2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第2节基本不等式教师用书文北师大版
高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文北师大版
[导学心语] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是 解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等 式问题． 2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强 化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
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3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函 时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
2018高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明教师用书 文
第六章⎪⎪⎪ 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h2 3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n答案：B2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5． 当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q3－－q 5q 4－q＝－q －1q4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5． 综上可知S 3a 3＜S 5a 5． 答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b c B ．a d ＜b c C ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，4 所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c＝－1，b d＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ．[9,18] B ．(15,30) C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，6 ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0， 则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2． 5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．8 综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．∴a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2168．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2．∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0．∴a b2＋b a2≥1a ＋1b ． 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e a －c2>e b －d2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0． 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1a －c2<1b －d2．又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，10 ∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·c a<4， ∴c a的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________． 解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得a －b m a a ＋m ＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0． 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ． 答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}， 根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}， 所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，12 则a ＝－12，b ＝－2． 所以a ＋b ＝－14． 答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏] 1．不等式x －3x －1≤0的解集为( ) A ．{x |x ＜1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1． 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0． 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤14考点二 含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3．当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；16 当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m >0f n >0，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m <0，f n <0[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4． 答案：[－8,4]18 2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1， 所以－1＜k ＜1．20 4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2． 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．22 (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g，g，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32． 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念24[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．26 当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 考点二 求目标函数的最值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25． 所以d 2的最小值为45，最大值为13．28 所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．30 3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线 2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．32一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选 D 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2。
近年高考数学复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化课3 不等式及其应用教师用书 文 北师大版(
2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明重点强化课3 不等式及其应用教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明重点强化课3 不等式及其应用教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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重点强化课（三) 不等式及其应用［复习导读］本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具,如利用导数研究函数的单调性,往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用（1）(2016·山东青岛一模)函数y＝错误!的定义域为( ）【导学号：66482295】A．(－∞,1]B．[－1,1］C．［1，2）∪(2，＋∞）D．错误!∪错误!（2)已知函数 f （x)＝错误!则满足不等式 f （1－x2)〉f （2x)的x的取值范围是__________．（1)D(2)（－1，2－1）[(1)由题意得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!,所以函数的定义域为错误!，故选D。
(2)由题意得错误!或错误!解得－1<x〈0或0≤x<错误!－1。
高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文北师大版
2019/7/10
最新中小学教学课件
[导学心语] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是 解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等 式问题． 2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强 化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函 数与方程三者密不可分，相互转化．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文北师大版
3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函 数与方程三者密不可分，相互转化．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
第六章 不等式、推理与证明
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答 题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规 划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证 明． 2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章 节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明， 主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明． 3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考 查．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化训练3不等式及其应用教师用书文北师大版
重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x2＋1＝1，排除D.] 2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，x ＋y≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的射影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋＋－2－＝3 2.故选C.]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．[－∞，0)∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a.化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－－2x －1>0，故不等式可化为2x －22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，故选C.]二、填空题。
【高考领航】高考数学大一轮复习第六章不等式与推理证明文北师大版
【高考领航】高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 文 北师大版第1课时 不等关系与不等式1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小．1．比较两个实数大小的依据a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0.2．不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a (双向)． (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c (单向)．(3)同向不等式可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c (双向)；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d (单向)．(4)乘法法则：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc (单向)；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc (单向)；⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0c ＞d ＞0⇒ac ＞bd (单向)．(5)倒数法则：a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b(单向)．(6)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N 且n ＞1)(单向)． (7)开方法则：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N 且n ＞1)(单向)．[基础自测]1．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad ＞bc B ．ac ＞bd C ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d解析：由不等式的性质知：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . 答案：D2．(2016·内江检测)若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．9≤c ≤18B ．15＜c ＜30C ．9≤c ≤30D ．9＜c ＜30解析：6＜a ＜10，3a2≤c ≤3a ，又6＜a ＜10，则9＜c ＜30.答案：D3．(2016·铜川质检)已知a ，b ，c ∈R ，则“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ＞b /⇒ac 2＞bc 2，∵c 2＝0时，ac 2＝bc 2；反之，ac 2＞bc 2⇒a ＞b . 答案：B4．(教材改编题)若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等关系中一定成立的是________． ①a －b ＞d －c ②a ＋d ＞b ＋c ③a －c ＞b －c ④a －c ＜a －d解析：∵a ＞b ，c ＞d ，∴a －b ＞0，d －c ＜0，∴a －b ＞d －c .故①成立；取a ＝0，b ＝－2，c ＝0，d ＝－3代入②，可知②不成立；由不等式的可加性知③成立；由c ＞d 知，－c ＜－d ，由不等式的可加性知④成立．答案：①③④5．已知f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 解析：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0 ∴f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )考点一 用不等式(组)表示不等关系[例1] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．审题视点 这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可．解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500.x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围．1．实数x 的绝对值不大于2，用不等式表示为( ) A ．|x |>2 B ．|x |≥2 C ．|x |<2D ．|x |≤2解析：“不大于”指“≤”，所以|x |≤2. 答案：D2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N ，考点二 不等式的性质大一轮复习 BSD 数学(文)第六章 不等式与推理证明[例2] (1)若a ＞0＞b ＞－a ；c ＜d ＜0，则下列命题；(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)“a 2＋b 2ab≤－2”是“a ＞0且b ＜0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件审题视点 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． 解析 (1)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，∴(1)错误． ∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.(2)a 2＋b 2ab ≤－2⇔a 2＋b 2ab ＋2＝a ＋b2ab≤0⇔ab ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＜0，故选A.答案 (1)C (2)A在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．1．(2015·鄂州模拟)已知a ＜b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＞1bB ．a 2＞b 2C ．2－a ＞2－bD ．2a＞2b解析：a ＜0，b ＞0时，A 不成立，0＜a ＜b 时，B 不成立，由y ＝2x是增函数，知2a＜2b，故D 不成立，故选C. 答案：C2．(2016·山东临沂一模)若a ，b 为实数，则a >b >0是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a >b >0时，a 2>b 2显然成立；当a 2>b 2时，令a ＝－2，b ＝1，则b >a ，故a 2>b 2⇒a >b >0不一定成立，故选A. 答案：A考点三 比较大小[例3] (1)若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋1＞b 2＋1 B ．b a＜1C ．lg(a －b )＞0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b (2)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝ND ．不确定(3)已知a ＞b ＞0，比较a a b b与a b b a的大小．审题视点 (1)运用特殊值验证即可．(2)可用作差法求解．(3)利用作商法求解判断． 解析 (1)令a ＝－12，b ＝－1，则A 、B 、C 均不成立，故选D.(2)∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1) 又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)＞0，故M ＞N .(3)解：∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，又a ＞b ＞0，故ab＞1，a －b ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a ＞1，又a b b a ＞0，∴a a b b ＞a b b a，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b ＞a b b a. 答案 (1)D (2)B(1)“作差比较法”的依据是“a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＜0⇔a ＜b ，a －b ＝0⇔a ＝b ”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形．(2)“作商比较法”的依据是“ab＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，是把两数的大小比较转化为两数的商与1进行比较，在数式结构含有幂或根式、绝对值时，可采用此方法．1．(2016·吉林联考)已知实数a 、b 、c ，满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b . (b ＋c )－(c －b )＝2a 2＋2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a .答案：A2．(2015·高考北京卷)2－3,312，log 25三个数中最大的数是________． 解析：因为2－3＝123＝18＜1,1＜312＝3＜2，log 25＞log 24＝2，所以三个数中最大的数是log 25.答案：log 25忽视等号成立条件致误[典例] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解题指南 设z ＝x ＋2y ＝λ(2x ＋y )＋μ(x －y )，然后利用待定系数法，求得λ和μ的值，然后通过“2x ＋y ”和“x －y ”本身的范围求得z ＝x ＋2y 的范围．解析 令z ＝x ＋2y ＝λ(2x ＋y )＋μ(x －y )＝(2λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝1，λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝－1，∴z ＝(2x ＋y )－(x －y )，又∵3≤2x ＋y ≤9，－9≤－(x －y )≤－6， ∴－6≤(2x ＋y )－(x －y )≤3， 即－6≤z ≤3， ∴z min ＝－6. 答案 －6易错分析 多次同向不等式相加扩大变量的范围，切断了变量间互相的限制． 创新点评 解答本题时有两点误区(1)忽视条件中等号成立条件分别求出x 、y 范围后再求x ＋2y 的范围； (2)利用待定系数法求λ，μ时计算失误．备考建议 求范围及最值问题时要对以下问题高度关注： (1)解题时看清题目条件，不能忽视变量满足的约束条件； (2)题目运算过程要等价转换，转换不等价易造成失分； (3)此类问题也可寻求多种解法，如本题还可利用线性规划求解．1．要注意不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法，其中作差变形是关键，常用因式分解或配方法．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2015·高考安徽卷)设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：将p ，q 对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p 成立时，q 不一定成立；当q 成立时，p 一定成立，故p 是q 成立的必要不充分条件．答案：C2．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1aB.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，选A. 答案：A3．(2016·西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.答案：D4．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c>b ·2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上) 解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立． 答案：②③5．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________，α－β2的取值范围是________．解析：∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2，∴－π＜α＋β＜π.∴－π2＜α＋β2＜π2.∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π， ∵－π2≤α－β2＜π2.又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0 6．(2016·河南郑州调研)若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)解析：由1a <1b<0，得b <a <0.①∵a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <0，1ab>0， ∴1a ＋b <1ab成立，即①正确； ②∵b <a <0，∴－b >－a >0，则－b >|a |，即 |a |＋b <0，∴②错误；③∵b <a <0，且1a <1b<0，∴a －1a>b －1b，故③正确；④∵b <a <0，∴b 2>a 2，∴ln b 2>ln a 2成立．∴④错误，故正确的是①③. 答案：①③7．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小． 解：法一(作差法)：ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1， ∵a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1. ∴(a －1)(b －1)－1＞0.∴ab －(a ＋b )＞0. ∴ab ＞a ＋b . 法二(作商法)：∵a ＋b ab ＝1b ＋1a，且a ＞2，b ＞2， ∴1a ＜12，1b ＜12. ∴1b ＋1a ＜12＋12＝1. ∴a ＋bab＜1.又∵ab ＞4＞0，∴a ＋b ＜ab . 8．一学生计划使用不超过20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为4元的圆珠笔至少需要购买2支，单价为2元的笔记本至少需要购买3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买圆珠笔和笔记本的数量分别为x 支，y 本．则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ≤20，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N＋，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N＋.[B 级 能力突破]1．(2015·高考浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析：∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.答案：B2．(2016·北京平谷模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －adab>0， ∴ab >0，∴③正确．故选D. 答案：D3．(2016·上海杨浦模拟)已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的为( )A ．(a ＋c )4＞(b ＋c )4B ．ac 2＞bc 2C ．lg|b ＋c |＜lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13＞(b ＋c )13解析：当a ＞b ，a ＋c 与b ＋c 为负数时，由0＞a ＋c ＞b ＋c ，得0＜－(a ＋c )＜－(b ＋c )．∴0＜[－(a ＋c )]4＜[－(b ＋c )]4，即(a ＋c )4＜(b ＋c )4.∴A 不成立；当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴B 不成立； 当a ＞b 时，a ＋c ＞b ＋c ，但若a ＋c 、b ＋c 均为负数时， |a ＋c |＜|b ＋c |，即lg|a ＋c |＜lg|b ＋c |. 故C 不恒成立．故选D. 答案：D4．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的取值范围为__________．解析：令z ＝x ＋2y ＝λ(2x ＋y )＋μ(x －y ) ＝(2λ＋μ)x ＋(λ－μ)y∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝1λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝－1.∴z ＝(2x ＋y )－(x －y )又∵3≤2x ＋y ≤9，－9≤－(x －y )≤－6， ∴－6≤(2x ＋y )－(x －y )≤3，即－6≤z ≤3， 答案：[－6,3]6．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．解析：∵log b 1b＝－1若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b .∴log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b＜1，∴log a 1b＞0，log a b ＜0，条件③不可以．答案：②7．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 解：(1)令f (x )＝x [a －(1＋a 2)x ]＝0， 解得x 1＝0，x 2＝a1＋a2.∴I ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜a 1＋a ， ∴I 的长度x 2－x 1＝a1＋a2. (2)k ∈(0,1)，则0＜1－k ≤a ≤1＋k ＜2. 由(1)知I ＝a1＋a 2，∴I ′＝1－a21＋a 22.令I ′＝0，得a ＝1.∵0＜k ＜1，∴I 关于a 在[1－k,1)上单调递增，在(1,1＋k )上单调递减．I min 必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得.I 1I 2＝1－k1＋1－k 21＋k 1＋1＋k2＝2－k 2－k32－k 2＋k3＜1，∴I 1＜I 2，∴I min ＝1－k2－2k ＋k2.因此当a ＝1－k 时，I 在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k2.第2课时 一元二次不等式及其解法1．会从实际情况中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax ＋b ＞0(a ≠0)的解集为：(1)当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞－ba ； (2)当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－ba . 2．一元二次不等式及其解法 (1)一元二次不等式的定义含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式为：ax 2＋bx ＋c ＞0，或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)．(2)一元二次不等式的解法利用一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系求解一元二次不等式． 三者的关系见下表：＜x 1，或x ＞⎪⎪⎪x ≠－b2a R[基础自测]1．(教材改编题)不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)解析：x 2－3x ＋2＜0⇔(x －1)(x －2)＜0⇔1＜x ＜2. 答案：D2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析：2x 2－x －1＞0⇔(2x ＋1)(x －1)＞0⇔x ＜－12或x ＞1.答案：D3．(2016·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28D ．26解析：由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－2＋14－2a ＝－2×14解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝7，∴ab ＝28. 答案：C4．(2016·合肥模拟)不等式x 2＜1的解集为________． 解析：x 2＜1⇔x 2－1＜0⇔(x ＋1)(x －1)＜0⇔－1＜x ＜1. 答案：(－1,1)5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝4a 2－4a ≤0解得0＜a ≤1.当a ＝0时亦符合题意，故0≤a ≤1.答案：[0,1]考点一 一元二次不等式及简单高次不等式的解法[例1] (1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．审题视点 (1)利用分式不等式与一元二次不等式组间的转化关系求解． (2)分解因式求解解析 (1)x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，2x ＋1＞0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1＜0.②解①得－12＜x ≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. (2)∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0. ∴2≤x ≤3.∴不等式的解集为{x |2≤x ≤3}． 答案 (1)A (2){x |2≤x ≤3}1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 2．用“穿针引线法”解高次不等式的步骤：(1)将原不等式化为(x －x 1)a 1(x －x 2)a 2…(x －x n )a n ＞0(或＜0)的形式； (2)求相应方程的根，并在数轴上从小到大排列起来；(3)“穿针引线”，对于偶次重解，线穿而不过；对于奇次重解，线穿解而过； (4)根据图形写出不等式的解集．3．解分式不等式的思想是将分式不等式转化为等价的整式不等式(或整式不等式组)，通过解整式不等式(组)去求解．1．(2015·高考广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 答案：(－4,1) 2．解下列不等式： (1)2x 2＋4x ＋3＞0； (2)－3x 2－2x ＋8≥0； (3)x －2x 2＋3x ＋2＞0.解：(1)∵Δ＝42－4×2×3＜0， ∴方程2x 2＋4x ＋3＝0没有实根，二次函数y ＝2x 2＋4x ＋3的图像开口向上，与x 轴没有交点，即2x 2＋4x ＋3＞0恒成立， 所以不等式2x 2＋4x ＋3＞0的解集为R .(2)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，∵Δ＝100＞0， ∴方程3x 2＋2x －8＝0的两根为－2，43，结合二次函数y ＝3x 2＋2x －8的图像可知原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (3)x －2x 2＋3x ＋2＞0⇒x －2x ＋1x ＋2＞0⇒(x ＋1)(x ＋2)(x －2)＞0.根据如图所示的标根法．可得解集为{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}．考点二 含参数的一元二次不等式的解法[例2] 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.审题视点 这个不等式的左端可以分解为两个因式的乘积，即(ax －1)(x －2)，这样就可以根据字母a 和0的三种关系进行分类解决． 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，方程(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根是2，1a .当0＜a ＜12时，2＜1a ，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ，当a ＝12时，不等式的解集是∅，当a ＞12时，1a＜2，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2； (2)当a ＝0时，原不等式即为－(x －2)＜0，解得x ＞2，解集为{x |x ＞2}；(3)当a ＜0时，不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a＜2，故此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2.解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．1．(2016·鄂州模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4. 答案：{a |a ＞4或a ＜－4}2．(2016·临沂检测)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解：当a ＝0时，原不等式可化为－x ＋1<0，即x >1. 当a <0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0. 因为1a <1，所以x >1或x <1a.当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，①若0<a <1，则1a>1，所以1<x <1a；②若a ＝1，则1a＝1，不等式无解；③若a >1，则1a <1，所以1a<x <1.综上知，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <1.考点三 不等式恒成立问题[例3] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________． 审题视点 根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件(Δ≤0)列式直接运算求解．解 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．(3)一元二次不等式恒成立的条件①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是：a ＞0且b 2－4ac ＜0(x ∈R )．②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是：a ＜0且b 2－4ac ＜0(x ∈R )．1．(2015·广西南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )·(1－x －a )＜1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立， ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0， ∴－12＜a ＜32.答案：C2．(2016·湛江检测)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是__________．解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1， ∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1， ∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立， 即t 2－2at ≥0恒成立．令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{}0∪[2，＋∞)一元二次不等式的实际应用[典例] 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：甲、乙两车有无超速现象？解题指南 利用刹车距离与车速的关系，与实际距离构建不等式求解．解 由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1 200＞0，3分解得x ＞30，或x ＜－40(不合实际意义，舍去).5分这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.6分对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2 000＞0，9分解得x ＞40，或x ＜－50(不合实际意义，舍去).11分这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速.12分【思维流程】列出甲车实际距离与刹车距离的不等式．解不等式．与限速比较．列出乙车实际距离与刹车距离的不等式．解不等式．与限速比较．阅卷点评 本题解答关键是列出实际距离与刹车距离的不等关系． 创新点评 (1)不能建立正确的不等关系．(2)忽视实际问题对自变量的限制，致使解出不等式后，不能作出正确分析．备考建议 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．◆解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，小于0时将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)方程有一根或无根时可直接写出解集，方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·惠州模拟)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析：1－x2＋x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＋x ≥0，2＋x ≠0⇔－2<x ≤1.答案：B2．(2016·山东临沂模拟)不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}． 答案：A3．(2016·皖南八校一模)不等式3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 D ．(－1,1)解析：由3x 2－2x －1＜0解得－13＜x ＜1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1(－1,1)，所以(－1,1)是3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件．答案：D4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x <0，x ＋1，x ≥0，则不等式f (x )>4的解集为__________．解析：当x <0时，解x 2>4，得x <－2；当x ≥0时，解x ＋1>4，得x >3.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，则a 的值为________． 解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}， ∴1－a <0，即a >1. 于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0， 其解集为{x |－3<x <1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1， 解得a ＝3.答案：36．(2016·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，则a 的最小值是__________．解析：法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1. ②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－527．(2016·广东珠海模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1、x 2∈R ，恒有2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )＜0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|＜a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 解：(1)对任意的x 1、x 2∈R ， 由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0.由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0，解得A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，0.(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a.化简得a 2＋4a －1≤0，解得0＜a ≤－2＋ 5.8．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8 0≤x ≤510.2x ＞5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？ 解：依题意得G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝R (x )－G (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8 0≤x ≤58.2－x x ＞5，(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5－0.4x 2＋3.2x －2.8＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞58.2－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5x 2－8x ＋7＜0或5＜x ＜8.2⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤51＜x ＜7或5＜x ＜8.2⇒1＜x ≤5或5＜x ＜8.2⇒1＜x ＜8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6. 而当x ＞5时，f (x )＜8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x ＝4时，R 44＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．故此时每台产品的售价为240元．[B 级 能力突破]1．(2014·高考大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为( )A.{}x |－2<x <－1B.{}x |－1<x <0C.{}x |0<x <1D.{}x |x >1解析：由x (x ＋2)>0得x >0或x <－2；由|x |<1得－1<x <1，所以不等式组的解集为{}x |0<x <1，故选C. 答案：C2．(2016·杭州七校模拟)“x ∈{a,3}”是“不等式2x 2－5x －3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[3，＋∞)C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) 解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≤－12或x ≥3，由题意知，要使“x ∈{a,3}”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，只需{a,3}是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≤－12或x ≥3的真子集，所以a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)．答案：D3．(2016·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负(如图)，所以方程必有一正根，一负根． 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0， 解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：A4．(2014·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出二次函数f (x )的图像，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm <0，f m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋12＋mm ＋1－1<0，解得－22<m <0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 5．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________． 解析：依据已知条件求出y ＝f (x )，x ∈R 的解析式，再借助y ＝f (x )的图像求解． 设x ＜0，则－x ＞0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x ＜0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )＜5，得－5＜x ＜5.∴由f (x ＋2)＜5，得－5＜x ＋2＜5，∴－7＜x ＜3. ∴不等式f (x ＋2)＜5的解集是{x |－7＜x ＜3}． 答案：{x |－7＜x ＜3}6．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1＜0成立的x 的范围． 解：∵a ·b ＝x 2＋x －x 2＝x ，∴m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1＜0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0. (1)当m ＝0时，不等式等价于x ＞1； (2)当m ≠0时，不等式等价于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0 ①m ＜0时，不等式等价于x ＞1或x ＜1m；②0＜m ＜1时，不等式等价于1＜x ＜1m；③m ＝1时，不等式等价于x ∈∅； ④m ＞1时，不等式等价于1m＜x ＜1.综上所述，原不等式成立的x 的范围为：当m ＜0时是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1m 或x ＞1； 当m ＝0时是{x |x ＞1}；当0＜m ＜1时是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1m ； 当m ＝1时是∅；当m ＞1时是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m ＜x ＜1. 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有的点组成的平面区域(半平面)不含边界直线，不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)含有边界直线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有的点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 值的符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax ＋By ＋C ＞0；而位于另一半平面的点，其坐标适合Ax ＋By ＋C ＜0.(3)可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的符号来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0)所表示的区域．2．线性规划的有关概念[基础自测]1．(教材改编题)不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2)D ．(2,0)解析：逐一代入验证，只有D 不满足不等式． 答案：D2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式( ) A ．x ＋y －1＜0 B ．x ＋y －1＞0 C ．x －y －1＜0 D ．x －y －1＞0解析：虚线所在直线方程为x ＋y －1＝0且阴影部分在原点异侧． 答案：B3．若x 、y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：可行域如图中阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2×1＝3.答案：B4．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为________． 解析：令x ＝1，代入6x －8y ＋1＝0，解得y ＝78；代入3x －4y ＋5＝0， 解得y ＝2.由题意得78＜b ＜2，又b 为整数，∴b ＝1.答案：15．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则z ＝x ＋y 的最小值为________，最大值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，所表示的平面区域如图所示，作出直线x ＋y ＝0，可观察知当直线过A 点时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＝0得A (1,1)，此时z min ＝1＋1＝2；当直线过B 点时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －y ＝0得B (2,2)，此时z max ＝2＋2＝4.答案：2 4考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域[例1] 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 审题视点 作出可行域图，使直线x －2y ＝2穿过区域时求m 的变化范围．解析 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.答案 C(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)根据平面区域，判断其形状，求相应的边界点坐标，相关长度等，利用相对位置求参数．1．(2016·河南洛阳一模)若2m＋2n<4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 解析：因为2m＋2n≥2·2m·2n ， 所以4>22m·2n，即2m ＋n<4.所以m ＋n <2，即m ＋n －2<0，所以点(m ，n )必在直线x ＋y －2＝0的左下方． 答案：A2．(2016·北京海淀区高三调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y －4≤0kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.答案：D考点二 求目标函数的最值[例2] 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．审题视点 (1)转化为直线平移问题； (2)区域内的点到(0,5)距离的平方； (3)区域内的点与点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率． 解 作出可行域如图，并求出交点的坐标A (1,3)、B (3，1)、C (7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故将C (7,9)代入z ＝x ＋2y －4得最大值为21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是92.(3)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率的两倍，因为k QA ＝74，K QB ＝38，所以z 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义有：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(2)x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)y x表示点(x ，y )与原。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第六章 不等式
第五节合情推理与演绎推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识点一合情推理1．归纳推理：(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的________都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)特点：是由______到______，由______到______的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有________的推理．(2)特点：类比推理是由______到______的推理．答案1．(1)全部对象(2)部分整体个别一般2．(1)这些特征(2)特殊特殊1．判断正误(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．( )答案：(1)√(2)×(3)×2．(选修1－1P32练习第1题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：C3．(选修1－1P32练习第3题改编)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________．解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.答案：18知识点二 演绎推理 1．模式：三段论(1)大前提——已知的________； (2)小前提——所研究的________；(3)结论——根据一般原理，对________做出的判断． 2．特点：演绎推理是由______到______的推理．答案1．(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况 2．一般 特殊4．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：当a >1时，y ＝a x为增函数；当0<a <1时，y ＝a x为减函数．故大前提错误． 答案：A热点一 归纳推理考向1 与数、式有关的归纳推理 【例1】 (2016·山东卷)观察下列等式： (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；…… 照此规律，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝________.【解析】 分析各等式的形式特点： 第1个等式右边为：43×1×2；第2个等式右边为：43×2×3；第3个等式右边为：43×3×4依次类推第n 个等式的右边为43×n ×(n ＋1)即43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)考向2 与图形有关的归纳推理【例2】 如图所示，用全等的小正方体木块叠放立体图形，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第7个叠放的立体图形中小正方体木块数应是( )A．25 B．66C．91 D．120【解析】图中前三个立体图形中，用到的小正方体木块数依次为1,2＋1×4,3＋(1＋2)×4，按照前三个立体图形所反映出来的规律，归纳推理可知，第7个叠放的立体图形中用到的小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91.【答案】 C(1)(2017·广州模拟)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A．2 017×22 013 B．2 017×22 014C．2 016×22 015 D．2 016×22 014(2)(2017·湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．解析：(1)当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20； 当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21； 当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22； 当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23. 归纳推理得，当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014，故选B.(2)由题意可知，图①的单顶帐篷要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷要(17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．答案：(1)B (2)83 热点二 类比推理【例3】 已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有________成立．【解析】 由题意知，点A ，B 是函数y ＝a x的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>ax 1＋x 22成立；而函数y ＝sin x (x ∈(0，π))，其变化率逐渐变小，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.【答案】 sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22平面几何中有如下结论：如图(1)，设O 是等腰直角△ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间，如图(2)，设O 是正三棱锥A －BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有________．解析：设O 到各个侧面的距离为d ，而V三棱锥R －AQP＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V 三棱锥R －AQP ＝V 三棱锥O －AQP ＋V 三棱锥O －ARP ＋V 三棱锥O －AQR ＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ，∴16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ，即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝1d ，而V 三棱锥A －BDC ＝13S △BDC ·AO ＝13×34×2×33＝16. ∴V 三棱锥O －ABD ＝13V 三棱锥A －BDC ＝118，即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝13，∴1AQ ＋1AR ＋1AP＝3.答案：1AQ ＋1AR ＋1AP＝3热点三 演绎推理【例4】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，故S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(1)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁(2)已知在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b . 其中，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：(1)若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.答案：(1)D (2)B1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．类比推理命题的特点类比推理是由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法．这正像著名数学家波利亚所说的：“类比是一个伟大的引路人．”因此，在解决某些数学问题时，若能合理地运用类比，可为问题的解决开辟一条便捷之路．在近年各类考试中，类比推理题频频亮相．下面就通过介绍类比推理的一些命题特点，揭示求解规律，希望对同学们求解此类问题有所帮助．1．类比定义【例1】 等和数列的定义是：若数列{a n }(n ∈N *)从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{a n }是等和数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的一个通项公式是________．【解析】 由定义知公和为4，且a n ＋a n －1＝4(n ≥2，n ∈N *)，那么a n －2＝－(a n －1－2)，依次类推，于是有a n －2＝(－1)n －1(a 1－2)．因为a 1＝1，所以a n ＝2＋(－1)n.【答案】 a n ＝2＋(－1)n2．类比性质【例2】 我们知道：圆的任意一弦(非直径)的中点和圆心的连线与该弦垂直，那么，若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2的一弦(非过原点的弦)的中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．【解】 假设在圆中，弦(非直径)所在直线的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由两线垂直，我们可以知道两斜率之积为－1.对于方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，若a ＝b ，则方程为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为－b 2a 2或－a 2b2.于是，设椭圆的弦AB 的两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为P ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2⇒b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0⇒y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2⇒k OP ·k AB ＝－b 2a 2，即两斜率之积为－b 2a2. 3．类比方法【例3】 已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”． OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论？并证明． 【解】 在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1. 在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h O BCD h A BCD ＝13S △BCD ·h O BCD13S △BCD ·h A BCD ＝V O BCDV A BCD. 同理，OF DF ＝V O ABC V D －ABC ，OG BG ＝V O ACD V B ACD ，OH CH ＝V O ABDV C ABD，∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O BCD ＋V O ABC ＋V O ACD ＋V O ABD V A BCD ＝V A BCDV A BCD＝1.。
[推荐学习]2018届高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法教师用书理
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第二节一元二次不等式及其解法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0。
2．一元二次不等式的解集3.(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式解法 微点提醒1．解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记讨论当a ＝0时的情形。
2．不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。
(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0。
(2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修5P 80A 组T 4改编)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则A ∪B ＝( )A ．(－4,4)B ．RC ．{x |x >3或x <1}D ．{x |－4<x <1或3<x <4}【解析】 A ＝{x |x 2－16<0}＝(－4,4)，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}＝{x |x >3或x <1}，所以A ∪B ＝R 。
故选B 。
【答案】 B2．(必修5P 103A 组T 3改编)当x >0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－1D ．－32【解析】 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立，当Δ＝a 2－4>0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4>0，－a2<0，解得a >2。
配套K12全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课3不等式及其应用教师用书文
重点强化课(三) 不等式及其应用[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用(1)(2016·山东青岛一模)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是__________．(1)D (2)(－1，2－1)[(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为－1，－12∪－12，1，故选D.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1. 所以x 的取值范围为(－1，2－1)．] [规律方法]一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集． (2)与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．(3)与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．[对点训练1] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】(－5,0)∪(5，＋∞) [由于f (x )为R 上的奇函数， 所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0， 所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]重点2 线性规划问题(1)(2017·深圳二次调研)在平面直角坐标系xOy 中，若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －y －1≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A.73 B ．1 C ．2D ．4(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【导学号：31222216】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [(1)作出不等式组表示的平面区域为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23，B (1,0)，C (2,0)组成的三角形区域(包含边界)，由图知当目标函数z ＝x ＋y 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23时取得最大值，所以z max ＝53＋23＝73，故选A.(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.][规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．[对点训练2] 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝ax －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.]重点3 基本不等式的综合应用(2016·江苏高考节选)已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．设a＝2，b ＝12.(1)求方程f (x )＝2的根；(2)若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． [解] 因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.2分(1)方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0.5分(2)由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤f x 2＋4f x 对于x ∈R 恒成立.8分而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x4f x＝4，且f 2＋4f＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.12分 [规律方法]基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．[对点训练3] (1)设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________． (1)A (2)9 [(1)当a ＝b ＝c ＝2时，有1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立． 当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立．故“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．(2)由已知得x ＋2y2＝1.则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋2 16)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．]重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D.] 2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．[－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为__________.【导学号：31222217】32 [令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋b ＋＝9＋2a ＋b ＋≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2.]8．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．【导学号：31222218】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.]三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0.1分 ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a >－1，即a <－1，则 －1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ； 当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a .6分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0，10分 ∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).12分10．(2016·全国卷Ⅰ改编)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元．[解] 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.5分目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) 【导学号：31222219】A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________. 【导学号：31222220】－52[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． [解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分 ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0.又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分 (3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.12分。
2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教师用书
第六章不等式及其证明[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]从近五年浙江卷高考题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，解答题重点考查绝对值不等式与二次函数相交汇问题，不等式的证明问题．第一节不等式的性质与一元二次不等式1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )。
2018高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明教师用书文
第六章⎪⎪⎪ 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5． 当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q3－－q5q4－q＝－q －1q4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5． 综上可知S 3a 3＜S 5a 5． 答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b c B ．a d ＜b c C ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c＝－1，b d＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0， 则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2． 5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．∴a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2168．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2．∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0．∴a b2＋b a2≥1a ＋1b ． 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e a －c2>e b －d2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0． 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1a －c2<1b －d2．又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·c a<4， ∴c a的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________． 解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得a －b m a a ＋m ＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0． 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ． 答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}， 根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}， 所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2． 所以a ＋b ＝－14． 答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏] 1．不等式x －3x －1≤0的解集为( ) A ．{x |x ＜1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |1＜x ≤3} D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1． 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0． 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3．当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m f n，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m ，fn[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4． 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f(－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1， 所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2． 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32． 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 考点二 求目标函数的最值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25．所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x－y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线 2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选 D 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2。
高考复习数学(北师大版)第6章 不等式、推理与证明
第六章 不等式、推理与证明
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[五年考情]
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[重点关注]
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1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答
题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规
划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证
明．
2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章
节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，
主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．
3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考
查．
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下一页高三一轮总复习Fra bibliotek[导学心语] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是 解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等 式问题． 2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强 化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
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3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函 数与方程三者密不可分，相互转化．
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近年高考数学复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式教师用书 文 北师大版(2021年
2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二节基本不等式[考纲传真］1。
了解基本不等式的证明过程。
2。
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．1．基本不等式错误!≤错误!(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0。
(2）等号成立的条件：当且仅当a＝b。
其中错误!称为a，b的算术平均数，错误!称为a,b的几何平均数．2．几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；（2）错误!＋错误!≥2（a,b同号且不为零）;（3)ab≤错误!2（a,b∈R)；(4)错误!2≤错误!(a，b∈R)．3．利用基本不等式求最值问题已知x〉0，y>0,则(1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2错误!（简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值q,那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是错误!(简记：和定积最大)．1．（思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）(1）函数y＝x＋错误!的最小值是2.（)(2)函数f (x)＝cos x＋错误!,x∈错误!的最小值等于4。
( )（3)x>0，y〉0是错误!＋错误!≥2的充要条件．（）(4)若a>0，则a3＋错误!的最小值为2错误!。
【方法】高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教师用书文北师大版
【关键字】方法第六章不等式、推理与证明[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．[导学心语]1．加强不等式根底知识的复习．不等式的根底知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．第一节不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔>.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系4.用算法框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程图6-1-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2.( )(2)a>b>0，c>d>0⇒>.( )(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )①a>b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒>；④a>b>0⇒>.A．①②B．②③C．①④D．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x是递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]3．(2016·吉林长春二模)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )【导学号：】A．a2>b2 B．>1C．>2b D．lg(a－b)>0C [取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D.故选C.]4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________________．(用区间表示)(－4,1) [由－x2－3x ＋4>0得x2＋3x －4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：】[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]不等式的性质及应用A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．](2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 3分设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，8分∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1). 10分 ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]. 12分[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式训练1] (1)(2016·河南六市2月模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.](2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.]一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分 (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1). 12分[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集．[解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0. 3分所以当a >1时，解集为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为1<x <1a. 10分综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 12分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (2016·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <13或x >12 B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]一元二次不等式恒成立问题☞ (2016·甘肃白银会宁一中月考)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【导学号：】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；7分当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分 ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．4．不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．3．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．4．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．6．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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第二节 基本不等式
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式ab ≤a ＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .
其中a ＋b 2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；
(2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a2＋b22(a ，b ∈R )． 3．利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q24
(简记：和定积最大)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y ＝x ＋1x
的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y x
≥2的充要条件．( )
(4)若a >0，则a 3＋1a2
的最小值为2 a.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2
>2ab
B ．a ＋b ≥2ab
C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b
≥2 D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．
对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.] 3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) 【导学号：66482277】
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．]
4．若函数f (x )＝x ＋1x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：66482278】
A ．1＋ 2
B ．1＋ 3
C ．3
D ．4
C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2－1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2
(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]
5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.
25[设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ，
则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，。