2019-2020学年上海市静安区高一下学期期末数学试题(解析版)
(3份试卷汇总)2019-2020学年上海市静安区高一数学下学期期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定2．已知ABC 中，3013B AC AB =︒==，，，则角A =（ ） A ．60°或120°B ．30°或90°C ．30°D ．90°3．把等差数列1,3,5,7,9,…依次分组,按第一个括号一个数,第二个括号二个数,第三个括号三个数,第四个括号一个数,…循环分为()1,()3,5,()7,9,11,()13,()15,17,()19,21,23,()25,…,则第11个括号内的各数之和为( ) A ．99B ．37C ．135D ．804．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．62B ．52C ．1633D ．8335．如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）A ．23πB ．29C ．8π D ．126．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若1a ＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10B ．16C ．20D ．247．方程3log 3x x +=的解所在区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(3,)+∞D ．(2,3)8．已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A ．最大值eB C ．最小值eD 9．已知向量()1,2a =-，()3,1b =，(),4c x =，若()a b c -⊥，则x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥ ③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1B ．2C ．3D ．411．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．23π12．点(A 是空间直角坐标系O xyz -中的一点，过点A 作平面yOz 的垂线，垂足为B ，则点B 的坐标为（ ）A ．（1，0，0）B ．(C ．(D ．()二、填空题：本题共4小题13．若()cos f x x x =在[],a a -上是减函数，则a 的取值范围为______. 14．函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为______.15．已知三棱锥的底面是腰长为2______. 16．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6b =，sin 2sin A C =，3B π=，则ABC ∆的面积为__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (19)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (19)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 若集合A ={x |−5<x <2},B ={x |−3<x <3}，则A ∩B =( )A. {x |−3<x <2}B. {x |−5<x <2}C. {x |−3<x <3}D. {x |−5<x <3}2. 在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y 轴对称的点的坐标是( )A. (0,2，3)B. (0,2，−3)C. (0,−2,3)D. (0,−2,−3)3. 已知直线l 上两点A(−4,1)与B(x,−3)，且直线l 的倾斜角为135°，则x 的值是( )A. −8B. −4C. 0D. 84. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 25. 下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③6. 已知奇函数f(x)={3x −a, x ≥0g (x ), x <0，则f(−3)的值为( ) A. 27 B. −26 C. −27 D. 267. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A. π6B. π4C. π3D. π28. 直线y =x +4与圆(x −a)2+(y −3)2=8相切，则a 的值为( )A. 3B. 2√2C. 3或−5D. −3或59. 设a =ln 12，b =log 1312，则( ) A. a +b <ab <0 B. ab <a +b <0 C. a +b <0<ab D. ab <0<a +b10. 已知圆C 的圆心为y =14x 2的焦点，且与直线4x +3y +2=0相切，则圆C 的方程为( ) A. (x −1)2+y 2=3625B. x 2+(y −1)2=3625 C. (x −1)2+y 2=1 D. x 2+(y −1)2=111. 点A(1,3)关于直线3x +y +4=0的对称点坐标为( )A. (−1,−3)B. (−5,3)C. (−5,1)D. (−1,1)12. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若a >0，a 23=49，则log 23a = ______ ． 14. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．15. 若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是______ ．16. 若函数f(x)=2x −1，则f(3)=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．18. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：ax +y +2a =0，当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√2时，求直线l 的方程．19. 在四棱锥P −ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB//CD ，AB =12DC ，E 为PD 中点．(1)求证：AE//平面PBC；(2)求证：AE⊥平面PDC．20.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？21.已知Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在面ADC所在平面的射影E在AC上．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDE(Ⅱ)求折起后三棱锥B―ACD的体积；22.已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b(1)当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；(2)若y=f(x)是定义域为R的奇函数，求y=f(x)的解析式；(3)若y=f(x)的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．直接根据集合交集的定义求解即可．【解答】解：根据题意得，A∩B={x|−3<x<2}，故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查了空间直角坐标系中，某一点关于y轴对称点的坐标问题，是基础题目．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y轴对称的点的坐标是(0,−2,−3)．故选D.3.答案：C解析：【分析】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系的应用，考查计算能力．由直线的倾斜角可得直线的斜率为−1，再由直线的斜率公式求出x的值即可．【解答】解：由题意得，，解得x=0．故选C．4.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．5.答案：D解析：解：在①中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故①错误；在②中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故②错误；在③中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故③错误；④如果一条直线和一个平面垂直，那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故④正确．故选：D．在①中，该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内；在②中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；在③中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；④由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，与分段函数．【解答】解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=1−a=0，解得a=1，所以f(−3)=−f(3)=−(33−1)=−26，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题目主要考查异面直线所成角，属于一般题．解析：解：如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK//DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角或其补角．连接A1C1，AM.正方体棱长为1，则A1K=√(√2)2+√622=√7，MK=12DN=12√12+122=√52，A1M=√12+12+122=32，∴A1M2+MK2=A1K2，∴∠A1MK=90°．故选择D．8.答案：C解析：解：∵直线y=x+4与圆(x−a)2+(y−3)2=8相切，∴圆心(a,3)到直线x−y+4=0的距离等于半径√8=2√2，即d=√2=√2=2√2，即|a +1|=2√2×√2=4，解得a =3或a =−5，故选：C ．根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：∵a =ln 12<ln 1e =−1，0<b =log 1312<log 1313=1， ∴ab <a +b <0．故选：B ．利用对数函数的性质、运算法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：D解析：解：y =14x 2的焦点为(0,1)，所以圆C 为x 2+(y −1)2=r 2, r =√32+42=1，所以x 2+(y −1)2=1，故选：D ．求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C 的方程．本题考查圆C 的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．11.答案：C解析：【分析】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标．设出点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，可以建立方程组，由此即可求得结论．解析：解：设点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(x,y)，则:{y−3x−1=133×x+12+y+32+4=0，解得{x =−5y =1， ∴点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(−5,1)．故选C .12.答案：B解析：【分析】本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答．【解答】解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，令f(x)=t ，则方程t 2+t +m =0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g(t)=t 2+t +m ，则g(1)≤0，即2+m ≤0，得m ≤−2．故选：B ．13.答案：3解析：解：由a 23=49得a =(49)32=(23)3，所以log 23a =log 23(23)3=3 故答案为：3先解出a 的值，然后代入即可．本题主要考查求对数值的问题，属基础题．14.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2，故答案为−(x −14)2．15.答案：1：2解析：解：设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得；2πr =πl ，∴l =2r ；所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是πr 2：12πl 2=r 2：12(2r)2=1：2．故答案为1：2．根据圆锥体的侧面展开图是半圆，球场底面半径r 与母线长l 的关系，再求它的底面面积与侧面积的比．本题考查了圆锥体的侧面积与底面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．16.答案：5解析：解：∵函数f(x)=2x−1，∴f(3)=2×3−1=5．故答案为：5．利用函数性质求解．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.答案：解：(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，故A=(0,1)，所以∁R A=(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀．综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，求出A=(0,1)，由此能求出∁R A.(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀.由此能求出实数m的取值范围．18.答案：解：圆C：x2+y2=4，圆心为(0,0)，半径为2，∵|AB|=2√2，∴圆心到直线的距离为√4−2=√2，=√2∴√a2+1解得a=1或a=−1．故所求直线方程为x+y+2=0或x−y+2=0．解析：求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．DC，19.答案：证明：(1)取PC的中点M，连接EM，则EM//CD，EM=12所以有EM//AB且EM=AB，则四边形ABME是平行四边形．所以AE//BM，因为AE不在平面PBC内，所以AE//平面PBC．(2)因为AB⊥平面PBC，AB//CD，所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM．由(1)得BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，又AE//BM，所以AE⊥平面PDC．解析：本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力．(1)取PC的中点M，连接EM，BM，证明EM//AB，EM=AB，推出AE//BM.然后证明AE//平面PBC.(2)证明CD ⊥平面PBC ，推出CD ⊥BM.，结合BM ⊥PC 可证BM ⊥平面PDC ，又AE//BM ，所以AE ⊥平面PDC..20.答案：解：由图可得y 1=54√x ，(x ≥0)，y 2=14x ，(x ≥0)，设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10−x)万元，总利润为y 万元．y =54√x +14(10−x)=−14x +54√x +104=−14(√x −52)2+6516，(0≤x ≤10) 当且仅当√x =52即x =254=6.25时，y max =6516答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．(也可把投资乙商品设成x 万元，把投资甲商品设成(10−x)万元)解析：根据函数的模型求出两个函数解析式．将企业获利表示成对产品乙投资x 的函数，再利用配方法，求出对称轴，即可求出函数的最值．本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查二次函数的最值，属于中档题． 21.答案：(Ⅰ)证明：在对折图中作BO ⊥AD 于O ，连结OE ，由条件及三垂线定理知OE ⊥AD ， 对照原图知点B 、O 、E 共线，∵BA =BD ，∴BE 是AD 中垂线，∴∠BDE =∠BAE =90°，∴CD ⊥DE ，又∵BE ⊥平面ACD ，∴CD ⊥BE ，又DE ∩BE =E∴CD ⊥平面BDE ；( Ⅱ)解：∵AB ⊥面BCD ，CD ⊂面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂面ABD ，∴CD ⊥面ABD ，而BD ⊂面ABD ，∴CD ⊥BD ，∵CD =√6,∴AC =√2CD =2√3，∴BC =ACsin60°=2√3×√32=3，∴BD =√BC 2−CD 2=√3，在直角△ABC 中，DH =BD·CD BC =√2，∴DH ⊥面ABC,AE =12AC =√3,AB =ACcos60°=√3，第11页，共11页 三棱锥B −ACD 的体积为√64．解析：本题以平面翻折问题为例，证明了线面垂直并求几何体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理，得到CD ⊥平面BDE ；(Ⅱ)利用锥体体积公式求出三棱锥B −ACD 的体积．22.答案：解：(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；化简得，3(3x )2+2·3x −1≤0，解得，−1≤3x ≤13 ．故x ≤−1．(2)由题意，f(0)=−1+a 3+b =0，故a =1．再由f(1)+f(−1)=0得，b =3；经验证f(x)=1−3x 3(3x +1)是奇函数．(3)证明：∵y =f(x)的定义域为R ，∴b ≥0．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(3a +b)3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)，∵x 1<x 2，∴3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)>0．故当3a +b >0时，f(x)在R 上单调递减，当3a +b <0时，f(x)在R 上单调递增，当3a +b =0时，f(x)在R 上不具有单调性．解析：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；从而解不等式；(2)由题意知f(0)=−1+a 3+b =0，再由f(1)+f(−1)=0解出a.b ；从而验证即可；(3)由单调性的定义去证明．。
上海市静安区2019-2020学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷(解析版)
上海市静安区2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、填空题（共10小题）.1．余弦函数y＝cos x在闭区间[，2kπ]（k∈Z）上是增函数．2．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+5，则数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*）．3．函数f（x）＝tan（x+）的定义域为．4．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝．5．数列{a n}的通项，则前10项的和a1+a2+a3+…+a10＝．6．已知，且，则cos2α＝．7．已知x＝3是函数f（x）＝log2（ax+1）﹣2x的零点，则a＝．8．已知函数y＝arcsin（cos x）的定义域为，则该函数的值域为．9．在实数1和81之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n，再令．则数列{a n}的通项公式a n＝．10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．设a，b，c满足b2+c2﹣bc ＝a2和，则tan B＝．二、选择题11．sin240°的值是（）A．﹣B．C．D．﹣12．设sinα＝﹣，cosα＝，那么下列的点在角α的终边上的是（）A．（﹣3，4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）13．对于函数，下列命题：①函数对任意x都有．②函数图象关于点对称．③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向右平移个单位而得到．④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题14．已知α为第二象限角，化简．15．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数．（1）求k的值；（2）求这段时间水深（单位：m）的最大值．16．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lgx．（1）当x＜0时，求函数y＝f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＜1的解集．17．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的周期；（2）解三角方程f（x）＝﹣1．18．已知数列{a n}的通项公式为是，且．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{c n}的通项满足，问数列{c n}的前多少项之和最大？上海市静安区2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、填空题（共10小题）.1．余弦函数y＝cos x在闭区间[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）上是增函数．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．解：由余弦函数的性质，可知函数y＝cos x的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）．故答案为：2kπ﹣π．2．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+5，则数列{a n}的通项公式a n＝5n﹣2（n∈N*）．【分析】由题意可得：a n+1﹣a n＝5，可得数列{a n}为等差数列，其公差d为5，根据已知利用等差数列的通项公式即可求解．解：∵a n+1＝a n+5，可得：a n+1﹣a n＝5，∴数列{a n}为等差数列，其公差d为5，∵a1＝3，∴数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝3+5×（n﹣1）＝5n﹣2，n∈N*．故答案为：5n﹣2．3．函数f（x）＝tan（x+）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．【分析】直接根据正切函数的定义域，利用整体思想求出f（x）的定义域．解：令，解得（k∈Z），故函数f（x）的定义域为{x|}（k∈Z）．4．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝．【分析】由条件利用两角差的正切公式求得tan（α+）的值．解：∵tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，∴tan（α+）＝＝＝，5．数列{a n}的通项，则前10项的和a1+a2+a3+…+a10＝5．【分析】利用y＝sin是周期为4的函数求解．解：y＝sin是周期为4的函数，n＝1，2，3，4时，的值分别为1，0，﹣1，0，则前10项的和a1+a2+a3+…+a10＝1+0﹣3+0+5+0﹣7+0+9+0＝5．故答案为：5．6．已知，且，则cos2α＝﹣．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．解：∵已知，且，∴1+sin2α＝，且π＜2α＜，∴sin2α＝﹣则cos2α＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．7．已知x＝3是函数f（x）＝log2（ax+1）﹣2x的零点，则a＝21．【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f（3）＝log2（3a+1）﹣6＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，x＝3是函数f（x）＝log2（ax+1）﹣2x的零点，则f（3）＝log2（3a+1）﹣6＝0，解可得a＝21；故答案为：21．8．已知函数y＝arcsin（cos x）的定义域为，则该函数的值域为（﹣，]．【分析】由题意利用反三角函数的定义和性质，求得结果．解：函数y＝arcsin（cos x）的定义域为，∴cos x∈（﹣，1]，则该函数的值域为（﹣，]，故答案为：（﹣，]．9．在实数1和81之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n，再令．则数列{a n}的通项公式a n＝2（n+2）．【分析】由题意，设这n+2个数构成的等比数列为b n，利用等比数列的性质可求T n＝（）n+2＝9n+2，进而根据已知可求数列{a n}的通项公式．解：由题意，设这n+2个数构成的等比数列为b n，则b1＝1，b n+2＝81，且b1•b n+2＝b2•b n+1＝b3•b n＝…，所以T n＝（）n+2＝9n+2，从而a n＝log3T n＝log39n+2＝2（n+2）．故答案为：2（n+2）．10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．设a，b，c满足b2+c2﹣bc ＝a2和，则tan B＝．【分析】根据余弦定理表示出cos A，把已知条件b2+c2﹣bc＝a2代入化简后，根据特殊角的三角函数值及cos A大于0即可得到∠A；利用三角形的内角和定理和∠A表示出∠C 与∠B的关系，然后根据正弦定理得到与相等，把∠C与∠B的关系代入到中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到一个关于cot B的方程，求出方程的解即可得到cot B的值，根据同角三角函数的关系即可得到tan B的值．解：由余弦定理b2+c2﹣a2＝2bc cos A，由条件b2+c2﹣bc＝a2，即b2+c2﹣a2＝bc，则2bc cos A＝bc，故cos A＝，所以A＝，则在△ABC中，∠C＝π﹣∠A﹣∠B＝﹣∠B．由已知条件，应用正弦定理+＝＝＝＝＝cot B+，解得cot B＝2，从而tan B＝．故答案为：．二、选择题11．sin240°的值是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由题意利用诱导公式，求得结果．解：sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°＝﹣，故选：D．12．设sinα＝﹣，cosα＝，那么下列的点在角α的终边上的是（）A．（﹣3，4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）【分析】利用三角函数的定义有，从而可知选C．解：由于sinα＝﹣，cosα＝，根据，可知x＝4，y＝﹣3，故选：B．13．对于函数，下列命题：①函数对任意x都有．②函数图象关于点对称．③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向右平移个单位而得到．④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用函数的对称性判断A，B，函数的图象的平移判断C，判断D，即可得到结果．解：对于函数，①函数，x＝是函数的一条对称轴，所以对任意x都有．所以①正确；②x＝时，f（x）＝sinπ＝0，所以函数图象关于点对称．所以②正确；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到．所以③不正确；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到，正确．故选：C．三、解答题14．已知α为第二象限角，化简．【分析】应用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：∵α为第二象限角，∴原式＝．15．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数．（1）求k的值；（2）求这段时间水深（单位：m）的最大值．【分析】（1）由图象利用函数y的最小值，即可求出k的值；（2）根据函数y的最大值得出这段时间水深的最大值．解：（1）由图象知，函数y的最小值为2，即﹣3+k＝2，解得k＝5；（2）函数y的最大值为3+k＝3+5＝8，所以这段时间水深的最大值为8m．16．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lgx．（1）当x＜0时，求函数y＝f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＜1的解集．【分析】（1）可设x＜0，从而根据题意即可得出f（﹣x）＝lg（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）＝﹣lg（﹣x）；（2）根据f（x）的解析式，讨论x＞0，x＝0，和x＜0，由f（x）＜1解出x的范围即可．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝lgx，∴f（﹣x）＝lg（﹣x）＝﹣f（x），∴x＜0时，f（x）＝﹣lg（﹣x）；（2）当x＞0时，由lgx＜1得，0＜x＜10；当x＝0时，f（x）＝0＜1；当x＜0时，由﹣lg（﹣x）＜1得，x，综上，f（x）＜1的解集为．17．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的周期；（2）解三角方程f（x）＝﹣1．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用三角方程的应用求出结果．解：（1），＝，＝，＝，＝，所以函数的最小正周期为．（2）令：，整理得：，所以或（k∈Z），解得（k∈Z），三角方程的解集为{x|}（k∈Z）．18．已知数列{a n}的通项公式为是，且．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{c n}的通项满足，问数列{c n}的前多少项之和最大？【分析】（1）利用＝＝＝．（n≥2）．即可证明．（2）可得c n＝，利用当n≤5时，c1＞c2＞…c5＝0，当n＞5时，c n＜0，即可求解．解：（1）证明：＝＝＝（n≥2），∴数列{b n}是等比数列；（2）b1＝a1+a2＝16，＝43﹣n，∴log4b n＝3﹣n，∵，∴c n＝，当n≤5时，c1＞c2＞…c5＝0，当n＞5时，c n＜0，∴数列{c n}的前4项或5项之和最大．。
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
上海市静安区重点名校2019-2020学年高一下学期期末达标测试数学试题含解析
上海市静安区重点名校2019-2020学年高一下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．0.4.7ˆ1yx =+ B ．2 1.2ˆ-yx = C ．-37.5ˆyx =+ D ．-2 6.5ˆyx =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由于变量x 与y 负相关，得回归直线的斜率为负数，再由回归直线经过样本点的中心()2,2.5，得到可能的回归直线方程. 【详解】由于变量x 与y 负相关，排除A,B ，把()2,2.5代入直线5ˆ2 6.yx =-+得： 2.522 6.5=-⨯+成立，所以()2,2.5在直线上，故选D.【点睛】本题考查回归直线斜率的正负、回归直线过样本点中心，考查基本数据处理能力.2．已知函数()222xf x m x m =⋅++-，若存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]2(01]-∞-⋃，，B ．[)(]2001-⋃，， C ．[)[)201-⋃+∞，， D ．(][)21-∞-⋃+∞，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知方程()()f x f x -=-有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出2422m m-≥，再利用分类讨论思想即可求出实数m 的取值范围． 【详解】由题意知，方程()()f x f x -=-有解， 则()()222222xx f x m x m m x m --=⋅-+-=-⋅++-，化简得()222240xxm m -++-=，即24222x xm m--+=，因为222x x -+≥，所以2422mm-≥，当0m >时，2422m m -≥化简得220m m +-≤， 解得01m <≤；当0m <时，2422m m-≥化简得220m m +-≥， 解得2m ≤-，综上所述m 的取值范围为(]2(01]-∞-⋃，，． 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用题设条件化简，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．3．已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，所以，所以23⋅a a =20. 故选C.4．已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A ．43B ．23C ．53D ．56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】 如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线24y x =-的距离，即()()min 221453221PC --==+-，此时，22minmin min 541133PMPN PC ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，∴四边形PMCN 面积的最小值为min11442212233PM CM ⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边； （2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值． 5．将函数()sin(2)3f x x π=-的图像左移3π个单位，则所得到的图象的解析式为A ．sin 2y x =B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)3y x π=+ D ．2sin23y x π=-（） 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换，将函数()f x 的图像左移3π个单位，得到sin[2()]33y x ππ=+-，即可得到函数的解析式. 【详解】由题意，将函数()sin(2)3f x x π=-的图像左移3π个单位，可得sin[2()]sin(2)333y x x πππ=+-=+的图象， 所以得到的函数的解析式为sin(2)3y x π=+，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是 A ．cos y x =- B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=【答案】B 【解析】 【分析】可先确定奇偶性，再确定单调性． 【详解】由题意A 、B 、C 三个函数都是偶函数，D 不是偶函数也不是奇函数，排除D ，A 中cos y x =-在(,0)-∞上不单调，C 中21y x =-在(,0)-∞是递增，只有B 中函数lg y x =在(,0)-∞上递减． 故选B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质． 7．将函数()cos f x x ω=（其中0>ω）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于（ ）A ．0B ．1C D【答案】D 【解析】 由题意*2()3k k N ππω=⋅∈，所以*6()k k N ω=∈，因此()cos6f x kx =，从而()cos244k f ππ=，可知()24f π． 8．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥【答案】C 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．9．某学生用随机模拟的方法推算圆周率π的近似值，在边长为2的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入1000粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有795粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率π的近似值为（ ） A ．3.1 B ．3.2C ．3.3D ．3.4【答案】B 【解析】 【分析】由落入圆内的芝麻数占落入正方形区域内的芝麻数的比例等于圆的面积与正方形的面积比相等，列等式求出π的近似值. 【详解】边长为2的正方形内有一内切圆的半径为1，圆的面积为21ππ⨯=，正方形的面积为224=， 由几何概型的概率公式可得79541000π=，得47953.18 3.21000π⨯==≈， 因此，该学生得到圆周率π的近似值为3.2，故选：B. 【点睛】本题考查利用随机模拟思想求圆周率π的近似值，解题的关键就是利用概率相等结合几何概型的概率公式列等式求解，考查计算能力，属于基础题. 10．下列不等式中正确的是( ) A ．若a b >，c d >，则a c b d ->- B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，则2211a b< D ．若0a b >>，则11a b<【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可得解. 【详解】解：对于选项A ，若a b >，c d >，不妨取0,2,3a c b d ===-=-，则a c b d -<-，即A 错误； 对于选项B ，若ac bc >，当0c <时，则a b <，即B 错误；对于选项C ，若a b >，不妨取1,2a b ==-，则2211a b>，即C 错误； 对于选项D ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <， ，即D 正确，故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.11．已知函数()sin(),(0,0)f x A x A ωϕω=+<>的值域为11[,]22-，且图像在同一周期内过两点351,,,22221B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,A ω的值分别为（ ） A ．1,22A ω== B ．1,22A ω=-= C ．1,2A ωπ=-=D ．1,22A ω== 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用()()min max2f x f x A -=可求出A 的值，再利用B 、C 两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，计算出周期T ，再由2Tπω=可计算出ω的值，从而可得出答案． 【详解】 由题意可知，()()min max11122222f x f x A ---===-，B 、C 两点横坐标之差的绝对值为周期T 的一半，则532222T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2T ωπ∴==π，因此，12A =-，ωπ=，故选C ． 【点睛】本题考查三角函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>的解析式的求解，求解步骤如下： （1）求A 、b ：max min 2y y A -=，min max2y y b +=； （2）求ω：根据题中信息求出最小正周期T ，利用公式2Tπω=求出ω的值； （3）求ϕ：将对称中心点和最高、最低点的坐标代入函数解析式，若选择对称中心点，还要注意函数在该点附近的单调性．12．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin sin )A C A C --=）A ．4B C D ．4或5【答案】C 【解析】 【分析】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，可得角A 、C 的关系，将已知条件()sin sin cos 22A C A C -+-=中角C 消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A 的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积. 【详解】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，则2A C B +=，解得23A C π+=，所以()2,sin sin 3C A A C A C π=---=，所以21sin cos 12sin 22232A A A π⎡⎤⎛⎫-+--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，整理得sin 1033A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或103A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3A π=或712π.①当3A π=时，211sin 4sin sin 2233ABC S ac B R ππ∆==⋅⋅=②当A = 712π时，2117sin 4sinsin sin 2212123ABC S ac B R πππ∆==⋅⋅⋅=，故选C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A 的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题13．在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，O 是对角线AC 与BD 的交点，若点F 是线段CD 上的动点，且点F 关于点O 的对称点为G ，则BF OG ⋅的最小值为______. 【答案】-6 【解析】 【分析】由题意()01CF CD λλ=≤≤，然后结合向量共线及数量积运算可得()()BF OG BC CF BG BO ⋅=+⋅-()()11BC BA BC BO CD BA CD BO λλλλ=-⋅-⋅+-⋅-⋅，再将已知条件代入求解即可. 【详解】解：菱形的对称性知，G 在线段AB 上，且AG CF =， 设()01CF CD λλ=≤≤， 则()1BG BA λ=-，所以()()BF OG BC CF BG BO ⋅=+⋅-()()1BC CD BA BO λλ⎡⎤=+⋅--⎣⎦()()11BC BA BC BO CD BA CD BOλλλλ=-⋅-⋅+-⋅-⋅()()221341341λλλλλλ=--+--=---，又因为[]0,1λ∈，当1λ=时，BF OG ⋅取得最小值-6. 故答案为：-6. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量共线及数量积运算，属中档题.14．22321lim 2n n n n n →∞+-=-+_________________．【答案】3 【解析】分式上下为n 的二次多项式,故上下同除以2n 进行分析. 【详解】由题,2222213321lim lim 1221n n n n n n n n n n →∞→∞+-+-=-+-+,又222112lim ,lim ,lim ,lim 0n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=, 故2222213321300lim lim =31221001n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-+-==-+-+-+. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了分式型多项式的极限问题，注意：当,0,,k j a b k j N+≠∈时,1111011110,() (i)=,()...0,()k k k k kj j n j j jk j a n a n a n a a k j b n b n b n b b k j ---→∞-⎧∞>⎪++++⎪=⎨++++⎪⎪<⎩15．已知()cot csc f ααα=+，若角α的终边经过点()43P ,-，求()f α的值.【答案】13【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cot α和csc α的值，从而可得()f α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()43P ,-，所以4cot =3α-=x y ，5csc 3α===ry ，则451()cot csc 333=+=-+=f ααα.故答案为：13【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A -，()1,1B -，若直线0x y m --=上存在点P使得PA =，则实数m 的取值范围是_____．【答案】⎡-⎣.【解析】设(,)P x y 由PA =，求出P 点轨迹方程，可判断其轨迹为圆C ，P 点又在直线0x y m --=，转化为直线与圆C 有公共点，只需圆心到直线0x y m --=的距离小于半径，得到关于m 的不等式，求解，即可得出结论. 【详解】设(,)P x y ，PA =，223PA PB =，2222(3)(3)3(1)3(1)x y x y ++-=++-，整理得226x y +=，又点P 在直线0x y m --=，直线0x y m --=与圆226x y +=共公共点，圆心(0,0)O 到直线0x y m --=的距离d ≤，|m m ≤≤∴-≤.故答案为:⎡-⎣.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。
上海市2020年高一下学期数学期末试卷(附答案)
上海市高一下学期数学期末试卷一、解答题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，且终边经过点（1，2），则sinα的值为_________．2．函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_________．4．若log23=m，用含m的式子表示log281，则log281=_________．5．方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．6．函数y=3cos2x的单调递减区间为_________．7．不等式log（x2+1）＜﹣1的解集为_________．8．若将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为_________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为_________．10．已知函数f（x）=．下列命题：①f（x）为奇函数；②函数f（x）的图象关于直线x=对称；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点；其中正确命题的序号是_________．11．在△ABC中，已知3cscA=cscB•cscC，3sesA=secB•sesC，则cotA的值为_________．12．如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“|sinx|=1”的（）A．充分非必要条件B．必要分充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件14．给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别是（）A．ω=1，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=﹣D．ω=2，φ=﹣16．学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC 的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）•sin（2α+β）=cos（+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解B．关于x的方程α•（log4x）2+β•log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8分）已知cosα=，α∈（0，），sinβ=﹣，β∈（π，），求cos（α﹣β）的值．18．（8分）设函数f（x）=log2（9x﹣5）．（1）求使得f（x）＞2成立的x的集合；（2）解方程f（x）=log2（3x﹣2）+2．19．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（+）=1，且a=2，求b+c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log3（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f﹣1（x）+log t存在零点，求实数t的取值范围；（3）若不等式f（x）﹣m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．21．（14分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）=具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．。
上海市静安区2020新高考高一数学下学期期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，60A ︒∠=，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对2．已知()3sin 5αβ-=，()3cos 5αβ+=-，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 2β的值为（ ） A ．2425B ．1C ．45-D ．1-3．已知函数()cos()f x x =+ωϕ在6x π=-时取最大值，在3x π=是取最小值，则以下各式：①(0)0f =；②02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π；③213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π可能成立的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，正方形的边长为，以为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图是函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>一个周期的图象，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++(6)f +的值等于A 2B ．22C ．22D ．226．已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠为三棱锥A BCD -，则在折叠过程中，不能出现（ ） A ．BD AC ⊥B ．平面ABD ⊥平面CBDC ．23A CBD V -=D ．AB CD ⊥7．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（ ）A ．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长B ．该超市这五个月中，利润基本保持不变C ．该超市这五个月中，三月份的利润最高D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关8．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =，则ABC 的周长的取值范围为（ ）A ．(6,36)B ．(26,36]C ．(6,36]D ．(26,36)9．已知圆C 与直线0x y -=和直线40x y --=都相切，且圆心C 在直线0x y +=上，则圆C 的方程是（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)4x y ++-=D ．22(1)(1)4x y -++= 10．若实数满足，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -，11,3AB BC AA ===1BC 与11D B 所成角的余弦值为 A ．24B ．144C ．2814D ．2212．已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，二、填空题：本题共4小题 13．已知函数sin ,0,(){(1),0,x x f x f x x π≤=->那么的值为 ．14．已知函数4(1)1y x x x =+>-，则函数的最小值是___． 15．设(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，0a >，0b >，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则11a b+的最小值是_______． 16．已知数列4293=-n a n，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k =______；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年上海市静安区新高考高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，向量,,,5OA a OB b OC c AC CB ====-，则（ ）A ．1544c a b =-+ B ．2c a b =-+C ．1322c a b =-+ D ．1433c a b =-+2．设等差数列{}n a 的前项的和为n S ，若60a <，70a >，且76a a >，则（ ） A ．11120S S +<B ．11120S S +>C ．11120S S ⋅<D ．11120S S ⋅>3．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．2205⎛⎫⎪⎝⎭， D ．2205⎛⎫ ⎪⎝⎭，4．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．已知直线1:20l mx y +-=与直线()2:240l m x my -+-=垂直，则m =（ ） A ．0B ．1C ．1-或0D ．0或17．把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=8．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，()3f x x =，则52f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．278C ．18D ．18-9．设A,B 是任意事件，下列哪一个关系式正确的（ ）A ．A+B=AB ．AB AC ．A+AB=AD ． A10．向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°11．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，1b =，则a b -与12a b +的夹角等于 A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒12．如图，ABC 为正三角形，////AA BB CC '''，332CC ABC AA BB CC AB 平面且''''⊥===，则多面体ABC A B C '''-的正视图(也称主视图)是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题13．已知函数f(n)＝n 2cos(nπ)，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝_______ 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553S π=，则24cos()a a +=_______ 15．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.16．已知变量x 和y 线性相关，其一组观测数据为()()()()()1122334455,,,,,,,,,x y x y x y x y x y ，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6759ˆ0.yx =+.若已知12345150x x x x x ++++=，则12345y y y y y ++++=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案
上海中学高一下期末数学试卷2020.6一、填空题1．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a = ． 2．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项． 3．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a = ． 4．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++= ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n = ． 6．数列{}n a 由2,(),n n n n a n a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩N 为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第 项．7．已知方程cos221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是 ．8．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a = ． 9．1111lim 132435(2)n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯⨯⨯+⎣⎦．10．对于数列{}n a ，当n 为奇数时，51n a n =+；当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列的前2n 项之和为 ．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所．有数．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ． 12．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为 ．二、选择题13．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅-”，从“n k =到1n k =+”，左边需增添的因式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 14．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．既不充分也不必要D ．充分必要15．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17 B ．17- C ．12 D ．12- 16．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ）A ．任一项均不为0B ．必有一项为0B ．至多有有限项为0 D ．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差效列，求,,a b c ．18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．19．己知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}2nn a -的前n 项和n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．21．对于实数x ，将满足“01y <≤且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1a a =，11,0,0,0n n n n a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．其中1,2,3,n =⋅⋅⋅．（1）若a ={}n a ；（2）当14a >时，对任意的n *∈N ，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ． （3）若a 是有理数，设pa q =（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．32n - 2．12 3．6 4．15 5．6或7 6．1536 7．[0,1) 8．1n 9．34 10．21522n n n +++- 11．1,13,246,3,n n n n n *=⎧⎪=⎨⎪-∈⎩N ≥ 12．1【第10题解析】分组求和：21321242()()n n n S a a a a a a -=+++++++21(6104)2(12)522212n n n n n n ++--=+=++--．【第11题解析】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；…可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n *=⎧⎪==⎨⎪-∈⎩N ≥．【第12题解析】由题意，112()n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n n n n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅，其各项和为12311113c q ==--．二、选择题13．B 14．B 15．C 16．D【第15题解析】222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，12q =符合，选C ． 【第16题解析】11,1(1),0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；否则，{}n S 无一项为0，选D ．三、解答题17．由题意，可设,9a b d c b d =--=+，于是293124()(9)312a b c b b b d b d b d d ++-===⎧⎧⇒⎨⎨-++===-⎩⎩或， 从而，可得1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．18．（1）即21(2cos 1)0cos 2()23x x x k k ππ-=⇒=⇒=±∈Z ； （2）即222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x +++=，两边同除2cos x ，可得22tan 3tan 10x x ++=，∴1tan 2x =-或tan 1x =-，∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭244x k πππ-=+或32()44x k k πππ-=+∈Z ，∴22x k ππ=+或2()x k k ππ=+∈Z ．19．（1）2n a n =-+；（2）由错位相减法，可得12n n nS -=． 20．（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列，∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤； ②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．21． （1）11a =，21111a a ====，1k a =，则1111k ka a +===所以1n a =． （2）1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<， ①当112a <<，即12a1<<时，211111a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解得a =1(,1)2a =，舍去）． ②当1132a <≤，即123a<≤时，211112a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==（111(,]32a =∉，舍去）． ③当1143a <≤，即134a<≤时，211113a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得a =11(,]43a ，舍去）．综上，A =⎪⎪⎩⎭． （3）成立． （证明1）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nn np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnp q 既约）． ①由111p pa q q ==，可得10p q <≤； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β<≤，,αβ是非负整数） 则n n n q p p βα=+，而由n n np a q =得1n n n q a p =11n n n n nq a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=，可得10n n p p +<≤ 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a ⋅⋅⋅均不为0，则这q 个正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾．故123,,,,q a a a a ⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =．从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对于大于q 的自然数n ，都有0n a =. （证法2，数学归纳法）。
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【答案】5
【解析】利用 的周期性求解即可.
【详解】
的周期 ，当 时 的值为1,0，-1,0,
则前10项的和 ，
故答案为：5
【点睛】
本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.
9．已知 ，且 ，则 的值是．
【答案】
【解析】【详解】
由
则
故答案为：
10．已知x＝3是函数 的零点，则 ______
【答案】B
【解析】利用任意角的三角函数的定义逐个分析判断即可
【详解】
解：对于A，若点 在角 的终边上，则 ，所以A错误；
对于B，若点 在角 的终边上，则 ， ，所以B正确；
对于C，若点 在角 的终边上，则 ， ，所以C错误；
对于D，若点 在角 的终边上，则 ， ，所以D错误，
故选：B
【点睛】
此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题
3．对于函数 ，下列命题：
①函数 对任意 都有 .
②函数 图像关于点 对称.
③函数 图像可看作是把 的图像向右平移 个单位而得到.
④函数 图像可看作是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.
其中正确命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】利用三角函数的平移，伸缩变换和三角函数的对称性依次判断即可得到答案.
二、填空题
4．余弦函数 在闭区间[______， ] 上是增函数.
【答案】
【解析】由余弦函数图像的性质可直接得结果.
【详解】
由余弦函数图像的性质可知 在闭区间[ ， ] 上是增函数，
故答案为：
【点睛】
本题考查余弦函数图像的性质，考查余弦函数的单调性，属于简单题.
5．数列 满足 ， ，则数列 的通项公式 ______
解：由 ，得 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案：
【点睛】
此题考查求正切型函数的定义域，属于基础题
7．已知 ， ,则 ________.
【答案】
【解析】由 ，再结合两角差的正切公式求解即可.
【详解】
解：因为 ， ,
又 ，
所以 = ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑 ，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.
【详解】
由 得 ，
又因为 得 .
由正弦定理，得
又因为 ，所以 ，所以 .
故答案为： ．【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.
三、解答题
14．已知 为第二象限角，化简 .
【答案】
【解析】依题意,可知， ，从而利用诱导公式与三角函数间的关系式化简所求的关系式即可.
【详解】
解：因为 为第二象限角，所以 ， .
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查运用诱导公式化简求值，熟练应用诱导公式与三角函数间的关系式是关键，属于中档题.
15．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 .
（1）求 的值；
（2）求这段时间水深（单位： ）的最大值.
【答案】（1） ；（2）这段时间水深的最大值是 .
【解析】（1）由图可知， ，而 ，从而可求出 的值；
【答案】
【解析】根据已知条件判断出数列 是等差数列，根据公差和首项求得 .
【详解】
依题意 ，所以数列 是首项 ，公差 的等差数列，
所以 .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查等差数列的定义和通项公式的求法，属于基础题.
6．函数 的定义域为______
【答案】
【解析】由 解此不等式可得函数的定义域
【详解】
，进而可求出数列 的通项公式
【详解】
记这 个数构成的等比数列为 ，
则 ， 且 ，
∴ ，
从而 .
故答案为：
【点睛】
此题考查等比数列的性质的应用，考查对数的运算，属于基础题
13．在 中， ， ， 所对的边长分别为 ， ， .设 ， ， 满足 和 ，则 ______
【答案】
【解析】先利用余弦定理求得 ，再由正弦定理 结合已知条件，求得 的关系式，求得 即可.
【解析】（1）利用函数奇偶性，和 时的解析式进行求解；
（2）分段求解不等式，然后求并集即可.
【详解】
解：（1）任取 ，则 ，有 ，
∵ 是奇函数，∴ ，所以 ，即
即当 时， .
（2）当 时，∵ ，∴ ；
当 时，有 ；
当 时，∵ ，∴ ，
综上， .
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及不等式的求解，基础题.
2019-2020学年上海市静安区高一下学期期末数学试题
一、单选题
1． 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，由诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】
，
故选：D
【点睛】
本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值，属于简单题.
2．设 ， ，那么下列的点在角 的终边上的是（）
A． B． C． D．
17．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）解三角方程 .
【答案】（1）周期 ；（2） 或 .
【详解】
对①，因为 ， ，
所以 为函数 的对称轴，
即对任意 都有 ，故①正确.
对②， ，
所以 为函数 的对称中心，故②正确；
对③， 的图像向右平移 个单位得到
，故③错误；
对④， 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
得到 ，故④正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移和伸缩变换，同时考查了三角函数的对称性，属于中档题.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】
此题复合函数求值域问题，考查反三角函数，属于基础题
12．在实数1和81之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记作 ，再令 .则数列 的通项公式 ______.
【答案】
【解析】若记这 个数构成的等比数列为 ，则 ， ，从而由等比数列的性质可得
（2）由函数关系式可求出其最大值即可
【详解】
（1）图知： ，因为 ，
所以 ，解得： .
（2） .
所以，这段时间水深的最大值是 .
【点睛】
此题考查三角函数图像和性质的应用，属于基础题
16．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）当 时，求函数 的解析式；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1）当 时， ；（2） .
【答案】21
【解析】由x＝3是函数的零点，即 ，将x＝3代入函数有 ，求解即得 的值
【详解】
∵x＝3是函数 的零点，即
∴ ，解得
故答案为：21
【点睛】
本题考察了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值
11．已知函数 的定义域为 ，则该函数的值域为______
【答案】
【解析】先由 求出 的范围，再求反三角函数值域即可