一次方程及其应用
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的指数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中 a 和 b 为已知常数，x 为未知数。
一元一次方程的应用非常广泛，可以在各个领域中解决实际问题。
本文将以数学、物理和经济三个方面来讨论一元一次方程的具体应用。
一、数学领域1. 解题应用：一元一次方程的解可以代表问题的答案。
通过列方程、整理方程、求解方程的过程，可以得到问题的解决方案。
2. 几何应用：一元一次方程可以用于求解图形的坐标、长度、面积等问题。
例如，求两点之间的距离、直线与坐标轴的交点等都可以转化为一元一次方程的问题。
3. 概率应用：一元一次方程可以用于概率计算中。
例如，已知事件发生的概率，求解该事件发生的次数等，可以通过建立一元一次方程来解决。
二、物理领域1. 力学应用：一元一次方程可以用于解决力学问题。
例如，已知物体的质量和加速度，求解力的大小；已知物体的速度和时间，求解物体的位移等。
2. 热学应用：一元一次方程可以用于热学问题的计算。
例如，已知物体的温度和传热系数，求解物体的传热速率；已知物体的热容和温度变化，求解物体的热量等。
三、经济领域1. 成本应用：一元一次方程可以用于经济成本的计算。
例如，已知某商品的固定成本和单位产品的生产成本，求解生产一定数量商品的总成本。
2. 收益应用：一元一次方程可以用于经济收益的计算。
例如，已知某汽车公司的定价策略和销售数量，求解该公司的总收益。
3. 投资应用：一元一次方程可以用于投资回报的计算。
例如，已知某项投资的投资额和回报率，求解投资多少年可以收回成本。
综上所述，一元一次方程的应用十分广泛，不仅可以用于数学领域的解题，还可以用于物理和经济等实际问题的求解。
掌握一元一次方程的应用方法，将有助于我们解决各种实际问题，并提升我们的数学思维能力。
一元一次方程常见应用题型及解法
一元一次方程常见应用题：
一、行程问题：路程=速度×时间
1：相遇问题：甲路程+乙路程=总路程
2：追及问题：a、不同时同地出发：快者（追者）走的路程=慢者（前者）走的路程
b、同时不同地出发：慢者走的路程+两者距离=快者走的路程
3、水流问题：顺水行的路程=逆水行的路程
提前写出：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
二、工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作效率与单独工作的时间互为倒数
各部分工作量之和=1
三、利润率、销售问题：
商品利润=商品售价-商品进价=商品进价×商品利润率
商品利润率=商品利润/商品进价×100%
售价=进价×（1+利润率）
注：进价
售价=实际销售价格
标价=定价=原价=预计售价=原销售价
四、数字问题：
设一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别为a、b,则这个两位数表示为10a+b 五、按比例分配问题：
甲：乙：丙=a:b:c 全部数量=各种成分的数量之和（设一份为χ）
六、配套问题
“加工的两种物品成比例”
七、分配问题
“总量不变”
八、积分问题
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分九、规律问题
●3个规律数字：设中间的数为χ
●月历中的问题
月历中每一行上相邻的两数，右边的数比左边的数大1；
月历中的每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7 十、方案决策问题
选择最优的方案就要把每种方案的结果算出来，进行比较。
一元一次方程的解法及应用
一元一次方程的解法及应用一元一次方程是初中数学中最基础的一种方程形式，它的形式可以表示为ax+b=0，其中a和b为实数，且a不等于0。
解一元一次方程可以通过运用一些基本的解法和技巧来实现。
在本文中，将介绍一些常见的解一元一次方程的方法，并探讨一些实际应用场景。
一、解法一：移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的未知数项移至一边，常数项移至另一边，使方程变为形如x=c的简单形式。
例如，解方程2x+3=7：首先，我们将方程中的常数项3移至右边：2x+3-3=7-3化简后得到：2x=4最后，将方程两边同除以2，得到解：x=2二、解法二：消元法消元法是解一元一次方程的另一种常见方法。
其基本思想是通过相互抵消未知数项或常数项，从而使方程变为形如x=c的简单形式。
例如，解方程3x+2=2x+5：首先，我们将方程中的常数项2移至左边，将未知数项3x移至右边：3x-2x=5-2化简后得到：x=3最终得到解x=3。
三、解法三：代入法代入法通常用于解决一元一次方程组，它的基本思想是将一个方程的某个变量用另一个方程中的变量表示，然后代入到另一个方程中，进而求解未知数的值。
例如，解方程组：2x+y=7x-y=3首先，根据第二个方程可得x=y+3将x的表达式代入第一个方程中：2(y+3)+y=7化简后得到：3y+6=7继续化简可得：3y=1最终得到解y=1/3，代回x的表达式可得x=10/3。
应用：一元一次方程在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 价格计算：在商业活动中，一元一次方程常用于求解价格。
例如，在打折优惠时，我们可以通过一元一次方程求解最终价格。
2. 时间计算：一元一次方程也可用于时间计算。
例如，在计算速度、时间和距离之间的关系时，我们可以建立一元一次方程来求解未知数。
3. 购物优惠：商场常常会进行满减优惠活动，我们可以通过一元一次方程求解购买满足条件所需的最低金额。
一元一次方程在生活中的应用
一元一次方程在生活中的应用
一元一次方程可以用来解决很多实际问题，如移动手机定价问题、
树木移植问题、预算规划问题、安装家具长度计算问题等。
1、移动手机定价问题。
若一部手机的原价为500元，经销商降低了20%，则可用一元一次方程x-500=0.2x，求解出手机实际售价x=400元。
2、树木移植问题。
若将一棵树移植到新地方，移植工程共花费2000元，土地房屋搭建费用1000元，则可用一元一次方程x+1000=2000，
求出移植树的费用x=1000元。
3、预算规划问题。
若某家庭每月收入9000元，其中食物费用占据2/3，则可用一元一次方程x+6000=9000，求出食物费用x=3000元。
4、安装家具长度计算问题。
若客厅的长度为6m，已安装的柜子占据
3/4，则可用一元一次方程x+4.5=6，求出柜子的长度x=1.5m。
七年级数学一元一次方程的应用
七年级数学一元一次方程的应用一元一次方程是初中数学中的基础内容，也是数学在实际生活中广泛应用的一种工具。
本文将从实际问题的角度出发，探讨七年级数学一元一次方程的应用。
1. 商品打折问题假设某商场正在进行打折促销活动，现有一款商品原价为x元，经过折扣后降价到原价的80%。
我们可以通过一元一次方程来计算出折后价格。
设折后价格为y元，则有方程：y = 0.8x。
通过解这个方程，便可以得出折后价格。
这个例子展示了一元一次方程在计算打折后价格问题中的应用。
2. 速度问题在旅行中，我们常常需要计算行驶距离、速度和时间之间的关系。
假设某辆汽车行驶的速度是v km/h，行驶t小时后，行驶的总距离s km。
我们可以通过一元一次方程来计算这些参数之间的关系。
设总距离s为y km，则有方程：s = vt。
通过解这个方程，我们可以计算出汽车行驶的总距离。
这个例子展示了一元一次方程在速度问题中的应用。
3. 家庭预算问题家庭预算是人们生活中常遇到的问题之一。
假设某家庭每月的总收入是x元，总支出是y元。
我们可以通过一元一次方程来计算每月结余或者透支的情况。
设结余为z元，则有方程：z = x - y。
通过解这个方程，我们可以得到每月的结余或者透支情况。
这个例子展示了一元一次方程在家庭预算问题中的应用。
4. 距离、时间、速度问题某辆汽车行驶了一段距离d，行驶的时间是t小时，我们需要计算汽车的平均速度v km/h。
通过一元一次方程我们可以找出速度与距离、时间之间的关系。
设平均速度v为y km/h，则有方程：v = d/t。
通过解这个方程，我们可以计算汽车的平均速度。
这个例子展示了一元一次方程在距离、时间和速度问题中的应用。
以上是几个七年级数学中一元一次方程的应用例子，从商品打折、速度问题、家庭预算问题到距离、时间、速度问题，一元一次方程在实际生活中无处不在。
掌握了一元一次方程的应用，我们不仅能更好地理解数学的基础概念，还能更好地解决实际生活中的问题。
一元一次方程的解法及其应用(含答案)初中数学
一元一次方程的解法及其应用［教学目标］1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。
4. 会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5. 通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。
【典型例题】例1. 已知()||m x m +=-320032是关于x 的一元一次方程，求m 的值。
解：由一元一次方程的定义可知： ||m m -=+2130，且≠由||||m m m -===2133，得，则± 又由m m +-303≠，得≠ ∴m =3小结：方程ax b a a b +=00()≠，且、为已知数是关于x 的一元一次方程，这里包含有（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。
（2）未知数的系数合并后不能为零。
（3）它必须是等式。
例2. 已知x =23是一元一次方程334325()m x x m-+=的解，则m 的值是多少？ 解：因为x =23是方程334325()m x x m-+=的解，所以3342332235()m m -+=××即33215m m -+=解得m =-14小结：方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，x =23是原方程的解，则把原方程中的x 换成23后等式仍然成立。
从而可以得到另一个关于m 的方程求解。
例3. 解下列方程：（1）5263x x +=-（2）0408613...x x -=- （3）30%70%(440%x x x ++=-)（4）32234122[()]xx ---= （5）97352775x x +=-（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ （7）x x +--=-40230516...解：（1）5263x x +=-移项得： 2365+=-x x 合并同类项得：5=x ∴x =5（2）由方程0408613...x x -=-两边同时乘以10得： 486013x x -=-413608x x +=+ 1768x = x =4（3）30%70%(440%x x x ++=-) 方程两边都乘以100得： 3070440x x x ++=-()3744x x x ++=-() 372840x x x +++= 1428x =- x =-2（4）32234122[()]xx ---=去中括号得：()xx 4132---=xx 4132---= x x --=1648 -=324x x =-8 （5）97352775x x +=-97273575x x -=--x =-2（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ 21431233436()()()x x x -----=()()x ---=321412346436()x -=4126x -= 418x =x =92（7）x x +--=-40230516...545022320516().()..x x +--=-××5202616x x +-+=-. 3276x =-. x =-92.例 4. 如果关于x 的方程23523331432x x n x n n -=--=+-与()的解相同，求()n -3582的值。
六年级 一元一次方程及应用题答案
一元一次方程及其应用一、基本知识1.解方程：类型包括移项类型，去括号类型，去分母类型。
2.列方程解应用题。
二、训练题（一）选择1.下列解方程的过程中,正确的是(C ) A.13=2x +3,得 2x =3-13 B.4y-2y+y=4,得(4-2)y=4 C. -12x=0,得x=0 D.2x=-3,得x=23- 2.下列解方程去分母正确的是( C ) A.由1132x x --=,得2x - 1 = 3 - 3x; B.由232124x x ---=-,得2(x - 2) - 3x - 2 = - 4C.由131236y y y y +-=--,得3y + 3 = 2y - 3y + 1 - 6y;D.由44153x y +-=,得12x - 1 = 5y + 20 3. 若式子57x -与49x +的值相等，则x 的值等于（ B ）．（A ）2 （B ）16 （C ）29 （D ）1694. 若方程53ax x =+的解为5x =，则a 的值是（ B ）．（A ）14（B ）4 （C ）16 （D ）80 5. 小李在解方程513a x -=（x 为未知数）时，误将x -看作x +，得方程的解为2x =-，则原方程的解为（ C ）.（A ）3x =- （B ）0x = （C ）2x = （D ）1x =6. 三个连续整数的和为54，则这三个数为（ C ）（A ）15，16，17 （B ）16，17，18 （C ）17，18，19 （D ）18，19，207. 已知甲有图书80本,乙有图书48本,要使甲、乙两人的图书一样多, 应从甲调到乙多少本图书?若设应调x 本,则所列方程正确的是( C ).（A ）80+x=48-x （B ）80-x=48 （C ）48+x=80-x （D ）48+x=80d c b a 8.受季节影响，某种商品每年按原售价降价10％后，又降价a 元，现在每件售价b 元，那么该商品每件的原售价为（ A ）A 、00101-+b aB 、))(101(00b a +-C 、00101--a b D 、))(101(00b a -- 9.甲、乙两人环湖竞走，环湖一周400，乙的速度是80米/分，甲的速度是乙的速度的411倍，且甲在乙的前100米处，多少分钟后，两人第一次相遇？设经过x 分钟两人第一次相遇，所列方程为（ B ）A 、x x 804510080⨯=+B 、x x 804530080⨯=+ C 、x x 804510080⨯=- D 、x x 804530080⨯=- 10.一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ D ）A ．54B ．27C ．72D ．45（二）填空1. 当=___ －2__时，式子2x-1的值比式子5x+6的值小1.。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用1. 苹果的购买：假设每个苹果的价格是p，你买了x个苹果，花了y 元。
这个购买过程可以用方程px = y来表示，其中p是苹果的单价。
通过解这个方程，可以计算出每个苹果的价格或购买的数量。
2. 电费计算：假设每度电的价格是p，你使用了x度电，支付了y元的电费。
这个计算过程可以用方程px = y来表示，通过解这个方程，可以计算出每度电的价格或使用的数量。
3. 路程和速度的关系：假设一个人以每小时v的速度行驶了x小时，那么他所行驶的路程可以用方程vx = d来表示，其中d是行驶的总路程。
通过解这个方程，可以计算出速度或行驶的时间。
4. 汽车行驶的时间：假设一个汽车以每小时的速度v行驶了x千米，行驶的时间可以用方程vx = t来表示，其中t是行驶的时间。
通过解这个方程，可以计算出汽车的速度或行驶的距离。
5. 工作量计算：假设一项工作需要x个小时完成，每小时工作的效率是p个单位，那么完成这项工作需要的总工作量可以用方程px = w来表示，其中w是工作的总量。
通过解这个方程，可以计算出工作的效率或完成工作所需的时间。
6. 线性销售模型：假设一种商品每件的价格是p，销售了x件，总销售额为y元。
这个销售过程可以用方程px = y来表示。
通过解这个方程，可以计算出每件商品的价格或销售的数量。
7. 比例关系：假设一个问题中存在两个量x和y，它们之间存在比例关系，可以用方程yx = t来表示，其中t是比例系数。
通过解这个方程，可以计算出两个量的比例关系。
以上这些是一元一次方程在现实生活中的一些应用场景，我们可以通过解这些方程来计算出各种参数的值或者确认各种关系。
整合了数学和实际问题，使得人们可以更好地理解和解决实际生活中的各种情况。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程是初中数学中的基础知识，学生们经常会遇到各种与一元一次方程相关的问题。
本文将探讨一元一次方程在日常生活、工作和实际问题中的应用。
一、商品售价的计算在购物时，我们常常会遇到各种折扣和促销活动。
通过一元一次方程可以计算出商品的实际售价。
如某商品原价为x元，打7折后的售价为0.7x元，如果现在的售价是100元，那么我们可以列出以下方程：0.7x = 100通过解这个方程，我们可以得到商品原价为142.86元。
这个例子展示了一元一次方程在计算商品售价方面的应用。
二、速度与时间的计算当我们要计算一个物体的速度时，有时候只知道物体运动的时间和路程，这时候可以利用一元一次方程来解决。
例如，某车以每小时40公里的速度行驶，行驶了t小时，那么该车行驶的路程可以表示为40t公里。
如果我们知道该车行驶了120公里，那么我们可以列出以下的方程：40t = 120通过解这个方程，我们可以得到该车行驶的时间为3小时。
这个例子展示了一元一次方程在计算速度与时间方面的应用。
三、利润的计算在商业活动中，人们常常需要计算出销售商品的总成本和利润。
通过一元一次方程，可以帮助我们计算出商品的利润率。
例如某商品的成本为C元，售价为S元，如果我们知道该商品的利润率是20%，那么我们可以列出以下方程：S - C = 0.2C通过解这个方程，我们可以得到商品的成本为0.83S元。
这个例子展示了一元一次方程在计算利润方面的应用。
四、游戏得分的分析在游戏中，我们经常需要分析得分的情况。
通过一元一次方程，可以帮助我们计算出达到特定得分目标所需要的平均分数。
例如，某个游戏共有n关，小明已经通过了m关，每关平均得分为x分，如果我们想要达到总得分1000分的目标，那么我们可以列出以下方程：mx = 1000通过解这个方程，我们可以得到小明每关的平均得分为20分。
这个例子展示了一元一次方程在分析游戏得分方面的应用。
总结：一元一次方程在日常生活、工作和实际问题中有广泛的应用。
专题04 一次方程(组)及其应用-备战2022年中考数学题源解密(解析版)
专题04 一次方程（组）及其应用考向1 一次方程（组）及其解法【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝3，即x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．【试题分析】以上中考真题主要考察了一元一次方程与二元一次方程组的解法步骤以及二元一次方程的多解问题；【命题意图】一次方程（组）的解法是对等式基本性质的熟悉程度的检验，也是后续方程求解的基础，准确掌握一元一次方程以及二元一次方程组的解法，是考生拿到此考点分值的重点；【命题方向】一次方程（组）的解法在浙江中考中占比不大，分值在0~6分，个别城市几乎不会单独出题，出题也基本在选择或者填空题的前半部分，属于难度较小的一类题。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
x＋y＝40， x＋y＝12， C.3x＋4y＝12 D.3x＋4y＝40
6．(2019·岳阳第 15 题 4 分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下 列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其意思 为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布335115 尺．
8. (2019·娄底第 23 题 9 分)某商场用 14 500 元购进甲、乙两种矿泉水
共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，依题意，得
x＋y＝500， 25x＋35y＝14 500，
2 次，2020 年考查 2 次)
2x－y＝5， 1．(2021·郴州第 6 题 3 分)已知二元一次方程组x－2y＝1，则 x－y 的
值为
（ A）
A．2
B．6
C．－2
D．－6
2．(2021·株洲第 2 题 4 分)方程x2－1＝2 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
（ D）
3．(2019·湘潭第 6 题 4 分)若关于 x 的方程 3x－kx＋2＝0 的解为 2，则 k 的值为 44 .
m＝8，m＝5， m＝2， ∴n＝2，n＝6，或n＝10， ∴共有 3 种运输方案，
方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆， 所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆， 所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆， 所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元)． ∵4 800＜4 900＜5 000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4 800 元．
一元一次方程与实际应用
一元一次方程与实际应用
1.货币问题：一元一次方程可以用来解决货币计算问题。
例如，小明
在超市买了苹果和香蕉，苹果单价为3元，香蕉单价为2元，他总共花了
8元。
现在我们可以用方程3x+2y=8来表示这个问题，其中x为苹果的数量，y为香蕉的数量。
通过解方程，可以得到苹果的数量和香蕉的数量。
2.速度问题：一元一次方程也可以用来解决速度计算问题。
例如，小
明骑自行车从A地到B地，全程50公里，他以10公里/小时的速度骑行。
如果他骑了t小时，那么我们可以用方程10t=50来表示这个问题。
通过
解方程，可以得到小明骑行的时间。
4.面积计算问题：一元一次方程还可以用来解决面积计算问题。
例如，一个矩形的长是x，宽是2x，已知它的面积为300平方米，我们可以用方
程x*2x=300来表示这个问题。
通过解方程，可以得到矩形的长和宽。
5.飞行时间问题：一元一次方程还可以用来解决飞行时间问题。
例如，一架飞机以400公里/小时的速度飞行，飞行了t小时后飞行了800公里。
我们可以用方程400t=800来表示这个问题。
通过解方程，可以得到飞机
的飞行时间。
综上所述，一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，可以解决各
种计算问题。
通过学习一元一次方程，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学思维能力。
中考总复习数学第1节 一次方程(组)及其应用
【自主作答】(1)x＝1；(2)xy＝＝12，.
类型3：列一次方程（组）解实际问题
►例3(2020·绍兴)有两种消费券：A 券，满 60 元减 20
元；B 券，满 90 元减 30 元，即一次购物大于等于 60 元、
90 元，付款时分别减 20 元、30 元．小敏有一张 A 券，
小聪有一张 B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各
【自主作答】100 或 85
►例4某一天，蔬菜经营户老李用了 145 元从蔬菜批
发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄
子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名
黄瓜
茄子
批发价/(元/千克)
3
4
零售价/(元/千克)
4
7
当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了 90 元，这天他批 发的黄瓜与茄子分别是多少千克？
(1)请求出 A，B 两个品种去年平均亩产量分别是多 少．
(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 A，B 种植亩数不变的情况下，预计 A，B 两个品种平均 亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%，由于 B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础 上上涨 a%，而 A 品种的售价不变．A，B 两个品种全部 售出后总收入将在去年的基础上增加290a%.求 a 的值．
自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元，则
所购商品的标价是
元．
分析：设所购商品的标价是 x 元，由题意，得
①所购商品的标价小于 90 元， x－20＋x＝150 ，
解得 x＝ 85
；②所购商品的标价大于 90 元，
x－20＋x－30＝150 ，解得 x＝ 100 ．故所购商品
的标价是 100 或 85 元．
初中数学一次方程(组)及应用
一次方程（组）及应用一．选择题（共14小题） 1．（2020•天津）方程组{2x +y =4，x −y =−1的解是（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =−3y =−2C ．{x =2y =0D ．{x =3y =−1【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =4①x −y =−1②，①+②得：3x ＝3， 解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝2， 则方程组的解为{x =1y =2．故选：A ．2．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组{x +3y =4，①2x −y =1ㅤ②时，下列方法中无法消元的是（ ） A ．①×2﹣② B ．②×（﹣3）﹣① C ．①×（﹣2）+②D ．①﹣②×3【分析】方程组利用加减消元法变形即可． 【解析】A 、①×2﹣②可以消元x ，不符合题意； B 、②×（﹣3）﹣①可以消元y ，不符合题意； C 、①×（﹣2）+②可以消元x ，不符合题意； D 、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D ．3．（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．12x ＝（x ﹣5）﹣5B ．12x ＝（x +5）+5C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5D ．2x ＝（x +5）+5【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺， 依题意，得：12x ＝（x ﹣5）﹣5．故选：A ．4．（2020•重庆）解一元一次方程12（x +1）＝1−13x 时，去分母正确的是（ ）A ．3（x +1）＝1﹣2xB ．2（x +1）＝1﹣3xC ．2（x +1）＝6﹣3xD ．3（x +1）＝6﹣2x【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【解析】方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ， 故选：D ．5．（2020•绥化）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ） A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10【分析】根据“准备了49座和37座两种客车共10辆，且466人刚好坐满”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】依题意，得：{x +y =1049x +37y =466．故选：A ．6．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是（ ）A ．3×2x +5＝2xB ．3×20x +5＝10x ×2C ．3×20+x +5＝20xD ．3×（20+x ）+5＝10x +2【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解析】设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3×（20+x ）+5＝10x +2． 故选：D ．7．（2020•齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【分析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出小明有4种购买方案．【解析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30， ∴y ＝10−23x ． ∵x ，y 均为正整数，∴{x =3y =8，{x =6y =6，{x =9y =4，{x =12y =2， ∴小明有4种购买方案． 故选：B ．8．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ）A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；12绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．9．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{2x +y =35x +4y =94D ．{x +4y =352x +y =94【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解析】设鸡有x 只，兔有y 只， 根据题意，可列方程组为{x +y =352x +4y =94，故选：A ．10．（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】根据题意可得：{x+y=100x3+3y=100，故选：C．11．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．{x3=y+2x2+9=yB．{x3=y−2x−92=yC．{x3=y+2 x−92=y D．{x3=y−2x2−9=y【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x3=y−2x−92=y．故选：B．12．（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C 种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【解析】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m +20n +30＝200， 整理得m +2n ＝17，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜17， ∴m ＝1，2，3，4，5，6，7，8； 当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得10m +20n +60＝200， 整理得m +2n ＝14，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜14， ∴m ＝1，2，3，4，5，6； ∴有8+6＝14种购买方案． 故选：D ．13．（2020•黑龙江）学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【分析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个，根据学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，其中A 种每个15元，B 种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x ，y 为非负整数可求出解． 【解析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个， 根据题意得：15x +25y ＝200，化简整理得：3x +5y ＝40，得y ＝8−35x ， ∵x ，y 为非负整数， ∴{x =0y =8，{x =5y =5，{x =10y =2， ∴有3种购买方案：方案1：购买了A 种奖品0个，B 种奖品8个； 方案2：购买了A 种奖品5个，B 种奖品5个； 方案3：购买了A 种奖品10个，B 种奖品2个． 故选：B ．14．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 【解析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ． 故选：B ．二．填空题（共19小题）15．（2020•衢州）一元一次方程2x +1＝3的解是x ＝ 1 ．【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解． 【解答】解；将方程移项得， 2x ＝2， 系数化为1得， x ＝1． 故答案为：1．16．（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝ 4 ． 【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程3x ﹣8＝x ， 移项，得3x ﹣x ＝8， 合并同类项，得2x ＝8． 解得x ＝4．故答案为：4．17．（2020•天水）已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为 1 ． 【分析】用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b ＝2，进而得出a +b ＝1． 【解析】a +2b =103①，3a +4b =163②， ②﹣①得2a +2b ＝2， 解得a +b ＝1． 故答案为：1．18．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 {x +y =250x +10y =30 ．【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x +y =250x +10y =30．故答案为：{x +y =250x +10y =30．19．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 200 元 暑假八折优惠，现价：160元【分析】设广告牌上的原价为x 元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设广告牌上的原价为x 元， 依题意，得：0.8x ＝160， 解得：x ＝200． 故答案为：200．20．（2020•牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 8 折． 【分析】设商店打x 折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设商店打x 折， 依题意，得：180×x10−120＝120×20%，解得：x ＝8． 故答案为：8．21．（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解析】设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．22．（2020•南充）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．【分析】首先设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费＝100元，即可求解．【解析】设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，由题意得： 7x +5y ＝100， ∵x 与y 为整数， ∴x 的最大值为10， 故答案为：10．23．（2020•绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2，A =0的解为{x =1，y =1，则多项式A 可以是 答案不唯一，如x ﹣y （写出一个即可）．【分析】根据方程组的解的定义，为{x =1y =1应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为{x =1y =1列一组算式，然后用x ，y 代换即可．【解析】∵关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2A =0的解为{x =1y =1，而1﹣1＝0，∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ． 故答案为：答案不唯一，如x ﹣y ．24．（2020•铜仁市）方程2x +10＝0的解是 x ＝﹣5 ． 【分析】方程移项，把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程2x +10＝0， 移项得：2x ＝﹣10， 解得：x ＝﹣5． 故答案为：x ＝﹣5．25．（2020•南京）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 1 ．【分析】求出方程组的解，代入求解即可． 【解析】{x +3y =−1①2x +y =3②，①×2﹣②得：5y ＝﹣5， 解得：y ＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x ＝﹣10， 解得：x ＝2， 则x +y ＝2﹣1＝1， 故答案为1．26．（2020•北京）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．27．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a +12b ﹣1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝ 6 ．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数b ，再代入公式S ＝a +12b ﹣1，即可得出格点多边形的面积．【解析】∵a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， ∴a ＝4，b ＝6，∴该五边形的面积S ＝4+12×6﹣1＝6， 故答案为：6． 28．（2020•泰安）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 {x =12y =4 ．【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可． 【解析】{x +y =16①5x +3y =72②②﹣3×①，得2x ＝24，∴x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16， ∴y ＝4．∴原方程组的解为{x =12y =4．故答案为：{x =12y =4．29．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．【分析】设女生有x 名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解． 【解析】设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有 2x ﹣17+x ＝52， 解得x ＝23． 故女生有23名． 故答案为：23．30．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意列出方程组，可求a ，b 的值，即可求解．【解析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为由题意可得：{7b −2a =2x20b −10a =5x ，解得：{a =x6b =x 3， ∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b ﹣5a ）：20b ＝1：8，故答案为：1：8．31．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺．【分析】可设绳长为x 尺，井深为y 尺，根据等量关系：①绳长的13−井深＝4尺；②绳长的14−井深＝1尺；列出方程组求解即可．【解析】设绳长是x 尺，井深是y 尺，依题意有{13x −y =414x −y =1， 解得{x =36y =8．故井深是8尺． 故答案为：8．32．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意{x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．33．（2020•绍兴）有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 100或85 元．【分析】可设所购商品的标价是x 元，根据小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．【解析】设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90元， x ﹣20+x ＝150， 解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元， x ﹣20+x ﹣30＝150， 解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元． 故答案为：100或85． 三．解答题（共11小题） 34．（2020•台州）解方程组：{x −y =1，3x +y =7.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则该方程组的解为{x =2y =1.35．（2020•连云港）解方程组{2x +4y =5，x =1−y ．【分析】把组中的方程②直接代入①，用代入法求解即可． 【解析】{2x +4y =5①x =1−y②把②代入①，得2（1﹣y ）+4y ＝5， 解得y =32．把y =32代入②，得x =−12． ∴原方程组的解为{x =−12y =32． 36．（2020•乐山）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =2①8x +3y =9②，法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1；法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1．37．（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 【分析】设这些学生共有x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解． 【解析】设这些学生共有x 人， 根据题意得x 6−x 8=2，解得x ＝48．答：这些学生共有48人． 38．（2020•凉山州）解方程：x −x−22=1+2x−13．【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解析】去分母，得：6x ﹣3（x ﹣2）＝6+2（2x ﹣1）， 去括号，得：6x ﹣3x +6＝6+4x ﹣2， 移项，得：6x ﹣3x ﹣4x ＝6﹣6﹣2， 合并同类项，得：﹣x ＝﹣2， 系数化为1，得：x ＝2．39．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元）2019年4月份 a x a ﹣x 2020年4月份1.1a1.43x1.04（a ﹣x ）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入1.43x1.1a中即可求出结论．【解析】（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．故答案为：1.04（a﹣x）．（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），解得：x=2 13，∴1.43x1.1a=1.43⋅213a1.1a=0.22a1.1a=0.2．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．40．（2020•杭州）以下是圆圆解方程x+12−x−33=1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【解析】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．移项，合并同类项，得x＝﹣3．41．（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【分析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元， 依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26，解得：{x =5y =3．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）． ∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 42．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x ﹣y ＝5①，2x +3y ＝7②，求x ﹣4y 和7x +5y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x ﹣4y ＝﹣2，由①+②×2可得7x +5y ＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组{2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝﹣1，x+y＝5；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝﹣11．【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．【解析】（1）{2x+y=7①x+2y=8②．由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，由13（①+②）可得：x+y＝5．故答案为：﹣1；5．（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，由2×①﹣②可得m+n+p＝6，∴5m+5n+5p＝5×6＝30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．（3）依题意，得：{3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11．43．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？【分析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆， 依题意，得：{x +y =3015x +8y =324，解得：{x =12y =18．答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．44．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a %．求a 的值．【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论．【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克； 根据题意得，{y −x =10010×2.4(x +y)=21600，解得：{x =400y =500， 答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a %）+2.4（1+a %）×500×10（1+2a %）＝21600（1+209a %）， 解得：a ＝10，答：a 的值为10．。
一元一次方程应用题8种类型解法及典型例题
一、概述1. 介绍一元一次方程的定义和基本形式2. 引出本文将要讨论的内容二、一元一次方程的八种类型1. 类型一：简单应用题1）例题：小明买了一些苹果，一共花了20元，每个苹果2元，问他买了多少个苹果？2）解法：设苹果的数量为x，根据题意可列出方程2x=20，解得x=10。
2. 类型二：两个未知数的应用题1）例题：甲乙两地相距180公里，相对而行，甲地的时速是每小时30公里，问几小时能相遇？2）解法：设相遇时间为t小时，甲地行驶的距离为30t，乙地行驶的距离为180-30t，根据题意可列出方程30t+30t=180，解得t=3。
3. 类型三：含有括号的应用题1）例题：一个数比8大，乘以3再减去2的结果是20，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程3(x-8)-2=20，解得x=18。
4. 类型四：含有分数的应用题1）例题：某数的1/3等于它的2/5减去3，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程1/3=2/5-3，解得x=-9。
5. 类型五：含有小数的应用题1）例题：一块钢铁的重量是另一块的3/5，如果重量相差5.2公斤，问两块钢铁的重量各是多少？2）解法：设较重的钢铁重量为x，根据题意可列出方程x-x*3/5=5.2，解得x=13。
6. 类型六：含有分母的应用题1）例题：一个数加上15的4/5等于这个数的3/4，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程x+15=3x/4，解得x=60。
7. 类型七：字母表示未知数的应用题1）例题：甲乙两个数的和是50，甲是乙的2倍，问甲乙两个数各是多少？2）解法：设甲的数为x，乙的数为y，根据题意可列出方程x+y=50和x=2y，解得x=40，y=10。
8. 类型八：几何问题转化为一元一次方程1）例题：一个三角形的底边长度是两腿长度的和的2倍，底边长8米，腿长是多少？2）解法：设腿长为x，根据题意可列出方程2x+x=8，解得x=4。
一元一次方程的解法及应用
一元一次方程的解法及应用一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常的形式可以表示为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数。
解一元一次方程是数学中的基础知识，本文将介绍一元一次方程的解法和其在实际问题中的应用。
一、一元一次方程的解法解一元一次方程的常用方法有两种：一是直接梳理常规计算步骤，另一种是利用代数方法。
1. 常规计算步骤解法首先，将方程形式化，保证未知数项系数为1。
例如，对于方程2x + 6 = 0，我们可以通过将方程两边同时除以2，得到x + 3 = 0。
按照常规计算方法，我们需要去掉等号两边的常数项，将变量项移到一边，常数项移到另一边。
以x + 3 = 0为例，我们将等式两边同时减去3，得到x = -3。
所以，方程2x + 6 = 0的解是x = -3。
在解一元一次方程时，我们需要注意一些特殊情况，例如方程中可能存在分数、小数或负数等。
为了简化计算和提高解题效率，可以将方程整理成整数形式，再进行求解。
2. 代数方法解法代数方法是解决一元一次方程的一种更具简便性和普适性的方法。
通过变量的移项和合并同类项的运算，可以利用代数的性质迅速求解方程。
例如，对于方程3x - 12 = 0，我们可以将-12移至方程右侧，得到3x = 12。
然后利用除法的性质，两边同时除以3，得到x = 4。
代数方法解法可以适用于各种形式的方程，而且步骤相对简单明了，常常用于解决实际问题。
二、一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用领域。
1. 金融领域在金融领域中，一元一次方程经常用于计算利息、贷款等问题。
例如，某人向银行贷款10000元，年利率为5%，求贷款数年后需要还款多少。
设贷款数年后需要还款为x元，则根据利息计算公式，我们可以列出一元一次方程0.05 * 10000 + 10000 = x。
通过解方程，我们可以求得x = 10500，即贷款数年后需要还款10500元。
一元一次方程在实际问题中的应用有哪些？
一元一次方程在实际问题中的应用有哪些？
一元一次方程是数学中的基础概念，广泛应用于现实世界的各
个领域。
以下是一些一元一次方程在实际问题中的应用例子：
1.财务管理：一元一次方程可以用来解决财务管理中的各种问题。
例如，可以使用一元一次方程来计算公司的总收入，总成本或
每个单位的成本。
2.回路电路：在电路中，电流的分布可以通过解决一元一次方
程组来计算。
这对于设计和分析电路以及解决电路问题非常有用。
3.商业应用：一元一次方程可以帮助解决商业中的许多问题。
例如，可以使用一元一次方程来计算利润率，销售量或价格。
4.比例问题：比例问题可以通过建立和解决一元一次方程来解决。
这包括了许多实际生活中的问题，如比较价格，规模相似性和
相关变量之间的关系。
5.运动问题：一元一次方程也可以用来解决运动问题。
例如，可以通过一元一次方程来计算物体的速度，加速度或位移。
一元一次方程在实际问题中的应用非常广泛。
通过了解如何运用一元一次方程解决问题，我们可以更好地理解数学的实际应用意义，并应用到我们生活和学习的各个领域中。
一元一次方程的应用(通用16篇)
一元一次方程的应用（通用16篇）一元一次方程的应用篇1教学设计示例教学目标1.使同学初步把握一元一次方程解简洁应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简洁的应用题；2.培育同学观看力量，提高他们分析问题和解决问题的力量；3.使同学初步养成正确思索问题的良好习惯.教学重点和难点一元一次方程解简洁的应用题的方法和步骤.课堂教学过程设计一、从同学原有的认知结构提出问题在学校算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关学问，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题.例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数.(首先，用算术方法解，由同学回答，老师板书)解法1：(4+2)÷(3-1)=3.答：某数为3.(其次，用代数方法来解，老师引导，同学口述完成)解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4.解之，得x=3.答：某数为3.纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思索，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中供应的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程.本节课，我们就通过实例来说明怎样查找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.二、师生共同分析、讨论一元一次方程解简洁应用题的方法和步骤例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析：1.本题中给出的已知量和未知量各是什么？2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得x-15％x=42 500，所以 x=50 000.答：原来有 50 000千克面粉.此时，让同学争论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 老师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应留意仿照.依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思索列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，实行提问的方式，进行反馈；最终，依据同学总结的状况，老师总结如下：(1)认真审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；(2)依据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步)；(3)依据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满意两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；(4)求出所列方程的解；(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义.例3 (投影)初一2班第一小组同学去苹果园参与劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少同学，共摘了多少个苹果？(仿按例2的分析方法分析本题，如同学在某处感到困难，老师应做适当点拨.解答过程请一名同学板演，老师巡察，准时订正同学在书写本题时可能消失的各种错误.并严格规范书写格式)解：设第一小组有x个同学，依题意，得3x+9=5x-(5-4)，解这个方程： 2x=10，所以 x=5.其苹果数为3× 5+9=24.答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个.同学板演后，引导同学探讨此题是否可有其他解法，并列出方程.（设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得）三、课堂练习1.买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？2.我国城乡居民 1988年末的储蓄存款达到 3 802亿元，比 1978年末的储蓄存款的 18倍还多4亿元.求1978年末的储蓄存款.3.某工厂女工人占全厂总人数的 35％，男工比女工多 252人，求全厂总人数.四、师生共同小结首先，让同学回答如下问题：1.本节课学习了哪些内容？2.列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？3.在运用上述方法和步骤时应留意什么？依据同学的回答状况，老师总结如下：(1)代数方法的基本步骤是：全面把握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案.其中第三步是关键；(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆.五、作业1.买3千克苹果，付出10元，找回3角4分.问每千克苹果多少钱？2.用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？3.某厂去年10月份生产电视机2 050台，这比前年10月产量的 2倍还多150台.这家工厂前年10月生产电视机多少台？4.大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉.求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？5.把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元.求得到一等奖与二等奖的人数一元一次方程的应用篇2教学设计示例教学目标1.使同学初步把握一元一次方程解简洁应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简洁的应用题；2.培育同学观看力量，提高他们分析问题和解决问题的力量；3.使同学初步养成正确思索问题的良好习惯.教学重点和难点一元一次方程解简洁的应用题的方法和步骤.课堂教学过程设计一、从同学原有的认知结构提出问题在学校算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关学问，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题.例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数.(首先，用算术方法解，由同学回答，老师板书)解法1：(4+2)÷(3-1)=3.答：某数为3.(其次，用代数方法来解，老师引导，同学口述完成)解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4.解之，得x=3.答：某数为3.纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思索，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中供应的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程.本节课，我们就通过实例来说明怎样查找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.二、师生共同分析、讨论一元一次方程解简洁应用题的方法和步骤例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析：1.本题中给出的已知量和未知量各是什么？2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得x-15％x=42 500，所以 x=50 000.答：原来有 50 000千克面粉.此时，让同学争论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 老师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应留意仿照.依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思索列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，实行提问的方式，进行反馈；最终，依据同学总结的状况，老师总结如下：(1)认真审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；(2)依据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步)；(3)依据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满意两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；(4)求出所列方程的解；(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义.例3 (投影)初一2班第一小组同学去苹果园参与劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少同学，共摘了多少个苹果？(仿按例2的分析方法分析本题，如同学在某处感到困难，老师应做适当点拨.解答过程请一名同学板演，老师巡察，准时订正同学在书写本题时可能消失的各种错误.并严格规范书写格式)解：设第一小组有x个同学，依题意，得3x+9=5x-(5-4)，解这个方程： 2x=10，所以 x=5.其苹果数为3× 5+9=24.答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个.同学板演后，引导同学探讨此题是否可有其他解法，并列出方程.（设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得）三、课堂练习1.买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？2.我国城乡居民 1988年末的储蓄存款达到 3 802亿元，比 1978年末的储蓄存款的 18倍还多4亿元.求1978年末的储蓄存款.3.某工厂女工人占全厂总人数的 35％，男工比女工多 252人，求全厂总人数.四、师生共同小结首先，让同学回答如下问题：1.本节课学习了哪些内容？2.列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？3.在运用上述方法和步骤时应留意什么？依据同学的回答状况，老师总结如下：(1)代数方法的基本步骤是：全面把握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案.其中第三步是关键；(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆.五、作业1.买3千克苹果，付出10元，找回3角4分.问每千克苹果多少钱？2.用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？3.某厂去年10月份生产电视机2 050台，这比前年10月产量的 2倍还多150台.这家工厂前年10月生产电视机多少台？4.大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉.求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？5.把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元.求得到一等奖与二等奖的人数.一元一次方程的应用篇3教学设计示例教学目标1.使同学初步把握一元一次方程解简洁应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简洁的应用题；2.培育同学观看力量，提高他们分析问题和解决问题的力量；3.使同学初步养成正确思索问题的良好习惯.教学重点和难点一元一次方程解简洁的应用题的方法和步骤.课堂教学过程设计一、从同学原有的认知结构提出问题在学校算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关学问，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题.例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数.(首先，用算术方法解，由同学回答，老师板书)解法1：(4+2)÷(3-1)=3.答：某数为3.(其次，用代数方法来解，老师引导，同学口述完成)解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4.解之，得x=3.答：某数为3.纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思索，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中供应的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程.本节课，我们就通过实例来说明怎样查找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.二、师生共同分析、讨论一元一次方程解简洁应用题的方法和步骤例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析：1.本题中给出的已知量和未知量各是什么？2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得x-15％x=42 500，所以 x=50 000.答：原来有 50 000千克面粉.此时，让同学争论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 老师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应留意仿照.依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思索列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，实行提问的方式，进行反馈；最终，依据同学总结的状况，老师总结如下：(1)认真审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；(2)依据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步)；(3)依据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满意两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；(4)求出所列方程的解；(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义.例3 (投影)初一2班第一小组同学去苹果园参与劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少同学，共摘了多少个苹果？(仿按例2的分析方法分析本题，如同学在某处感到困难，老师应做适当点拨.解答过程请一名同学板演，老师巡察，准时订正同学在书写本题时可能消失的各种错误.并严格规范书写格式)解：设第一小组有x个同学，依题意，得3x+9=5x-(5-4)，解这个方程： 2x=10，所以 x=5.其苹果数为3× 5+9=24.答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个.同学板演后，引导同学探讨此题是否可有其他解法，并列出方程.（设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得）三、课堂练习1.买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？2.我国城乡居民 1988年末的储蓄存款达到 3 802亿元，比 1978年末的储蓄存款的 18倍还多4亿元.求1978年末的储蓄存款.3.某工厂女工人占全厂总人数的 35％，男工比女工多 252人，求全厂总人数.四、师生共同小结首先，让同学回答如下问题：1.本节课学习了哪些内容？2.列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？3.在运用上述方法和步骤时应留意什么？依据同学的回答状况，老师总结如下：(1)代数方法的基本步骤是：全面把握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案.其中第三步是关键；(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆.五、作业1.买3千克苹果，付出10元，找回3角4分.问每千克苹果多少钱？2.用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？3.某厂去年10月份生产电视机2 050台，这比前年10月产量的 2倍还多150台.这家工厂前年10月生产电视机多少台？4.大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉.求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？5.把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元.求得到一等奖与二等奖的人数一元一次方程的应用篇4教学内容：人见教版初一代数[目的要求]：1. 使同学能分析问题中的相等关系，会列出一元一次方程，解简洁的调配问题的应用题；2. 使同学能从应用题所求的两个未知数中选设一个，通过列方程求得这个未知数的值后，再利用它与另一个未知数以及某些已知数的关系，求得另一个未知数的值。
数学公式及其应用
数学公式及其应用概述：数学公式是数学中用于表示数学概念、性质及关系的符号组合。
它们是数学语言的基础。
数学公式应用广泛，可以用于解决实际问题、推导理论、描述物理现象等。
本文将介绍一些常见的数学公式及其应用示例。
一、代数公式代数公式是数学中最基础的公式之一，它们用于表示数值之间的关系、性质及变化规律。
以下是一些常见的代数公式及其应用：1. 一次方程：一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
一次方程可用于解决实际问题，如求解物体的速度、距离等。
2. 二次方程：二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
二次方程在数学和物理中都有广泛的应用，如求解抛物线的顶点、计算物体的运动轨迹等。
3. 因式分解公式：因式分解公式用于将多项式进行因式分解，可以简化问题的求解过程。
例如，利用因式分解公式可以将多项式x^2 -y^2分解为(x+y)(x-y)。
二、几何公式几何公式是用于描述几何图形性质的数学公式。
以下是一些常见的几何公式及其应用：1. 面积公式：面积公式用于计算各种几何图形的面积，如长方形、三角形、圆等。
例如，三角形的面积可以通过1/2 * 底边长 * 高求得。
2. 周长公式：周长公式用于计算各种几何图形的周长，如长方形、圆等。
例如，圆的周长可以通过2 * π * 半径求得。
3. 三角函数公式：三角函数公式用于计算三角形边长、角度等。
例如，正弦函数可以通过已知一边和与该边相对的角度来计算其他边的长度。
三、概率与统计公式概率与统计公式是用于描述随机事件概率及数据分析的数学公式。
以下是一些常见的概率与统计公式及其应用：1. 概率论公式：概率论公式用于计算随机事件的概率，如乘法原理、加法原理、条件概率等。
概率论在统计学、金融学、生物学等领域有着广泛的应用。
2. 统计学公式：统计学公式用于描述和分析数据，如均值、标准差、相关系数等。
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知识体系图
一元一次方程
一次方程（组）及其应用 二元一次方程组
方程
定义 解
等式的性质
性质1 性质2
一元一次方程
定义 解法 应用
二元一次方程
定义 解
二元一次方程组
定义 解 解法 应用
3
2.1.1 等式的概念及性质
1.等式：表示相等关系的式子叫做等式.
2.等式的性质：
（1）等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相 等.即：如果a=b,那么a±c=b±c；
V正方体=a3（a表示正方体的边长）.
V圆锥=
1 r2h （r表示底面圆的半径，h表示高）
3
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4.增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为
增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，则有a(1－m)n
＝b. 5.利润问题： 利润＝售价－进价＝进价×利润率；售价＝标价×折扣率＝进价 ×(1＋利润率)； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销售量． 6.利息问题： 利息＝本金×利率×期数本息和＝本金×利息.
5
2.1.3 方程的解
1.能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方 程解的过程叫做解方程． 2.二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值． 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．
6Hale Waihona Puke 2.1.4 解一次方程（组）的解法
1.解一元一次方程主要有以下步骤： （1）去分母(注意不要漏乘不含分母的项)； （2）去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变 号)； （3）移项(注意移项要变号)； （4）合并同类项； （5）系数化1；
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【例1】在如图的2017年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的
数，这三个数的和不可能是
（）
A.27
B.51
C.69
D.72
16
【解析】本题考查了一元一次方程的应用. 设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14. 故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21. 当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x= 2时，3x+21=27； 当x=17时，3x+21=72.但是根据图中可知x不大于16，所以x不能取17. 【答案】D
（2）等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果任
然相等.即：
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么
a c
b c
c
0.
4
2.1.2 一次方程（组）的相关概念
1.含有未知数的等式叫做方程. 2.只含有一个未知数（元），且含未知数的项的最高次数是1，这 样的整式方程叫做一元一次方程. 3.含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1，这样的整式方 程叫做二元一次方程. 4.将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如 果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样 的方程组叫做二元一次方程组．
（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数互为 相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这 个未知数，得到一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加 减法.
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2.1.5 列方程(组)解应用题的一般步骤
1.审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量. 2.设：即设关键未知数. 3.找：即找出各量之间的等量关系. 4.列：即根据等量关系列方程（组）. 5.解：即解方程（组）. 6.验：即检验所解出的答案是否正确，是否符合题意. 7.答：即规范作答，注意单位名称．
顺水速度=船在静水中速度+水流速度 逆水速度=船在静水中速度-水流速度
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2.工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=工 作总量.
3.几何图形问题：
（1）面积问题：S长方形=ab，（a,b分别表示为长和宽）.
S正方形=a2（a表示边长）.
S圆=πr2（r表示圆的半径）.
（2）体积问题：V长方体=abh（a,b,h分别为长方体的长、宽和高）.
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一元方程（组）及其应用方法归纳
1.在解一元一次方程时，经常用到两个相乘：一是去分母时，方程 两边同乘以分母的最小公倍数；二是将分母化为整数时，把分母、 分子同乘以10n.这两个“同乘以”有着本质的区别，一个用的是等 式的性质，一个用的是分数的基本性质，两者不可混淆．
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2.两种设元方法 （1）直接设元.在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什 么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未 知数，再用这个未知数表示另一个未知量．这种设未知数的方法 叫做直接设元法． （2）间接设元.如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不 是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答， 我们称这种设未知数的方法为间接设元法．
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2.解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元 法两种消元办法．即把多元方程通过代入、加减、换元等方法转化 为一元方程来解．
（1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将 一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程， 消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求 得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入 法.
第二单元 方程（组）与不等式 （组）
第6课时 一次方程（组）及其应用
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考纲考点
1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型. 2.能用观察、画图等手段估计方程的解. 3.会解一元一次方程、二元一次方程组.
2015年、2017年江西中考没有单独考查二元一次方程组和一元一次方程， 都是与其他知识点综合考查，2013年、2014年、2016年江西中考都分别 考查了列二元一次方程组、二元一次方程组的应用、二元一次方程组的 解法及一元一次方程应用，预测2018年一次方程（组）及其应用单独考 查的几率任然较小，单独考查多以二元一次方程组的计算为主.
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3.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出 题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来 说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方 程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数 值要相等．
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常见的应用题题型归纳及关系式总结
1.有关路程、速度的问题 （1）行程问题：路程=速度×时间. （2）相遇问题：两者路程之和=全程. （3）追及问题：快者路程=慢者先走路程（或相距路程）+慢者后 走路程. （4）水中航行问题：