第九章 多元函数的积分学

第9章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是xOy 面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界为准线而母线平行于z 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面),(y x f z =，D y x ∈),(，且0),(≥y x f 为D 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V 。

（1）分割区域D ：任取一组曲线网将区域D 分割成n 个小闭区域：1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，（2）近似代替：在i D ∆中任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，则以i D ∆为底，以),(i i f ηξ为高的平顶柱体的体积为：i i i f σηξ∆),(，于是有i i i i f V σηξ∆≈∆),( ),,2,1(n i =（3）作和：∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ。

（4）取极限：记}{max 1i ni d ≤≤=λ，当λ趋于零时，∑=→∆=ni iiif V 1),(limσηξλ引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的有界闭区域D ，它在点),(y x 处的面密度为0),(≥y x ρ,且在D 上连续，现在要计算该薄片的质量M 。

首先作分割，将薄片任意分成n 个小块，在i D ∆上任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，就可得到每个小块薄片质量i M ∆的近似值：i i i σηξρ∆),( ),,2,1(n i = 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：∑∑==∆≈∆=ni i i i ni iMM 11),(σηξρ，记}{max 1i ni d ≤≤=λ，则∑=→∆=ni iiiM 1),(limσηξρλ。

1.二重积分的定义定义 1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，并用i σ∆表示第i 个小闭区域i D ∆的面积。

在每个小区域i D ∆上任取一点i i i D ∆∈),(ηξ，作乘积（近似代替）i i i f σηξ∆),(),,2,1(n i =，并作和∑=∆ni iiif 1),(σηξ，记)}({max 1i ni D d ∆=≤≤λ，如果当λ趋于零时和式的极限∑=→∆ni i i i f 1),(lim σηξλ存在，则称此极限为函数),(y x f 在有界闭区域D 上的二重积分，记为∑⎰⎰=→∆=ni iiiDf d y x f 1),(lim ),(σηξσλ，其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为被积表达式，σd 称为面积元素，x 及y 称为积分变量，D 称为积分区域，⎰⎰称为二重积分号。

定理1 （可积的充分条件）若函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则函数),(y x f 在D 上必可积。

定理2（可积的必要条件）若函数),(y x f 在有界闭区域D 上可积，则函数),(y x f 在D 上必有界。

曲顶柱体体积σd y x f V D⎰⎰=),(；非均匀平面薄片质量σρd y x M D⎰⎰=),(。

若0),(≥y x f ，则由引例1知σd y x f D⎰⎰),(表示曲顶柱体的体积；若0),(≤y x f ，曲顶柱面位于xOy 面的下方，故二重积分为负值，其绝对值恰为曲顶柱体的体积，即σd y x f D⎰⎰),(为曲顶柱体体积的负值；若),(y x f 在区域D 上正负相间，则σd y x f D⎰⎰),(为位于xOy 面上方的曲顶柱体体积与位于xOy 面下方的曲顶柱体体积的代数和。

这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似。

2.三重积分的定义定义2 设三元函数),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成n 个小闭区域1∆Ω，2∆Ω，…，n ∆Ω，并用i V ∆表示第i 个小区域i ∆Ω的体积。

现任取一点i i i i ∆Ω∈),,(ζηξ，作乘积（近似代替）i i i i V f ∆),,(ζηξ),,2,1(n i =，并作和∑=∆ni i iiiV f 1),,(ζηξ，记)}({max 1i ni d ∆Ω=≤≤λ，如果当λ趋于零时和式的极限∑=→∆ni i i i i V f 1),,(lim ζηξλ存在，则称此极限为函数),,(z y x f 在有界闭区域D 上的三重积分，记为⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(，即∑⎰⎰⎰=→Ω∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ，其中),,(z y x f 称为被积函数，dV z y x f ),,(称为被积表达式，dV 称为体积元素，x ，y 及z 称为积分变量，D 称为积分区域，⎰⎰⎰称为三重积分号，Ω称为积分区域。

与二重积分相类似，若函数),,(z y x f 在有界区域Ω上连续，则),,(z y x f 在Ω上的三重积分必存在，即),,(z y x f 在Ω上可积。

如果0),,(≥z y x f 于Ω上，表示物体在),,(z y x 点的体密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，则),,(z y x f 在Ω上的三重积分就为该物体的质量M ，即⎰⎰⎰Ω=dV z y x f M ),,(。

二、重积分的性质性质1 如果函数),(y x f ，),(y x g 都在D 上可积，则对任意常数α，β，函数),(),(y x g y x f βα+在D 上也可积，且有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([。

这一性质称为重积分的线性性质。

性质2 如果函数),(y x f 在D 上可积，用曲线将D 分成两个闭区域1D ，2D ，则),(y x f 在1D 和2D 上仍可积，且有：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ。

这一性质称为重积分的区域可加性。

性质3 如果函数),(y x f 在D 上可积，并且在D 上0),(≥y x f ，则0),(≥⎰⎰Dd y x f σ。

性质4如果函数),(y x f ，),(y x g 都在D 上可积，且在D 上有：),(),(y x g y x f ≤成立，则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(。

性质 5 如果函数),(y x f 在区域D 上可积，则),(y x f 在D 上也可积，且有：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(。

性质6 如果1),(≡y x f ，则有：)(D d Dμσ=⎰⎰。

其中)(D μ表示D 的面积。

性质7 如果函数),(y x f 在D 上连续，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使)(),(),(D f d y x f Dμηξσ=⎰⎰。

此性质称为二重积分中值定理，称)(),(),(D d y x f f Dμσηξ⎰⎰=为函数),(y x f 在区域D 上的函数平均值。

性质8 如果函数),(y x f 在区域D 上连续可积，m ，M 为),(y x f 在区域D 上的最小值和最大值，则有)(),()(D M d y x f D m Dμσμ≤≤⎰⎰。

上述性质对三重积分仍然成立。

例 1 估计二重积分⎰⎰Dyx d e σcos sin 的值，其中D 为圆形区域422≤+y x 。

解 对任意D y x ∈),(均有1cos sin 1≤≤-y x ，故e e ey x ≤≤cos sin 1，而πμ4)(=D ，由性质8得e d e e Dy x πσπ44cos sin ≤≤⎰⎰。

第二节 二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的计算法 二重积分可表示成⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ设积分区域D 可用不等式组)()(21x y x φφ≤≤，b x a ≤≤ 不妨设函数0),(≥y x f ，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(应表示以D 为底、以),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积，如图所示：⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A φφ，从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体，由定积分可求得其体积为：⎰badx x A )(。

从而得积分等式：dx dy y x f dxdy y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(21),(),(φφ。

若D 为x型区域：}),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=φφ，则⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdy y x f dx dxdy y x f φφ。

类似的，如果区域D 可以用不等式组)()(21y y y ψψ≤≤，d y c ≤≤则⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(y y dcDdx y x f dy dxdy y x f ψψ。

例 1 计算⎰⎰Dxydxdy 其中D 为：（a ）由直线1=y ，2=x 及x y =围成。

（b ）由直线1-=x y 和抛物线622+=x y 围成。

解 （a ）如图所示：}21,1),{(≤≤≤≤=x x y y x D ，由公式得89)(21213121=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx xydxdy x D。

如按y 型区域计算，则区域D 可表示为：}21,2),{(≤≤≤≤=y x y y x D ，由公式得89)4(21213221=-==⎰⎰⎰⎰⎰dy y y xydx dy xydxdy yD。

（b ）区域D 可表示为}42,1)6(21),{(2≤≤-+≤≤-=y y x y y x D ，由公式得 36428422351)6(21422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-==⎰⎰⎰⎰⎰-+--dy y y y y xydx dy xydxdy y y D。

本题如按x 型区域计算麻烦。

例 2 计算⎰⎰Ddxdy y)sin(2，其中D 为是由直线0=x ，1=y 及x y =所围成的闭区域。

解 如图所示：区域D 既是x 型域，又是y 型域，若按x 型区域计算，由公式得21cos 1)sin()sin()sin(12212-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y dy dxdy y yD。

二、极坐标系下二重积分的计算法有些二重积分的积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r ，θ表达比较简单。

这时，可以考虑利用极坐标系来计算二重积分。

假设积分区域D 满足这样的条件：从极点O 出发且穿过闭区域D 内部的射线与D 的边界至多有两个交点。