2016-2017学年四川省绵阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．如果全集U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，则∁U M=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{5}D．{1，2，5}2．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）3．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．πD．4．下列各组中的函数f（x），g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=x+1，g（x）=C．f（x）=|x|，g（x）=D．f（x）=log22x，g（x）=2log2x5．设函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．B．16 C．D．46．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数B．f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数C．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数7．若函数f（x）=x2﹣a|x|+a2﹣3有且只有一个零点，则实数a=（）A．B．﹣C．2 D．08．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=sin（2x+） B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x9．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．10．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调递增，若f（2）=0，则使f（log x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（，） D．（，4）11．记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[0.5]=0，则方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．2017二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．计算：lg﹣lg25=．14．在△ABC中，已知tanA=，则cos5A=．15．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=．16．雾霾是人体健康的隐形杀手，爱护环境，人人有责．某环保实验室在雾霾天采用清洁剂处理教室空气质量．实验发现，当在教室释放清洁剂的过程中，空气中清洁剂的含剂浓度y（mg/m3）与时间t（h）成正比；释放完毕后，y与t的函数关系为y=（）t﹣a（a为常数），如图，已知当教室的空气中含剂浓度在0.25mg/m3以上时，教室最适合人体活动．根据图中信息，从一次释放清洁剂开始，这间教室有h最适合人体活动．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（10分）已知函数f（x）=，x∈[2，6]．（1）证明f（x）是减函数；（2）若函数g（x）=f（x）+sinα的最大值为0，求α的值．18．（10分）已知函数f（x）=sinx+cos（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x是第二象限角，且f（x﹣）=﹣cos2x，求cosx﹣sinx的值．19．（10分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠DAB=θ（0＜θ＜），L为等腰梯形ABCD的周长．（1）求周长L与θ的函数解析式；（2）试问周长L是否存在最大值？若存在，请求出最大值，并指出此时θ的大小；若不存在，请说明理由．20．（10分）已知函数f（x）=log a，g（x）=log a（x+2a）+log a（4a﹣x），其中a＞0，且a≠1．（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；（2）已知区间D=[2a+1，2a+]满足3a∉D，设函数h（x）=f（x）+g（x），h （x）的定义域为D，若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．如果全集U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，则∁U M=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{5}D．{1，2，5}【考点】补集及其运算．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，∴∁U M={3，4}．故选：B．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：1﹣2x＞0，解得：x＜0，故函数的定义域是（﹣∞，0），故选：D．【点评】本题考查了求二次根式的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．3．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．πD．【考点】弧长公式．【分析】求出扇形的弧长为2R，即可求出该扇形圆心角的弧度数．【解答】解：∵半径是R的扇形，其周长为4R，∴扇形的弧长为2R，∴该扇形圆心角的弧度数为2，故选：B．【点评】本题考查弧度制下，扇形的弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．4．下列各组中的函数f（x），g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=x+1，g（x）=C．f（x）=|x|，g（x）=D．f（x）=log22x，g（x）=2log2x【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（0，+∞），所以定义域不同，所以A不是同一函数．B．f（x）的定义域为R，而g（x）==x+1，（x≠1），则g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），所以定义域不同，所以B不是同一函数．C．因为g（x）=|x|，所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以C表示同一函数．D．f（x））=log22x=x，则f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（0，+∞），所以定义域不同，所以D不是同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．5．设函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．B．16 C．D．4【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）=2﹣2=，从而f（f（2））=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=2﹣2=，f（f（2））=f（）=（）2=．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数B．f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数C．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出幂函数的解析式，从而判断函数的奇偶性和单调性问题．【解答】解：∵幂函数y=xα的图象过点（2，），∴=2α，解得α=，故f（x）=，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．7．若函数f（x）=x2﹣a|x|+a2﹣3有且只有一个零点，则实数a=（）A．B．﹣C．2 D．0【考点】函数零点的判定定理．【分析】先确定函数f（x）是偶函数，再由函数f（x）的零点个数有且只有一个，故只能是f（0）=0，注意检验，从而得到答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣a|x|+a2﹣3，f（﹣x）=（﹣x）2﹣a|﹣x|+a2﹣3=f（x），则f（x）为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，由于f（x）有且只有一个零点，则f（0）=0，即a2﹣3=0，解得a=，当a=时，f（x）=x2﹣|x|，f（x）的零点为0，，不合题意；当a=﹣时，f（x）=x2+|x|，f（x）的零点为0，合题意；故选：B．【点评】本题主要考查函数零点的概念，要注意函数的零点不是点，而是函数f （x）=0时的x的值，属于中档题．8．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=sin（2x+） B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及诱导公式求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin2（x+）=cos2x，故选C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】函数f（x）=的定义域为为：{x|x＞0，且x≠1}，分析出当x∈（0，1）时和当x∈（1，+∞）时函数值的符号，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数f（x）=的定义域为为：{x|x＞0，且x≠1}，当x∈（0，1）时，f（x）=＜0，图象在第四象限，故排除C，D，当x∈（1，+∞）时，f（x）=＞0，图象在第一象限，故排除B，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分类讨论思想，难度中档．10．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调递增，若f（2）=0，则使f（log x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（，） D．（，4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（2）=0，∴不等式f（log x）＜0等价为f（|log x|）＜f（2），即|log x|＜2，则﹣2＜log x＜2，解得＜x＜4，故选：D．【点评】本题主要考查不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．11．记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[0.5]=0，则方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设y=[x]﹣x﹣lnx，则x＞0．当x∈（0，1）时，y=[x]﹣x﹣lnx=﹣x﹣lnx，当x=1时，y=0，当x∈（1，+∞）时，[x]﹣x≤0，lnx＞0，[x]﹣x﹣lnx恒小于0，由此能求出方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数．【解答】解：设y=[x]﹣x﹣lnx，则x＞0．①当x∈（0，1），y=[x]﹣x﹣lnx=﹣x﹣lnx，∵x∈（0，1）时，＜0，∴y=[x]﹣x﹣lnx=﹣x﹣lnx在（0，1）上是减函数，=+∞，当x=1时，y=0，∴方程[x]﹣x=lnx在（0，1]内有1 个实数根．②当x∈（1，+∞）时，[x]﹣x≤0，lnx＞0，∴[x]﹣x﹣lnx恒小于0，∴方程[x]﹣x=lnx在（1，+∞）内无实数根．综上，方程[x]﹣x=lnx的实数根的个数为1个．故选：B．【点评】本题考查方程的实数根的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、导数知识的合理运用．12．已知函数y=sinx+1与y=在[﹣a，a]（a∈Z，且a＞2017）上有m个交点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=（）A．0 B．m C．2m D．2017【考点】正弦函数的图象．【分析】分别画出函数y=sinx+1与函数y=的图象，由图象可知，两个图象共有m个交点，且均关于（1，0）成中心对称，问题得以解决．【解答】解：分别画出函数y=sinx+1与函数y=的图象，由图象可知，两个图象共有m个交点，均关于（1，0）成中心对称，∴（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=m，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别和中心对称的性质，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．计算：lg﹣lg25=﹣2．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则，将式子化简合并，再结合常用对数的性质即可得到原式的值．【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg（4×25）=﹣lg100=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题着重考查了常用对数的定义和对数的运算性质等知识，属于基础题．14．在△ABC中，已知tanA=，则cos5A=．【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据0°＜A＜180°，tanA=，可得A的值，然后代入cos5A计算得答案．【解答】解：在△ABC中，0°＜A＜180°，由tanA=，可得A=60°，则cos5A=cos300°=cos（360°﹣60°）=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．15．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象易知T，由三角函数周期公式可求得ω，再由点（，1）在函数图象上，结合φ范围可求φ，求得函数f（x）的解析式，即可求值得解．【解答】解：∵由函数图象可得：T=﹣，∴T=π，又T=，ω＞0，∴ω=2；∵点（，1）在函数图象上，可得：2•+φ=+2kπ，k∈Z，∴解得：φ=2kπ﹣．k∈Z，∵﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（0）=sin（2×0﹣）=﹣sin=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中求φ是解题的关键，考察数形结合思想，属于中档题．16．雾霾是人体健康的隐形杀手，爱护环境，人人有责．某环保实验室在雾霾天采用清洁剂处理教室空气质量．实验发现，当在教室释放清洁剂的过程中，空气中清洁剂的含剂浓度y（mg/m3）与时间t（h）成正比；释放完毕后，y与t的函数关系为y=（）t﹣a（a为常数），如图，已知当教室的空气中含剂浓度在0.25mg/m3以上时，教室最适合人体活动．根据图中信息，从一次释放清洁剂开始，这间教室有0.575h最适合人体活动．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先观察图象，当0≤t≤0.1时是直线，当t≥0.1时，图象过（0.1，1），据此分别写出各段上的函数解析式，最后利用分段函数的形式写出含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式即可，令y≥0.25代入即可求得所求时间．【解答】解：观察图象，当0≤t≤0.1时是直线，∴y=10t．当t≥0.1时，图象过（0.1，1），∴y=（）t﹣0.1，∴含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为：y=．由10t≥0.25，0≤t≤0.1，可得0.025≤t≤0.1；由（）t﹣0.1≥，解得t≤0.6，又t＞0.1，可得0.1＜t≤0.6，则0.1﹣0.025+0.6﹣0.1=0.575．由题意有0.575小时最适合人体运动．故答案为：0.575h．【点评】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（10分）（2016秋•绵阳期末）已知函数f（x）=，x∈[2，6]．（1）证明f（x）是减函数；（2）若函数g（x）=f（x）+sinα的最大值为0，求α的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）证法一：设2≤x1＜x2≤6，作差判断出f（x1）＞f（x2），进而可得：函数在[2，6]上是减函数．证法二：求导，根据x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，可得：函数在[2，6]上是减函数；（2）由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，故1+sinα=0，进而得到答案．【解答】解：（1）证法一：设2≤x1＜x2≤6，则=，…由2≤x1＜x2≤6，得x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，于是f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），…∴函数在[2，6]上是减函数．…（6分）证法二：∵函数f（x）=，∴f′（x）=，当x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，故函数在[2，6]上是减函数；（2）由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=1．…（8分）于是1+sinα=0，即sinα=﹣1，∴，k∈Z．…（10分）【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的最值及其几何意义，难度中档．18．（10分）（2016秋•绵阳期末）已知函数f（x）=sinx+cos（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x是第二象限角，且f（x﹣）=﹣cos2x，求cosx﹣sinx的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简f（x）即可求出f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）把x﹣代入f（x）化简得，再分类讨论，当sinx+cosx=0和sinx+cosx≠0时，求出cosx﹣sinx的值即可．【解答】解：（1）由=，∴f（x）最小正周期T=2π．由≤≤，k∈Z，得≤x≤，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由已知，有，于是，即．当sinx+cosx=0时，由x是第二象限角，知，k∈Z．此时cosx﹣sinx=．当sinx+cosx≠0时，得．综上所述，或．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的周期及单调性，是中档题．19．（10分）（2016秋•绵阳期末）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠DAB=θ（0＜θ＜），L为等腰梯形ABCD的周长．（1）求周长L与θ的函数解析式；（2）试问周长L是否存在最大值？若存在，请求出最大值，并指出此时θ的大小；若不存在，请说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由于AB是圆O的直径，所以三角形ABD是直角三角形，连BD，过D作DE⊥AB于E，则由射影定理可知AD2=AE•AB，从而可用腰长表示上底长，进而可求梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，根据上底长，可确定函数的定义域；（2）令t=cosθ，由，知t∈（0，1）．利用配方法可知函数函数在（0，）上单调递增，在（，1）单调递减，由此可求周长y的最大值．【解答】解：（1）连接BD，则∠ADB=90°，∴AD=BC=4cosθ．…（2分）作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，得AM=BN=ADcosθ=4cos2θ，∴DC=AB﹣2AM=4﹣8cos2θ．…∴△ABC的周长L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4﹣8cos2θ）=8+8cosθ﹣8cos2θ．…（2）令t=cosθ，由，知t∈（0，1）．则，…（8分）当t=，即，时，L有最大值10．∴当θ=60°时，L存在最大值10．…（10分）【点评】本题以半圆为载体，考查函数模型的构建，关键是腰长表示上底长，同时考查二次函数的最值求法．20．（10分）（2016秋•绵阳期末）已知函数f（x）=log a，g（x）=log a （x+2a）+log a（4a﹣x），其中a＞0，且a≠1．（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；（2）已知区间D=[2a+1，2a+]满足3a∉D，设函数h（x）=f（x）+g（x），h （x）的定义域为D，若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【分析】（1）由，解得：函数f（x）的定义域，再由函数奇偶性的定义，可判断出f（x）为奇函数．（2）若对任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，即为||≤2恒成立，分类求出各种情况下满足条件的a值，综合可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）由，整理得（x+2a）（x﹣2a）＞0，解得x＜﹣2a，或x＞2a，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2a）∪（2a，+∞）．…（2分）又∵=，∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为奇函数．…（2）由已知3a∉[2a+1，2a+]，∴2a+1＞3a，或2a+＜3a，即0＜a＜1，或a＞．…又∵要使g（x）有意义，就须使x+2a＞0，且4a﹣x＞0，即﹣2a＜x＜4a，结合（1）中f（x）的定义域知函数h（x）的自变量x须满足2a＜x＜4a．由题知h（x）在区间[2a+1，2a+]上有意义，∴解得a＞，∴＜a＜1，或a＞．…（6分）∵h（x）=f（x）+g（x）=+log a（x+2a）+log a（4a﹣x）=，∴|h（x）|≤2恒成立，即为||≤2恒成立．因为3a∉[2a+1，2a+]，所以h（x）≠2，即题意转化为对任意x∈[2a+1，2a+]，不等式﹣2≤应恒成立．…（7分）①当时，上式等价于a2＜﹣x2+6ax﹣8a2≤a﹣2应恒成立．由于左端a2＜﹣x2+6ax﹣8a2，即（x﹣3a）2＜0，显然不成立．…（8分）②当时，问题转化为a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2应恒成立．对于右端﹣x2+6ax﹣8a2＜a2，等价于（x﹣3a）2＞0，显然成立．研究左端≤0成立的条件．令，对称轴x=3a，开口向上．由知，故h（x）在区间[2a+1，2a+]上是减函数，∴h（x）max=h（2a+1），∴要使左端成立，只需h（2a+1）＜0成立，即需，也就是需2a3﹣a2﹣1＞0，也就是（a﹣1）（2a2+a+1）＞0，只须a＞1，而已知，故当时，不等式a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2恒成立．综上所述，满足条件的a的取值范围为（，+∞）．…（10分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．。