人教版初三数学上册一元二次方程的根与系数关系
人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-；⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号． 当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b-（a，b为有理数）．+，则必有一根a b【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【变式】（张家界）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0.则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1．举一反三：【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. （绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【思路点拨】 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【答案与解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．举一反三：【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134； （2）3． 4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-． 设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-， 12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。
一元二次方程的根与系数的关系-九年级数学上册(人教版)
归纳和判断的能力.
复习引入
人教版数学九年级上册
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax +bx +c 0 a 0
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 2 4ac 2
x
b 4ac 0
2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
Δ 0 方程有两个不等的实数根；
a
互动新授
人教版数学九年级上册
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
c
b
x1 x2 ，x1 x2 .
a
a
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个
根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的
积等于常数项与二次项系数的比.
如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)
(3)方程化为x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)方程化为2x2-4x+1=0.
−
x1+x2=- =2，x1x2= .
拓展训练
人教版数学九年级上册
1.已知方程 + + + = 的两个实数根x1，x2，且
+ = ,求k的值.
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为
已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能
看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，
得方程
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1.；-3. 2. 1 ； -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
2017年人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数关系
2017年人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数关系知识点梳理：1、一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 _.（1）ac b 42->0⇔一元二次方程有 实数根；（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根；（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程 实数根；（4）≥-ac b 420⇔一元二次方程 实数根；例1：（1）试证明：不论m 为何值，方程0)14(222=----m m x m x 总有两个不相等的实数根。
（2）已知方程2x 2+（k-9）x+(k 2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k 的值,并求出方程的根。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .例2：（1）如果方程20542=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =（2）若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .（3）已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += .（4）已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值：①2221x x + + 21x x ②1221x x x x +（5）已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．①求证方程有两个不相等的实数根．②当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。
练习：一、选择题。
（每题3分）1.一元二次方程2450x x -+=的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数2．一元二次方程()224260m x mx m --+-=有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A. -6B. 1C. 2D. -6或1 3．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞–14 B ．a ≥–14 C ．a ≥–14且a ≠0 D ．a ＞–14且a ≠04．若一元二次方程022=++a x x 有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．4≤aC ．1<aD ．1≥a5.已知m 方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.26．关于x 的方程ax 2﹣3x+2=x 2是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ）A ．a ≠0B ．a ＞0C ．a ≠1D ．a ＞17．若关于x 的方程01)2(2=-+-mx x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠2B ．m=2C ．m ≥2D ．m ≠08．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A ．k=﹣4B ．k=4C ．k ≥﹣4D ．k ≥49．若3k+7＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+3x-2k=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断10.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2-12x+k=0的两个根， 则k 的值是（ ）A ．27B ．36C ．27或36D ．1811．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）12.关于x 的方程0122=---m mx x 的根的情况 （ ）A.没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 不能确定二、填空题。
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=，x 1·x 2=。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2=；x 1·x 2=；2111x x +；x 21+x 22=；(x 1+1)(x 2+1)=；｜x 1－x 2｜=。
3、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m=。
4、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
5、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
6、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。
7、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
8、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则A.m=0且n ≥0B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0D.n=0且m ≤9、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22=+-=--x x x10、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
11、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。
12、(1)方程x 2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足。
13、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a=，另一个根是。
14、以2，－3为根的一元二次方程是22+x －6=0 C.x 2－2－x －6=015、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是2－2+2x －3=0C.3x 2－6x －2+6x －9=016、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是2+2x－2－2x+3=0 C.x22－2x－3=017、以－3，－2为根的一元二次方程为，18、在解方程x2+px+q=0时，小X看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
初三数学一元二次方程根和系数关系解析
初三数学一元二次方程根和系数关系解析一元二次方程是我们初中数学中非常重要的内容，它的根和系数之间存在着一些有趣的关系。
在本文中，我们将对一元二次方程的根和系数之间的关系进行深入分析。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程一般可以写成如下形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别是方程的系数，其中a≠0。
这里的a决定了方程的开口方向，b决定了方程的对称轴位置，c决定了方程与x轴的交点。
二、一元二次方程的根和系数之间的关系1. 判别式一元二次方程的判别式可以用来判断方程的根的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ表示判别式。
①当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
②当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
③当Δ < 0时，方程没有实根，但可能有共轭复根。
2. 根与系数之间的关系通过解一元二次方程，我们可以得到根与系数之间一些有趣的关系。
①根的和与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/a。
我们可以通过求和的方式得到方程中b和a之间的关系。
②根的积与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ * x₂ = c/a。
我们可以通过求积的方式得到方程中c和a之间的关系。
三、例题分析现在，我们通过一个例题来更好地理解一元二次方程的根和系数之间的关系。
例题：已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 的两个根互为相反数，求k 的值。
解析：根据题意可知，设方程的两个根为x₁和-x₁，则有：x₁ + (-x₁) = 4/a，即 -2x₁ = 4/a。
由于根互为相反数，可以把方程改写成2x₁² - 4x₁ + k = 0。
根据根和系数的关系可知：2x₁² - 4x₁ + k = 0 中的系数-4与k之间存在关系 k = 2/a。
综上，根据题意可以得出k = 2/a。
通过这个例题，我们可以清楚地看到根和系数之间的关系以及如何利用根与系数之间的关系解题。
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系一、一元二次方程根与系数的定义•一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b 和c是已知的实数，且a≠0。
•x是未知数，方程中该变量的二次项系数常被称为a，一次项系数常被称为b，常数项常被称为c。
•方程的根（或解）是满足方程的解x，使得当x代入方程中后等式成立。
二、一元二次方程的根与系数的关系•一元二次方程的根与其系数之间存在一定的关系，可以通过方程的系数推导出方程的根的性质。
判别式•一元二次方程的判别式通过系数a、b和c的值计算，其表达式为D=b2−4ac。
•判别式可以确定方程的根的性质：–当判别式D>0时，方程有两个不相等的实数根；–当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根（重根）；– 当判别式 D <0 时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
根与系数的关系• 方程的两个根（或解）分别为 x 1 和 x 2，则有以下关系成立：– 根的和等于一次项系数的相反数的比值：x 1+x 2=−b a – 根的乘积等于常数项与二次项系数的比值：x 1⋅x 2=c a 三、示例题目1. 已知一元二次方程 2x 2−5x −3=0 的两个根为 x 1 和 x 2，根据根与系数的关系，求 x 1+x 2 和 x 1⋅x 2。
根据公式可知，该方程的系数分别为 a =2，b =−5 和 c =−3。
将其代入根与系数的关系公式中：$ x_1 + x_2 = - = - = $$ x_1 x_2 = = = -$所以 x 1+x 2=52，x 1⋅x 2=−32。
四、总结• 一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，可以通过方程的系数计算出方程的根的性质。
• 判别式可以确定方程的根的个数和根的类型。
•根与系数的关系可以通过根的和、根的乘积与方程的系数之间的比值来表示。
五、应用及拓展•一元二次方程的根与系数的关系在解决实际问题中有着广泛的应用，如在物理、经济等领域的模型建立和解析中都会遇到。
初中数学人教版九年级上册一元二次方程的根与系数的关系
4a 2
4a 2
a
已知m为实数,试判断关于x2-(2m-3)x-(m-1)=0 的根的情况.
m取什么值时,关于x的方程 2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根. 说明不论m取何值,关于x的方程 (x-1)(x+2)=m2总有两个不相等的实数根.
设x1,x2是方程3x2-4x=-1的两根,不解方程 求下列各式的值 (1) ∣x1-x2∣ (2)9x13+13x2
(x1 1)(x2 1)
x2 x1 x1 x2
利用根与系数的关系，求 一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和 （3）差
已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0 的两个根，三角形的第三条边长为4,求这 个三角形的周长。
变式训练： 已知三角形的两边长是方程x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两 根之积呢？
（1）x1=x2=1;两根之和x1+x2=2,两根之积x1 ·x2=1
（2）x1 3 2, x2 3 2;两根之和x1 x2 2 3, 两根之积x1 x2 1
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 当b2-4ax≥0时有两个根：
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0 (k为整数) ①只有整数根,且关于y的一元二次方程 (k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实数根y1和y2,试确定k的值.
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、 两根之积 ： （1）x（3x-1）-1=0； （2）（2x+5）（x+1）=x+7
人教版九年级数学上册21.2.4根与系数的关系(教案)
（五）总结回顾（用时5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
今天的学习，我们了解了根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版九年级数学上册21.2.4根与系数的关系（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册21.2.4根与系数的关系：
1.掌握一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系；
2.了解根的判别式Δ=b^2-4ac与方程根的情况之间的关系；
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题；
4.内容包括：根与系数的关系推导、判别式的应用以及相关例题解析。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了根与系数的关系，这节课让我有了几点深刻的体会。首先，我发现学生们在理解根与系数之间的具体关系时，还存在一定的困难。尽管我们在课堂上进行了详细的推导和讲解，但仍有部分学生在实际应用时出现混淆。这说明我在教学中需要更加注重学生的实际接受情况，可能需要在课后增加一些针对性的辅导和练习。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系。
-通过具体例题，讲解和强调根与系数之间的具体关系，如：两根之和等于-b/a，两根之积等于c/a。
-判别式Δ=b^2-4ac的应用。
-讲解判别式与方程根的关系，如：Δ>0表示方程有两个不相等的实数根，Δ=0表示方程有两个相等的实数根，Δ<0表示方程没有实数根。
初中数学人教版九年级上册一元二次方程的根与系数的关系
▪ 练习２、（根与系数的关系的间接应用） ▪ 设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0的根 ▪ 利用 根与系数的 关系，求下列各式的值
(1).x1 1x2 1
▪ (2) 1 1 x1 x2
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0 时，才
能应用根与系数的关系.
作业巩固
▪ 1、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根， 求(x1+1)(x2+1)的值.
1 2
1
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1
•
x2
b a
3 4 3
5 65
3
1 3
2
2
2
a与c 之间 关系
c a
4
6
1 2
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
▪ kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
▪ （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数 根；
▪ （2）若此方程有两个实数根x1，x2,
▪ 且│x1－x2│=2,求k的值.
人教课标九上·§22.3(2)
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
初三人教版数学上册一元二次方程的根与系数的关系重点
初三人教版数学上册一元二次方程的根与系数的关系重点知识点中学数学里的根与系数之间的关系又称韦达定理,指的是如果方程ax平方+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.需要说明的是,必须保证满足：（1）a不等于0（2）判别式大于等于0.韦达定理通常解决一些已知方程求两根的某种运算,如方程x平方+5x-10=0的两个根分别是x1、x2,不解方程求1/x1+1/x2；x1平方+x2平方；x1立方+x2立方等；已知方程两个根的某种关系求方程中的待定系数；解决直线与圆锥曲线的交点问题,弦长问题等，是中学数学中一个非常重要的关系.它的一般结论是一元n次方程中根与系数的关系,大学里才学习.例题解析课后练习1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )A.1B.5C.-5D.62.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )A.4B.-4C.3D.-33.已知方程x2-2x-1=0，则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+24.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m+n的值是( )A.-10B.10C.-6D.25.已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A.x2-11x+30=0B.x2+11x+30=0C.x2+11x-30=0D.x2-11x-30=0答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.A一元二次方程的根与系数的关系重点的全部内容就是这些，更多的精彩内容请点击初三数学知识点栏目了解详情，预祝大家在新学期可以更好的学习。
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4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一 导证明，教师引 体会从特殊
定是 1，它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关 导学生根据求根 到一般的认
系吗？
公式进行探究、 知过程，体
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根 交流，尝试发现 会数学结论
的和、积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 结论
通过归纳， 进一步理解
1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 思 . 并 做 出 笔 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0， 记.
△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
（1）不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方
程的两根；
（2）已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数
16 世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发 引出课题学生初 境，激发学
现吗？
步了解本课所要 生好奇心，
二、探究新知
研究的问题
求知欲
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ 学 生 通 过 去 括 通过思考问 x1 x2=0 与 -( x1 +x2)， q= x1 x2. 号、合并得到一 题，让学生知 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一 般 形 式 的 一 元 道二次项系
三、课堂训练
师生集体订正 握
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系
求下列各式的值：
1 x1
1 x2
， x2 x12
x1x22
， x12 x22 ，
x1 x2 2 ，
x2 x1 x1 x2
四、小结归纳
本节课应掌握：
学生归纳，总结 阐述，体会，反
庙镇中学 王洪军
教学时间
教学媒体
教 知识 技能
学 过程
目 方法
课 22.2.4 一元二次方程的根与系数关 课 新
题
系
型授
多媒体
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
标 情 感 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性， 态 度 激励学生勇于探索的精神.
教 学 重 点 一元二次方程的根与系数关系
教 学 难 点 对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意 图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 教师出示问题， 创设问题情
则 b=
,c= .
先观察，尝试选
(2)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一 用 合 适 方 法 解
个根是 ,k 的值是 .
题，之后交流，
(3)若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相 比较解法
反数，则 p= ; 若两个根互为倒数，则 q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可
的值；
（3）由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
（4）判断两个根的符号；
（5）不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设计
必做：P43：7
选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个
根是、 ，求 的值.
教 学 反思
韦达定理及 其应用
加强教学反 思，帮助学 生养成系统 整理知识的 学习习惯， 加深认识， 深化提高， 形成学生自 己的知识体 系.
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似 巩固上诉知识 继续研究做
的关系吗？
教师出示探究问 铺垫
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所 题，学生通过特
不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验 殊例子入手，再 让学生通过
上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 通过一般形式推 探究问题，
次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 二次方程，教师 数为 1 的一
2.跟踪练习
适时点拨，分析 元二次方程
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
总结得到结论. 的根与系数 学生独自完成 关系，为后面
谨性和数学 结论的确定 性.
方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m
时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，
进一步加强
确定方程各项系数的符号，（6）中还需考虑 m 的值还得 学生独立完成， 对所学知识
受根的判别式的限制.
教师巡回检查， 的理解和掌
A.4x2+21x+5=0
B.6x2-13x-5=0
C.7x2-12x+5=0
D.2x2+15x-8=0
（5）.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0
B.-3x2+5x-4=0
C.0.5x2-4x-3=0
D.2x2+3 5 x- 6 =0
（6）.若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时
求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数
通过学生亲
时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项
自解题的感
系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利 学生尝试归纳， 受与经验，感
用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. 师生总结
受数学的严
（4）两个根均为负数的一元二次方程是( )
学生独立解决， 加深对韦达
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
并交流
3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
定理的理解， 培养学生的 应用意识和
6.拓展练习
能力
（1）已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，
的确定性
的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的
根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项
系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数
的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的
关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化
为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习