【K12教育学习资料】高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课堂导学案新人教B版选
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题b11b高二11数学
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3．命题“△ABC 是等腰三角形，则它的任意两个内角不相 等”中的条件是________，结论是________，它是________ 命题(填“真”或“假”)． 答案：△ABC 是等腰三角形 △ABC 的任意两个内角不相 等假
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判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、 感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能 否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
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判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)求证 π 是无理数； (2)若 x∈R，则 x2＋4x＋5≥0； (3)一个数的算术平方根一定是负数； (4)你是高三学生吗？
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【解】 (1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它 是真的，因此它是命题． (2)“集合{a，b，c}有 3 个子集”是陈述句，并且它是假的， 所以它是命题． (3)“这盆花长得太好了！”是感叹句，它不是命题．
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内容(nèiróng)总结
第一章 常用(chánɡ yònɡ)逻辑用语
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4．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有 ________．(填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边． 解析：①是疑问句，不是命题； ②是假命题，因为 0 既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况． 答案：②③ ②③
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词bb高一第一册数学
词．( )
(4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )
(5)“四边形的内角和是 360°”是全称量词命题．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
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核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试 第十四页，共四十六页。
课后课时精练
答案
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1) 命 题 “ 有 些 长 方 形 是 正 方 形 ” 含 有 的 量 词 是 ________ ， 该 量 词 是 ________量词(填“全称”或“存在”)． (2)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量 词”)． (3)若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则 a 的取值范围是________．
称为□01 全称量词 ，用符号“ □02 ∀ ”表示．
(2)全称量词命题就是形如“对集合 M 中的所有元素 x，r(x)”的命题，
可简记为∀x∈M，r(x)．
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核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试 第十页，共四十六页。
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知识点三 存在量词和存在量词命题 (1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部
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核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
第二十七页，共四十六页。
课后课时精练
答案
金版点睛
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合 M
中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能
举出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出 一个反例”)．
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词b11b高二11数学
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对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的 实际意义进行判断．如“正方形都是矩形”省去了全称量 词“所有”，要结合具体问题做出正确的判断．
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1．下列命题中是全称命题的是( ) A．圆有内接四边形 B. 3> 2 C. 3≤ 2 D．若一个三角形的三边边长分别为 3，4，5，则这个三角 形为直角三角形 答案：A
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2．下列命题为存在性命题的是( ) A．偶函数的图象关于 y 轴对称 B．四棱柱都有六个面 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于它本身的平方 答案：D
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3．下列命题是全称命题且是假命题的是( ) A．奇函数的图象关于原点对称 B．有些平行四边形是正方形 C．∀x∈R，2x＋1 是奇数 D．至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数 答案：C
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本例条件变为：“存在实数 x，使不等式 sin x＋cos x>m 有解”，求实数 m 的取值范围． 解：令 y＝sin x＋cos x，x∈R， 因为 y＝sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4∈[－ 2， 2]． 又因为∃x∈R， sin x＋cos x>m 有解， 所以只要 m< 2即可， 所以所求 m 的取值范围是(－∞， 2)．
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(4)因为当 x∈R 时，cos x∈[－1，1]，而π2＞1， 所以不存在 x∈R，使 cos x＝π2， 所以原命题是假命题．
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高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教B版选修2_1
命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0. [思路探究] 真命题的判断一般需要经过严格的推理论证，而 假命题的判断只需举出一个反例即可．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是 菱形．
(1)②③⑤ (2)②③ [(1)①不是命题，因为它不是陈述句； ②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根； ③是命题，是假命题，例如－ 2＋ 2＝0,0不是无理数； ④不是命题，因为它不是陈述句； ⑤是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．
(2)①疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作 出判断，不是命题．
3·(－ 3)都是有理数，但 3，－ 3都是无理数，所以该陈述语句
为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取 值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命 题．⑧是命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，对于x∈R，不等式 恒成立，所以该陈述语句为真，是命题．故填②④⑤⑥⑧.]
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命 题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真 命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假 命题．
当堂达标 固双基
合作探究 提素养
命题的概念
【例1】 (1)下列语句： ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ②一个数的算术平方根一定是非负数； ③x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ④请完成第九题； ⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行． 其中是命题的是________(填序号)．
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词(第1课时)b11b高二11数学
【思路探究】 (1)题(1)中的命题为假命题，那么与之等价的 真命题是什么？(2)题(2)中由p，q的真假如何求参数m的取值范 围？
(1)【解析】存在 x∈R，使 2x2－3ax＋9＜0 为假命题，则对 任意 x∈R,2x2－3ax＋9≥0 恒成立．有 Δ＝9a2－72≤0.解得－2 2 ≤a≤2 2.
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能成立与恒成立问题的解法 (1)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上能成立，则 f(x)min≤m；若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上能成立，则 f(x)max≥m. (2)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则 f(x)max≤m；若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则 f(x)min≥m. (3)存在性命题是真命题，可以转化为能成立问题解决，全称 命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决．
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若命题“∃x∈R，有x2－mx－m＜0”是假命题，则实数m的 取值范围是________．
【解析】 “∃x∈R，有x2－mx－m＜0”是假命题，则“∀ x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴－ 4≤m≤0.
【答案】 [－4,0]
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知识(zhī 梳 shi) 理
知识点一、全称量词(liàngcí)与全称命题
【问题导思】 命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？你 还能举出几个含有这样量词的命题吗？ 【答案】 使用了量词“任意”，能，如“任意的正方形都是 平行四边形”，“对任意的 x∈R，x2－2x＋2＞0 恒成立”等．
【答案】 (1)∀ (2)∃
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高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词教学1bb高一第一册数学
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集合呢？
x 比如：任意给定实数 x , x 2
存在有理数 ，x 使得
0就是命题了，是真命题.
3 2就是0 命题了，是真命题.
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定义形成：
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体， 称为全称量词，用符号“ ”表示，含 有全称量词的命题，称为全称量词 命题.因此，全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素 ， ”
f题en)，.因称此为，存存在在量量词词，命用题符就号是 “形如”“表存示在，集含合有M存中在的量元词素x的命s，( 题x ，) ”称的为命存题在，量可词简命
记为
xM,s(x)
x 那记么为问题中的“存在有理数 xx ， 使Q得, 3 x32 20”0是一个存在量词命题，可简
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（6） Z Q;
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变式练习1：
判断下列命题的真假：
（1） 2 2 2是有理数；
假 （2） 11；2
假
（3）奇数的平方仍是奇数； 真 （4）两个集合的交集还是一个集合； 真
（5）每一个素数都是奇数； 真 （6）方程 2x2 1 有0实数根；
假
（7）sin 45
2；
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知识应用：
例1：下列命题中， (1)(3)(4)(是6)真命题，
( 2 ) ( 5是) 假命题；
（1） 102 10；0
（2）所有无理数都大于零；
（3）平面(píngmiàn)内垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词课件 新人教B版选修2-1
(2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有 解问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识 获得解决.
【拓展延伸】全称命题、存在性命题不同表述形式的
应用
命题
表 述 方 法
全称命题“∀x∈M,p(x)”
①所有的x∈M,有p(x)成立 ②对一切x∈M,有p(x)成立 ③对每一个x∈M,有p(x)成立 ④任选一个x∈M,有p(x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立
存在性命题“∃x∈M,p(x)”
①存在x∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使p(x)成立 ③对有些x∈M,使p(x)成立 ④对某个x∈M,使p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立
x= +kπ(k∈Z);选项C,x3>0⇒x>0;选项D,2x>0⇒x∈
4
R.故选项C是假命题.
2.(1)因为a·b=|a||b|·cos<a,b>>0,所以cos<a,b>
>0.又0≤<a,b>≤π,所以0≤<a,b><
2
，即a,b的夹角
为零或锐角.故它是假命题.
(2)因为x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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2.下列命题中全称命题的个数是 ( )
①任意一个自然数都是正整数;②有的等差数列也是等
比数列;③三角形的内角和是180°.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.命题①含有全称量词,命题②含有存在量 词,为存在性命题,而命题③可以叙述为“每一个三角形 的内角和都是180°”,故有两个全称命题.
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词课件2新人教B版选修21
思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有 什么关系?
(1) x 3 ;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的 x R, x 3;
(4)对任意一个 x Z,2x+1是整数.
短语“对所有的”“对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词,
是真命题，需要对集合M中每一个元素x,证明p(x) 成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 不成立，那么这个全称命题就是假命题.
解:（1）2是素数，但2不是奇数， 所以全称命题 “所有的素数都是奇数”是假命题；
（2）x R, 总有 x2 0, x2 1 1 .
所以全称命题“x R, x2 1 1 ”是真命题； （3） 2 是无理数，但( 2 )2 2是有理数，
并用符号 “ ”表示.含有全称
量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词还有:
“所有的”,“任意一个”,“一 切”,“每一个”,“任给”, “凡”等.
例如： 1）对任意nnZ, 2n 1是奇数。 2） 所 有 的 正 方 形 都 是 矩 形 。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
1.4全称量词与存在量词
知识回顾
逻辑联结词：“且”、“或”、“非” 简单命题：
不含逻辑联结词的命题.
常用小写拉丁字母 p，q，r，s，…表示.
复合命题: 由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
构成形式：p且q； p或q；非p .
分别记作：p∧q ； p∨q ； ¬p .
注意：简单命题与复合命题区别：是否有逻辑联结词．
含有存在量词的命题叫做特称命题 （或存在命题）
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词(第1课时)b21b高二21数学
当堂 训练 (dānɡ tánɡ)
1．下列全称命题中真命题的个数为( )C ①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(xiāngděng)；
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
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当堂 训练 (dānɡ tánɡ)
No 读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.。方程x2+x+8=0无解(wú jiě)。——只需在集合M中找到一个元素
x0，证明p(x0)成立。(1)有一个实数x0，使x02+2x0+3=0
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知识(zhī shi)探究二：存在性命题的真假
下列命题是存在性命(xìngmìng)题吗？是真命题还是假命题？ 真命题
(mìng tí)
假命题
方程x2+x+8=0无解
——只需在集合M中找到一个元素x0，证明p(x0)成立
——证明集合M中所有元素x，使得p(x)不成立
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典例分析(fēnxī)
存在(cúnzài)性命题符号记
法：
通常(tōngcháng)，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示， 变量x的取值范围用M表示，那么，
命题“存在M中的一个x0，有p(x0)成立 ” 可用符号(fúhào)简记为：
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.
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可用符号简记为：
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
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知识探究一：全称(quán chēnɡ)命题的真假
人教高中数学必修一 第一章 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词同步测试(解析版)
第一章1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词基础过关练1．已知下列语句：①一束美丽的花；②x＞3；③2是一个偶数；④若x=2，则x²-5x+6=0．其中是命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．下列语句中不是命题的是( )A．3≥6B．二次函数的图像不一定关于y轴对称C．x＞0D．对任意x∈R，总有x²＞03．给出命题“方程x² +ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的n的一个值可以是( ) A．4 B．2 C．1 D．-34．如果命题“若m<3，则q”为真命题，那么该命题的结论q可以是( )A.m<2B.m<4C.m＞2D.m＞45．给出下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy=0，则|x|+|y|=0；③若a ＞b，则ac²＞bc²；④矩形的对角线互相垂直，其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．46．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x² -4≤0；③今天天气真好啊；④若A∪B=A ∩B，则A=B．其中真命题的序号为____________________。
7．下列命题不是“∃x∈R，x²⁰＞3”的表述的是( )A．有一个x∈R，使x²ᴼ＞3B．对有些x∈R，使x²ᴼ＞3C．任选一个x∈R，使x²ᴼ＞3D．至少有一个x∈R，使x²ᴼ＞38．下列说法中正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∨x∈R，x²+2<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x²+4x+4≤0”是存在量词命题．A．0 B．1 C．2 D．39．下列命题中是全称量词命题的是_____________（填序号）．①三角形两边之和大于第三边；②所有的x∈R，x³+1＞0；③有些相似三角形也全等；④平行四边形对角相等．10.命题“有些负数满足不等式（1+x）(1-9x）＞0”用“∃”或“∈”可表述为_____________. 11．下列语句是真命题的是( )A．所有的实数x都能使x² -3x+6＞0成立B．存在一个实数x，使不等式x²-3x+6<0成立C．存在一条直线与两条相交且不重合的直线都平行D．存在实数x，使x²<0成立12．若a、b∈R，且a²+b²≠0，则有下列命题：①a、b全为0；②a、b不全为0；③a、b 全不为0；④a、b至少有一个不为0．其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．313．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )A ．对任意的a ，b∈R ，都有a²+b²-2a -2b+2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x∈R ，以x x =2D ．一次函数的图像是一条直线14．有下列四个命题：①∈x∈R ，2x²-3x+4＞0；②∈x∈{1，-1，0}，2x+1＞0；③∃x∈N ，使x²≤x ；④∃x∈N*，使x 为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．已知命题p ：∈x ＞3，x ＞m 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m≤3B ．m≥3C ．m<3D ．m ＞316．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．(1) ∈x∈R ，x²+2x+1＞0；(2)∃x∈R ，｜x ｜≤0；(3)∈x∈{3，5，7}，3x+1是偶数；(4)∃x∈Q ，x²=3．能力提升练一、单选题 1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x²≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使x1＞2 2．“若2x -8<0，则p”为真命题，那么p 可以是( )A ．x<4B ．2<x<4C ．x<-2D ．x ＞83．下列命题中是假命题的是 ( )A ．∈x∈R ，x²+2＞0B ．∃x∈Z ，x³<1C ．∈x∈N ，x⁴≥1D ．∃x∈R ，x² -3x+2=0二、多选题4．如果命题“若m ＞5，则q”为真命题，那么q 可以是( )A.m ＞0B.m<8C.m ＞2D.m ＞6E.m<65．下列命题中是假命题的是( )A ．形如6b a +的数是无理数B ．一个数不是正数就是负数C ．在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边D ．若x+y 为有理数，则x ，y 都是有理数E ．能被2整除的数一定能被4整除三、填空题6．下列命题中，是全称量词命题的是______；是存在量词命题的是_____．（填序号） ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．7．已知下列四个命题：(1)∃x∈Z ，x²=3； (2)∃X∈R ，x²=3；(3)∈x∈R ，x²+x+1＞0； (4) ∈x∈R ，x²+x+1<0.其中真命题有____________个．8．下列存在量词命题中是真命题的序号是________。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词(第2课时)b21b高二21数学
变式训练(xùnliàn)
解：(1)①∃x∈R，y∈R,2x＋3y＋2<0.真命题； ②∃x∈{三角形}，x不是等腰三角形，真命题； ③∃x∈R，x2－3x＋6<0.假命题. (2)①对任意实数(shìshù)x，都有x2≥0； ②存在角α∈R，使sin α＝cos α成立；
第十二页，共二十页。
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典例导航(dǎoháng)
解：
题号
符号表示
(1)
∀x∈R，x2≥0
(2)
∀x∈Z，x≥1
(3)
∃x<0，有ax2＋2x＋1＝0(a<1)
(4)
∃x∈R，有2x＋1>0
(5)
若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α
真假判断 真 假
真
真 真
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变式训练(xùnliàn)
2.(1)用“量词(liàngcí)”表述下列命题，并判断真假： ①存在实数对(x，y)，使2x＋3y＋2<0成立； ②有些三角形不是等腰三角形； ③至少有一个实数使不等式x2－3x＋6<0成立. (2)用文字语言表述下列命题： ①∀x∈R，x2≥0；②∃α∈R，sinα＝cosα.
第一章 常用(chánɡ yònɡ)逻辑用语 1.1.2 量词(liàngcí)
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启动(qǐdòng)思维
你能判断下列(xiàliè)语句是否为命题吗？
若是命题，请判断真假．
(1)2x－1是整数； (2)x2＋2x－3>0； (3)存在x∈R，使x2＋2x－3>0； (4)对任意x∈R，x2＋2x＋3>0. 对于(3)，(4)中的词语“存在”、“任意”你理解了吗？
高一上数学必修一第一章《命题与量词》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.2.1 命题与量词【学习目标】1、了解命题的概念2、能判断一些简单命题的真假。
3、理解全称量词与存在量词的概念。
4、学会判断全称量词命题与存在量词命题的方法。
【学习重点】1、能判断一些简单命题的真假。
2、学会判断全称量词命题与存在量词命题的方法。
【学习难点】1、掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定。
2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
一、命题我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题.数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达.例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为“9=3”.值得注意的是，一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.【尝试与发现】 为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记 p: A （A ∪B ），Z Q.则可知p 是一个真命题.二、量词在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如：（1）任意给定实数x ，x ≥0；（2）存在有理数x ，使得3x 一2=0；（3）每一个有理数都能写成分数的形式；（4）所有的自然数都大于或等于零；（5）实数范围内，至少有一个x 使得意义；（6）方程x²=2在实数范围内有两个解；（7）每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.不难看出，命题（1）（3）（4）（7）陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，命题（2）（5）（6）陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质.一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，称为全称量词命题.因此，全称量词命题就是形如“对集合M 中的所有元素x ，r(x)”的命题，可简记为例如，“任意给定实数x ，x ≥0”是一个全称量词命题，可简记为∀x ∈R ，x²≥0.“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示。
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1.1.2 量词
课堂导学
三点剖析
一、用符号语言表示含量词的命题
【例1】 指出下列命题中的全称命题，并用符号“∀”表示：
(1)对任意实数x ，x 2+3x+9>0；
(2)对每一个整数x ，x >0；
（3）所有奇数都不能被3整除。
解：均为全称命题
（1）x∈R ,x 2+3x+9>0；
(2)x∈Z ,x >0；
(3)x∈{奇数}，x 不能被3整除.
温馨提示
本题主要考查符号语言的使用.
二、判断全称命题与存在性命题的真假
【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题？并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;
(3)∀x∈{x|x 是无理数},x 2是无理数; (4)x∈{x|x∈Z },log 2x ＞0.
解：(1)全称命题,真命题.
(2)存在性命题,真命题.
(3)全称命题,假命题,例如x=3,但x 2=3是有理数.
(4)存在性命题,真命题.
温馨提示
利用全称命题和存在性命题的定义来判断.
三、利用全称命题、存在性命题求，参数范围
【例3】函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.
(1)求f(0)的值；
（2）当f(x)+2<log a x,x∈［0，2
1）恒成立时，求a 的取值范围. 解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,
令x=1，y=0，得f(1)-f(0)=2,
又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.
(2)由（1）知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x.因为x∈(0,21),所以f(x)+2∈(0,43).要使x∈(0,2
1)时，f(x)+2<log a x 恒成立，显然当a>1时不可能，所
以⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<.4321log ,10a a 解得4
44
≤a<1. 各个击破
类题演练 1
指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是命题，并分别用符号“∀”“∃”表示.
（1）存在实数a,b,使|a-1|+|b-1|=0；
(2)对于实数a∈R ,a 0=1；
（3）有些实数x,使得|x+1|<1.
解：命题（1）(3)是存在性命题，命题（2）是全称命题，用“”“”表示分别为：
（1）a,b∈R ,使|a-1|+|b-1|=0.
(2)a∈R ,a 0=1.
(3)x∈R ,使|x+1|＜1.
变式提升 1
用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题.
（1）不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解.
(2)若a,b 是偶数，则a+b 也是偶数.
解：（1）x∈R .
使|x-1|+|x-2|＜3.
(2)a,b∈R 且a,b 为偶数,使a+b 为偶数.
类题演练 2
试判断以下命题的真假：
（1）∀x∈N ，x 4≥1；
(2)∃x∈Z ,x 3<1；
(3)∀x∈R ,x 2-3x+2=0；
(4)∃x∈R ,x 2+1=0.
解析：（1）由于0∈N ,当x=0时，x 4≥1不成立,所以此命题是假命题.
(2)由于-1∈Z ,当x=-1时，能使x 3＜1,
∴命题x∈Z ，x 3＜1是真命题.
（3）假命题.因为只有x=2或x=1时满足.
（4）假命题.
∵不存在一个实数x,使x 2+1=0成立.
变式提升 2
判断下列全称命题的真假.
（1）有一个内角为直角的菱形是矩形；
（2）对任意a,b∈R ,若a>b,则a 1<b
1; (3)对任意m∈Z 且为偶数，则2m+2
)1(1m
--为偶数.
解：（1）是真命题.有一个内角为直角的平行四边形是矩形，而菱形都是平行四边形，于有一个角是直角的菱形是矩形.
（2）是假命题.
如5＞-3,而51＞3
1-. （3）是真命题.
∵m∈Z 且为偶数,
∴（-1）m =1， ∴2m+2
)1(1m
--=2m ，为偶数. 类题演练 3
已知命题p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实数根.命题q:方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实数根.
若“p 或q”为真命题,“p 且q”为假命题.求m 的取值范围.
答案：m≥3或1＜m≤2.
变式提升 3
若(2x+3)4=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2
的值是( )
A.1
B.-1
C.0
D.2 答案：A。