2.2．[变条件，变设问]本例中若G 是A 1D 的中点，点H 在平面xOy 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置．解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G 是A 1D 的中点，所以点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12， 因为点H 在平面xOy 上，设点H 的坐标为(m ，n,0)， 因为GH ＝(m ，n,0)－⎝⎛⎭⎫12，0，12＝⎝⎛⎭⎫m －12，n ，－12， BD 1＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)，且GH ∥BD 1， 所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0， 所以H 为线段AB 的中点．解决空间向量垂直、平行问题的有关思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )．(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．利用坐标运算解决夹角、距离问题[典例]如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．[解]如图，以CA，CB，CC1为单位正交基底建立空间直角坐标系C-xyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|BN|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3，∴线段BN的长为 3.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA1|＝6，|CB1|＝5，∴cos〈BA1，CB1〉＝BA1·CB1|BA1||CB1|＝3010.故A1B与B1C所成角的余弦值为30 10.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．[活学活用]在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F 12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12. EF ＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12 ＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B C 1＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF ·B C 1＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF ⊥B C 1，即EF ⊥B 1C .(2)∵C G 1＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1. ∴|C G 1|＝174.又EF ·C G 1＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF |＝32， ∴cos 〈EF ，C G 1〉＝EF ·C G1| EF ||C G 1|＝5117. 即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH ＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418.层级一 学业水平达标1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：选C 因为a 与b 共线，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是( ) A ．0 B ．π C.π2 D.2π3解析：选B ∵OA ·OB ＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA |＝33，|OB |＝63， ∴cos 〈OA ，OB 〉＝5433×63＝1，∵〈OA ，OB 〉∈[0，π]，∴〈OA ，OB 〉＝0.∴〈OA ，BO 〉＝π.3．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AB ＝(3,4，－8)，AC ＝(5,1，－7)，BC ＝(2，－3,1)，∴|AB |＝32＋42＋82＝89， |AC |＝52＋12＋72＝75， |BC |＝22＋32＋1＝14，∴|AC |2＋|BC |2＝75＋14＝89＝|AB |2. ∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ＋λOB 与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66D ．±6解析：选C ∵OA ＝(1,0,0)，OB ＝(0，－1,1)， ∴OA ＋λOB ＝(1，－λ，λ)，∴(OA ＋λOB )·OB ＝λ＋λ＝2λ， |OA ＋λOB |＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB |＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16.又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66.6．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：37．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． 解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.答案：3559．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)因为AB ＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，AC ＝(2,0，－8)，AB ·AC ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且|AB |＝14，|AC |＝217， 所以cos 〈AB ，AC 〉＝－1414×217＝－7238，sin 〈AB ，AC 〉＝2734， S △ABC ＝12|AB |·|AC |sin 〈AB ，AC 〉＝1214×217×2734＝321. (2)| AB |＝14，设AB 边上的高为h ， 则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321，∴h ＝3 6. 10.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A P 1＝λA B 1，且PC ⊥AB .求：(1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0，1,2)，于是AB ＝(3，1,0)，CA 1＝(0，－2,2)，A B 1＝(3，1，－2)． 因为PC ⊥AB ， 所以CP ·AB ＝0，即(CA 1＋A P 1)·AB ＝0， 也即(CA 1＋λA B 1)·AB ＝0. 故λ＝－CA 1·ABA B 1·AB ＝12.(2)由(1)知CP ＝⎝⎛⎭⎫32，－32，1，AC 1＝(0,2,2)，cos 〈CP ，AC 1〉＝CP ·AC 1| CP ||AC 1|＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28. 层级二 应试能力达标1．已知两个非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( ) A.1|a |a ＝1|b |b B ．a 1·b 1＝a 2·b 2＝a 3·b 3 C ．a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 D ．存在非零实数k ，使a ＝kb解析：选D 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.2．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB |的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5)D ．(0,5)解析：选B 由题意知，|AB |＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋(1－1)2＝13－12cos (α－θ)， ∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB |≤5.3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657 解析：选D ∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb ，即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2)＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎨⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657. 4．已知a ＝(3,2－x ，x )，b ＝(x,2,0)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4,0) C ．(0,4)D ．(4，＋∞)解析：选A ∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0，∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0，此方程组无解，故选A.5．若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，2，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________． 解析：由题意，知AB ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，AC ＝(－1,0,0)，所以|AB |＝1，|AC |＝1.则cos A ＝AB ·AC | AB ||AC |＝321×1＝32，故角A 的大小为30°. 答案：30°6．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M M 12＝4MM 2，则向量OM 的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M M 12＝(1，－7，－2)，MM 2＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M M 12＝4MM 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4(3－x )，－7＝4(－2－y )，－2＝4(－5－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎫114，－14，－92 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1是A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在B 1C 1上，并且B 1E 1＝13B 1C 1，求BE 1与CO 1所成的角的余弦值． 解：不妨设AB ＝1，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y轴，以AA 1所在直线为z 轴建立直角坐标系，则B (1,0，0)，E 1⎝⎛⎭⎫1，13，1，C (1,1,0)，O 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，BE 1＝⎝⎛⎭⎫0，13，1，CO 1＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1， BE 1·CO 1＝⎝⎛⎭⎫0，13，1·⎝⎛⎭⎫－12，－12，1＝56， | BE 1|＝ 103，|CO 1|＝ 62.∴cos〈BE1，CO1〉＝56103×62＝156.即BE1与CO1所成角的余弦值为156.8．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．解：(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－43.又c＝a＋tb＝(－1＋t,1,3－2t)，∴|c|＝(－1＋t)2＋12＋(3－2t)2＝5⎝⎛⎭⎫t－752＋65.∵当t∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，关于t的函数y＝5⎝⎛⎭⎫t－752＋65是单调递减的，∴当t＝－43时，|c|取最小值3473.(2)由(1)，知当t＝－43时，c＝⎝⎛⎭⎫－73，1，173，|b|＝12＋02＋(－2)2＝5，|c|＝3473，∴cos b，c＝b·c|b|·|c|＝－41 1 7351 735.。
人教A版选修2-1空间向量坐标运算导学案
课题：空间向量及坐标运算班级 使用人姓名 编号 44 主编教师：杨留杰 课型：新授课 审核人签名： 【自研课导学】预习课（晚自习40分钟）自读自研选修2-1课本第90到96页的所有内容，并在 20分钟内完成自研环节任务： 达成目标1.会用坐标表示空间向量2. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算；3. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.【展示课导学】自研自探环节合作探究 展示提升环节，质疑提升环节 自学指导内容，学法，时间互动策略内容展示方案内容，方式，时间回归教材，夯实基础问题一：试着回顾空间向量的概念、运算规律及公式：模、夹角、零向量、单位向量、相同向量、相反向量、共线向量、共面向量；运算法则、夹角公式、距离公式、中点坐标公式等（1）|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ； 当λ＝0时，λa ＝ .（3）. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：a ＋b ＝ 结合律：(a ＋b )＋c ＝ 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ 向量的数量积：a b ⋅= .问题二 ：你和你的搭档能否合作探讨一下共线向量定理及推论和共面向量定理及推论，并比较记忆。
1.共线定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ使得 ；推论： l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 .2.共面定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A ,B ,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O ，有 问题三：试着根据物理学中力的合成与分解，想想空间向量是否也可以？若可以体会正交分解和单位正交分解的区别？问题四：你可否在方案四的基础上对空间向量进行坐标表示并进行坐标运算;它和平面向量的坐标运算有区别吗？问题1、4自己解决。
人教课标版高中数学选修2-1《空间向量运算的坐标表示》教案-新版
3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、教学目标 （一）核心素养本节课是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，通过本节课的学习，让学生经历向量坐标运算由平面向空间推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展，提高学生的空间想象能力、探索能力及科学思维素养，使学生能在空间几何体中借助图形进行空间向量的运算，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定知识和方法基础． （二）学习目标1．掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．3．掌握向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题． （三）学习重点1．空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．两个向量共线或垂直的判断．3．向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式． （四）学习难点1．向量运算到坐标运算的转化．2．应用空间向量坐标运算解决立体几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第95页至第96页，填空：我们知道，向量在平面上可用有序实数对),(y x 表示，在空间中则可用有序实数组),,(z y x 表示．类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a =，),,(321b b b =， 则=+),,(332211b a b a b a +++，=-),,(332211b a b a b a ---，=λ),,(321a a a λλλ，=⋅332211b a b a b a ++．（2）写一写：类似于平面向量的坐标表示，我们还可以得到：λ=⇔//⇔332211,,b a b a b a λλλ===)(R ∈λ；⋅⇔⊥0332211=++b a b a b a=||=；||||,cos b a >=<=．在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离==||d AB ．2．预习自测（1）已知向量)0,2,1(-=，)2,1,3(-=，)1,3,0(-=，则向量c b a m -+=的坐标为（ ） A ．)3,6,4(-B ．)1,0,4(C ．)1,4,2(---D ．)1,4,2(【知识点】空间向量加减运算的坐标表示． 【解题过程】-+=)0,2,1(-=)2,1,3(-+)1,3,0(--)120),3(12,031(-+-----+=)1,0,4(=． 【思路点拨】熟练掌握空间向量加减运算的坐标表示． 【答案】B ．（2）已知向量)3,0,1(-=，)2,1,0(-=，则向量23-的坐标为 ． 【知识点】空间向量线性运算的坐标表示． 【解题过程】23-)3,0,1(3-=2(0,1,2)--)2233),1(203,02)1(3(⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯=(325)=-，，． 【思路点拨】熟练掌握空间向量线性运算的坐标表示． 【答案】)5,2,3(-．（3）已知向量)3,1,2(-=a ，),1,2(x b --=，且⊥，则=x （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【解题过程】∵b a ⊥，∴03)1()1()2(2=+-⨯-+-⨯=⋅x ，解得1=x ． 【思路点拨】空间向量的垂直即数量积为0，代入公式计算． 【答案】C ．（4）已知点)2,0,1(-A ，)0,1,4(B ，)1,1,0(-C ，则=∠BAC （ ） A ． 30B ． 45C ． 60D ． 90【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示．【解题过程】)2,1,3(=，)1,1,1(-=，01211)1(3=⨯+⨯+-⨯=⋅， 故，的夹角为 90，即=∠BAC 90．【思路点拨】空间向量的夹角可转化为数量积的计算． 【答案】D ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量加减、数乘、数量积的运算法则； （2）空间向量平行、垂直、长度、夹角公式； （3）空间向量基本定理． 2．问题探究探究一 由平面向量的坐标运算类比空间向量的坐标运算★ ●活动① 类比提炼概念我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）同学们，我们知道，向量在平面上可用有序实数对),(y x 表示，那么，向量在空间中则可用什么来表示呢？（抢答）可用有序实数组),,(z y x 表示．【设计意图】提出类比问题，由学生答出从平面到空间，从有序实数对到有序实数组的过渡，从二维拓展到三维，引出新课概念．●活动② 巩固理解，深入探究类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a =，),,(321b b b =，则这几种运算的坐标表达式是什么呢？（抢答） 加法：+),,(332211b a b a b a +++=， 减法：-),,(332211b a b a b a ---=， 数乘：),,(321a a a λλλλ=， 数量积：⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】通过学生的抢答，使学生深入探究，更深刻地理解各种运算的坐标表示． ●活动③ 深入探究，证明猜想以上结论中，前三个比较容易证明，我们只对向量的数量积运算加以证明．设i ，，为单位正交基底，则123a a i a j a k =++，123b b i b j b k =++，所以123123()()a b a i a j a k b i b j b k ⋅=++⋅++r r r r r r r r ，利用向量数量积的分配率以及1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=，0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=， 即可得出a b ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】引导学生进行探究，证明形式最复杂的数量积的坐标表示，让学生的理解更加深刻．探究二 探究空间向量性质的坐标运算★▲ ●活动① 类比探究，研究性质同学们，类似于平面向量的的性质坐标表示，我们可以得到哪些空间向量的性质？（抢答）平行、垂直、长度、夹角、距离．【设计意图】通过复习平面向量的性质，引出空间向量的性质，并转化为坐标表示，体现重点，突破难点．●活动② 巩固理解，深入探究那刚才我们得到的空间向量的性质应该怎么用坐标来表示呢？（抢答）平行：112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈r r r r；垂直：11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=r r r r；长度：||a ==r夹角：cos ,||||a ba b a b ⋅<>==r rr r r r ．距离：在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解各性质的同时，将它们的坐标表示由二维拓展到三维，从而加以应用．探究三 探究空间向量坐标运算的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，空间向量的坐标表示由二维拓展到了三维．在空间中的加法、减法、数乘、数量积等运算和平行、垂直、长度、夹角、距离等关系中，我们可以利用数量的运算关系，解决立体几何中的平行、垂直和长度、角度等问题．【设计意图】归纳知识点和定理，让学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量(2,1,3)a x =r ，(1,2,9)b y =-r，若与为共线向量，则（ ） A ．1=x ，1=yB ．21=x ，21-=y C ．61=x ，23-=y D ．61-=x ，23=y【知识点】空间向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵(2,1,3)a x =r ，(1,2,9)b y =-r 共线，∴932112=-=y x ，解得61=x ，23-=y ．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例． 【答案】C ．同类训练 已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设=，=，若向量k +与k 2-垂直，则k 的值为 ． 【知识点】空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题知，=)0,1,1(=，=)2,0,1(-=，则k +)2,,1(k k -=，k 2-)4,,2(-+=k k ，由⋅-)2,,1(k k )4,,2(-+k k 08)2)(1(2=-++-=k k k ，得01022=-+k k ，解得25-=k 或2=k ．【思路点拨】将向量垂直转化为数量的对应相乘．【答案】25-=k 或2=k ．【设计意图】利用平行和垂直的转化，使学生对空间向量的坐标运算更加熟悉． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间中三点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB 的中点M 到C 点的距离是（ ） A ．453B ．253 C ．253 D ．213 【知识点】空间向量的坐标运算，空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵AB 的中点为)3,23,2(M ，∴||MC ==uuu r ．【思路点拨】先求出中点坐标，再利用距离公式． 【答案】C ．同类训练 设向量)2,,1(λ=，)2,1,2(-=，，夹角的余弦值为98，则=λ ．【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵||||,cos b a b a >=<985362=+-=λλ，∴2-=λ或552=λ． 【思路点拨】利用向量的夹角公式进行计算．【答案】2-=λ或552=λ． 【设计意图】利用长度和夹角的公式的运算，使学生熟练掌握空间向量的坐标运算． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是1BB ，11B D 的中点，求证：1DA EF ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为1，分别以，，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)21,1,1(E ，)1,21,21(F ，所以)21,21,21(--=，又)1,0,1(1A ，)0,0,0(D ，所以)1,0,1(1=DA ，所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=uu u r uuu r ，因此1DA ⊥，即1DA EF ⊥．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将和1DA 用坐标表示出来，利用空间向量垂直的坐标表示得到数量积等于0． 【答案】见解题过程．同类训练 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是11B A ，11D C 上的点，且113EB E A =，113FD F C =，求BE 和DF 所成角的余弦值．【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决异面直线所成角问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为4，分别以，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,4,4(B ，)4,3,4(E ，)0,0,0(D ，)4,1,0(F ，所以)4,1,0(-=BE ，)4,1,0(=DF ，17||=，17||=，⋅)4,1,0()4,1,0(⋅-=15=，所以||||,cos DF BE >=<1715171715=⨯=．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将和用坐标表示出来，利用空间向量夹角公式的坐标表示得到夹角的余弦值． 【答案】见解题过程．【设计意图】在空间直角坐标系中，用向量的坐标解决平行、垂直、长度、角度等问题是立体几何的基本思想方法，需要深刻理解，熟练掌握． 3. 课堂总结 知识梳理（1）设),,(321a a a =，),,(321b b b =，则①+),,(332211b a b a b a +++=，②b a -),,(332211b a b a b a ---=，③),,(321a a a a λλλλ=，④b a ⋅332211b a b a b a ++=．（2）设),,(321a a a =),,(321b b b =，则①λ=⇔//332211,,b a b a b a λλλ===⇔)(R ∈λ；②0=⋅⇔⊥0332211=++⇔b a b a b a ；③=||232221a a a ++=；④||||,cos b a >=<232221232221332211bb b aa ab a b a b a ++++++=．（3）在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==． 重难点归纳（1）熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算以及平行、垂直、长度、角度、距离的坐标表示．（2）合理选取单位正交基底建立空间直角坐标系是立体几何证明与运算的基础． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知)1,2,3(-A ，)3,5,4(-B ，则与向量平行的一个向量的坐标为（ ）A ．)1,1,31( B ．)1,1,31(--C ．)1,23,21(-D ．)1,23,21(-【知识点】空间向量平行的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】)2,3,1(-=)1,23,21(2-=．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例．【答案】C ．2．已知向量)2,5,1(-=，)2,2,(+=m m ，若b a ⊥，则m 的值为（ ） A ．6-B ．2C ．6D ．8【知识点】空间向量垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意，有=⋅b a ⋅-)2,5,1()2,2,(+m m 0)2(210=+-+=m m ，解得6=m ． 【思路点拨】利用空间向量垂直的坐标表示列式．【答案】C ．3．已知点)2,1,(x A ，)4,3,2(B ，且62||=，则实数x 的值是（ ） A ．3-或4 B ．6-或2 C ．3或4- D ．6或2-【知识点】空间两点的距离公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵62)42()31()2(||222=-+-+-=x ，解得6=x 或2-=x ． 【思路点拨】熟练掌握空间两点的距离公式． 【答案】D ．4．已知向量)3,2,1(=，),2,(2y y x x -+=，并且，同向，则x ，y 的值分别为 ． 【知识点】向量平行的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意知//，∴32212yy x x =-+=，即⎩⎨⎧=-+=x y x x y 2232，解得⎩⎨⎧-=-=62y x ，或⎩⎨⎧==31y x ．当⎩⎨⎧-=-=62y x 时，2)6,4,2(-=---=，向量，反向，故舍去．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例，解出答案后还需验证．【答案】1=x ，3=y ．5．已知向量)1,3,2(--=a ，)4,0,2(=b ，)2,6,4(--=c ，下列结论正确的是（ ） A ．//，//B ．//，⊥C ．⊥，//D ．⊥，⊥【知识点】空间向量平行及垂直的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⋅0410)3(2)2(=⨯+⨯-+⨯-=，∴⊥；∵216342=--=--，∴//． 【思路点拨】利用空间向量平行及垂直的坐标表示，将几何关系转化为坐标关系． 【答案】C ．6．已知)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，则ABC ∠= ． 【知识点】空间向量夹角的坐标公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，∴101220=+-=⋅，52420||222=++=AB ，103)1(0||222=+-+=， ∴><,cos ||||BC AB BC AB =105210⨯=22=，∴4,π>=<， ∴43,π>=<，即43π=∠ABC ．【思路点拨】利用向量夹角的坐标公式进行计算，需特别注意所求角和向量夹角的关系．【答案】43π． 能力型 师生共研7．已知)sin ,1,(cos αα=，)cos ,1,(sin αα=，则向量+与-的夹角的大小为 ． 【知识点】空间向量数量积的坐标运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵+)cos sin ,2,sin (cos αααα++=，-)cos sin ,0,sin (cos αααα--=，∴⋅+)()(-)cos )(sin cos (sin 02)sin )(cos sin (cos αααααααα-++⨯+-+= αααα2222cos sin 0sin cos -++-=0=，∴向量+与-的夹角的大小为 90．【思路点拨】将夹角问题转化为用坐标求数量积． 【答案】 90．8．已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设=，=．（1）若3||=，且//，求；（2）求与夹角的余弦值；（3）若)3//()(b a b a k -+，求k 的值．【知识点】空间向量坐标表示的综合应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）∵//，∴m =)2,,2()2,1,2(m m m m --=--=， 则3||3)2()()2(||222==+-+-=m m m m ，∴1±=m ，即)2,1,2(--=c 或)2,1,2(-=c ；（2）∵)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，∴⋅)2,0,1()0,1,1(-⋅=b 1-=，又2||=a ，5||=b ， ∴||||,cos b a b a >=<521⨯-=1010-=； （3）∵)2,,1(k k k -=+，)6,1,4(3-=-，)3//()(k -+， ∴62141-==-k k ，∴31-=k ．【思路点拨】牢记空间向量各种运算和性质的坐标表示，再进行坐标的运算． 【答案】（1）)2,1,2(--或)2,1,2(-（2）1010-（3）31-． 探究型 多维突破9．已知空间中三点)3,2,0(A ，)6,1,2(-B ，)5,1,1(-C ．（1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若3||=，且a 分别与，AC 垂直，求向量a 的坐标．【知识点】空间向量的运算，垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】（1）由题中条件可知，)3,1,2(--=，)2,3,1(-=， ∴><AC AB ,cos ||||AC AB =21=，则><AC AB ,sin 23=， 则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积||||S AB AC =><AC AB ,sin 37=；（2）设),,(z y x a =，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=111z y x ，则)1,1,1(=或)1,1,1(---=．【思路点拨】采用合理的向量公式，再转化成坐标进行运算． 【答案】（1）37；（2）)1,1,1(或)1,1,1(---．10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：CD EF ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ，使⊥GF 平面PCB ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明及计算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】不妨设正方形ABCD 的边长为2，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，)1,1,1(F ，)2,0,0(P ，（1）)1,0,1(-=，），02,0(=．∵⋅0=DC ，∴CD EF ⊥； （2）设点),0,(z x G ，则)1,1,1(---=z x ，由题意，要使⊥GF 平面PCB ，只需⋅)1(2-=x 0=，⋅)1(22-+=z 0=，解得1=x ，0=z ，故)0,0,1(G ，即G 为AD 中点．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将几何性质转化为坐标运算，并由解方程组得到点G 的具体位置．【答案】见解题过程．自助餐1．已知向量)5,0,2(=，)1,1,1(--=，)2,2,1(-=，则=-+32（ ） A ．)3,5,2(- B ．)3,5,2( C ．)3,5,0(- D ．)3,5,2(-【知识点】空间向量线性运算的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=-+32)1,1,1()10,0,4(--+)6,6,3(--=)3,5,2(．【思路点拨】空间向量线性运算就是将坐标独立地进行相应的运算．【答案】B ．2．已知)5,4,3(A ，)1,2,0(B ，)0,0,0(O ，若=C 的坐标是（ ） A ．)58,54,56(--- B ．)58,54,56(-- C ．)58,54,56(-- D ．)58,54,56( 【知识点】空间向量的坐标运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】)4,2,3(---=，则===---)4,2,3(52)58,54,56(---．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算法则． 【答案】A ．3．已知向量)1,0,1(=，)1,1,2(--=，)0,1,3(=，则|2|+-等于（ ）A ．103B ．102C ．10D ．5【知识点】空间向量的坐标运算，长度公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2+-)0,3,9(=，∴|2|+-103039222=++=【思路点拨】利用空间向量线性运算的坐标公式得到所求向量的坐标，再计算长度． 【答案】A ．4．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点， 1CC CA BC ==，则BM 和AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101B ．52C ．22D ．1030 【知识点】空间向量夹角的坐标公式求异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以1C 为原点，11A C ，11B C ，C 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz C -1，不妨设2=CA ，则)2,0,2(A ，)0,0,1(N ，)2,2,0(B ，)0,1,1(M ．∴)2,1,1(--=BM ，)2,0,1(--=，3401=++-=⋅，6211||222=++=，5201||222=++=，><AN BM ,cos ||||AN BM =563⨯=1030=，即BM 和AN 所成角的余弦值为1030．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为向量夹角的坐标公式进行计算． 【答案】D ．5．已知向量)1,sin ,(cos θθ=a ，)2,1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值为 ．【知识点】空间向量的线性运算及长度公式的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵=-2)0,1sin 2,3cos 2(+-θθ， ∴|2|-22)1sin 2()3cos 2(++-=θθθθcos 34sin 48-+=)3sin(88πθ-+=488=+≤，即|2|b a -的最大值为4．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算，再使用辅助角公式求出最值．【答案】4．6．在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H 分别是1CC ，BC ，CD ，11C A 的中点．证明：（1）GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）⊥G A 1平面EFD ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】以A 为原点，，，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，设正方体棱长为1.则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(1A ，)1,0,1(1B ，)1,1,1(1C ，)1,1,0(1D ，∴)21,1,1(E ，)0,21,1(F ，)0,1,21(G ，)1,21,21(H ． （1）)1,0,1(1=AB ，)21,0,21(=，)21,21,21(--=， ∵GE AB 21=，01=⋅EH AB ，∴GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）∵)1,1,21(1-=A ，)0,21,1(-=，)21,0,1(=，∴⋅G A 10=，⋅G A 10=， 即⊥G A 1DF ，⊥G A 1DE ，又DF DE D =，则⊥G A 1平面EFD ．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将向量关系转化为坐标的运算．【答案】见解题过程．。
高中数学选修2-1精品教案2-3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学设计
3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一．创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的 坐标，特别地，)0,1( i ，)1,0( j ，0,0(二．新课讲授1、空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示；2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a r ，设,,i j k r r r 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k r r r r ，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a r 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作123(,,)a a a a r ．在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk u u u r r r ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r ，则112233(,,)a b a b a b a b r r ，112233(,,)a b a b a b a b r r ，123(,,)()a a a a R r ，332211b a b a b a112233//,,()a b a b a b a b R r r ；00332211 b a b a b a b a b a||a rcos ||||a b a b a b r r r r r r （2）在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z u u u r ．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》教学案2 【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试： （基础题）1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=-r r //,a b λμr r若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
高中数学人教A版选修(2-1)3.1.5《空间向量运算的坐标表示》word导学案
3.1.5空间向量运算的坐标表示【学习目标】⒈掌握空间向量坐标运算的规律；2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；【自主学习】1.空间向量的坐标运算若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ， 则_________+= a b ， _____________-= a b ， _____________()=∈ a R λλ，a b _______________⋅= .2.空间两个向量共线的充要条件: //________________________________________()a b R λ⇔∈________________________________________()R λ⇔∈ 3.空间两个非零向量垂直的充要条件a b a b 0___________⊥⇔⋅=⇔ . 4.向量的模与夹角 a = ______________________;cos a,b _____________________________________________.<>==5.空间内两点间的距离公式6.线段中点坐标公式【自主检测】1．（1）已知a b 2a a b b (1,2,-2),||||,//,____===且则 （2）2a 3x 23b x 42x a b x (,,),(,,),,=+=-⊥ 则实数的值为_____2.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、11B D 中点，求证：（1）1DA EF ⊥； （2）111BD A C O ⊥平面.【典型例题】例1参照教材p96图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11A B 、11D C 的一个四等分点，求BE 、DF 所成角的余弦值.例2．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证:1D F ⊥平面ADE ．【目标检测】 1.(4,1,3),(0,6,5),OA OB AB =-== 则 （ ） A.(4,-5,8) B.(4,-7,-2) C.(-4,7,2) D.(-4 ,5,-8)2.已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值。
2019高中数学 第三章 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1
3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则123123a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？[提示] 当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|[基础自测]1．思考辨析(1)若a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝(－2,4，－2)．( ) (2)若a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0,0,1)，b ＝(1,0,0)则a ⊥b .( )(4)在空间坐标系中，若A (1,2,3)，B (4,5,6)，则AB →＝(－3，－3，－3)．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．]3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( )【导学号：46342154】A ．1B ．15C ．35D ．75D [k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.]4．若点A (0,1,2)，B (1,0,1)，则AB →＝__________，|AB |→＝__________________. (1，－1，－1)3 [AB →＝(1，－1，－1)，|AB →|＝12＋(－1)2＋(－1)2＝ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]b )＝－2，则x ＝________.(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标；①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．[解析] (1)c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2.[答案] 2(2)AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2.②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0.1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)．求： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴(2a )·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路探究] (1)根据c ∥BC →，设c ＝λBC →，则向量c 的坐标可用λ表示，再利用|c |＝3求λ值；(2)把k a ＋b 与k a －2b 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． [解] (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， 解得k ＝2或k ＝－52.2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【导学号：46342155】[解] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2).[1．已知A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点P 的坐标是多少？ 提示：P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 222．设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，则cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉一定成立吗？ 提示：当cos 〈AB →，CD →〉≥0时，cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉 当cos 〈AB →，CD →〉<0时，cos θ＝－cos 〈AB →，CD →〉．如图3138所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．图3138(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN . [思路探究] 建系Cxyz →得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B (0,1,0)，N (1,0,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2， ∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .3．如图3139所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．图3139(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB ． 同理可证MN ⊥CD ．(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则|3a ＋b |为( ) A ．15 B ．4 C ．5D ．17D [3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.]2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA →与BO →的夹角是( ) A ．0 B ．π C ．32π D ．2πB [OA →＝(3,3,3)，BO →＝(－6，－6，－6)则OA →·BO ＝3×3×(－6)＝－54，|OA →|＝33，|BO →|＝6 3所以cos 〈OA →，BO →〉＝OA →·BO →|OA →||BO →|＝－5433×63＝－1，所以〈OA →，BO →〉＝π.]3．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________. 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa . ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4.]4．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________.【导学号：46342156】65 [a ·b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a |＝14，|b |＝14， ∴cos〈a ，b 〉＝－414×14＝－27.∴sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－272＝357.因此以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝14×14×357＝6 5.]5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．[解] 如图所示，以DA ，DC ，DD 1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0，1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0.∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． ∴EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1. 则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12. 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， ∴FH ＝|FH →| ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02＝418.。
《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》导学案2【学习目标】1.用空间向量坐标表示空间点、向量；2.用空间向量坐标表示向量的运算；【探索新知】1. 设()()123123,,,,,a a a a b b b b ==r u u r ，则()1.a b ±=r u u r ； ()2.a λ=r ；()3.a b •=r u u r ； ()4.//a b =r u u r ；()5.a b ⊥⇔r u u r ．（6）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，则||a ==r（7）夹角公式：cos ||||a b a b a b ⋅⋅==⋅r r r r r r ．2.两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则AB ＝ ；= ；AB 的中点M 的坐标为 ．【基础自测】1．已知},,{k j i 为单位正交基，且k j i b k j i 2323--=++-=，则向量a r =_________；向量b r =_______；向量-2a r =____________；向量a b •r r =_____________；向量+=_____________；向量b a 2-=_____________；()()2a b a b •+-r r r r =____________________________． 2．(1)已知A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，则AB =_____________；(2)已知()=1,3,1AB u u u r ，点A (1，3，1)，则B ( ， ， )；3．已知向量a (0，2， 1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4．设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( )A ．43，8B ．43-，8C ．43-，8D ．43，－8 5．a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若⊥，则x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±6【合作学习】例1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长； (2)求><11,cos CB BA 的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M ．【检测反馈】1.已知(1,0,1),(0,1,1)a b =-=-r r ，求=a r ；=b r ；=a b ⋅r r ；cos a b =r r , ；a b =r r , ；=a b +r r ；-8=a b r r ；2.已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，且a b ⊥r r ，则x ＝ .3．设向量),12,3(),2,6,4(),2,3,1(t -=-=-=，若b n a m c +=，则t ＝______．4．已知A (4，1，3)、B (2，－5，1)，C 为线段AB 上一点，满足AB AC 31=，则点C 的坐标为______．5．若a r ＝123(,,)a a a ，b r ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b r r 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件6．已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+u u u r u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°，则λ的值为（ ） A. 6 B. 6 C. 6 D. 6±7．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，边长为2，点,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，G 、H 分别是11B D 、1BB 的中点，,求 (1)求GE 的长；（2）求cos ,BE DF <>u u u r u u u r 的值 ；(3)求证：1A D GH ⊥．。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案 新人教A版选修2-1
陕西省澄城县高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省澄城县高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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空间向量运算的坐标表示教学目标知识与能力掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．过程与方法1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。
2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。
情感态度价值观激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。
教学重、难点重点：夹角公式、距离公式．难点:夹角公式、距离公式的应用．教学方法启发式教学,归纳课时安排1课时新课讲解1、向量的模：设a＝123(,,)a a a，b＝123(,,)b b b,求这两个向量的模。
｜a|＝222123a a a++，｜b|＝222123b b b++．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2. 夹角公式推导：∵a·b＝｜a|｜b|cos＜a,b＞∴112233a b a b a b++＝222123a a a++·222123b b b++·cos＜a,b＞由此可以得出：cos＜a,b＞＝112233222222123123a b a b a ba a ab b b++++++这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b 反向；当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．3。
高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示(五)学案 新人教A版选修21
高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示（五）学案 新人教A 版选修21学习目标：掌握空间向量坐标运算的规律；掌握空间向量的长度、夹角、中点坐标等公式；会用这些公式解决有关问题。
一、主要知识：1、空间向量的坐标运算：若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则（1）a b += ；（2）a b -= ；（3）a λ= ；（4）a b ⋅= ；（5）//a b ⇔ ；（6）a b ⊥⇔ ；（7）a = ；（8）cos ,a b = 。
2、空间向量的坐标及两点间的距离公式：若()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则（1）AB = ；（2）AB d AB == ；（3）线段AB 的中点坐标为： 。
二、典例分析：〖例1〗：（1）已知(2,3,5)a =-，(3,1,4)b =--，求23a b -，||a ， ()()232a b a b +⋅-，cos ,a b 。
（2）(1,5,1)a =-，(2,3,5)b =-，若()()//3ka b a b +-，则k = ；若()()3ka b a b +⊥-，则k = ；〖例2〗：已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的长度和中点坐标；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件。
〖例3〗：已知在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD 的中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 为1C G 的中点。
（1）求EF 与1C G 所成角的余弦值；（2）求FH 的长。
〖例4〗：在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面ADE 。
三、课后作业：1、已知()()2,1,3,1,2,9a x b y ==-，如果a 与b 共线，则（ ）A 、1,1x y ==B 、11,22x y ==- C 、13,62x y ==- D 、13,62x y =-= 2、已知()()()1,2,11,6,1,4,4,2,3A B C --，则ABC ∆是（ ） A 、锐角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、钝角三角形3、若()()3cos ,3sin ,1,2cos ,2sin ,1A B ααθθ，则AB 的取值范围是（ ）A 、[]0,5B 、[]1,5C 、()1,5D 、()0,54、已知()()1,0,0,0,1,1A B -，OA OB λ+与OB 的夹角为120，则λ的值为（ ）A 、±BC 、D 、5、已知()()()1,2,11,4,2,3,6,1,4A B C --，则ABC ∆的面积为（ ）A 、2 B 、 C 、 D 、 6、已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，则b a -的最小值为（ ）A B C D 、1157、已知()()1,1,0,1,1,1a b ==，若b m n =+，且//m a ，n a ⊥，则m = ，n = 。
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编号5《空间向量运算的坐标表示》导学案
制作人：胡效尊 2017-02 【学习目标】
1、理解空间直角坐标系与空间向量运算的坐标表示；
2、运用类比的思想学习空间向量运算的坐标表示，准确的建立坐标系，用空间向量坐标解决空间几何中的线面关系，通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题；
3、培养学生的观察能力和探索能力,总结一般性方法.提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.
【学习重点】空间向量运算的坐标表示
【学习难点】运用空间向量坐标解决立体几何的线面关系
【预习导航】
1、复习回顾：平面向量运算的坐标表示：
2、如何进行空间向量的坐标运算？【问题探究】
探究活动一：空间向量的直角坐标运算
探究活动二：空间向量的距离与夹角
（1）距离公式：
（2）夹角公式
【思考】如何运用空间向量的坐标运算处理有关问题？
【应用训练】
1、已知
)5,3
2-
=，
（，)4
,1
3-
-
=，
（，求b
a+，-
，，a
8，b
a⋅.
2、 已知
)1,3,3(-A 、)5,0,1(-B ，
求：（1）线段AB 的中点坐标和长度； （2）到A 、B 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标z y x ,,满足的条件.
3、如图，在正方体 1111D C B A ABCD -中，
4
1
11111B A F D E B ==, 求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.
【课堂检测】
1、已知向量 ），（1,32-=，)3,02-=
，（， )2,00，（=， 则
（1） ()a b c ∙+=
__________； （2） (2)(2)a b a b +∙-= __________.
2、 设 ），（1,51-=， )5,32，（-=
， 若)3(//)(k -+，求实数k 的值.
3、在棱长为1的正方体
1111D C B A ABCD -中，E
、
F
分别是
D D 1、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 4
1
=，H 为G C 1的
中点，应用空间向量方法求解下列问题： （1）求证：C B EF 1⊥；
（2）求EF 与G C 1所成的角的余弦值.
【总结概括】 本节课的收获：
【分层作业】 必做题：教材第98页习题 第7，8，9题 选做题：同步练习册课后作业提升习题
C。