2021年高考数学高分套路对数及对数函数(原卷版)

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高考数学一轮复习学案第9讲对数函数（原卷版）

第9讲对数函数（原卷版）考点内容解读要求常考题型 1．对数函数的图像和性质理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式．两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。

高考数学重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷版)(全国通用)(新高考)

重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。

考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。

2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。

专题09 对数函数、幂函数、对勾函数与双刀函数——2021年高考数学专项复习训练含真题及解析

B.10
C.20
D.100
10.(高考母题)证明： log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8 3 。
推广： log2 3 log3 4 log4 5logn n 1 log2 n 1 。当前一个对数的真数是后一个对数的底数
连续相乘时，结果是以第一个对数的底数为底数，最后一个对数的真数为真数的对数。在对数相乘时，尽
A. 1,10
B. 5, 6
C. 10,12
D. 20, 24
3.(高考题)已知 a
5 1
，函数
f x a x ，若实数 m 、 n 满足
f (m)
f (n) ,则 m 、 n 的大小关系为
。
2
4.(高考题)设
a
1 ，函数
f
(x)
loga
x
在区间[a, 2a]
上的最大值与最小值之差为
1 2
8 27
2 3
+log9
7 2
log9
2 7
________。
21.(2020 年新课标全国卷 III4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公
K 布数据建立了某地区肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： I (t)=1 e0.23(t53) ，
b a
。
③传递性质： loga b logb c loga c 。 1.(高考题) lg 5 lg 20 的值是_______。
2.(高考题) 2 log5 10 log5 0.25 等于 (
)
A.0
B.1
C.2
D.4

2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)

专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a <>，且1a b +=，则下列结论正确的是（） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-．【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可；（2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==，而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-，则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误；对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确．故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】【分析】根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=，所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =，所以4x =，2y =，所以6x y +=，故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤；当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质；【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =，方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=，从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =，所以原方程的根为9x =或181x =；（2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =，即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =，所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +【答案】C 【解析】【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误，故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=，所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增；要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-，因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <，其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <．故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2．故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1116a ≤和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >，综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ，由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立，由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+，所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥，令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<，因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥，所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同，所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍）所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数，所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。

第06讲对数与对数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第06讲对数与对数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：对数的运算；高频考点二：换底公式高频考点三：对数函数的概念；高频考点四：对数函数的定义域高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域③根据对数函数的值域求参数值或范围高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象②根据对数（型）函数的图象判断参数③对数（型）函数图象过定点问题高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性②由对数函数（型）函数的单调性求参数③由对数函数（型）函数的单调性解不等式④对数（指数）综合比较大小高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值②根据对数（型）函数的最值求参数③对数（型）函数的最值与不等式综合应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲对数与对数函数（精练）1、对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log x a a N x N =⇔=. 2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质：①负数和零没有对数，即0N >；②1的对数等于0，即log 10a =；③底数的对数等于1，即log 1a a =；④对数恒等式log (0)a N a N N =>.（2）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①log ()log log a a a M N =M +N ⋅；②log log log a a a M =M N N-； ③log log ()n a a M =n M n ∈R .（3）对数的换底公式对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a=>≠>≠>且且. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①log log 01,0()且m n a a n b b a a b m =>≠>； ②(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠；③log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，0d >).3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如log x a y =(0a >，且1a ≠)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞．（2）对数函数的图象与性质定义域：(0,)+∞一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知x y >，则不等式ln ln x y >成立 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）32log 8log 99⨯=( )3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）21log 3436+=.( )4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若lg 2,lg3,a b ==则12log 5=12a a b -+ ( ) 二、单选题1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（）A ．ln y x =B ．x y e =C ．3y x =D ．1y x = 2．（2022·海南·模拟预测）已知20.70.7log 3,log 0.3,0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（）A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x << 4．（2022·陕西西安·高一期末）函数()ln x f x x=的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数()1ln 34y x x =-+的定义域是（） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭ D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭高频考点一：对数的运算1．（2022·甘肃平凉·二模（文））27log 7log 8⋅=______．2．（2022·北京师大附中高一期末）13331()log 5log 1527+-=______________． 3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++=______.4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：(1)()23log 279⨯；(2)101log 1000；(3)7775log 30log 12log 2--．高频考点二：换底公式1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知lg 2,lg3a b ==，则4log 75=（）A ．22a b a -+B ．22b a a -+C ．222b a a -+D ．222a b a-+ 2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知lg 2a =，lg3b =，用a ，b 表示36log 5，则36log 5=（）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b -+D ．122a a b-+ 3．（2022·山东济南·二模）已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a 、b 的代数式表示为（） A ．-a b B ．a b C ．b a D ．a b +4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：53611log log 6log 325⋅⋅=________.高频考点三：对数函数的概念1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()f x 满足①定义域为()0,∞+；②值域为R ；③()()22f x f x =.写出一个满足上述条件的函数：()f x =___________. 2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f （x ）的图象过点(3，－2），则f＝________.3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，且()()()f xy f x f y =+”的一个函数()f x =___________.4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f (x )=(a 2+a -5)log ax 是对数函数，则a =________.高频考点四：对数函数的定义域1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f （x ）的定义域为（）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（-∞，2）D ．（0， 12）2．（2022·四川·模拟预测（文））函数y =___________.3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数y =________.4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数()2lg 1y x kx =++定义域为R ，则实数k 的取值范围为______.5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数1ln 2x y x-=-的定义域为_____________．高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()222log log f x x x =+在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为_______________________． 2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数()2122log log f x x x =+．(1)求()f x 在区间[]1,8上的值域；3．（2022·全国·高一课时练习）求函数2log ,[8,)y x x =∈+∞的值域.②求对数型复合函数的值域1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为（）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数()212log 8y x =+的值域是________．3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()()()log 2log 4a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）的图象过点()1,2.(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在[]0,3上的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；③根据对数函数的值域求参数值或范围1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．9D ．272．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()log 1a f x x =+在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a 的值是___________.3．（2022·全国·高一阶段练习）函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数()2log 5242a y a x ax =--+⎡⎤⎣⎦有最小值，则a 的取值范围为______．5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数212()log (23)f x x ax =-+ .(1)当1a =-时，求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 取值范围.高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象1．（2022·广东汕尾·高一期末）当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log a y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数3x y -=与()3log y x =-的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．3．（2022·浙江·高三专题练习）已知lg lg 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()x f x a =与()1log bg x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．②根据对数（型）函数的图象判断参数1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知2(0,1)()log ,[1,2)aax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2a f x =有两解，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(1,2] D ．(1,2)3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<⎪⎩，若方程()0f x a -=有四个根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围是______.③对数（型）函数图象过定点问题1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数()log (1)3,(0,1)a f x x a a =-++>≠且的图象一定过定点__________.2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________.3．（2022·四川南充·高一期末）函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点是___________．高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A ．21y x =-+ B ．2log y x = C ．3y x = D．y =2．（2022·全国·高一课时练习）函数12()log f x x =的单调递增区间是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞ 3．（2022·北京·高三专题练习）函数()()212log 6f x x x =-++的单调递增区间是（）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·河北张家口·高一期末）函数()()22log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（）A ．(],3-∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．[)3,55．（2022·河南新乡·高一期末）函数()217log 2223y x x =--的单调递增区间为（）A ．()11,+∞B ．(),11-∞C ．()23,+∞D ．(),1-∞-6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）()()23log 28f x x x =--的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞②由对数函数（型）函数的单调性求参数1．（2022·陕西西安·高一期末）已知()log log 1a a b b <-，则a 的取值范围是（） A ．1a >B ．01a <<C ．a b >D ．0a b <<2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2，3]上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,)+∞B ．[6,)+∞C ．10,43⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数()2ln 3y x ax a =-+在[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．()4,-+∞B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．(]4,4-5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数()ln(2)=-f x ax 在(1,)+∞单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2]D ．[2,)+∞6．（2022·重庆·高一期末）已知关于x 的函数2log (2)y ax =-在[]0,1上是单调递减的函数，则a 的取值范围为（）A ．()0-，∞ B ．()0,+∞ C ．(]0,2D ．()02,7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()()217log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，则实数m的取值范围为（） A ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭③由对数函数（型）函数的单调性解不等式1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式()()2ln 1ln 35x x +>+的解集为（）A ．()4,+∞B ．()1,4-C ．()5,14,3⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),14,-∞-⋃+∞2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）3．（2022·北京房山·高一期末）设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x >，则x 的取值范围是（）A ．(0,3)B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(1,2)-4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数()211,,21log ,,2x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则满足()()21f x f x -<的x 的取值范围是（）A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）④对数（指数）综合比较大小1．（2022·广东中山·高一期末）设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．b a c <a cC ．24+>a b cD ．21316+<a a 3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知 1.12a =，0.64b =，ln 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0.2log 0.02a =，3log 30b =，ln 6c =，则（） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数()21f x ax =-在区间[]0,2上的最大值为7，则()log a g x x =在区间[]1,4上的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．42．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数()420.5()log 46f x x x =-+，则（）A ．()f x 有最小值，且最小值为-2B ．()f x 有最小值，且最小值为-1C ．()f x 有最大值，且最大值为-2D ．()f x 有最大值，且最大值为-13．（2022·上海金山·高一期末）函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______. 4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________. 5．（2021·全国·高一课时练习）函数()23()log 9f x x =-的最大值是_______．②根据对数（型）函数的最值求参数1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数()21log ,a f x x x a ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值与最小值的差为2，则=a （） A ．4B ．3C ．2D2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（）A ．12a <<B ．02,1a a <<≠C ．01a <<D ．2a ≥3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数()22,4,log ,4,x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(,4]-∞ B ．[2,)-+∞ C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-4．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是____________.5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. (1)求a 的值；(2)当函数()f x 在定义域内是增函数时，令()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并证明，并求出()g x 的值域.6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）. (1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使函数()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数()()log 1a f x x =-（0a >，且1a ≠） (1)求()2f 的值及函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 在[]2,9上的最大值与最小值之差为3，求实数a 的值．③对数（型）函数的最值与不等式综合应用1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数()1lg 43x x f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，则实数m 的取值范围为 A ．19,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭-C ．1911,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1911,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数()4412log 2log 2y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[1,16]x ∈时，求该函数的值域；(2)若()4441log 2log log 2x x m x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，对于[4,16]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数3()log (933)x xf x k =-⋅-，其中k 为常数.（1）当2k =时，求()f x 的定义域；（2）若对任意[1,)x ∈+∞，关于x 的不等式(x)x f ≥恒成立，求实数k 的取值范围.1．（2021·湖南·高考真题）函数3()log (1)f x x =+的定义域为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．(0,)+∞2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 103．（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6一、单选题1．（2021·江苏·高一专题练习）已知136a =，b log =21.2c =，则a b c ，，的大小关系是（） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．a b c >>D ．b a c >>2．（2021·江苏·高一专题练习）1182112416--⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A B C ．D ．3．（2021·江苏·高一专题练习）已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（） A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --4．（2021·浙江·高一期中）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（） A ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,1D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知()212()log f x x ax a =-+的值域为R ，且()f x 在(3,1)--上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．20a ≤≤ B ．102a -≤≤或4a ≥C ．20a -≤≤或4a ≥D ．04a ≤≤6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（）．A ．10B ．1C ．11D ．lg117．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数21()log 1xf x x的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[]a b D ⊆，，使()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2x f x t =+（其中0t ≥）为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（） A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，二、填空题9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习）()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________． 10．（2021·江苏·高一专题练习）已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________． 11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数()221log 2f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒正，则实数a 的取值范围是__________．12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“K 函数”.设()()22log 21,23,2x mx x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“K 函数”，则实数m 的取值范围是___________. 三、解答题13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值 (1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数()()212log f x x mx m =--． (1)若1m =，求函数()f x 的定义域．(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数()f x 在区间(1-∞，上是增函数，求实数m 的取值范围．15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数22()log (21),()log (21)()x xf xg x f x =+=--(1)求()g x 的定义域并判断()g x 的奇偶性； (2)求函数()g x 的值域；(3)若关于x 的方程(),[0,1]f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数22()log (1)21=+-f x x ． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)对任意的()0x ∈-∞，，不等式12(21)log (2)++>-x x f m 恒成立，求实数m 的取值范围．。

第12讲对数与对数函数(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)

3
2
所以( ) m 与( ) n 均为方程 t 2＋ t －1＝0的实数根，由 t 2＋ t －1＝0，解得 t ＝
3
2
3
2
3
2
3
2
因为( ) m ＞0，( ) n ＞0，所以( ) m ＝( ) n ＝

所以 m ＝ n ，＝
6
4
3
2
＝( ) m ＝
−1+ 5
2
−1+ 5
2
，故选B.
3
2
−1+ 5
∴ f ( x )是偶函数，∴由 f (ln x )＋ f (－ln x )＜2可得2 f (ln x )＜2，即 f (ln x )＜1.
当 x ＞0时， f ( x )＝log2 x ＋ x 2.∵ y ＝log2 x 和 y ＝ x 2在(0，＋∞)上都是单调递增的，
1

∴ f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，又 f (1)＝1，∴｜ln x ｜＜1且ln x ≠0，∴ ＜ x ＜e且 x ≠1，
＜1时相反.
(2)研究 y ＝ f (log ax )型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令 t ＝log
ax ，则只需研究
注意
t ＝log ax 及 y ＝ f ( t )的单调性即可.
研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，
否则所得范围易出错.
角度1
例3
比较大小
1
(1)[2021新高考卷Ⅱ]若 a ＝log52， b ＝log83， c ＝，则( C
f (－ln x )＜2的解集为(
1

D
1

A. ( ，1)

专题09 对数与对数函数(重难点突破)原卷版附答案.pdf

ab 2b
2
.
11
（2）. 求下列函数的定义域： 1
(1)f(x)＝lg(x－2)＋x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．【解析】 (1)要使函数有意义,需满足Error!解得 x>2 且 x≠3, 所以函数定义域为(2,3)∪(3,＋∞)． (2)要使函数有意义,需满足Error!解得－1<x<0 或 0<x<4, 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
底数,N 叫做真数.
重难点二对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0,且 a≠1). (2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M ②loga N ＝logaM－logaN；
B． y ln(2 x) C． y ln(1 x)
D．
3
y ln(2 x)
（3）．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是( )
A．a>1,b<0
B．a>1,b>0
C．0<a<1,b>0
D．0<a<1,b<0
（4）．当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象为( )
例 2 求下列函数的定义域：
1
1
(1)f(x)＝
；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
1
2－x
log x＋1
2
1
1
【解析】(1)要使函数 f(x)有意义,则 log x＋1>0,即 log x>－1,解得 0<x<2,即函数 f(x)的定义

微专题16 对数函数及其性质(原卷版)

微专题16对数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、对数函数的图象与性质1a >01a <<图象性质定义域：()0,+∞值域：R过定点()1,0，即1x =时，0y =在()0,+∞上增函数在()0,+∞上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤知识点诠释：关于对数式log a N 的符号问题，既受.a .的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．以1为分界点，当a ，N 同侧时，log 0a N >；当a ，N 异侧时，log 0a N <．知识点二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．（见下图）【题型归纳目录】题型一：对数函数与对数型函数图象问题题型二：对数函数性质的理解与运用题型三：对数不等式的解法题型四：对数函数图象与性质的综合问题题型五：反函数性质的高级应用【典型例题】题型一：对数函数与对数型函数图象问题例1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为（）A ．B．C．D．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc 的取值范围是（）A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)例3．（2022·全国·高一课时练习）函数2()log ||f x x x =的图象大致为（）A ．B．C ．D ．变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()lg 1f x x =+，若()()()f a f b a b =<，则（）A ．()()111a b -->B ．()()111a b --=C ．()()111a b --<D ．以上选项均有可能变式2．（2022·全国·高一专题练习）函数()log 10(a y x a =+>，且1a ≠)与函数221y x ax =-+在同一直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．变式3．（2022·湖南·高一期末）已知三个函数,,log x b c y a y x y x ===的图象示，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b>>D ．c b a>>变式4．（2022·全国·高一专题练习）设幂函数312,,c c c y x y x y x ===，指数函数1234,,,x x x x y a y a y a y a ====，对数函数1234log ,log ,log ,log b b b b y x y x y x y x ====在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（）.A ．13201c c c <<<⎪⎩，若关于x 的方程()()f x m m R =∈有四个不相等的实根1234,,,x x x x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（）A ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．70,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．90,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式6．（2022·四川·广安二中高一期中）当104x <<时，16log xa x <，则a 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1(0,2D ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，变式7．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数()log 11a y x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点()00,A x y ，且满足001mx ny +=，其中m ，n 是正实数，则21m n+的最小值（）A ．4B．C ．9D变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（)A ．2-B ．2C ．1D ．1-变式9．（2022·全国·高一课时练习）已知1x ，2x ，3x 分别为方程122log xx =，21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的根，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（）A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．312x x x <<D ．321x x x <<题型二：对数函数性质的理解与运用例4．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f （x ）=m +log 2x 2的定义域是[1，2]，且f （x ）≤4，则实数m 的取值范围是（）A ．（-∞，2]B ．（-∞，2）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）例5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()[]2lg 1,1,3f x x x =+∈-，则()f x 的值域为（）A ．[)0,∞+B ．[)0,1C ．[]lg2,1D ．[]0,1例6．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数()()123,1ln 1,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式10．（2022·四川攀枝花·高一期末）已知函数()2log f x x =，()2g x a x =-，若存在[]12,1,2x x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),25,-∞⋃+∞B ．(][),25,-∞⋃+∞C ．()2,5D ．[]2,5变式11．（2022·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知()212()log f x x ax a =-+的值域为R ，且()f x 在(3,1)--上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．20a ≤≤B ．102a -≤≤或4a ≥C ．20a -≤≤或4a ≥D ．04a ≤≤变式12．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）若0.8log 0.9a =， 1.2log 0.9b =，0.91.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．c a b>>变式13．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知log 3>log 3>0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2log ()0a b ->D ．21a b -<变式14．（2022·全国·高一课时练习）函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,1变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,3B ．()1,3C ．()0,1D ．()1,+∞变式16．（2022·全国·高一课时练习）设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()324f x f x ->-成立的x 的取值范围为（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭变式17．（2022·全国·高一单元测试）函数212)(()log 34f x x x =-++的单调增区间为（）A ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．3,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭变式18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）若函数22()log f x m x =+在区间[1,2]上恒有()4f x ≤，则实数m 的取值范围是（）A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞变式19．（2022·全国·高一专题练习）已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭变式20．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数()21log ,a f x x x a ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值与最小值的差为2，则=a （）A ．4B ．3C ．2D题型三：对数不等式的解法例7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()()2log 1f x x x =+-，则不等式()0f x >的解集是___________.例8．（2022·吉林松原·高一阶段练习）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则不等式()8log 0f x >的解集为___．例9．（2022·河南新乡·高一期末）已知函数()2log 1f x x =-，则不等式()12f x -≤的解集为__________．变式21．（2022·上海市控江中学高一期末）不等式lg 1x >的解集为______.变式22．（2022·全国·高一专题练习）不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______．变式23．（2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知实数0a >，且满足324155,a a ++>则不等式()()log 32log 85a a x x +<-的解集为___________.变式24．（2022·全国·高一单元测试）不等式()2log 431x x ->+的解集是______.变式25．（2022·全国·高一单元测试）不等式()22log 12x +<的解集为______．变式26．（2022·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）已知不等式()22log 251ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是________．变式27．（2022·全国·高一专题练习）不等式log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)的解集为________．变式28．（2022·全国·高一专题练习）21,1()lg ,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩，则不等式(2)()f x f x -<的解集为__.变式29．（2022·上海市行知中学高一期中）已知函数2()lg ||f x x x =+，则不等式()1f x >的解集为________．变式30．（2022·云南·昭通市第一中学高一期中）已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.变式31．（2022·浙江·高一期末）已知函数1(),12xf x x R =∈+，则不等式()1log 23af >的解集为____________．题型四：对数函数图象与性质的综合问题例10．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=且()()2log 21x f x kx =++，()()g x f x x =+．(1)求()f x 的解析式；(2)若不等式()()4213x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 取值范围；(3)设()221h x x mx =-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12g x h x ≥，求实数m 取值范围．例11．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）已知函数()()241=log 2log +2f x x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求不等式()2f x >的解集；(2)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域；(3)若()4log f x m x <对于任意[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围.例12．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数()()2210f x ax x a a =-+->．(1)若()f x 在区间[]1,2为单调增函数，求a 的取值范围；(2)设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；(3)设函数211()log 21xh x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，若对任意[]12,1,2x x ∈，不等式()()12f x h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．变式32．（2022·上海交大附中高一期中）已知0a ≠，函数()2log 4axf x x=-．(1)若3a =，求不等式()1f x <的解集；(2)若0a >，求证：函数y f x =（）的图象关于点()22,log P a 成中心对称；(3)若方程2(()log 2)0f x a x +--=的解集恰有一个元素，求a 的取值范围．变式33．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2log (0f x x a a =+>），当点M （x ，y ）在函数g （x ）的图象上运动时，对应的点(3,2)M x y '在f （x ）的图象上运动，则称g （x ）是f （x ）的相关函数．(1)解关于x 的不等式()1f x <；(2)若对任意的()0,1x ∈，f （x ）的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围；(3)设函数()()()F x f x g x =-，()0,1x ∈，当1a =时，求|F （x ）|的最大值．题型五：反函数性质的高级应用例13．（2022·湖北·高一阶段练习）若实数α，β满足e 2αα=，ln 2ββ=，则αβ=（）A ．eB ．1C ．12D ．2例14．（2022·北京市八一中学高一阶段练习）已知1a >，若1x 是函数()log 2021a f x x x =-的一个零点，2x 是函数()2021xg x xa =-的一个零点，则12x x 的值为（）A ．1B ．2021C ．22021D ．4016例15．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ，则m n +的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6变式34．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，若，2020m n +=，()()222m nf f -+-=，则=a （）A ．1011B ．1009C ．1009-D ．1011-变式35．（2022·福建师大二附中高一期中）设方程230 x x +-=的根为α，方程260x x +-=的根为β，则αβ+=（）A ．1B ．2C ．3D ．6变式36．（2022·河北师范大学附属中学高一期中）已知函数()102x x f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【过关测试】一、单选题1．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数0a >，且1a ≠，0b >，且1b ≠，“a b >”是“log 2log 2a b <”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）已知 5.10.9m =，0.8log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（）A ．p ＜n ＜mB ．n ＜p ＜mC ．m ＜n ＜pD ．n ＜m ＜p3．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而中国象棋空间复杂度的上限N 约为4810（参考数据：lg30.48)≈，则下列各数中与MN最接近的是（）A ．5010l B ．12510C ．10510D ．135104．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于y 轴对称，若()03f x =，则0=x （）A ．2log 3B ．2log 3-C ．22log 3-D ．22log 3--5．（2022·天津·高一期末）函数()213()log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（）A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．(1,3]D ．[3,5)6．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数()||2()ln 211x f x x =-+-，则不等式(2)0xf x -<的解集是（）A ．(,0)(1,3)-∞B ．(3,1)(0,)--+∞C ．(,0)(1,2)(2,3)-∞D ．(3,0)(0,2)(2,)-+∞7．（2022·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数,,x y z ，满足346x y z ==，则下列说法不正确的是（）A ．1112x y z +=B ．346x y z >>C．3(2x y z+>D ．22xy z >8．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校高一阶段练习）已知函数()()221,01log 1,1x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩，g （x ）＝ax 2＋2x ＋a －1，若对任意的实数x 1∈[0，＋∞)，总存在实数x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为（）A ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）下列判断正确的是（）A ．0∈∅B ．函数()1f x x=在定义域上单调递减C ．函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠过定点()2,1D ．函数234()2xx f x -++=的单调递增区间是3,2⎛⎤-∞ ⎝⎦10．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．149a b+ B ．222139a b b ++C ．224a b + D ．22log log 2a b +- 11．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数()ln f x x =，0a b <<，且()() f a f b =，下列结论正确的是（）A ．1b a >B．2a b ->C ．23b a+>D ．()()22118a b +++>12．（2022·浙江·杭十四中高一期末）关于函数1()ln 1xf x x-=+，下列说法中正确的有（）A ．()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．对任意1x ，()21,1x ∈-，都有()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝++⎭=三、填空题13．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式()()2log ln 40,1a x x a a -<>≠对于任意()31,e x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________14．（2022·天津南开·高一期末）下列命题中：①2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称;②已知函数()2121f x x x -=--，则()526f =;③当0a >，且1a ≠时，函数()23x f x a -=-必过定点()2,2-；④已知()231a bk k ==≠，且121a b+=，则实数8k =.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.15．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知定义在()0,+∞上的函数331log ,0<3()=log 1,3<94>9x x f x x x x -≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，设,,a b c 为三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为_______.16．（2022·云南省楚雄第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 是定义在[]121a a -+，上的偶函数，当01x a + 时，()3.1f x x x =-+若()2log 1f m >，则m 的取值范围是__________.17．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数())ln 31f x x x =-++，若,R a b ∈，2022a b +=，则()()20231f b f a -++=________．18．（2022·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()f x m =有三个不同实根满足123x x x <<，则()2021123x x m x ++的取值范围为___________.四、解答题19．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知21()log 1xf x x+=-(1)求()f x 的定义域、并判断函数的奇偶性；(2)求使()0f x >的x 的取值范围.20．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知a ∈R ，函数()()22log f x x x a =++(1)若函数()f x 过点()1,1，求此时函数()f x 的解析式；(2)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.21．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数()2f x x bx c =-+，()f x 的对称轴为1x =且()01f =-．(1)求b 、c 的值；(2)当[]0,3x ∈时，求()f x 的取值范围；(3)若不等式()()2log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围.。

第06讲对数与对数函数 (含新定义解答题) (分层精练)(原卷版)-备战2025年高考数学一轮复习

A，B，C
的横坐标分别为
m, n,
，满足
1 m
1 n
1
，
则a
，b
．
3．（2024 上·湖南娄底·高一统考期末）设函数 f (x) 的定义域为 D，若满足：① f (x) 在 D 内是单调增函数；②存在[m, n] D(n m) ，使得 f (x) 在[m, n] 上的值域为[m, n] ，那么就称
(2) 1 lg125 1 lg4 lg
3
2
0.1 e ln2 log 29 log 316 .
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14．（2024 上·安徽安庆·高一统考期末）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为 100℃，经过 1 分钟测得其温度变为 80℃，再经过 1 分钟测得其温度变为 65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度 y（单位：℃）随经过的时间 t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型： ① y a bt c（ a,b, c 为常数， a 0,b 0 且 b 1）； ② y pt2 qt r （ p, q, r 为常数， p 0 ）． (1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型； (2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过 60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据： lg2 0.30, lg3 0.48 ）
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突破14 对数与对数函数(重难点突破)(原卷版)

突破14 对数与对数函数重难点突破一、基础知识【知识点一、对数】 1．对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作_______，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把e log N 记为ln N ． 2．对数与指数的关系当a >0，且a ≠1时，log ba a Nb N =⇔=．即3．对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即0N >；（2）1的对数等于0，即log 10a =；（3）底数的对数等于1，即log 1a a =．【知识点二、对数的运算】 1．基本性质若0,1,0a a N >≠>且，则（1）log a Na=______；（2）log ba a =______．2．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log _________a (M N)=⋅；（2）log ________aM=N；（3）log _______()n a M =n ∈R ．【知识点三、换底公式及公式的推广】 1．对数的换底公式log log (0,1;0,1;0)log c b c NN b b c c N b=>≠>≠>且且．【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．2．公式的推广（1）1log log a b b a=（其中a >0且1a ≠；b >0且1b ≠）；（2）log log n na ab b =（其中a >0且1a ≠；b >0）；（3）log log n m a a mb b n=（其中a >0且1a ≠；b >0）；（4）1log log a ab b =-（其中a >0且1a ≠；b >0）；（5）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=（其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0）．【知识点四、对数函数】 1．对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征（1）对数符号前面的系数是1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；（3）对数的真数仅有自变量x ．【知识点五、对数函数的图象与性质】1．一般地，对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质如下表所示：01a << 1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R奇偶性非奇非偶函数过定点过定点(1,0)，即1x =时，0y =单调性在(0,)+∞上是___函数在(0,)+∞上是___函数函数值的变化情况当01x <<时，0y >；当1x >时，0y <当01x <<时，0y <；当1x >时，0y >【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1了可不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过（1，0）点．2．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且中的底数对其图象的影响在直线x =1的右侧，当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．【知识点六、反函数】根据指数与对数的关系，将指数式(0,1)xy a a a =>≠且（其中x 是自变量，且x ∈R ，y 是x 的函数，(0,)y ∈+∞）化成对数式，即log a x y =，于是对于任意一个(0,)y ∈+∞，通过式子log a x y =都有唯一一个x ∈R 与之对应，这样将y 看成自变量，x 是y 的函数，这时我们就说log ((0,))a x y y =∈+∞是函数()x y a x =∈R 的反函数．由于习惯上将x 看成自变量，而将y 看成因变量，因此，我们将log a x y =中的x ，y 互换，写成log ((0,))a y x x =∈+∞，即对数函数log ((0,))a y x x =∈+∞是指数函数()x y a x =∈R 的反函数，它们的图象关于直线y x =对称．二、题型分析1．对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．【例1】在对数式(1)log (3)x x --中，实数x 的取值范围应该是 A ．1<x <3B ．x >1且x ≠2C ．x >3D ．1<x <3且x ≠2【变式训练1】在M ＝log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞） C ．（4，+∞）D ．（3，4）【变式训练2若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为．2．对数运算性质的应用对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如log a a =1(0,1)a a >≠且，log log 1a b b a ⋅=等．【例2】计算：（1）9log 32162)23(log --+；（2）2(lg 5)lg 2lg 5lg 2+⨯+．【变式训练1】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．3．换底公式的应用换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数．【例3】已知711,log 473ab ⎛⎫== ⎪⎝⎭，试用,a b 表示49log 48．【变式训练1】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c •log c a ；（2）log 23•log 34•log 45•log 52；（3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）．【变式训练2】利用对数的换底公式化简下列各式：（log 43+log 83）（log 32+log 92）4．对数方程的求解解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解．【例4】方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为．【变式训练1】求下列各式中x 的值：（1）log 4x ＝﹣，求x ；（2）已知log 2（log 3x ）＝1，求x ．【变式训练2】求下列各式中x 的值：（1）log x 27＝；（2）4x ＝5×3x ．【变式训练3】先将下列式子改写指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝﹣ ②log x 3＝﹣．5．与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．【例5】已知函数33()log (2)log (6)f x x x =-++．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的最大值．【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（） A ．B ．C ．D ．【变式训练2】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【变式训练3】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]6．对数函数的图象对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,x y ，即可得到定点的坐标．当底数1a >时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数，当1x >时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a <<时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数，当01x <<时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y =1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【例6】设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 A ．(1,2)- B ．(2,1)- C ．(3,2)-D ．(3,2)【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）若当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，则函数y ＝log a ||的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】（2018秋•船营区校级月考）函数f （x ）＝的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【变式训练3】（2019秋•洛南县期末）函数y ＝|lg （x +1）|的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．（2）解简单的对数不等式：形如log log a a x b >的不等式，常借助=log a y x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况进行讨论；形如log a x b >的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解．【例7】已知13212112,log ,log 33a b c -===，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >>【变式训练1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（） A ．B ．C ．D ．8．对数型复合函数的性质及其应用（1）对数复合函数的单调性复合函数y =f [g （x ）]是由y =f （x ）与y =g （x ）复合而成，若f （x ）与g （x ）的单调性相同，则其复合函数f [g （x ）]为增函数；若f （x ）与g （x ）的单调性相反，则其复合函数f [g （x ）]为减函数．对于对数型复合函数y =log a f （x ）来说，函数y =log a f （x ）可看成是y =log a u 与u =f （x ）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．（2）对于形如y =log a f （x ）（a >0，且a ≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y =log a u ，u =f （x ）两个函数； ②求f （x ）的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y =log a u 的单调性求解．【例8】讨论函数()2log 32()1a f x x x =--的单调性．【变式训练1】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【变式训练2】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]【变式训练3】（2019秋•南昌校级期中）函数y ＝log 4（2x +3﹣x 2）值域为．【变式训练4】函数y ＝（x ）2﹣x 2+5 在 2≤x ≤4时的值域为．9．忽略真数大于0【例9】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值．10．忽略对底数的讨论【例10】不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______．三．课后作业1．222log log 63+等于 A ．1B ．2C ．5D ．62．实数01()lg42lg52-++的值为 A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数f （x ）=log 2（3+x ）+log 2（3–x ），则f （1）= A ．1 B ．log 26C ．3D ．log 294．若212log log 2a b +=，则有A ．a =2bB ．b =2aC ．a =4bD ．b =4a5．设()()2log 20xf x x =>，则f （3）的值是A ．128B ．256C ．512D ．86．log 513+log 53等于 A ．0 B ．1C ．–1D ．log 51037．若a =3412（），b =1234（），c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c C ．ln （a –b ）>0D ．3a –b <111．函数y =__________．12．函数y =lg x 的反函数是__________．13．函数f （x ）的定义域为__________． 14．设2x =5y =m ，且11x y+=2，则m 的值是__________． 15．方程log 2（2–x ）+log 2（3–x ）=log 212的解x =__________． 16．已知f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ），则f （x ）是 A ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是增函数 B ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是增函数 C ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是减函数 D ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是减函数 17．设正实数a ，b 满足6a =2b ，则A ．01ba <b >c B ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a20．若正实数x ，y 满足log 2（x +3y ）=log 4x 2+log 2（2y ），则x +3y 的最小值是 A ．12 B ．10C ．8D ．621．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是 A ．lg y –lg x =lg y xB ．lg （x +y ）=lg x +lg yC ．lg x 3=3lg xD ．lg x =ln ln10x22．设函数y =f （x ）的图象与y =log 2（x +a ）的图象关于直线y =–x 对称，且f （–2）+f （–1）=2，则a = A ．3B ．1C ．2D ．423．已知函数f （x ）=ln （–x 2–2x +3），则f （x ）的增区间为 A ．（–∞，–1） B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）24．已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数f （x ）的减区间是A ．（–∞，2）B ．（2，+∞）C ．（5，+∞）D ．（–∞，–1）25．已知R 上的奇函数f （x ）满足当x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （f （1））= A ．–1 B ．–2C ．1D ．226．若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为A ．m >l >nB ．l >n >mC ．n >l >mD ．l >m >n27．函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，则a 的取值范围为__________． 28．已知函数f （x ）=a •2x +3–a （a ∈R ）的反函数为y =f –1（x ），则函数y =f –1（x ）的图象经过的定点的坐标为__________．29．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +1）（a >0且a ≠1）没有最小值，则a 的取值范围是__________． 30．（1）5log 3333322log 2log log 8259-+-；（2）7log 23log lg 25lg 47+++．31．求函数f（x）=log13（x2–3）的单调区间．32．已知函数f（x）=lg（x+1）–lg（1–x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．33．已知函数f（x）=log a（1+x）–log a（1–x），其中a>0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（35）=2，求使f（x）>0成立的x的集合．34．（2018•天津）已知a=log2e，b=ln2，c=121log3，则a，b，c的大小关系为A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b35．（2018•天津）已知a =log 372，b =1314（），c =131log 5，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b36．（2018•新课标Ⅲ）设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则 A ．a +b <ab <0 B ．ab <a +b <0C ．a +b <0<abD ．ab <0<a +b37．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．若f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），则a =__________．38．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=__________．。

2025高考数学必刷题第10讲、对数与对数函数(学生版)

第10讲对数与对数函数知识梳理1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y<，当1x≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)必考题型全归纳题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln3411e812-+=______．【对点训练1】（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．【对点训练2】（2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为________．【对点训练3】（2024·山东淄博·统考二模）设0,0p q >>，满足()469log log log 2p q p q ==+，则pq=__________.【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）计算34223log 32log 9log log 64⋅-+的值为______.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）若14log 2a =，145b =，用a ，b 表示35log 28=____________【对点训练6】（2024·上海·高三校联考阶段练习）若123==a b m ，且112a b-=，则m =__________．【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）()()()226622lg 3lg 2log 3log 2lg 3lg 2⋅+++=____________；【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2)l g (o 24x x <-解集为_____．【对点训练9】（2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()2f x ≥-的解集是__________.【对点训练10】（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log 17x x +=的解为_________．【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()log a y x b =+（a ，b 为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0.5a =，2b =B ．2a =，2b =C ．0.5a =，0.5b =D ．2a =，0.5b =【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点（）A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(3,2)D ．(2,0)【对点训练12】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数()()22log 1f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),12,-∞+∞B ．()()0,12,⋃+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【对点训练13】（2024·北京·高三统考学业考试）将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x-+【对点训练14】（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．【对点训练15】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）AB ．2C D 【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(,1]-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(,1)-∞【对点训练16】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）正数,a b 满足2224log log a bb a -=-，则a与2b 大小关系为______．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，则a 等于_________【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m ，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a的取值范围是______．【对点训练20】（2024·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【对点训练21】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数()214log 2y x x =--的单调递区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【对点训练22】（2024·陕西宝鸡·统考二模）已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()f x 的图像关于直线1x =对称D ．()f x 有最小值，但无最大值【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）若函数2,1,()2log ,1x a a x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[2,)+∞C ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,1[2,)⋃+∞【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2223,log f x x x g x x m =-+=+，若对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ，则实数m 的取值范围为___________.【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知1a >，1b >，21a aa =-，2log 1bb b =-，则以下结论正确的是（）A ．22log aa b b+=+B ．21112log ab+=C ．2a b -<-D ．4a b +>【对点训练29】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m ，n 满足：ln e ln m n n n m =-，则nm的最小值为______.【对点训练30】（多选题）（2024·广东惠州·统考一模）若62,63a b ==，则（）A ．1ba>B ．14ab <C ．2212+<a b D ．15b a ->【对点训练31】（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知1x ，2x 分别是方程e 3x x +=和ln 3x x +=的根，若12x x a b +=+，实数a ，0b >，则271b ab+的最小值为（）A ．1B ．73C ．679D ．2【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．10。

第四章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一

C．52 个月
D．48 个月
2．（2023 秋·江苏盐城）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，
其次品率
p
与日产量
x（万件）之间满足关系：
p
1
1342,
x
x
,0 m
x
m （其中
m
为小于
12
的正整数）.已知每
生产 1 万件合格的羽绒服可以盈利 3 万元，但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如 p 0.1表示每生产 10 件产品，有 1 件为次品，其余为合格品）. (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额 y（万元）表示为日产量 x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
B． 2,
C． 1, 2
D． 2,3
3（2023
春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数
f
(x)
(a a x
2)x, x 1, x 2
2
是
R
上的单
调递增函数，则实数 a 的取值范围是（）
A． (, 0)
B．(0,1)
C． (0, 3)
D． (1,3)
考点四指数对数函数单调性的应用
2)3
(
27
)
2 3
4
20
；
89
（2）计算： log2 5 log25 4 lg 50 lg 2 4log2 3 .
（3）化简：
a
2 3
b
1 2
2a
1 2
b
1 3
1 5
a
1 6
b

对数函数恒过定点问题（原卷版）

对数函数恒过定点问题解题策略：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像恒过定点(1,0).利用整体代换法，在对数型函数log ()(01a y f x b a a =+>≠且）中令()1f x =，即可求得对数型函数的图像所过的定点。

（注：令对数型函数真数为1，切记log 10a =）典例精析：【例1】函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0变式1：函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（）A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,1-变式2：函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a >0且a ≠1)的图象过定点________．变式3：函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--变式4：已知函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ，则a b +=________.变式5：若函数log (7)2a y x =-+恒过点(,)A m n ，则12()nm-=__________.变式6：若函数()()3log 273xa f x =--（0a >，且1a ≠）的图象经过定点P ，则点P 的坐标为______.变式7：函数()2log 35a y x =--恒过定点______．变式8：若2()1log (22)(0a f x x x a =+-->且1)a ≠的图象过定点M ，则M 点的坐标是（）A ．和)B ．2)和2)C ．(1,0)-和(3,0)D ．(1,1)-和(3,1)变式9：已知函数()()3log 2(1,)01x a f x a x a a -=+-+>≠，则它的图象过定点（）A ．()1,1B ．()1,2C ．()3,2D ．()2,3变式10：函数()()25log 20,13a x f x a a x +=+>≠+的图象经过定点（） A ．()1,0B ．()2,2-C ．()1,2-D ．()0,3变式11：【多选】已知函数()()1101x f x a a a -=+>≠,的图象恒过点A ，则下列函数图象也过点A 的是（）A ．2y =B ．21y x =-+C ．()2log 21y x =+D ．12x y -=变式12：【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（） A ．2y ax a =+- B ．21a y x -=+C ．()310,1x y a a a -=+>≠D ．()()log 210,1a y x a a =-+>≠【与指数函数的综合问题】【例2】函数13x y a +=-与()log ()a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是（） A ．4B ．-1C ．3D ．14变式1：函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在指数函数()f x 的图象上，则(1)f -的值为（）A B C ．D ．变式2：已知函数()()8log 30,19a y x a a =++>≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =-的图象上，则b =_________．【与幂函数的综合问题】【例3】若函数()(3)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()1a g x x m =++（其中0a >且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(3,1)-B ．(2,1)C ．(3,0)-D ．(3,1)变式1：已知函数()(2)t f x t x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x t t =++（0a >且1a ≠）恒过定点________．变式2：若幂函数()y f x =的图象经过函数1()log (3)(04a g x x a =++>且1)a ≠图象上的定点A ，则1()2f = ．变式3：已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2- B ．2 C ．1 D ．1-【与基本不等式的综合问题】【例4】已知函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像恒过定点P ，又点P 坐标满足2(0,0)mx ny m n +=>>，则11m n+的最小值为_______；变式1：若函数()()ln 124k x f x -=-()k R ∈的图象恒经过的定点在直线10ax by --=（0a >，0b >）上，则1132a b+的最小值是（）A ．B ．C ．256D ．136变式2：已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(),A m n ，若正数x ，y 满足1m nx y +=，则2x x y y++的最小值是（）A ．5B ．10C ．533D ．5+变式3：已知函数()log (1)1a f x x =-+，(0,1)a a >≠恒过定点A ，过定点A 的直线:1l mx ny +=与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（）A ．12B ．14 C ．18D ．1变式4：【多选】已知函数()()log 12a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),s t ，正数m 、n 满足m n s t +=+，则（） A ．4m n += B ．228m n +≥ C ．4mn ≥ D ．111m n+≥【与三角函数的综合问题】【例5】函数()log 32a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin cos αα+的值为（）A ．75B ．65C D变式1：函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．BC ．12-D ．12变式2：若函数()()()log 220,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则sin 4cos 5sin 2cos -=+θθθθ（）A ．16-B ．34-C ．37-D ．53-变式3：函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（） A ．1213- B ．1213C ．2413-D ．2413【与反函数的综合问题】【例6】函数1()x f x a +=（0a >且1a ≠）的反函数1()y f x -=所过定点的坐标为（） A ．(0,1)- B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(0,1)【与函数单调性的综合问题】【例7】已知函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n =-+在[)1,+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是_______．巩固训练：1、函数()()log 43a f x x =-的图象过定点（） A ．()1,0B ．()1,1C ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2、函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点________．3、函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--4、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数()log 34a y x =+-的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______．5、已知0a >，1a ≠，则21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点（） A ．(1,0) B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ．(1,4)6、函数1log 11ay x =++(0a >且1a ≠)的图象经过的定点坐标为___________. 7、函数()()2log 11xa f x x =+-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为_________.8、已知函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数，则函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是（） A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(1,2)-9、已知0a >且1a ≠，函数log (23)a y x =-P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则点P 坐标为________，(8)f =________.10、函数()log (103)9a f x x =-+的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()g x 的图象上，则()8g =______.11、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．1012、已知函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图像恒过点M ，若直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，则a b +的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．513、函数()log 44a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35 B ．35C ．45-D ．4514、已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（）A ．2425-B ．35C ．2425 D ．3515、函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则cos2α＝( ) A ．45B ．35C ．15D ．3516、已知曲线()230,1y x a a a -=+>≠过定点M ，且角α的终边经过点M ，则tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A ．7-B ．7C ．17-D ．1717、已知函数()log 14a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则22sin 2cos 2sin ααα=-（）A ．74- B ．2-C ．47 D ．47-18、函数log (23)4a y x =-+过定点(,)m n ，则函数log n y x =的反函数是________． 19、已知函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点（m ，n ），且函数g （x ）＝mx 2﹣2bx +n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b 的取值范围是________.。

【精准解析】2021届高考数学(浙江专用)：§3.5 对数与对数函数

§3.5 对数与对数函数基础篇固本夯基【基础集训】考点对数与对数函数1.已知函数f(x)=(e x+e -x)·ln1−x1+x-1,若f(a)=1,则f(-a)=( )A.1B.-1C.3D.-3 答案 D2.函数f(x)=x a满足f(2)=4,那么函数g(x)=|log a (x+1)|的图象大致为( )答案 C3.已知a>0且a ≠1,函数f(x)=log a (x+√x 2+b )在区间(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a ||x|-b|的图象是( )答案 A 4.化简:lg √27+lg8−3lg √10lg1.2=.答案325.设2x=5y=m,且1x +1y=2,则m= . 答案 √106.已知对数函数f(x)的图象过点(4,1). (1)求f(x)的解析式;(2)若实数m 满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m 的取值范围. 解析 (1)依题可设f(x)=log a x(a>0,且a ≠1), ∵f(x)的图象过点(4,1), ∴f(4)=1⇒log a 4=1⇒a=4, ∴f(x)=log 4x.(2)∵函数f(x)=log 4x 在定义域内单调递增, ∴不等式f(2m-1)<f(5-m)成立,m需满足{2m-1>0,5−m>0, 2m-1<5-m,∴{m>12,m<5,m<2⇒12<m<2,∴实数m的取值范围是(12,2).综合篇知能转换【综合集训】考法一对数式大小的比较方法1.设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a答案 B2.(2018江西南城一中期中,7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,设a=ln1π,b=(ln π)2,c=ln√π,则()A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(c)>f(b)>f(a)答案 C考法二对数函数的图象与性质的应用3.(2018山东潍坊一模,6)若函数f(x)=a x-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=log a(|x|-1)的图象可以是()答案 D4.若函数f(x)=log0.2(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则()A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c答案 D5.设函数f(x)=lo g12(x2+1)+83x2+1,则不等式f(log2x)+f(lo g12x)≥2的解集为()A.(0,2]B.[12,2]C.[2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)答案 B6.已知函数f(x)=log31−x1+x.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)当x∈[-12,12]时,g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.解析 (1)要使函数f(x)=log 31−x1+x有意义, 自变量x 需满足1−x1+x>0, 解得x ∈(-1,1),故函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)由(1)得函数的定义域关于原点对称. ∵f(-x)=log 31+x 1−x =log 3(1−x 1+x )-1=-log 31−x1+x=-f(x), ∴函数f(x)为奇函数. (3)令u=1−x 1+x,则u'=-2(1+x)2,u'<0,故u=1−x 1+x 在[-12,12]上为减函数,则u ∈[13,3],又∵y=log 3u 为增函数,∴g(x)∈[-1,1], 故函数g(x)的值域为[-1,1].易错警示利用对数函数的性质研究对数型函数性质时,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需将函数解析式变形,一定确保其等价性;四是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【五年高考】考点对数与对数函数1.(2019天津,6,5分)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<cb>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 答案 D3.(2016课标Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c 答案 C4.(2019北京,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( ) A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1答案 A5.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( ) A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D6.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当 0<x ≤1时, f(x)=log 2x,则f (32)= . 答案 -1教师专用题组考点对数与对数函数1.(2014辽宁,3,5分)已知a=2-13,b=log213,c=lo g1213,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a 答案 C2.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab),q=f(a+b2),r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案 C3.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案 A4.(2014福建,4,5分)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案 B5.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f(2x1+x2)=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②答案 A6.(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=.答案4√33【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共30分)1.(2020届山西平遥中学第一次月考,3)若lo g 23a<1,则a 的取值范围是( )A.0<a<23B.a>23C.23<a<1 D.0<a<23或a>1 答案 B2.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=x+1|x+1|log a |x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )答案 C3.(2020届山西平遥中学第一次月考,4)设a=4-12,b=lo g 1213,c=log 32,则a,b,c 的大小关系是( ) A.a<b<c B.a<cb>c>1且aclog b c>log c a B.log c b>log b a>log a c C.log b c>log a b>log c a D.log b a>log c b>log a c 答案 B5.(2020届山西太原五中9月阶段性检测,7)若函数f(x)=log a (2-ax)(a>0,且a ≠1)在区间(1,3)内单调递增,则a 的取值范围是( )A.[23,1) B.(0,23] C.(1,32) D.[32,+∞) 答案 B6.(2020届广东珠海第一学期摸底测试,7)“ln x<ln y ”是“e x<e y”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)7.(改编题)若实数a,b,c,满足log a 2<log b 2<log c 2,则下列关系中可能成立的是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c0且a ≠1)的图象关于直线y=-x 对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点 . 答案 (1,-4)10.(2019江西赣州模拟,14)已知函数f(x)=|log 3x|,实数m,n 满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m 2,n]上的最大值为2,则n m= .答案 9四、解答题(共25分)11.(2019届河北廊坊示范性高中联合体第一次联考,20)已知函数f(x)=log 3(ax 2-x+3). (1)若函数f(x)的定义域为R,求a 的取值范围;(2)已知集合M=[1,3],方程f(x)=2的解集为N.若M ∩N ≠⌀,求a 的取值范围.解析 (1)因为函数的定义域为R,所以ax 2-x+3>0恒成立.当a=0时,-x+3>0不恒成立,不符合题意;当a ≠0时,{a >0,Δ=1−12a <0,解得a>112.综上所述,a>112.故a 的取值范围为{a |a >112}.(2)由题意可知,ax 2-x+3=9在[1,3]上有解,即a=6x 2+1x 在[1,3]上有解,设t=1x ,t ∈[13,1],则a=6t 2+t,因为a=6t 2+t 在[13,1]上单调递增,所以a ∈[1,7].12.(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f(x)=log 2(12x+a).(1)若函数f(x)是R 上的奇函数,求a 的值;(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a 的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围. 解析 (1)因为函数f(x)是R 上的奇函数,所以f(0)=0, 即log 2(120+a)=0,解得a=0.(2分)当a=0时, f(x)=-x 是R 上的奇函数.所以a=0.(4分)(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数,所以12x +a>0恒成立.即a>-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a ≥0即可.(7分) (3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log 2(1+a), 最小值是f(1)=log 2(12+a).(8分) 由题设得log 2(1+a)-log 2(12+a)≥2⇒{a+12>0,a +1≥4a +2.(11分) 解得-12<a ≤-13.(12分)。

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对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b = 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( )A ．3B ．−3C ．−log 36D ．−log 38 【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x) (a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2 (a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是A ．y=lg10xB ．y=log 3x 2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为。

（2）若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【举一反三】1．已知f(x)={x 2−4ax +3,x <1log a x +2a,x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，那么a 的取值范围是（）A ．(0,12]B ．[12,1)C ．[12,23]D ．[23,1)2．函数y =ln （4-x ）+1n （2+x ）的单调递增区间为（） A ．(−2,1)B ．(1,4)C ．(−∞,1)D ．(−2,4)3．已知f(x)=log 12(x 2−ax −a)在区间(−∞，−12)上是增函数，则实数a 的取值范围是______．考向四比较大小【例4】(1)设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接)【举一反三】1.设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．2.已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．3.已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 4.设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”连接)考向五对数函数图像【例5】(1)如图是对数函数y ＝log a x 的底数a 的值分别取3，43，35，110时所对应的图象，则相应的C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )(3)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是________．【举一反三】1 。

函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．3.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )考向六定义域与值域【例6】．已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【举一反三】(x2−6x+17)的值域是。

1.函数y=log122．函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为。

3.已知函数f(x)=log a(x+2)，g(x)=log a(4−x)，其中a>0且a≠1.（1）求函数f(x)+g(x)的定义域；（2）若函数f(x)+g(x)的最大值是2，求a的值；（3）求使f(x)−g(x)>0成立的x的取值范围.考向七反函数【例7】已知函数f （x ）=2x的反函数为y =g （x ），则g （12）的值为（）A ．−1B ．1C ．12D ．2【举一反三】1．已知函数f(x)=1+2lgx ，则f(1)+f −1(1)=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知f(x)=x+12x，其反函数为f −1(x)，则f −1(0)=______．3．f(x)=x 2+2x （x ≥0）的反函数f −1(x)=________1．若a =log 225,b =0.43,c =ln3，则a 、b 、c 的大小关系是。

2．a =40.9，b =log 232，c =(12)−1.5的大小关系是。

3．已知a =5log 23.4，b =5log 43.6，c =(15)log 70.3，则。

4. 若函数y =log a (x 2−ax +1)定义域为R ，则a 的取值范围是。

5．函数f(x)=lg(2kx 2−kx +38)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是______．6．函数f (x )=lnx+1x−1的值域为________.7．定义在[−2a +3,a ]上的偶函数f (x )，当x ∈[0,a ]时，f (x )=log a (2x +3)，则f (x )的值域为______．. 8．函数f (x )=lg (4x −2x+1+11)的最小值是___． 9．函数y =log 2(x 2+2x +5)的值域为__________。

10．函数y =log 2(2x −x 2)的单调递增区间为________. 11．f(x)=log 2(4x)log 14(x 2),x ∈[12,4]的最大值为___________12．函数y =1g （1-x ）+√−x 2+x +2的定义域是。

13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________．14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则a ＝________. 16．计算：（1）lg25+2lg2+823= （2）求值：log 3√2743+lg25+lg4+7log 72=_______________（3）eln2+813+lg20−lg2=______（4）3lg2+lg125+1634+(√3+1)0=_____________. （5）(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5=（6）lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2= （7）2log 214−(827)−23+lg 1100+(√3−1)lg1= （8）lg52+23lg8+lg5lg20+(lg2)2=17．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．19．已知函数f(x)=log a(2+x)−log a(2−x)，(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求满足f(x)≤0的实数x的取值范围．20．已知函数f(x)=log a(x2−4)，g(x)=log a(2x−1)，(a>0且a≠1)（I）若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的定义域；（II）求不等式f(x)−g(x)>0的解集.21．已知函数f(x)=log2(2x+1)．（1）若函数g(x)=log2(2x−1)−f(x)，判断g(x)的奇偶性，并求g(x)的值域；（2）若关于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有实根，求实数m的取值范围.22．已知函数f(x)=log a(9−3x)（a>0，a≠1）.（1）若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；时，求函数y=f(x)+f(−x)的最小值.（2）当a=1423．已知函数f(x)=log a(1−x)+log a(x+3)，其中a>0且a≠1。

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