第一章因式分解( 2)
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
第一章因式分解
因式分解（1）目标：1、理解因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
一、看谁算得快：1、若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________；2、若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________；3、若x=-3,则20x 2+60x=____________。
观察以上结果，请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)， 找出它们的特点。
(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 因式分解： 也叫分解因式。
(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？二、、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a 2-b 2=========（a+b ）（a-b ）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
三、轻松练习1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ； (4)4x 2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a 2+6a=3a （a+2）； (6)x 2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x ； (7)k 2+21k +2=（k+k1）2；2、解方程：（1）012=-x （2）x 2–5x = 03、4、6、14的最大公因数是 。
4、分解因式（1）42-x （2） 5x x +2当堂达标一、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。
梧州高中初高中数学衔接校本教材
目录第一章因式分解 (2)§1．1因式分解 (2)阅读材料 (7)第二章一元二次方程 (10)§2．1一元二次方程的根的判别式 (10)§2．2根与系数的关系（韦达定理） (14)§2．3一元二次方程的解法 (18)§2．4二元二次方程组解法 (21)第三章二次函数 (24)§3.1二次函数的图象和性质 (24)§3．2二次函数的三种表示方式 (27)§3．3一元二次不等式的解法 (31)§3．4二次函数图像和性质的应用 (36)§3．5图像的平移和对称变换 (40)§3．6二次函数的实际应用 (46)第四章相似形、三角形 (49)§4．1相似形 (49)§4．2三角形 (53)第一章因式分解§1．1因式分解1．因式分解与整式乘法的联系与区别联系：因式分解和整式乘法都是恒等变型．区别：因式分解是整式乘法的逆变形．例如：()ma mb mc m a b c ++=++一个多项式n 个整式的积．一个多项式n 个整式的积．2．因式分解的基本方法(1)提取公因式法——如果多项式的各项有公因式，可把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．【例1】将下列各式因式分解:2(1)5x x +2(2)abx axy -2(3)()2()a b a b ---23(4)(2)(2)x y y x -+-【解】2(1)5(5)x x x x +=+．2(2)()abx axy ax bx y -=-．2(3)()2()()(2)a b a b a b a b ---=---．(4)解法1:23232(2)(2)(2)(2)(2)(12)x y y x x y x y x y x y -+-=---=--+．解法2:23232(4)(2)(2)(2)(2)(2)(12)x y y x y x y x y x y x -+-=-+-=-+-．(2)分组分解法——当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．因式分解乘法【例2】将下列各式因式分解:32(1)1x x x +++22222222(2)a x b y a y b x +++222(3)(1)()xy z z x y +++【解】323222(1)1=()1(1)1(1)(1).x x x x x x x x x x x ++++++=+++=++22222222222222222222222222(2)()()()()()().a xb y a y b x a x a y b y b x a x y b y x x y a b +++=+++=+++=++222222(3)(1)()()()()().xy z z x y xy xyz zx zy x y zx zy xz y y zx x zy +++=+++=+++=++被分解的多项式中，如果项数超过三项，进行因式分解时通常采用分组分解法．一般来说，分组分解法有两种类型：第一种是形如()()()()a b c a b d a b c d +++=++类型,分组后各组有公因式，可以进一步提取公因式进行分解；第二种是形如()ac bc da bd a b c +++=+()()()a b d a b c d ++=++类型，将多项式适当分组后经过局部分解，化成可以整体分解的结构，最终可以整体进行分解．不难看出，运用分组分解法分解因式时，关键是分组，如何分组是这种方法运用当中的难点．分组的方式一般是多样的，其中首先要考虑能够局部分解，将多项式化成可以整体分解的结构．(3)运用公式法——如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式（证明方法可参考本章P7-8页阅读材料）：③立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+；④立方差公式：2233()()a b a ab b a b -++=-；⑤三数和平方公式：2()a b c ++2222()a b c ab bc ac =+++++；⑥两数和立方公式：3()a b +322333a a b ab b =+++；⑦两数差立方公式：3()a b -322333a a b ab b =-+-．【例3】用公式法将下列各式因式分解:2(1)33x -2(2)21x x -+3(3)8m -3(4)27x +2(5)()69a b ab +++【解】22(1)333(1)3(1)(1).x x x x -=-=+-22(2)21(1).x x x -+=-3332(3)82(2)(42).m m m m m -=-=-++3332(4)273(3)(39).x x x x x +=+=+++2222(5)()69()233(3).a b ab a b ab a b +++=++⨯+=++【注意】①运用公式法进行因式分解的依据是乘法公式的逆变形．②运用公式法进行因式分解的关键是要弄清各个公式的形式结构和特点，熟练地掌握公式．（4）十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．①2()x p q x pq +++型：我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5．一般地，由多项式乘法，()()()2x p x q x p q x pq ++=+++，反过来，就得到()()()2x p q x pq x p x q +++=++这就是说，对于二次三项式2()x p q x pq +++，它的特点是二次项系数是1，如果能够把常数项pq 分解成两个因数p 、q 的积，并且p q +等于一次项的系数，那么它就可以分解因式，即()()()2x p q x pq x p x q +++=++．可以用交叉线来表示：【例4】把下列二次三项式分解因式：十字相乘，乘积相加1×p +1×q =p q+2(1)32x x ++2(2)76x x -+2(3)215x x +-（4）2421x x --【解】(1)：常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1，2即可．所以232(2)(1).x x x x ++=++:(2)：因为6=(-1)×(-6)，且(-1)+(-6)=-7，所以276x x -+[(1)][(6)](1)(6).x x x x =+-+-=--11+p+q(3)：因为-15=(-3)×5，且(-3)+5=2，所以2215(3)(5).x x x x +-=-+(4)：因为-21=(-7)×3，且(-7)+3=-4，所以2421(7)(3).x x x x --=-+从本例(1)～(4)可以看出，对2()x p q x pq +++分解因式:如果常数项pq 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p q +的符号相同．如果常数项pq 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p q +的符号相同．对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数．②212122112()a a x a c a c x c c +++型：我们知道()()223531110x x x x ++=++．反过来就得到:()()231110235x x x x ++=++．想一想231110x x ++怎样因式分解的？有什么规律？【总结规律】二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的，当我们把1,3，2,5写成：1235后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11．由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解？我们知道，()()()2211221212211212122112 a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++,反过来，就得到()()()2121221121122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．对于二次三项式2ax bx c ++，若二次项系数a 及常数项c 都分解为两个因数的乘积，其中12a a a =，12c c c =，且使得1221a c a c b +=，则有21122()().ax bx c a x c a x c ++=++其中各项的系数可以用十字相乘的方式来求得:12a a 1a 2a 1c 2c 12c c 常数项2x 项的系数a c a c +必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．【例5】把2372x x -+因式分解．【解】这里3a =可以分解成1×3，(-1)×(-3)；2c =可以分解成1×2，(-1)×(-2)，就1×3而言,写成交叉相乘的各种可能的形式是:11121-11(-2)32313-23(-1)1×2+3×1=51×1+3×2=71×(-2)+3×(-1)=-51×(-1)+3×(-2)=-7(1)(2)(3)(4)只有(4)合适，所以2372(2)(31).x x x x -+=--【例6】将下列各式因式分解：2(1)833x x --+2613(2)155x x --42(3)41312x x --22(4)568x ax a +-【解】22(1)833(833)(3)(11).x x x x x x --+=-+-=--+2261311(2)1(6135)(25)(31).5555x x x x x x --=--=-+【分析】（１）当二次项系数为负数时，二次项系数分解成的两个因数号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即22833(833)x x x x --+=-+-，再把2833x x +-按图1-1用十字相乘法分解因式．（２）当二次项系数为分数时，可先把分数的分母同分作为公因式提到括号外面，即2261311(6135)555x x x x --=--，再把26135x x --按图1-2用十字相乘法分解因式．特别注意：多项式只是一个代数式，并不是等式，遇到二次项、一次项的系数或常数项为分数时，不能随意去分母，而只能把分母通分作为公因式提出，将多项式的各项系数化为整数来分解．１１１１－３图1-1２３１－５图1-2（3）先将2x 视成一个整体，通过十字相乘法得到解决．(4)可将二次项系数和常数项进行适当的因式分解，再通过十字相乘法得到解决．图1-3x ·（-4a ）+5x ·2a =6axx 5x -4a2a42222(3)41312(43)(4)(43)(2)(2).x x x x x x x --=+-=++-22(4)568(2)(54).x ax a x a x a +-=+-3．因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；（2）如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；（3）对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；（4）对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行．阅读材料我们知道222()2a b a ab b +=++，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于3222()()()(2)()a b a b a b a ab b a b +=++=+++32222322a a b a b ab ab b =+++++322333a a b ab b =+++，因此得到和的立方公式：3()a b +322333a a b ab b =+++．将公式中的b 全部换成b -，又得到差的立方公式：3()a b -322333a a b ab b =-+-．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为3()a b ±322333a a b ab b =±+±．由和的立方公式可得：32233()33a b a b ab a b +--=+，即333()3()a b ab a b a b +-+=+，即233()[()3]a b a b ab a b ++-=+，由此可得立方和公式：2233()[]a b a ab b a b +-+=+．将立方和公式中的b 全部换成b -，又得到立方差公式：2233()[]a b a ab b a b -++=-．我们知道222()2a b a ab b +=++，将公式左边的因式变为2()a b c ++时，又有什么结论呢？由于2()()()a b c a b c a b c ++=++++222a ab ac ba b bc ca cb c =++++++++222222a b c ab bc ac =+++++．由此得到三数和平方公式：2()a b c ++2222()a b c ab bc ac =+++++．习题1．11．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）A．总是正数B．总是负数C．可以是零D．可以是正数也可以是负数2．若多项式227x x m ++分解因式的结果中有因式3x +，则此多项式分解因式的结果中另一因式是（）A．21x -B．21x +C．1x +D．1x -3．若13a a +=，则234234111a a a a a a +++++=（）A．7B．25C．47D．724．221111()9423a b b a -=+（）．5．若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是．6．22204314(4)(5)x xy y x m x n -+=++，则m =_____，m =____．7．如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为．8．选用恰当的方法分解下列因式：2(1)4ax a-432(2)441x x x -+-2(3)()4()3a b a b +-++42(4)1572x x --21(5)()1x a x a -++22(6)32x xy y -+212(7)33x x ---2(8)()ax a b x b ---9．将下列各式因式分解：66(1)x y -2(2)380x x --22(3)714105a ab b --212(4)193a a ++2222(5)219614a x ax xy ay -+-22(6)(35)(31)3x x x x +++++10．已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．11．求证：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++=61x -．第二章一元二次方程§2．1一元二次方程的根的判别式我们知道，对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠用配方法可化为2224()24b b ac x a a -+=①0a ≠ ，240a ∴>．式子24b ac -的值有以下三种情况：（1）当240b ac ->时，方程①的右端22404b ac a ->，由①式得24,22b b ac x a a -+=±因此，原方程有两个不相等的实数根1,2x =242b b ac a-±-；（2）当240b ac -=时，方程①的右端为零，由①式得2()02b x a +=，因此，原方程有两个等的实数根1x =2x =－2b a ；（3）当240b ac -<时，方程①的右端22404b ac a -<，而方程①的左边2()02b x a+≥，x 取任何值都不能使得2()02b x a+<，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况可以由24b ac -来判定，我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，归纳起来有（1）当0∆>时，方程有两个不相等的实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=；（2）当0∆=时，方程有两个相等的实数根，1x =2x =－2b a ；（3）当0∆<时，方程没有实数根．【例1】判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）2330x x -+=；（2）210x ax --=；（3）2(1)0x ax a -+-=；（4）220x x a -+=．【解】（1）∵2341330∆=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式2241(1)40a a ∆=-⨯⨯-=+>，所以方程一定有两个不等的实数根2142a a x ++=，2242a a x -+=．（3）由于该方程的根的判别式为22241(1)44(2)a a a a a ∆=-⨯⨯-=-+=-，所以：①当a =2时，0∆=，所以方程有两个相等的实数根1x =21x =；②当2a ≠时，0∆>，所以方程有两个不相等的实数根11x =，21x a =-．（4）由于该方程的根的判别式为2241444(1)a a a ∆=-⨯⨯=-=--，所以：①当0∆>，即4(1)0a -->，即10a -<，即1a <时，方程有两个不相等的实数根111x a =+-，211x a =--；②当0∆=，即4(1)0a --=，即1a =时，方程有两个相等的实数根1x =21x =；③当0∆<，即4(1)0a --<，即10a ->，即1a >时，方程没有实数根．【说明】在本例第（3），（4）小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．【例2】已知关于x 的方程2(2)(21)k x k k x -+=-有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【分析】将方程化成一般形式，二次项系数20k -≠．因为一元二次方程有两个不等实根，所以0∆>．【解】方程2(2)(21)k x k k x -+=-可化为2(2)(21)0k x k x k ---+=．因为方程有两个不等实根，所以220[(21)]4(2)410.k k k k k -≠⎧⎨∆=----=+>⎩解得14k >-且2k ≠．所以k 的取值范围是14k >-且2k ≠．【例3】若方程2210x x m ++-=无实数根，试判断方程2121x mx m ++=是否有实数根．【解】∵方程2210x x m ++-=无实数根，∴224(1)40m m ∆=--=<，解得0m <．方程2121x mx m ++=可化为方程21210x mx m ++-=，其判别式224(121)484m m m m ∆=-⨯-=-+，0m < ，∴20m >，480m ->，∴24840m m ∆=-+>，∴方程2121x mx m ++=有两个不相等的实根．【解题规律总结】判别式的应用分为两类情况，其一是判别根的存在性，解法是写出判别式，或者是利用配方法将判别式变形；其二是已知根的情况确定待定系数的取值，通常是由条件写出一不等式．习题2．11．方程222330x kx k -+=的根的情况是（）A ．有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．若关于x 的一元二次方程0122=+-x kx 有实数根，则k 的取值范围是（）A．1<k B．1≤k C．1<k 且0≠k D．1≤k 且0≠k 3．在下列方程中，没有实数根的方程是（）A ．012=-+x x B ．022=++x x C ．02222=+-x x D ．0322=--k x x （k 为任意实数）4．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，那么方程2()04c cx a b x +++=的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有两个异号实数根5．若关于x 的方程2(21)0mx m x m +++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．m ＜14B ．m ＞－14C ．m ＜14，且m ≠0D ．m ＞－14，且m ≠06．若关于x 的方程047)12(22=-+-+k x k x 有两个相等的实数根，则k =7．已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程20kx ax b ++=有两个不相等的实数根？8．证明:关于x 的方程2(2)1mx m x -+=-必有实数根．9．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？§2．2根与系数的关系（韦达定理）根据求根公式可知，当240b ac ->时,一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根为2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=由此可得：2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a-+-----+=+==-；2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a a a-+------=⋅===．所以，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根1x ，2x 与系数a ，b ，c 有如下关系：1x +2x b a =-，12x x c a=．这个一元二次方程的根与系数的关系也叫做韦达定理．反过来，如果1x ，2x 满足1x +2x b a =-，12x x c a=，那么1x ，2x 一定是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，这就是韦达定理的逆定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程20x px q ++=，若1x ,2x 是其两根，由韦达定理可知，1x +2x p =-，12x x q =，即12()p x x =-+，q ＝12x x ．所以，方程20x px q ++=可化为2x －(1x +2x )x ＋120x x ⋅=．由于1x ，2x 是一元二次方程20x px q ++=的两根，所以，1x ,2x 也是一元二次方程21212()0x x x x x x -++=的两根．因此有以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0．【例1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．【解法1】∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．∴方程就为25760x x --=，解得1x =2，2x =－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．【解法2】设方程的另一个根为2x ，则由韦达定理有：22263255725x x k k x ⎧=-⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+=-⎩⎪⎩，所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．【例2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【分析】我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．【解法1】设这两个数分别是x ，y ，则412x y xy +=⎧⎨=-⎩解得：112,6,x y =-⎧⎨=⎩，226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．【解法2】由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得1x ＝－2，2x ＝6．所以，这两个数是－2和6．【例3】求一个一元二次方程，使它的两根为5-，23．【分析】方程的根是由它的系数决定的，给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程，但得到的一元二次方程不唯一，不过它们各次项的系数对应成比例．为了方便，以两个数1x ,2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）一般设为2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0．【解】设所求的方程为20x px q ++=，由根与系数的关系可知：2213105,5,.3333p q p q -+=--⨯=⇒==-因此，所求的一元二次方程为21310033x x +-=，即2313100x x +-=．【例4】若关于x 的一元二次方程240x x a -+-=的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设1x ，2x 是方程的两根，则1240x x a ⋅=-<，①且2(1)4(4)0a ∆=--->．②由①得4a <，由②得174a <．∴a 的取值范围是4a <．【注意】今后的解题过程中，除了考虑用韦达定理解题，还要考虑到根的判别式∆是否大于或大于零，因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例5】若1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根，分别求下列各式的值：（1）31x 32x +；（2）221211x x +；（3）|1x －2x |．【解】∵1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）332212121122()()x x x x x x x x +=+-+2121212()[()3]x x x x x x =++-2553215()[()3()]2228=---⨯-=-．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）∵222212*********()4x x x x x x x x x x -=+-=+-253()4()22=--⨯-494=，∴|1x -2x |494=72=．【说明】一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设1x 和2x 分别是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，由韦达定理有：12b x x a +=-，12c x x a=，则有：2222121212121212()2()4x x x x x x x x x x x x -=-=+-=+-2224()4.b c b ac a a a a -∆=--== 于是有下面的结论：若1x 和2x 分别是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，则|1x -2x |＝||a ∆（其中∆＝b 2－4ac ）．习题２．２1．已知关于x 的方程220x kx +-=的一个根是1，则它的另一个根是（）A ．－3B ．3C ．－2D ．22．关于x 的一元二次方程2250ax x a a -++=的一个根是0，则a 的值是（）A ．0B ．1C ．－1D ．0，或－13．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程22870x x -+=的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）A．3B．3C．6D．94．若1x ，2x 是方程22410x x -+=的两个根，则1221x x x x +的值为（）A．6B．4C．3D．325．以－3和1为根的一元二次方程是．6．m 为何值时，方程()()21230x m x m -++-=有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．8．关于x 的方程240x x m ++=的两根为1x ，2x 满足21x x -＝2，求实数m 的值．9．已知关于x 的方程220x kx --=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为1x 和2x ，如果12122()x x x x +>，求实数k 的取值范围．10．设1x ，2x 是方程07322=--x x 的两个根，求下列各式的值：（1）2221x x +（2）)3)(3(21--x x （3）2111x x +（4）3312x x +（5）21x x -11．当m 取什么实数时，方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0分别有:①两个正根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1．§2．3一元二次方程的解法解一元二次方程常用如下三种方法：1．因式分解法：20()()0x Ax B x C x D ++=⇒++=，则1x C =-，2=D x -．2．配方法：2220()24A A x Ax B x B ++=⇒+=-，则214=2A B A x --，2242A B A x --=-．3．公式法：20(0)ax bx c a ++=≠，求根公式：21,242b b ac x a -±-=．【例1】解方程（1）1832=-x x ；（2）22)12(12+=+-x x x ．【解】（1）【法1】（因式分解法）：原方程可化为01832=--x x ，将方程左边因式分解，得0)3)(6(=+-x x ，即06=-x 或03=+x ，解得61=x ，32-=x ．【法2】（公式法）：原方程可化为01832=--x x ．∵1=a ，3-=b ，18-=c ，81)18(14)3(422>=-⨯⨯--=-ac b ∴2931281)3(242±=⨯±--=-±-=a ac b b x 解得61=x ，32-=x （2）【法1】（因式分解）：原方程可化为1441222++=+-x x x x ，整理，得022=+x x ，即0)2(=+x x ，解得01=x ，22-=x ．【法2】（开平方法）：原方程可化为：22)12()1(+=-x x ，开平方，得121+=-x x 或)12(1+-=-x x ，解得01=x ，22-=x ．【解题规律总结】因式分解法与公式法是我们解一元二次方程最常用的方法，因式分解就是把方程化成一元二次方程一般形式后，左边分解成两个一次因式乘积；公式法是万能法，配方法是开平方法的基础，开平方法适用于形如)0(2≥=p p x 的方程．【例2】若05624=+-x x ，求x 的值．【解】设2x =t ，则原式等价于：2650t t -+=，即(5)(1)0t t --=，解得15t =，21t =．∴25x =或21x =，∴5x =±或1x =±．【解题规律总结】换元法是把含一个字母或几个字母的式子用一个新的字母来表示，只要巧用换元，由多元变一元，高次化低次，便可化难为易，达到化繁为简的目的．误区警示【例3】解方程)12(3)12(2-=-x x x ．【错解】方程两边同除以12-x ，得x x 312=-，方程的解是1-=x ．【错因】方程两边只能除以一个不等于0的数，所得方程才与原方程同解，显然12-x 可为0，造成失根．【正解】原方程可化为0)12(3)12(2=---x x x ，提公因式得：(21)(213)0x x x ---=，即(21)(1)0x x ---=，即(21)(1)0x x -+=，解方程得211=x ，12-=x ．习题2．31．解一元二次方程0122=--x x ，结果正确的是（）A．3,421=-=x x B．3,421-==x x C．3,421-=-=x x D．3,421==x x2．若a 是方程0142=++x x 的一个解，那么5822-+a a 的值为（）A．-3B．-7C．5D．73．已知方程23260x x +-=，以它的两根的负倒数为根的新方程应是（）A．6x 2－2x ＋1＝0B．6x 2＋2x ＋3＝0C．6x 2＋2x ＋1＝0D．6x 2＋2x －3＝04．方程04)12(2=--x 的根是．5．若代数式562+-x x 的值为12，则=x ．6．已知3||=m ，那么关于x 的方程02)2()3(2=++--x m x m 的解是．7．方程04)1(5)1(222=+---x x 的解为．8．解下列方程：（1）425)1(2=-x （2）0223422=-+x x （3）)8(8)8(-=-x x x （4）03)310(=++x x (5)(5)(5)7x x +-=(6)06)1(5)1(2=+---x x x x 9．设a ，b ，c 都是实数，且满足条件0|8|4422=++++++-c c b a a a ，02=++c bx ax ，求代数式12++x x 的值．10．若06)1)((2222=+--+v u v u ，求22v u +的值11．已知01322=--x x ，求37223+-+x x x 的值．§2．4二元二次方程组解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ，2xy ，2y 叫做这个方程的二次项；x ，y 叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．【例1】解方程组224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②，得21y x =-，③把③代入①，得224(21)3(21)10,x x x x --++--=展开得224(441)6310,x x x x x --+++--=整理，得2152380x x -+-=，即2152380x x -+=，即(32)(54)0x x --=．解得1815x =，21x =．把1815x =代入③，得1115y =；把21x =代入③，得21y =．所以原方程组的解是118,15115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221,1.x y =⎧⎨=⎩说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．①②【例2】解方程组222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解：由②得(2)(3)0x y x y --=，即(2)(3)0x y x y --=，解得2x y =或3x y =．将2x y =代入①式，得22(2)20,y y +=即2520,y =解得2y =±，将2y =±代入2x y =解得114,2x y =⎧⎨=⎩，224,2.x y =-⎧⎨=-⎩将3x y =代入②式，得22(3)20,y y +=即21020,y =解得2y =±．④将2y =±代入3x y =解得3332,2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4432,2.x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所以原方程的解是114,2x y =⎧⎨=⎩，224,2,x y =-⎧⎨=-⎩3332,2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4432,2.x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩【例3】解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解法一：由①，得7.x y =-③把③代入②，整理，得27120y y -+=解这个方程，得123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =．所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，223,4.x y =⎧⎨=⎩解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．①②①②这个方程组的,x y 是一元二次方程27120z z --=的两个根，解这个方程，得3z =，或4z =．所以原方程组的解是114,3;x y =⎧⎨=⎩223,4.x y =⎧⎨=⎩习题2．41．解下列方程组:（1）225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩（2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩（3）221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩（5）22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩第三章二次函数§3.1二次函数的图象和性质在初中，我们已经学习了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其图像是一条抛物，其图像性质如下表所示：0a >0a <开口方向开口向上开口向下图像xy Ox ＝－2b aA 24(,)24b ac b a a--xyOx ＝－2baA 24(,)24b ac b a a--对称轴2b x a=-2b x a=-顶点24(,)24b ac b a a --24(,)24b ac b a a--最值当x =2b a -时，y 取最小值y =244ac b a -．当x =2b a -时，y 取最大值y =244ac b a -．增减性当x <2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x >2b a -时，y 随着x 的增大而增大．当x <2ba -时，y 随着x 的增大而增大；当x >2ba-时，y 随着x 的增大而减小．上述二次函数的性质可以分别通过上表直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．【例1】求二次函数2361y x x =--+图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．【解】∵223613(1)4y x x x =--+=-++，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线1x =-，顶点坐标为(－1，4)；当1x =-时，函数y 取最大值4y =；当1x <-时，y 随着x 的增大而增大；当1x >-时，y 随着x 的增大而减小；令23610x x --+=，解得2333x -=±．用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 233(,0)3-和C 233(,0)3+-，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图3.1－1所示）．【规律总结】从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．函数2(0)y ax bx c a =++≠图象作图要领：①确定开口方向：由二次项系数a 决定．②确定对称轴：对称轴方程为abx 2-=③确定图象与x 轴的交点情况，可由方程20ax bx c ++=求出二次函数与x 轴有无交点．④确定图象与y 轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）⑤由以上各要素出草图．习题3.11.下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）A．22y x = B.2242y x x =-+ C.221y x =- D.224y x x=-2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则下列结论正确的是()xO yx ＝－1A (－1,4)D (0,1)BC 图3.1－1A．0,0,0a b c ><>B．0,0,0a b c <>>C．0,0,0a b c <><D．0,0,0a b c >>>3．填空（1）二次函数22y x mx n =-+图象的顶点坐标为(1，－2)，则m =，n =．（2）已知二次函数2(2)2y x m x m =+--，当m =时，函数图象的顶点在y 轴上；当m =时，函数图象的顶点在x 轴上；当m =时，函数图象经过原点．（3）函数23(2)5y x =-++的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x =时，函数取最值y =；4.说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点(1)2(2)1y x =+-；(2)2(2)2y x =--+，(3)2()y a x h k=++5.作出以下二次函数的草图：（1）62--=x x y (2)122++=x x y (3)12+-=x y§3．2二次函数的三种表示方式我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；2．顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中顶点坐标是(h ，k )，其中2b h a =-，244ac b k a-=．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交点个数．当抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交时，其函数值为零，于是有：20(0)ax bx c a ++=≠①，该方程即为一元二次方程．一元二次方程方程①的解就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式24b ac ∆=-有关，由此可知，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点个数与根的判别式24b ac ∆=-存在下列关系：（1）当0∆>时，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，则0∆>也成立．（2）当0∆=时，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点，则0∆=也成立．（3）当0∆<时，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点；反过来，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点，则0∆<也成立．于是，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点A (1x ，0)，B (2x ，0)，则1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，所以1x +2x b a =-，12x x ca=，即12()b x x a =-+，12cx x a=．所以，2y ax bx c =++=a (2b cx x a a++)=a 21212[()]x x x x x x -++=a 12()()x x x x --．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点，则其函数关系式可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，其中1x ，2x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．【例1】根据下列条件，求二次函数的解析式．(1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点；(2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)．【解】(1)设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．得：c ＝1a ＋b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝－1，解之得：a ＝－2b ＝3c ＝1，∴函数的解析式为2231y x x =-++．(2)设二次函数的解析式为2()(0)y a x h k a =-+≠，其顶点的坐标是(h ，k )，∵顶点的坐标是(－2,3)，∴2(2)3y a x =++．又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3．∴a ＝2，∴22(2)3y x =++，∴22811y x x =++．即函数的解析式为22811y x x =++．(3)设二次函数的解析式为12()()(0)y a x x x x a =--≠，因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)，设(2)(4)y a x x =+-，则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12．∴所求的函数解析式为1(2)(4)2y x x =+-，即2142y x x =--．【例2】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线1y x =+上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．【分析】在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线1y x =+上，所以，21x =+，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝34-．∴二次函数解析式为23(1)24y x =--+，即2335424y x x =-++．【说明】在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【例3】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【分析1】由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解法1】∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为(3)(1)y a x x =+-，展开，得：223y ax ax a =+-，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．【分析2】由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又。
因式分解ppt(共22张PPT)
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解2提公因式法课件
15.(2023湖北黄石中考,11,★☆☆)因式分解:x(y-1)+4(1-y)= (y-1)(x-4) .
解析 x(y-1)+4(1-y)=x(y-1)-4(y-1) =(y-1)(x-4).
16.(2024山东青岛莱西期中,12,★☆☆)计算:1022-102×98= 408 .
解析 原式=102×(102-98)=102×4=408.
4.(2023山东烟台蓬莱期中)下列因式分解正确的是 ( A ) A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1) B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C.3(y-x)2+2(x+y)=(y-x)(3y-3x+2) D.3x(x+y)-(x+y)2=(x&(1)原式=-3x2y(1-4z+3xy). (2)原式=5a2b(a-b)3-15ab2(a-b)2 =5ab(a-b)2[a(a-b)-3b] =5ab(a-b)2(a2-ab-3b). (3)原式=(x-y)(a+b+c). (4)原式=(a-3)2+2(a-3) =(a-3)(a-3+2) =(a-3)(a-1).
5
× 24.7
1.3
6
3 5
= 4 ×(-30)=-24.
5
(2)原式=2 023×(2 023+1)-2 0242
=2 023×2 024-2 0242=2 024×(2 023-2 024)
=-2 024.
8.把下列各式分解因式: (1)-3x2y+12x2yz-9x3y2; (2)5a2b(a-b)3-15ab2(b-a)2; (3)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y); (4)(a-3)2+2a-6.
八年级下册数学导学案全册
八年级（下）数学导学案目录第一章因式分解1.1多项式的因式分解 4 1.2.1提公因式法因式分解（一） 6 1.2.2提公因式法因式分解（二）8 1.3.1公式法因式分解（一）10 1.3.2公式法因式分解（二）12 1.3.3十字相乘法因式分解14 1.4 小结与复习16 第一章单元测试卷18第二章分式2.1 分式和它的基本性质（一） 20 2.1 分式和它的基本性质（二） 22 2.2.1分式的乘法与除法 24 2.2.2 分式的乘方 26 2.3.1 同底数幂的除法 28 2.3.2 零次幂和负整数指数幂 30 2.3.3 整数指数幂的运算法则 32 2.4.1 同分母的分式加、减法 34 2.4.2异分母的分式加、减（一） 36 2.4.3异分母的分式加、减（二） 38 2.5.1 分式方程（一） 40 2.5.2 分式方程（二） 42 2.5.2分式方程的应用（一） 44 2.5.2分式方程的应用（二） 46 《分式》单元复习（一） 48 《分式》单元复习（二） 50 分式达标检测52第三章四边形3.1.1平行四边形的性质（一）56 3.1.1平行四边形的性质（二）58 3．1．2 中心对称图形（续）60 3．1．3 平行四边形的判定（一）62 3．1．3 平行四边形的判定（二）64 3．1．4 三角形的中位线66 3．2．1 菱形的性质68 3．2．2 菱形的判定703．3矩形（一）72 3．3矩形（二）74 3．4 正方形76 3．5 梯形（一）78 3．5 梯形（二）80 3．6 多边形的内角和与外角和（一）82 3．6多边形的内角和与外角和（二）84 第三章总复习单元测试（一）86 第三章总复习单元测试（二）90第四章二次根式4.1.1 二次根式94 4.1.2 二次根式的化简（一）96 4.1.2 二次根式的化简（二）98 4.2.1 二次根式的乘法100 4.2.2 二次根式的除法102 4.3.1 二次根式的加、减法104 4.3.2 二次根式的混合运算106 二次根式的复习课108 第四章二次根式测试卷110第五章概率的概念5.1概率的概念112 5.2概率的含义 114 第五章概率单元测试1161.1多项式的因式分解学习目标：1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系．2．感受因式分解在解决相关问题中的作用．3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。
鲁教版(五四制)八上数学第一章 1.2《因式分解提公因式法》教案
第一章因式分解2.提公因式法课型：新授课主备人：审核人：一、教学目标：1．知识与技能：把一个多项式化成几个整式的积的形式，•这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2．过程与方法：分解因式的结果只能是几个整式的乘积形式，而且要分解到不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式．3．情感态度与价值观:运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，•公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幂的乘积．•公因式可以是单项式也可以是多项式．二、教学重、难点：重点：用提公因式法分解因式。
难点：确定多项式中的公因式。
三、教学方法：任务型教学与小组合作相结合四、教学工具：电子白板五、教学过程创设情境，导入新课1 如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？这个问题实际上就是求(am+bm+cm)÷(a+b+c)=______为了解决这个问题请你先思考：2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？提问：把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式？这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法合作交流，探究新知1 公因式的概念（1）式子：am,bm,cm,是由哪些因式组成的？指出：其中m是他们的公共的因式，叫公因式（2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？(5)2 提公因式法把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解有什么特点？用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。
3 应用举例例1把因式分解强调：（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？（2）某一项全部提出后，还有因数“1”例2把因式分解。
强调：（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。
（2）首项为负时，最好提出负号。
例3把因式分解强调：公因式确定的方法：（1）系数：取各系数的最大公约数。
八年级上册 数与代数章节
（三）教学目标
知识与技能目标 过程与方法目标 情感态度与价值观目标
知识与技能目标
（1） 了解分式的概念，明确分式与整式的 区别。
（2） 熟练掌握分式的基本性质，会化简分 式。
（3） 会进行分式的约分、通分和加、减、 乘、除四则运算。
（4） 了解分式方程的概念，会解可化为一 元一次方程的分式方程。
（五）突破重难点
•1、把握好教材——前提
因数分解 •类比
因式分解
因式分解的意义
•对比 整式乘法 因式分解
因式分解的方法
2、找准知识的生长点——条件
3、采用合适的教学方法——关键
• 启发式教学 问题的提出
探究法和讨论法 问题的解决
例：多项式 x2 25和9x2 y 2
它们有什么共同特征？ 能否将它们分别写成两个因式的乘积？
（六）教学建议
• 1、密切分式与现实生活的联系，突出分式、 分式方程的模型思想。
4、精心设计练习——保障
（1）弄错分式乘除混合运算的顺序
例：计算： x2 4 x 2 • x 2
x2 4x 4 x 2 x 2
• 错解：
原式 x2 4 1 x2 4x 4
x
2x x 22
2
• 正解：
原式
x 2x 2 x 2 x 2
方程与方程组（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ28）
• （1）能根据具体问题中的数量关系列 出方程，体会方程是刻画现实世界数 量关系的有效模型。
结果目标
• 了解分式和最简分式的概念；
• 能利用分式的基本性质进行约分和通 分；
• 能进行简单的分式加、减、乘、除运 算。
• 能根据具体问题中的数量关系列出方 程。
初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第一章 因式分解2 提公因式法-章节测试习题(8)
章节测试题1.【答题】把因式分解，结果是______．【答案】【分析】【解答】2.【答题】把因式分解，结果是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】【解答】3.【题文】例1把因式分解．【答案】见解答【分析】提取公因式，进而分解因式即可．【解答】．4.【题文】例2把因式分解．【答案】见解答【分析】直接利用提公因式法进行因式分解得出答案．【解答】5.【题文】例3已知，满足，，求的值．【答案】见解答【分析】先把的左边因式分解，再代入，进而可得到答案．【解答】∵，∴．又∵，∴，∴．6.【题文】例4已知矩形的面积为．（1）分解因式；（2）请你画出矩形，用图形解释和分解后式子的意义．【答案】见解答【分析】（1）本题中提公因式，得，后面正好含有，再提一次公因式．（2）根据题意画出边长分别为，的矩形，再根据长方形的面积公式解释和分解后式子的意义．【解答】（1）原式．（2）如图所示．式子可看作边长分别为，的一个大矩形的面积．式子可看作边长分别为，；1，；1，的三个矩形和边长为1的正方形的面积和．7.【答题】将因式分解，应提的公因式是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】8.【答题】将因式分解，下面是四位同学分解的结果，其中正确的是（）①；②；③；④．A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【分析】【解答】9.【答题】如果，满足，，那么的值是（）A. -28B. -11C. 28D. 11【答案】A【分析】【解答】10.【答题】计算的结果是（）A. B. -1 C. -2 D.【答案】D【分析】11.【答题】将多项式因式分解，结果是，则的值是（）A. 0B. 4C. 3或-3D. 1【答案】C【分析】【解答】12.【答题】16和24的最大公因数为______；，和的最大公因数为______．【答案】8，【分析】【解答】13.【答题】把多项式因式分解，结果为______．【答案】【分析】【解答】14.【答题】填“+”或“-”，使等式成立（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【分析】【解答】15.【答题】已知一个长方形的长和宽分别为，.如果它的周长为10，面积为5，那么代数式的值为______．【答案】25【分析】【解答】16.【题文】把下列各式因式分解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）．【答案】解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．【分析】【解答】17.【题文】已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】解：（1）．∵，∴，∴原式．（2）．∵，，∴原式．【分析】【解答】18.【题文】计算：（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）．（2）．（3）．【分析】【解答】19.【题文】能被5整除吗？为什么？【答案】解：能被5整除．理由如下：∵，∴原式能被5整除．【分析】【解答】20.【题文】已知可分解因式为，其中，均为整数，求．【答案】解：，则，．故．【分析】【解答】。
2022秋八年级数学上册第一章因式分解1.2提公因式法第2课时变形后提公因式分解因式课件鲁教版五四制
1.2 提公因式法 第2课时 变形后提公因式分解因式
提示：点击 进入习题
1D 2B 3A 4 (x－2)(x－1)
5C 6B 7A 8B
答案显示
提示：点击 进入习题
9 见习题 10 见习题
答案显示
1．多项式4a2b(a－b)－6ab2(b－a)中，各项的公因式是
(D) A．4ab
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)n.(n为正整数)
解：原式＝(1＋x)n＋1.
整合方法 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月12日星期六2022/3/122022/3/122022/3/12
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/122022/3/122022/3/123/12/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/122022/3/12March 12, 2022
B．2ab
C．ab(a－b) D．2ab(a－b)
2．观察下列各组式子： ①2a＋b和a＋b; ②5m(a－b)和－a＋b； ③3(a＋b)和－a－b; ④x2－y2和x2＋y2. 其中有公因式的是( B ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④
Байду номын сангаас
3．(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的 公因式是( A ) A．x＋y－z B．x－y＋z C．y＋z－x D．不存在
根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
因式分解全章教案和练习题
因式分解全章教案和练习题第一章：因式分解的基本概念教学目标：1. 理解因式分解的含义和意义。
2. 掌握因式分解的基本方法和步骤。
教学内容：1. 因式分解的定义和作用。
2. 提公因式法：找出多项式的公因式，并进行提取。
3. 分解因式：将多项式分解为两个或多个因式的乘积。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解因式分解的基本概念和方法。
2. 利用例题进行讲解和示范，让学生跟随老师一起进行因式分解。
教学步骤：1. 导入新课，介绍因式分解的概念和意义。
2. 讲解提公因式法，让学生理解并掌握提取公因式的步骤。
3. 讲解分解因式的方法，让学生理解并掌握分解因式的步骤。
4. 进行课堂练习，让学生运用所学知识进行因式分解。
教学评价：1. 课堂练习的完成情况。
2. 学生对因式分解的基本概念和方法的理解程度。
第二章：提公因式法教学目标：1. 掌握提公因式法的基本步骤。
2. 能够运用提公因式法进行因式分解。
教学内容：1. 提公因式法的步骤：找出多项式的公因式，进行提取。
2. 提公因式法的应用：对多项式进行因式分解。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解提公因式法的步骤和应用。
2. 利用例题进行讲解和示范，让学生跟随老师一起进行提公因式法。
教学步骤：1. 回顾上一章的内容，复习因式分解的基本概念。
2. 讲解提公因式法的步骤，让学生理解并掌握提取公因式的步骤。
3. 讲解提公因式法的应用，让学生理解并掌握如何运用提公因式法进行因式分解。
4. 进行课堂练习，让学生运用所学知识进行提公因式法。
教学评价：1. 课堂练习的完成情况。
2. 学生对提公因式法的基本步骤和应用的理解程度。
第三章：十字相乘法教学目标：1. 掌握十字相乘法的基本步骤。
2. 能够运用十字相乘法进行因式分解。
教学内容：1. 十字相乘法的步骤：找出多项式的两个因式的乘积，进行相乘。
2. 十字相乘法的应用：对多项式进行因式分解。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解十字相乘法的步骤和应用。
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：12提公因式法(2)(共14张PPT)
系统总结
1.如何确定多项式各项的公因式？
定系数：多项式各项系数的最大公因数. （当系数是整数时） 定字母：多项式各项中都含有的相同的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中字母的最 低次幂。
2.提公因式法分解因式的步骤？ （1）找公因式（2）提公因式
3.提公因式法中应注意什么？
（1）公因式要提尽。（2）小心漏项。 （3）当多项式的第一项为负数时，则公因式 符号取负号，注意括号内的各项都要变号.
提出“-”，使括号内的第一项的系数成为正数， 在提出“-”时，多项式的各项都要变号.
知识应用：把下列各式因式分解。 (1)-6ab3-2a2b2+4a3b (2)- 3x3 12x2 21x
例4 把下列各式因式分解： (1) a(x y) b( y x) (2)6(m-n)2-12(n-m)2
你发现什么规律？与同伴进行交流。
括号前面添上正号，括到括号里面的各项符号都不变， 括号前面添上负号，括到括号里面的各项符号都改变。
当n是正整数时，（a-b)2n=(b-a)2n;
(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1
例题引领
例3 把-4m2+12m2-6m因式分解：
温馨提示： 当多项式的第一项的系数是负数时，通常先
合作探究
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”、“-”， 使等式成立：
(1)2-a=___-__(a-2) (3)b+a=__+___(a+b) (5)-m-n=__-___(m+n)
(2)y-x=___-__(x-y)
(4)(b-a)2=__+___(a-b)2 (6)-s2+t2=___- ___(s2-t2)
因式分解
因式分解（一）(二)（一）（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。
它的理论依据就是乘法的分配律。
运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。
[知识要点]1．了解因式分解的意义和要求2．理解公因式的概念3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）1.(x+1)(x-2)=x2-x-22.ax-ay-a=a(x-y)-a3.6x2y3=2x2·3y34.x2-4=(x+2)(x-2)5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)A、0个B、1个C、2个D、3个分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。
解：B例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。
此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b=-(3a2b3-6a3b2c-3a2b)=-3a2b(b2-2abc-1)评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。
1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。
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2015-2016学年第一学期13级数学学科教案
课题第一章因式分解（2）备课时间8.31 主备人王伟莹签字
课型复习课上课时间授课人序号
教学
目标复习巩固本章知识点，使学生会运用基础知识，解决实际问题，提高综合解题能复习巩固本章知识点，使学生会运用基础知识，解决实际问题，提高综合解题能力教学
重点
教学
复习巩固本章知识点，使学生会运用基础知识，解决实际问题，提高综合解题能力难点
教学过程、教学内容、师生活动、教法学法
一、复习检测
课本P17 2、4、15
二、学习新课
1．已知x2＋2x＋y2＋6y＋10＝0，求xy的值．
2．已知：a＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9的值.
分析：以上两个例题不能直接运用公式法进行因式分解，需先构造，再求值。
难点在于如何构造出完全平方公式里的首项和尾项。
3.已知△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断△ABC形状.
解：△ABC是等边三角形．∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,
∴（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0,
∴a=b=c．∴△ABC是等边三角形．
分析：此题考察了学生数形结合思想，能通过代数式解决几何问题。
难点在于如何通过已知条件构造出完全平方公式，然后得出三边的关系。
3. 如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 （a ＋b ）2－4ab ＝（a －b ）2 ；
分析：外框围成的大正方形面积为（a ＋b ）2，4个矩形的面积之和
为4ab ，中间的空白部分的面积为（a －b ）2.于是，可以列出等式（a ＋b ）
2－4ab ＝（a －b ）2
.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明： （a ＋b ）2－4ab ＝a 2＋2ab ＋b 2－4ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2.
分析:此题主要考察学生能在几何图形中抽象出代数恒等式。
4. 观察下列各式：（x －1）(x+1)=x 2－1
(x －1)(x 2+x+1)=x 3－1
（x －1）(x 3+x 2+x+1)=x 4－1
……
（1）分解因式：=-15x
（2）根据规律可得(x －1)(x n-1+……+x +1)= （其中n 为正整数）
（3）计算：)133333)(13(2484950++++++-
分析:此题考察学生分析代数式的能力并利用所得结论解决问题。
三．课堂小结：谈谈自己的收获，说说还有什么疑问。
四．当堂检测：
板书设计
第一章因式分解（2）
教后小记
a b a
b b a b a。