菱形的判定
20.3 菱形的判定
A
D
快乐套餐 拓展提高
由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，
我们还可以得到判定菱形的方法：
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进
行证明．
菱形的判定方法
判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
D A
C
B
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定方法二
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD 求证： ABCD 是菱形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形). ∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD; ∴ □ ABCD是菱形
A
Bபைடு நூலகம்
C
菱形的判定方法一（定义法）
一组邻边相等的平行四边形是菱形 A D A D
AB=BC B
B
C
C
□ABCD
∵ □ABCD， AB=BC ∴ ABCD是菱形
菱形ABCD
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,
做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四
边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
快乐套餐 典例讲解
例1、 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分 别交于点E、F，求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC ∴ ∠1＝∠2． ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形
菱形的性质
菱形的性质
一、菱形的性质
1、菱形具有平行四边形的一切性质；
2、菱形的四条边都相等；
3、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
4、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；
5、菱形是中心对称图形。
二、菱形的判定方法
1、在同一平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、四条边均相等的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直平分的四边形；
5、两条对角线分别平分每组对角的四边形；
6、有一对角线平分一个内角的平行四边形；
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
菱形的一条对角线必须与X轴平行，另一条对角线与Y轴平行。
不满足此条件的几何学菱形在计算机图形学上被视作一般四边形。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．一、菱形的性质【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？课堂练习：1.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．C．4 D．F EDCBA2.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、B 、16C 、D 、83. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4）C 、M （5，0），N （7，4）D 、M （4，0），N （7，4）二、填空题4. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积 为5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离6. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于二、菱形的判定【例5】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．【例6】☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ， 求证：四边形BEDF 是菱形第4题第5题第6题ODEFCABC'DCB A E【例7】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例8】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '. 求证：四边形CDC E '是菱形．【例9】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA巩固练习：一．选择题1．已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、16错误！未找到引用源。
菱形的判定
菱形的判定菱形的判定是一种几何形状的判定。
菱形是一种四边形，其中所有边长度相等，且对角线相交于垂直点。
在几何学中，判定一个四边形是否为菱形可以通过不同的方法。
首先，我们可以使用四条边的长度来判定一个四边形是否为菱形。
如果一个四边形的四条边长度都相等，那么它就是一个菱形。
这是因为菱形定义为四条边长度相等的四边形。
因此，如果一个四边形的边长满足这个条件，那么它就是一个菱形。
另外，我们可以使用四边形的对角线长度来判定一个四边形是否为菱形。
如果一个四边形的对角线长度相等，那么它就是一个菱形。
这是因为菱形的定义要求对角线相交于垂直点，因此对角线长度相等的四边形符合这个要求。
除了长度判定，我们还可以使用四边形的角度来判定一个四边形是否为菱形。
菱形的特点是具有四个相等的内角。
因此，如果一个四边形的四个内角都相等，那么它就是一个菱形。
此外，我们还可以使用四边形的对称性来判定一个四边形是否为菱形。
菱形具有对称性，即两条对角线相等且相互垂直。
因此，如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，那么它就是一个菱形。
总之，判定一个四边形是否为菱形可以使用不同的方法，包括长度判定、对角线判定、角度判定和对称性判定。
通过对四边形的边长、对角线长度、内角和对称性进行检查，我们可以确认一个四边形是否为菱形。
虽然菱形的判定看起来很简单，但在实际问题中，我们可能会面临一些挑战。
例如，当给定一个不规则的四边形时，我们不能简单地通过观察边长和对角线的长度来判定它是否为菱形。
此时，我们可能需要利用其他的几何性质或者运用数学推理来判定。
此外，菱形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有许多重要的性质和应用。
菱形的对角线相交于垂直点，使得它在建筑设计、绘画和工程领域中常被应用于对称图案的制作。
同时，菱形的对称性以及四个内角的相等性质也给予了它一些特殊的几何性质，在数学证明和计算几何学中有广泛的应用。
总之，菱形的判定是一个几何学中常见的问题。
通过使用边长、对角线长度、角度和对称性等几何性质，我们可以判定一个四边形是否为菱形。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定;会用菱形的性质和判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形;它具有平行四边形的所有性质;•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补;对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形;也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高;等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直;其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理..菱形是在平行四边形的前提下定义的;首先她是平行四边形;但它是特殊的平行四边形;特殊之处就是“有一组邻边相等”;因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法..菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续;又是以后要学习的正方形的基重、难点知识点睛中考要求础..难点是菱形性质的灵活应用..由于菱形是特殊的平行四边形;所以它不但具有平行四边形的性质;同时还具有自己独特的性质..如果得到一个平行四边形是菱形;就可以得到许多关于边、角、对角线的条件;在实际解题中;应该应用哪些条件;怎样应用这些条件;常常让许多学生手足无措;教师在教学过程 中应给予足够重视..板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上;一个菱形绕它的中心旋转;使它和原来的菱形重合;那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2;一活动菱形衣架中;菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==;则1∠= 度．图21CBA⑵如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=︒;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD相交于点O ;H 为AD 边中点;菱形ABCD 的周长为24;则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC B【巩固】 ☆如图;已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ;则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ;两邻角度数之比为2:1;则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2;在菱形ABCD 中;6AC =;8BD =;则菱形的边长为A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3;在菱形ABCD 中;110A ∠=︒;E 、F 分别是边AB 和BC 的中点;EP CD ⊥于点P ;则FPC ∠=A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图;把一个长方形的纸片对折两次;然后剪下一个角;为了得到一个锐角为60︒的菱形;剪口与折痕所成的角α的度数应为A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 的中点;且AE BC ⊥;AF CD ⊥;那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图;将一个长为10cm ;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA的大小是【例8】 如图;菱形花坛ABCD 的周长为20m ;60ABC ∠=︒;•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD;求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;若AE AF EF AB ===;求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图;如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形;需要添加一个条件;那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图;在ABC ∆中;BD 平分ABC ∠;BD 的中垂线交AB 于点E ;交BC 于点F ;求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图;平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图;在梯形纸片ABCD 中;//AD BC ;AD CD >;将纸片沿过点D 的直线折叠;使点C 落在AD 上的点C 处;折痕DE 交BC 于点E ;连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图;在平行四边形ABCD 中;AE 是BC 边上的高;将ABE ∆沿BC 方向平移;使点E 与点C重合;得GFC ∆．若60B ∠=︒;当AB 与BC 满足什么数量关系时;四边形ABFG 是菱形 证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图;在ABC ∆中;AB AC =;M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ;ME AC ⊥于E ;DF AC ⊥于F ;EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图;ABC ∆中;90ACB ∠=︒;AD 是BAC ∠的平分线;交BC 于D ;CH 是AB 边上的高;交AD 于F ;DE AB ⊥于E ;求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图;M 是矩形ABCD 内的任意一点;将MAB ∆沿AD 方向平移;使AB 与DC 重合;点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，;试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直;且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时;在上述变换下;四边形'MDM C 是菱形 为什么M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中;AB AC =;AD 平分BAC ∠交BC 于D 点;在线段AD 上任取一点P A 点除外;过P 点作EF AB ∥;分别交AC 、BC 于E 、F 点;作PM AC ∥;交AB 于M 点;连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时;菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ;一条对角线长为10cm ;则其面积为 ．2.如图;在菱形ABCD 中;4AB a E =，在BC 上;2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上;则PE PC +的最小值为EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒;一条对角线的长为23;则另一条对角线的长为________．4.已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且60B EAF ∠=∠=︒;18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图;在ABC ∆中;AB AC =;D 是BC 的中点;连结AD ;在AD 的延长线上取一点E ;连结BE ;CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时;四边形ABEC 是菱形 并说明理由．课后练习EDCB A6.如图;ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类 直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时;四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图;已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线;AM BE ⊥于M ;AN CF ⊥于N ;求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形的判定6种方法
菱形的判定6种方法
菱形是一种常见的几何形状，它有许多应用，比如在数学中用于判定某些条件是否成立。
下面我们来介绍一下菱形的判定方法。
1. 对角线相等法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个菱形。
这是最基本的判定方法。
2. 边长相等法：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较容易理解，但是实际应用中不太常见。
3. 顶角相等法：如果一个四边形的相邻两个顶角相等，那么它就是一个菱形。
这个方法也比较容易理解，但是需要注意的是，只有相邻的两个顶角相等才行。
4. 垂直平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相垂直，并且它们的交点处的两条垂直平分线相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较复杂，需要一定的几何知识。
5. 对角线平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相平分，并且它们的交点处的两条对角线平分线相等，那么它就是一个菱形。
这个方法也比较复杂，需要一定的几何知识。
6. 内角相等法：如果一个四边形的内角都相等，那么它就是一个菱形。
这个方法比较特殊，只有在某些特殊情况下才能使用。
以上就是菱形的六种判定方法，它们各有优缺点，可以根据实际情况选择合适的方法。
在实际应用中，我们通常会结合多种方法来判定一个四边形是否为菱形，以提高判定的准确性。
菱形定义、性质及判定
菱形
1.
2.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，
还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且四边相等
②角的性质：邻角互补，对角相等
③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分组对角
④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半。
【点评】:只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.
3.
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③ 四边相等的四边形是菱形。
菱形的判定
C
A
例：如下图在△ABC中，∠BAC＝90°， 如下图在△ 中 ＝ ° AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交 平分∠ ⊥ 于 ， 平分 ， 于 ， AB于C，EF⊥BC于F，四边形 是菱形吗? 于 ， ⊥ 于 ，四边形AEFG是菱形吗 是菱形吗
如图4－48，CD为Rt△ABC斜边 上 如图 － ， 为 △ 斜边AB上 斜边 的高， 的平分线交CD于 ， 的高，∠BAC的平分线交 于E，交BC于F， 的平分线交 于 ， FG⊥AB于G．求证：四边形EGFC为菱形． ⊥ 于 ．求证：四边形 为菱形． 为菱形
四边形ABCD是菱形 是菱形 四边形
归纳
菱形常用的判定方法： 菱形常用的判定方法： 1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 邻边相等的平行四边形 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 互相垂直 是菱形. 3、有四条边相等的四边形是菱形. 有四条边相等的四边形是菱形 边相等的四边形是菱形.
D M C N
E
A
B
F
例：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， 如图， △ 中 垂直平分BC， ∠BAC=600，DE垂直平分 ，垂足为 垂直平分 D，交AB于E，又点 在DE的延长线上， 的延长线上， ， 于 ，又点F在 的延长线上 是菱形。 且AF=CE，求证：四边形 ，求证：四边形ACEF是菱形。 是菱形
□ABCD
菱形ABCD 菱形ABCD
AC⊥BD ⊥
□ABCD
四边形ABCD是菱形 四边形 是菱形
情境：李芳同学先画两条等长的线段
AB、AD，然后分别以 、D为圆心，AB 、 ，然后分别以B、 为圆心 为圆心， 为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、 为半径画弧，得到两弧的交点 ，连接 、 CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这 ，就得到了一个四边形，猜一猜， 是什么四边形？ 是什么四边形？
菱形的判定
菱形ABCD的性质：
1.具有平行四边形的 一切性质。
A
1 2
D
5 6 O 7
3 4 8
C
2.菱形本身具有的特殊性质: 四条边相等,
B
两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线 平分一组对角. 3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的 一半.
菱形的判定方法：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
D
A
┐
O
B
C
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四 边形AEDF是菱形．
A F
E
3
12
B
D
C
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得 到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱 形。
A
F B G E
D
H C
今天你学到了什么
学到了如何识别菱形
菱形识别方法：
A
D AC⊥BD B C B C
A
D
□ABCD
菱形ABCD
猜想：四边都相等的四边形是菱形 。
想一想
如何证明?
归纳
菱形常用的判定方法：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3、有四条边相等的四边形是菱形.
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）
判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形 是菱形． (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的 四边形是菱形． (3) 两组对角分别相等且对角线互相垂直 的四边形是菱形． (4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
A D AB=BC B A D
菱形的判定方法
菱形的判定方法
菱形是一种具有特殊形状的四边形，其特点是四条边相等，且相邻两条边互相垂直。
在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为菱形，下面我将介绍一些菱形的判定方法。
首先，我们来看一个简单的判定方法，通过对角线的性质来判断一个四边形是否为菱形。
菱形的对角线是相等的，且互相垂直。
因此，如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，那么这个四边形就是菱形。
这是最基本的菱形判定方法，也是最直观的方法之一。
其次，我们可以利用菱形的性质来判定一个四边形是否为菱形。
菱形的性质包括四条边相等和相邻两条边互相垂直。
因此，如果一个四边形的四条边相等且相邻两条边互相垂直，那么这个四边形就是菱形。
这种方法需要我们对菱形的性质有一定的了解，但是一旦掌握，就可以快速准确地判定一个四边形是否为菱形。
另外，我们还可以利用菱形的角度性质来判定一个四边形是否为菱形。
菱形的内角是直角，因此如果一个四边形的内角都是直角，那么这个四边形就是菱形。
这种方法需要我们对角度的判定有一定的经验，但是同样可以帮助我们准确地判定一个四边形是否为菱形。
除了以上介绍的方法，还有一些其他的判定菱形的方法，比如利用菱形的对边平行性质、利用菱形的对边相等性质等。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来判定一个四边形是否为菱形。
总之，判定一个四边形是否为菱形，需要我们对菱形的性质有一定的了解，同时需要我们灵活运用几何学的知识和方法。
希望以上介绍的菱形判定方法能够帮助大家更好地理解和掌握菱形的性质，从而更准确地判定一个四边形是否为菱形。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。
菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。
菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。
还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。
菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。
比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。
菱形的性质和判定知识归纳
菱形的性质与判定知识点归纳：
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
（1）边：菱形的四条边都相等，对边平行；
（2）角：菱形的对角相等；
（3）对角线：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；
（4）对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有两条对称轴
（5）面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，或者说菱形的面积等于底乘以高。
3.菱形的判定：
（1）用定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的判定
注： 对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形。
B A C
A B C
D
D
若 ABCD的对角线AC⊥BD ，则 不是菱形？为什么？
ABCD是
已知：在
求证：
ABCD 中,对角线AC⊥BD
ABCD是菱形。
A
B
OD是平行四边形， ∴OB=OD 又∵AC⊥BD ∴AB=AD ∴ ABCD是菱形。
B
AB=AD
∴ ABCD是菱形。
A
D
C
菱形的判定
2.四条边相等的四边形是菱形吗？ 已知：四边形ABCD中， A AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形。
D
B
C
菱形判定方法2：四条边相等的四边形是菱形 符号语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
菱形的判定
3.观察与思考：如图，四边形ABCD的对角线 AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？
AE=EC AF=CF
B F
2 3
C
AE=AF ∠1= ∠2
EF 垂直平分AC
∠1= ∠3
AE∥FC
四边形ABCD 是平行四边形
∠2= ∠3
AF=CF EF ⊥AC
二．已知：如图，矩形ABCD的对角线 相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、 PC相交于点P。 (1)猜想：四边形PCOD是什么 特殊的四边形？ D (2)试证明你的猜想。
P
D
A O B
2 3
E
1
D O
C
C
F
A
B
C F G B A D E
已知，如图， ∠ ABC中， ∠ ACB=90,BE平分∠ ABC， CD AB于D，和BF交于点G ， GE ∥ CA. 求证：CE和FG互相垂直平分。
菱形的所有性质
菱形的所有性质
菱形的所有性质如下：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。
3、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。
4、四条边都相等。
5、对角相等，邻角互补。
6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。
7、菱形的判定判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8、菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
9、菱形的周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。
菱形是特殊的平行四边形，而菱形中又有特殊的一类就是正方形。
菱形的性质及判定知识点及典型例题
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
菱形的性质 及判定难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．E FDBCA图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AE BC⊥，AF CD⊥，那么EAF∠等于．【例14】已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cm B．220cm C．240cm D．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为EPDCBA【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDCBA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGH GFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．SR QPH GOEFDCB A。
菱形判定知识点总结
菱形判定知识点总结基本概念：菱形是一个几何形状，它有四条边和四个角，每个内角都是90度。
菱形的特点是它的四条边都相等，相邻的两条边成45度角，对角线相交于90度角。
在菱形中，对角线长度相等，相对的边也相等。
菱形的判定主要包括两个方面，一是判定一个四边形是否为菱形，二是判定一个几何图形是否是菱形。
性质：1. 菱形的对角线相等平分对角；2. 菱形的每个内角都是90度；3. 菱形的相邻边相等；4. 菱形的对角线垂直相交；5. 菱形的对角线相等且互相垂直平分；6. 菱形的性质是四边形的子集，其中包括平行四边形和矩形。
定理：1. 设菱形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；2. 设四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；3. 若一个四边形的对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形是菱形；上述三个定理分别是通过菱形的基本性质得到的，通过这些定理我们可以简单判断一个四边形是否是菱形。
菱形判定应用：菱形判定在几何证明和实际问题中都有广泛的应用。
在几何证明中，菱形判定可以帮助我们判断一个已知的四边形的性质，从而展开相应的证明。
通过证明菱形的基本性质和相关定理，我们可以推导出其他定理，如平行四边形和矩形等。
在实际问题中，菱形判定可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，当我们遇到一个已知的四边形时，通过菱形判定的方法我们可以判断出它是不是菱形，然后再进一步推导出一些相关的结论。
总结：菱形判定是数学中的一个重要概念，它的基本概念、性质和定理都对我们理解几何形状的特性和展开几何证明起着至关重要的作用。
通过学习菱形判定，我们可以更好地理解几何形状的性质和特点，解决一些与几何相关的问题。
因此，对菱形判定的学习和掌握对我们的数学学习和实际问题解决都有着重要的意义。
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课题： 19.2菱形（2）——菱形的判定
课标要求：理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系；探索并证明菱形判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
导学目标：
1、知识与技能：理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论
证和计算。
2、过程与方法：探索菱形的判定定理。
3、情感态度与价值观：在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
导学核心点：
1.导学重点：菱形的两个判定方法．
2.导学难点：判定方法的证明方法及运用
3.导学关键：菱形的性质定理与判定定理的异同。
4.导学用具：三角板、剪子、纸片。