高中数学_向量法搞定立体几何论文(陈晓娟)
高中数学-向量法搞定立体几何论文
向量法搞定立体几何一、基础知识111222222111121212121212(,,),(,,),(1)(2)(0)cos a x y z b x y z x y z a b a b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z λθ⇒==⊥⇒⋅⇒++=⋅==++1.设：或（=）(3)一般情况：2..法向量的求法法向量指的是垂直于面的向量。
在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。
求法向量的步骤：（1） 设此面的法向量为n （x ，y ，z ）（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：AB （x 1，y 1，z 1）, BC （x 2，y 2，z 2）） 则有：11122200n AB x x y y z z n BC x x y y z z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。
特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。
（1）面OAC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于x法向量为（x ，0，0），其中x 可以随便赋值。
（2）面OAB 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 法向量为（0，y ，0），其中y 可以随便赋值。
（3）面OBC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z ），其中z 可以随便赋值 （图1）例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC 的法向量？解：设ABC 的法向量为(,,)n x y z ， A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，1，0） 则：(1,0,1)AB - ，(1,1,0)BC -x1112220n AB x x y y z z x z n BC x x y y z z x y ⎧⋅=++=-=⎪⎨⋅=++=-+=⎪⎩ 解得：x=z ；y=x ； 令x=1，则有y=z=1；则（1，1，1）为面ABC 得法向量。
向量法解决立体几何问题总结(一)
向量法解决立体几何问题总结(一)向量法解决立体几何问题前言立体几何问题在数学中起到重要的作用，理解和解决立体几何问题对于提升数学思维和解决实际问题都有着积极的影响。
传统的解决方法包括使用平面几何、几何画法等，但这些方法在处理复杂的立体几何问题时可能面临一些困难。
向量法作为一种新的解决方法，在解决立体几何问题方面具有独特的优势和应用空间。
正文1. 什么是向量法向量法是一种几何运算方法，通过定义和运算向量的方式，对立体几何问题进行求解。
向量法帮助我们将几何问题转换为向量问题，进而使用向量的性质和运算来解决。
在向量法中，我们可以通过坐标表示向量，进行向量加减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
2. 向量法解决立体几何问题的优势•空间直观：向量法将立体几何问题转化为向量问题，使得问题的空间特性更加直观可见。
通过绘制向量图形，我们可以更好地理解问题，有助于从几何角度进行分析。
•简化问题：通过向量法，我们可以将复杂的立体几何问题简化为向量运算问题，减少了繁琐的计算步骤和猜测过程，提高了问题解决的效率。
•统一性：向量法具有统一的运算法则和性质，使得不同类型的立体几何问题可以采用相似的解决思路和方法。
这为解决立体几何问题提供了一种通用的框架，提升了问题解决的一致性和可重复性。
3. 向量法解决立体几何问题的应用案例•平面与直线交点：通过将平面和直线的方程转化为向量形式，可以求得它们的交点。
这样的应用可以用于计算平面与光线的交点，进而用于光线追踪、计算机图形学等领域。
•空间线段位置关系：通过向量的数量乘法和点乘运算，可以判断两个空间线段之间的位置关系，如重叠、相交、平行等。
这样的应用可以用于计算机辅助设计、机器人运动规划等领域。
•图形投影：通过向量的点乘运算，可以求得一个图形在另一个图形上的投影。
这样的应用可以用于计算机图形学、建筑设计等领域。
结尾向量法作为一种新的解决立体几何问题的方法，在数学和工程领域都有着广泛的应用。
向量方法在立体几何教学中的应用
向量方法在立体几何教学中的应用作者：王龙生来源：《考试周刊》2013年第63期摘要：在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都作为重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，能避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.关键词：向量立体几何教学数形结合在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都是重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.一、将立体几何中的平行问题转化为向量平行来证明二、将立体几何中的垂直问题转化为向量垂直来证明由于立体几何中的垂直问题图形比较复杂，加上学生的空间感比较薄弱，因此学生很难解决.把立体几何中的垂直问题转化为向量垂直，其优越性非常明显，具体体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”体现在一个等式中变为纯粹的运算，所涉及的向量易于用坐标表示就足够了.立体几何中的线线、线面、面面垂直，都可以转化为空间两个向量的垂直问题解决.1.“线线垂直”化为“向量垂直”华罗庚关于“数形结合”有一句名言：“数缺形时少直观，形离数时难入微.”向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.因此，充分掌握、运用好向量知识，可以提高学生的数形结合能力，培养学生发现问题的能力，帮助学生理清数形结合呈现的内在关系，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利地、高效率地解决数学问题.利用向量方法研究立体几何问题，能避免传统几何方法中繁琐的推理及论证，有效提高学生解决立体几何问题的能力.参考文献：[1]单招生—相约在高校，数学：基础知识梳理.[2]单招零距离—数学：总复习方案.[3]吕林根，张紫霞，孙存金.立体几何学习指导书.。
向量方法在高中数学教学中的应用(原创论文)
向量方法在高中数学教学中的应用摘 要：向量作为一种既有大小又有方向的量，它既具有数的特性，又有形的特性,因而它成为连结数和形的有力纽带。
根据向量的数形特性,作者尝试将几何图形数量化,并通过运算来解决立体几何中的平行、垂直、求距离、求角度等问题；尝试利用向量方法来解决代数中的不等式证明、等式证明、求函数最值、求变量取值范围等问题,这种尝试为作者的高中数学教学活动注入了新活力。
关键词：向量方法、几何、数形结合一、向量方法在几何中的应用在目前的中学数学立体几何教学中，传统的综合方法仍占主导地位，绝大多数学生仍用着这种方法处理立体几何问题，实际上利用向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是垂直的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了题目的难度。
（一）利用向量证明平行问题1.设 a 、b 为两条不重合的直线，a 、b 分别为直线a 、b 的一个方向向量，那么 a ∥ b ⇔ a ∥b 根据实数与向量的积的定义a ∥b ⇔a =k b （k ∈R ，k ≠ 0）例1 已知直线 L 1: 0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x , L 1 与 L 2 不重合证明：L 1∥L 2 。
证明：∵L 1:0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x ∴ L 1 的方向向量1V =（5，3） L 2 的方向向量2V =（10，6） ∴ 1V =22V∴ L 1∥L 2 。
2.平面与平面平行可转化为两个平面法向量的平行例2 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明:面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。
证明：如图1所示： ∵ 长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1∴ 1AA 为面 A 1B 1C 1D 1的一个法向量D∵ 1BB ⊥面 ABCD∴ 1BB 是面 ABCD 的一个法向量，又因为1AA ∥1BB ∴ 面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。
浅谈向量法在立体几何中的应用
浅谈向量法在立体几何中的应用摘要：关键词：向量 空间角 空间距离 平行与垂直纵观近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。
在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,有着它独有的优势 −− 不用作图而直接计算。
下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题和平行与垂直的问题谈谈自己的看法。
一、用向量法处理空间角问题一）用向量求两条异面直线所成的角求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a,所成的角或其补角（如图1所示），即=><=,cos cos θ。
【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形，90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。
求异面直线BD 与PA 所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B得()()2,2,0,0,1,2-==，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则BCD PA图2，1010852,cos cos =⨯==><=θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为1010arccos。
利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。
题中通过><,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。
二）用向量求直线与平面所成的角如图4，求直线L 和平面α所成的角，只需在L上取定，是平面α的法向量，再求|||CP |cos n ⋅=θ，则2πβθ=-为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求直线CP 与面ADP 所成角的大小； 解：如图6，建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0P D C A ， 故()2,0,2-=()()2,1,2,2,2,0--=-= 设面ADP 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则有⎩⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02202200z y x z y 令1=y 得1=z ，21=x ，即⎪⎭⎫⎝⎛=1,1,211n ， 设直线CP 与B CD PA图5面ADP 所成角的大小为θ，故622381,cos sin 1=⨯==><=n CP θ，62arcsin=∴θ 即直线CP 与面ADP 所成角的大小为62arcsin。
数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.。
基底向量法在解立体几何题中的应用
基底向量法在解立体几何题中的应用
" 江苏省常州高级中学
拾 遗 补 缺
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王正林
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空间向量在解立体几何中的关于位置关系的定态
问题和动态问题时都有着广泛的应用! 一般地， 同学们 都喜欢用坐标向量法求解这些问题， 而实际上， 利用基 底向量法求解不仅过程简洁明了， 而且在空间元素的定 位问题中更具有其优越性! 例 $ ! 正三棱柱 "#$ "# ## $# 中， % 为 "$ 的中点! 求证： "## / 平面 #%$# ! .- .- .. - .证明 ! 取""# ， "# ， "$ 为一个基底! 则"## & ""# ’ .- .- .- .- ."# ## & ""# ’ "# ， #% & "% ( .. . ..# "# & "$ ( "# ， %$# & %$ $ .# .- .’ $$# & "$ ’ ""# ! $ ...图# 设"## & ! #% ’ " %$# ， .- ..- ..- .则""# ’ "# & ! # "$ ( "# ’ " # "$ ’ ""# $ $ .- # ..& ( ! "# ’ （ ! ’ "）"$ ’ " ""# ， $
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浅谈向量法在《立体几何》中的应用
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浅谈 向量法在《 立体几何》 中的应用
李景琴
（ 学院 数 学学院 ，内蒙古 赤峰
摘
赤峰
０４０） ２００
要 ：本文 主要讨 论 了如何 用向量 法解决有 关立体 几何 问题 ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３ ２０ ２ ０ ）３ 一 ０４ ０ １７ — ６ｘ（０８０ Ｂ ００ — ３
关键 词 ：向量 ； 面 角； 二 立体 几何
中图分 类 号 ： ２ ． Ｏ１３２
在解多数立体几何问题 中， 常常需要添加辅助
线， 如何 添加 辅助 线 比较 困难 ， 不易 捉摸 ， 而利 用 向 量 法 处理 时 ， 需 要 添加 任 何 辅 助线 ， 算 有 章可 不 运 循， 即灵 巧 又方 便 ， 同时 向量公 式 又不 依 赖 于 坐标
注 ： 线 ｍ 与 平 面 的距 离转 化为 点 Ｐ到平 直
面 的距离 ．
共法 量 ｎ ＝１ １ １ （， ， ） 一 一
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２４ 平 面与平 面 问 的距 离 ．
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定理 ６ 若平面 ∥平面 １， ３， ， ３ Ｐ∈１ Ａ∈
为 平 面 的法 向量 ，则 平 面 与 平 面 １ 的距 ３
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基向量法在解决立体几何问题中妙用
妙用基向量法解决立体几何问题汉川二中数学组 万小艳向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性, 而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下, 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法. 它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。
在新课改选修2-1（人教A 版）的教材中有很多地方涉及到基向量法的具体应用，比如：第92面练习题可用基向量法求异面直线所成的角，两点间的距离；第106面的的例2库底与水坝所成二面角余弦值。
下面结合两个例子谈谈用基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中的特殊妙用。
例1：如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=60º，P A ⊥面ABCD ， PA=AC，点E 在PD 上，且PE:PD=2:1. 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥ 平面AEC ？证明你的结论.解析：我们可选取,,AB AD AP作为一组空间基,()(1)(1)22()331233PF PC BF BP PF AP AB AC AP AB AD APAE AP PE AP PD AP AD AP AP AD AC AB A λλλλλ==+=-+-=-++-=+=+=+-=+=+设而又因为并且//,12(1)(1)=+333-1=2213211123PC F,PC BF DBF AEC BF x AE y AC AB AD AP x AP AD AB AD x y x y x λλλλλλλ=+-++-++⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩要使平面那么存在实数x,y 使成立即（）y()于是，可得到解得故在棱上存在一点其为的中点，使//AEC平面 说明:①这里通过基向量法，运用空间共面向量定理等知识探索并解决线面平行问题，存在性问题；②如果试着用传统的几何法思考，会发现很难找到合理的思路；③本题也可以AC,BD 所在的直线为x 轴y 轴,AC 与BD 的交点O 为坐标原点，并取PC 的中点E ，以OE 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz,从而用空间向量坐标方法解答，但较之基向量法解答要更复杂．例2：如图，已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60°.(1)证明：C 1C ⊥BD ；113CD 2C BD CBD 2BD (2)假定，CC =，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；=--αβαβ111A C C BD (3)当的值为多少时，能使平面？请给出证明。
向量法在高中数学立体几何中的应用分析
技法点拨摘要：近年来，大多数高中数学的立体几何问题都可以用几何方法和向量法来解答。
使用几何方法解答问题时，应试者需要具有较强的空间思维能力和逻辑推理能力，并且必须具有较完整的“一项工作，两个证明和计算”的步骤；在使用向量法求解时，只需将空间问题转化为向量即可。
与向量有关的计算问题，即将几何问题转化为代数问题，直接计算而不用作图形，既简单又方便。
关键词：向量法；几何法；距离高中教科书中立体几何是经常会考查的，是高考的必考内容，向量教学是高中数学的一项重要内容，但是向量方法的运用，一直都是在习题应用中体现出来的，缺少完整的应用体系，如果能够通过研究，让向量法的应用具体化、系统化、感性化，将会提高学生的解题效率。
一、用向量法处理空间角问题在高考的三维几何考试题中寻找角度和距离是一个经常被审查的问题。
传统解决方案是“绘制、证明和求解三角形”，需要许多辅助线和强大的技能。
在高中教科书中输入向量的困难为实体几何增加了活力。
随着时代的发展，新思想和新方法也在不断发展，本文以举例的方式说明向量方法可以简单快速地解决这些问题。
1.用向量求直线与平面所成的角如图1，求直线L 和平面α所成的角，只需在L 上取定 CP ， n是平面α的法向量，再求cos θ=| CP · n || CP |·| n |，则β=|π2-θ|为所求的角。
图1PCD AB 图2如图2所示，下部ABCD 是直角梯形，∠ABC =90°，PB ⊥面ABCD ，BA=BC=BP =2CD =2，E 是PD 的中点，求出CP 线与面ADP 之间的夹角的正弦值。
解：建立空间直角坐标系B-xyz ，则有A （0，2，0），C （2，0，0，），D （2，1，0），P （0，0，2），故 CP =（-2，0，2）， AP =（0，-2，1），DP =（-2，-1，2）。
设面ADP 的一个法向量为n 1=（x ，y ，z ），则有ìíî n ⊥AP n ⊥ DP ⇒ìíî n · AP =0n · DP =0⇒ìíî-2y +2z =0-2x -y +2z =0令y =1，得z =1，x =12，即 n 1=（12，1，1），假定直线CP 与面ADP 之间的角度的正弦值：sin θ=|cos< CP ， n 1>|=| CP · n 1|| CP |· n 1=18×32=2.用向量求二面角的大小cos θ=|cos< n 1，n 2>|=| n 1· n 2|| n 1|·| n 2|，求得θ值，再观察二面角，若是锐二面角，则二面角大小α=θ；若二面角为钝二面角，则二面角大小α=π-θ。
向量法解决立体几何问题的优化策略
问题时则要 同时求解 两个法 向量．正 常情 况下求法 向量 ｎ， 是 由 某 平 面 内 的 两 个 非 共 线 向 量 Ａ雪， ｅ，通 过
ｒ，１． ：０．
｛ 一 解出的，过程中要解三元方程组．这个环节节
【ｎ·ＡＣ＝０ 奏要慢 ，计算要 细心 ，稍有 不慎 就会 出现错 误．为 了更好 地 求解法 向量 ，不妨 向学生介绍 用求 向量 的叉积 的方 法得 到 平面 的法 向量 ，只要稍 加训 练便 不难 掌握．
定理 设平 面 上不 同的三点 Ａ，Ｂ，Ｃ且Ａ雪＝０ ｉ托√＋ ａ ｋ，ＡＣ－ｂ ｉ＋６１‘，＋６：ｋ，贝４
Ａ雪×Ａｌ０ （ａｒｂ：—０ ｂ ）ｉ＋（０ ６ 一ａｘｂ。）Ｊ＋（口 ｂ —ｎ ｂ ）ｋ． 平 面 Ｏｌ的法 向量 为 ，ｌ＝Ａ雪×Ａｅ＝（（ａｙｂ：川 ｂ ），（ ｂ 一 ｂ ），（ａｘｂ —口 ｂ ））． 为 了帮助记忆 ，可利用三 阶行列式符号将上式写成 ：
在二面角 —ｌ一 半平 面 内找一个点 Ａ，观察这个点 在 卢的射影 ：若射影 在半 平面 内，则二 面 角为锐 角 ；若射 影 在 半 平 面 届的反 向 延 长 面 内 ，则 二 面 角 是 钝 角 ．
【参考文献】 ［１］宋建 慧．空间向量 中常见的三种错误 ［Ｊ］．中学生数 理 化 ，２０１９（１２）：１０—１１． ［２］涂红 ，周 浩．空 间向量在 立体 几何 中的应 用［Ｊ］．新 课 程 ，２０１０（７）：１０９．
一 、 严 谨 考 察 底 面 面对 问题 ，不 要 急 于 答 题 或 忙 于 计 算 ，认 真 审 题 后 ，要 做好几何 图形底 面的考察 ，这一环 节至关重 要．问题 的底 面 大多是正方形 、长方形 、菱形 、直角三角形 （等腰 ）、等边 三角 形等 ，在立体 图形 中 ，它们是 直观 图．情急 之 中学生 往往 会 张冠李戴写错 点的 坐标 ，经过 对学生 错题 统计 得 出的数 据 显 示 这 类 错 误 不低 于 ２０％ ． 为避 免 这 类 错 误 ，具 体 做 法 是 ：（１）在 草 纸 上 建 立 平 面 直角坐标 系 ｘｏｙ．（２）在坐标 系 中按 １：１比例 画 出底 面图 形．（３）然后确定底面相关点 的坐标 ， 二 、快 捷 计 算 点 坐 标 用 向量法 解决 立 体几 何 问题 的核 心是 建 立 空 间坐 标 系 ，不少学生误以为建立坐标系是 最难 的部 分 ，这 个认识 有 失偏颇．原因是坐标系的建立方法 不是唯一 的 ，一 旦确立 了 坐 标 系后 ，则 点 的 坐 标 是 相 对 固定 的 ，可 以 说 用 向 量 法 解 决 立体几何 问题 的难点莫过 于求 点 的坐标 ，既 费时也易 错．教 师在授课时要强调用坐标法 （中点坐标公 式 、线段 的定 比分 点公式 ）、向量 的线 性运算 等方 法求 相关点 的坐 标 ，尽量 避 免用几何推理 的方法．用 坐标法 或 向量线 性运算 的方 法不 仅简单 、便 于操作 ，而且与采用 向量法解决 立体几何 问题属 于同一思维范畴 ，可 以减 少因 为知识 交汇 而转换 思维 带来 的 损 失 ． 三 、优 化 求解 法 向 量 用 向量法求解空 间距离 、线面角及 面面 角等 问题 ，都需 要求解法 向量．简单问题只需要求 出一个法 向量 ，遇到 复杂
向量在高中数学解题中的有效运用
56向量在高中数学解题中的有效运用许道涵 荣慧艳（山东省荣成市第二中学 264309）数学的学习一直是枯燥的理论内容为主，高中生们在数学的学习中往往面临着许多难题，而对于难题的解决往往需要对数学相关知识内容加以联系，由于数学问题的灵活性，使学生面对难题总是无从下手，向量是数学中的组成部分，也是高中数学知识的重要内容。
向量在运用过程中可以和高中几何、代数等知识结合在一起运用，同时向量也穿梭在各个章节之间，在各章节之间建立联系，帮助学生对各章内容灵活运用，同时在掌握向量相关知识后可以提高学生们对相关数学内容的学习以及促进学生学习效率提升。
一、向量的基本认识向量最初是应用到物理学和数学研究中的内容，随着数学研究领域的扩宽，向量被引入到数学教学的内容中。
我国也随即将向量的内容加入到高中数学教学大纲中，是高中数学学习的重要内容。
首先向量在数学学习中是重要的数学应用模型，向量中应用V作为集合的代表符号，向量的加法运算交换群主要是由V构成的，在这之中，向量的数量积运算是能够表达出当前的向量长度的，当向量长度被赋予了实际的意义（V，R）在向量实数中和向量运算中都形成了线性范畴，（V，R）在数学模型中具有重要的作用，是主要组成部分。
它同时又是线性代数和抽象函数等内容的重要研究对象。
能够深刻理解向量知识内容，是对抽象代数等数学内容作出合理解释的重要基础。
其次，向量是将几何和代数相关内容连接在一起的重要纽带，向量同时具有数的特征和形的特性，向量是有向线段，能够表示物体位置，物体的位置和形状的研究是几何学中的主要内容，从这一角度出发向量可以从几何的角度出发理解，其中向量可以描述物体的长度、面积等几何度量问题，也可以利用向量的方向性来解决对几何对象的位置关系问题的认识。
在向量的代数研究中，关于一般的运算同样可以运用到向量的代数关系计算中，向量也可以用来解决代数方面的问题。
二、向量在高中数学解题中的问题（一）学生关于向量的运用被动在数学学习中总是会遇到或多或少的问题的，数学知识的学习不可能一蹴而就的，数学内容中向量的学习不是简单的理论知识的学习，它涉及的内容博大精深，需要不断钻研。
空间向量在立体几何中的应用3
a b⋅＝０可以解决线段或直线的垂直问题；，可以解决线段的长或两点间的距离问题．求两点间的距离或某线段的长度的方法：通过向量运算去求|a|；离公式d＝，而且平面上移动，若为棱CC1上异于C、，AA1＝2，M、N分知识点三求点到平面的距离点B到平面α的距离：|BO|=AB nn.(如图(2)所示)例三：在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．【反思感悟】利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离.【课后作业】1.若O为坐标原点，OA=（1，1， 2），OB=（3，2，8），OC=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（）A.1652B．214 C.53 D.5322．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A．12B.24 C.22 D.32.3．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为()A．211 B.11 C.22 D．3114．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是().5．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是________．7．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为________．8．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．。
浅析“向量法”在高中数学立体几何中的应用
浅析“向量法”在高中数学立体几何中的应用
吴宗烨
【期刊名称】《文理导航》
【年(卷),期】2016(000)10X
【摘要】'向量法'是高中数学中解决立体几何的一种常用的方法 ,它可以解决其中许多复杂的题目。
因为立体几何和解析几何不同,光有理解能力是不够的,它要求学生具有良好的空间想象和逻辑推理能力,因此对我们很多同学来说,立体几何是比较复杂的。
'向量法'的引入为学生解决立体几何中的题目提供了一种新的方法,利用'向量法'中数形结合的思维模式可以将空间或平面的线线、线面、面面的抽象位置关系转化成计算问题,从而解决同学们在学习过程中空间想象和逻辑推理能力不足的缺点,为更好的学习提供新的方法。
【总页数】1页(P48-)
【作者】吴宗烨
【作者单位】周南中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.法向量在高中数学立体几何教学中的应用研究
2.浅谈向量法在《立体几何》中的应用
3.“向量法”在高中数学立体几何中的应用
4.向量法在高中数学立体几何中的应用分析
5.向量法在高中数学立体几何中的应用分析
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应用向量解决立体几何问题
应用向量解决立体几何问题【摘要】利用空间向量解决立体几何问题，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。
【关键词】立体几何利用向量解题提高效率立体几何问题一直是高考和竞赛中的热点问题，解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。
设a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)为三个非零向量，则空间向量的数量积、矢量积和混合积的定义为：1．数量积（内积）：a·b=|a||b|cos(a,b)=x1x2+y1y2+z1z2，其中(a,b) 表示向量a与向量b的夹角。
几何意义：向量a与向量b的数量积等于|a|与向量b在向量a方向上的投影|b|cos(a,b)的乘积。
2．矢量积（外积）：向量a与向量b的矢量积记为a×b，它仍是一个向量，且它的大小为|a×b|=|a||b|sin(a,b) ；它的方向由右手法则确定，即右手手掌先伸开，四个手指先指向a的方向，然后手指自然弯曲指向b的方向，则大拇指的指向就是a×b的方向（如图1所示）。
几何意义：记a=AB,b=AC ，则|a×b| 等于以AB和AC为邻边的平行四边形的面积。
坐标形式：记|abcd|=ad-bc(a,b,c,d) ，则a×b=(|y1z1y2z2|,-|x1z1x2z2|,|x1y1x2y2|)3．混合积：对于向量a,b,c，取其中任意两个的矢量积，再和第三个作数量积，所得结果为一个数量，称为这三个向量的混合积，记为(a,b,c)几何意义：记a=OA,b=OB ,c=OC，则以OA,OB,OC为共顶点的棱的平行六面体的体积为：V=|(a,b,c)|1.判断线、面之间的位置关系在立体几何问题中，考查线、面之间的位置关系主要有种，包括线与线之间的平行、相交和异面，线与面之间的平行和垂直，面与面之间的平行和垂直。
向量法在高中立体几何中的应用
向量法在高中立体几何中的应用摘要：立体几何是高考的重要考点，常见的命题形式有判断空间中点、线、面的位置关系、求空间角的大小、求空间距离等。
采用常规方法求解较为复杂，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
这样便将几何问题转化为向量坐标运算问题。
本文结合实例来谈一谈向量法在解答立体几何问题中的应用。
关键词：向量法；高中数学；立体几何通过对近些年的数学高考情况进行分析，立体几何相关问题在考试中频频出现，涉及知识面较为宽广，综合性内容较强，因此很多学生在解决此类问题时往往抓不到关键。
如何帮助学生有效提升解答立体几何问题的能力，本文结合自己的教学经验，进行了以下探讨。
1 向量法背景下高中数学立体几何的解题观向量法指的是利用空间向量的有关知识来解立体几何题，用空间向量表示几何体中线与线，线与面，面与面的位置关系。
如立体几何中求解空间角，空间距离和证明平行，垂直时，使用向量法能够极大地降低解题的难度。
怎样解决学生难以掌握立体几何知识的问题呢？教师又该如何开展立体几何教学呢？为此，借鉴了波利亚的解题思想进行探讨，波利亚在《怎样解题》一书中将解题分成了四个步骤，分别是理解题目、拟定方案、执行方案与回顾反思，这四个步骤也称“解题四重奏”。
1.1理解题目阶段熟悉题目指的是学生需要理解题目的文字表达内容，最好能用自己的话复述题目的内容。
此时教师需要检查学生是否了解题目中的已知量、题目中包含的重要条件以及所求的问题。
进而在熟悉题目的基础上加深对题目内容的理解，并列出通过分析得到的条件。
1.2拟定方案阶段解决问题的关键是拟定一个解题方案，这个方案可以从以下几个方面形成：①从以往获得的知识和经验中形成；②将原来的题目进行有效转化，通过已知条件寻求隐藏条件；③通过引入辅助问题来获得好的解题思路。
1.3执行方案阶段拟定了解题方案后，则需要结合题目内容进行解题，在解题过程中要保证计算正确。
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向量法搞定立体几何 包场高级中学 陈晓娟一、基础知识111222222111121212121212(,,),(,,),(1)(2)(0)cos a x y z b x y z x y z a b a b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z λθ⇒==⊥⇒⋅⇒++=⋅==++1.设：或（=）(3)一般情况：2..法向量的求法法向量指的是垂直于面的向量。
在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。
求法向量的步骤：（1） 设此面的法向量为n（x ，y ，z ）（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：AB（x 1，y 1，z 1）, BC （x 2，y 2，z 2）） 则有：11122200n AB x x y y z z n BC x x y y z z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。
特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。
（1）面OAC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于x法向量为（x ，0，0），其中x 可以随便赋值。
（2）面OAB 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 法向量为（0，y ，0），其中y 可以随便赋值。
（3）面OBC 的法向量我们可以直接看出此面的法向量平行于y 轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z ），其中z 可以随便赋值 （图1）例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC 的法向量？解：设ABC 的法向量为(,,)n x y z，A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，1，0）则：(1,0,1)AB - ，(1,1,0)BC -x1112220n AB x x y y z z x z n BC x x y y z z x y ⎧⋅=++=-=⎪⎨⋅=++=-+=⎪⎩解得：x=z ；y=x ； 令x=1，则有y=z=1；则（1，1，1）为面ABC 得法向量。
二、学会建立坐标系1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。
2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴） 比如例二：2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1=AC =,2AB 求二面角A 1－AD －C 1的大小.（此图为建立完坐标系的图形） 一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为Z 轴2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X 轴和Y 轴三、用向量法求解 1.点与点的距离111222(,,),(,,),A x y zB x y z AB =2.点到直线的距离（1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x 0，y 0）到此直线的距离为：d =（2）用面积法求解（原理：面积相等） 图解：求A 到BC 的距离1122AC BE BCAD ⨯⨯=⨯⨯ ABC DEAC BEAD BC⨯=3.点到面的距离（1）用体积法求解（原理：体积相等。
适用于体积和面积比较好求的立体）如前面的例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且 OA=OB=OC=1，如图所示，求点O 到面ABC 的距离？解：根据体积相等，设点O 到面ABC 的距离为d ，AD 为BC 边的高： 则有11331122ABC ABC OA OB OC S d S BC AD d ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯====得：（2）用向量法求解如图：求P 到面ABCD 的距离，设面ABCD 的法向量为，O 为P 在面上的投影点，OP 即为P 到面ABCD 的距离。
A.n的方向向上时O 为点P 在面ABCD 上的投影点，故OP 便是点P 到面ABCD 的距离，则cos cos AP n AP n AP OP AP nOP n θθ⋅==⋅=通过图我们可以看出则B. n的方向向下时O 为点P 在面ABCD 上的投影点，故OP 便 是点P 到面ABCD 的距离，则cos cos AP n AP n AP OP AP n AP nOP n nθθθ⋅==⋅⋅=-=通过图我们可以明显看出，为钝角所以-则x综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A 与P 构成向量），则不论n的方向如何，其点到面的距离为：AP n d n⋅=4.线与线的夹角因为线与线的夹角在[0°，90°]，所以其余弦值必为正值cos cos AB BC AB BC AB BCAB BCθθ⋅=⋅=则：5.线与面的夹角因为线与面的夹角在（0°，90°]，所以其的正余弦值必为正值A.n法向量向上时 cos cos AP n AP n AP nAP nθθ⋅=⋅=则： ∵α(所求的角)+θ=90° ∴sin α=cos θB.n法向量向下时 cos cos AP n AP n AP nAP nθθ⋅=⋅=则： ∵θ=α(所求的角)+ 90°∴sin α=sin （θ-90°）=-cos θ>06.面与面的夹角这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。
请观察下面两个图：为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向量所成的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进还是出，由Z 的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么Z 为正值；反之，如果设出的方向为斜下方，那么Z 为负值）。
需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正面进出），这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。
反面就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上图所示）。
四.补充1．如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可 2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可4. 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可 五.应用实例：现已2008年全国卷为例：如图，正四棱柱1111D C B A -ABCD 中，421==AB AA ,点E 在上且EC E C 31=. (Ⅰ)证明：⊥C A 1平面BED ; (Ⅱ)求二面角B -DE -A 1的大小.(Ⅰ)以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--= ，，，，，． ······················ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ··························· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．（解释：第一问已经证明⊥C A 1平面BED ，所以可以把1AC 作为平面DBE 的法向量，1AC 的Z 值是负值，可以看出1AC 是射入的，则面1A DE的法向量应该是射出的，可以明显看出射出的法向量n是向下延伸的，所以取Z 为负值）令2z =-，则1y =，4x =，(412)=-，，n ． ·················9分 1A C ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos 42AC AC AC ==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为arccos42． ··············· 12分 希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！。