一次方程及其应用

（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数互为 相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这 个未知数，得到一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加 减法.
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2.1.5 列方程(组)解应用题的一般步骤
1.审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量. 2.设：即设关键未知数. 3.找：即找出各量之间的等量关系. 4.列：即根据等量关系列方程（组）. 5.解：即解方程（组）. 6.验：即检验所解出的答案是否正确，是否符合题意. 7.答：即规范作答，注意单位名称．
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知识体系图
一元一次方程
一次Biblioteka Baidu程（组）及其应用 二元一次方程组
方程
定义 解
等式的性质
性质1 性质2
一元一次方程
定义 解法 应用
二元一次方程
定义 解
二元一次方程组
定义 解 解法 应用
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2.1.1 等式的概念及性质
1.等式：表示相等关系的式子叫做等式.
2.等式的性质：
（1）等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相 等.即：如果a=b,那么a±c=b±c；
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3.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出 题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来 说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方 程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数 值要相等．
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常见的应用题题型归纳及关系式总结
1.有关路程、速度的问题 （1）行程问题：路程=速度×时间. （2）相遇问题：两者路程之和=全程. （3）追及问题：快者路程=慢者先走路程（或相距路程）+慢者后 走路程. （4）水中航行问题：
（2）等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果任
然相等.即：
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么
a c
b c
c
0.
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2.1.2 一次方程（组）的相关概念
1.含有未知数的等式叫做方程. 2.只含有一个未知数（元），且含未知数的项的最高次数是1，这 样的整式方程叫做一元一次方程. 3.含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1，这样的整式方 程叫做二元一次方程. 4.将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如 果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样 的方程组叫做二元一次方程组．
第二单元 方程（组）与不等式 （组）
第6课时 一次方程（组）及其应用
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考纲考点
1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型. 2.能用观察、画图等手段估计方程的解. 3.会解一元一次方程、二元一次方程组.
2015年、2017年江西中考没有单独考查二元一次方程组和一元一次方程， 都是与其他知识点综合考查，2013年、2014年、2016年江西中考都分别 考查了列二元一次方程组、二元一次方程组的应用、二元一次方程组的 解法及一元一次方程应用，预测2018年一次方程（组）及其应用单独考 查的几率任然较小，单独考查多以二元一次方程组的计算为主.
顺水速度=船在静水中速度+水流速度 逆水速度=船在静水中速度-水流速度
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2.工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=工 作总量.
3.几何图形问题：
（1）面积问题：S长方形=ab，（a,b分别表示为长和宽）.
S正方形=a2（a表示边长）.
S圆=πr2（r表示圆的半径）.
（2）体积问题：V长方体=abh（a,b,h分别为长方体的长、宽和高）.
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2.1.3 方程的解
1.能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方 程解的过程叫做解方程． 2.二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值． 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．
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2.1.4 解一次方程（组）的解法
1.解一元一次方程主要有以下步骤： （1）去分母(注意不要漏乘不含分母的项)； （2）去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变 号)； （3）移项(注意移项要变号)； （4）合并同类项； （5）系数化1；
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一元方程（组）及其应用方法归纳
1.在解一元一次方程时，经常用到两个相乘：一是去分母时，方程 两边同乘以分母的最小公倍数；二是将分母化为整数时，把分母、 分子同乘以10n.这两个“同乘以”有着本质的区别，一个用的是等 式的性质，一个用的是分数的基本性质，两者不可混淆．
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2.两种设元方法 （1）直接设元.在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什 么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未 知数，再用这个未知数表示另一个未知量．这种设未知数的方法 叫做直接设元法． （2）间接设元.如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不 是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答， 我们称这种设未知数的方法为间接设元法．
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【例1】在如图的2017年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的
数，这三个数的和不可能是
（）
A.27
B.51
C.69
D.72
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【解析】本题考查了一元一次方程的应用. 设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14. 故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21. 当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x= 2时，3x+21=27； 当x=17时，3x+21=72.但是根据图中可知x不大于16，所以x不能取17. 【答案】D
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2.解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元 法两种消元办法．即把多元方程通过代入、加减、换元等方法转化 为一元方程来解．
（1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将 一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程， 消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求 得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入 法.
V正方体=a3（a表示正方体的边长）.
V圆锥=
1 r2h （r表示底面圆的半径，h表示高）
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4.增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为
增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，则有a(1－m)n
＝b. 5.利润问题： 利润＝售价－进价＝进价×利润率；售价＝标价×折扣率＝进价 ×(1＋利润率)； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销售量． 6.利息问题： 利息＝本金×利率×期数本息和＝本金×利息.