四川省泸州市重点高中2021届高三上学期开学考试 数学(理)试题
2021届四川省泸州市泸县第二中学高三上学期开学考试数学试题(理)
2021届高三入学调研数学试卷（一）（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部分别为，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若函数的图象经过抛物线的焦点，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．设，满足约束条件，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）z 1-22z =34i --34i -+34i +34i -2{|4}A x x =<{|2,}xB y y x ==∈R A B =(2,2)-(0,2)(2,)+∞(,2)(2,)-∞-+∞()lg()f x x a =+28y x =a =101-2-a b 60︒+a b 12-a b 12+a b -a b ABC △A B C a b c 2B C =b =cos c C cos c A 2cos c C 2cos c A x y 2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩z x y =+[90,]2[94,]2[0,4][4,)+∞a 0a 2()I a ()D a 75a =()57I a =()75D a =51a =b =A ．B ．C ．D ．8．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．（ ）A ．B ．C ．D ．10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．在正四棱柱中，为侧棱上一点，，，且异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A ．B ．C ．D ．303540452211()11x x f x x--=++()y f x =(0,(0))f y x =-y x =2y x =2y x =-sin cos()6πx x -+=11sin(224π)6x +-11sin(224π)6x -+11sin(222π)3x -+1sin(22π)3x +2436012004160359289359119107795810771111ABCD A B C D -E 1DD 1AB =12AA =DB 1C E 13DE =122313212．设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ） ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中的系数为 ．14．已知函数，若，，则 ． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．16．已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O F C H FOH △x B 2BF OB =C 6()3y x -5x y ()sin f x x =()()f a x f a x +=-0πa <<a =2()log )f x x =R ()|2 |g x m x a =--()()f x g x ≤3[,2]4x ∈-m17．（12分）设为数列的前项和，已知，，其中是不为的常数，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．①活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．n S {}n a n 37a =1(2)n n a a d n -=+≥d 01a 2a 6a {}n a 55m S m =m 0.113219．（12分）在直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为． （1）求的方程；（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．20．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且． （1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知函数．xOy (1,2)P x y -(1,2)Q x y +3OP OQ ⋅=(,)M x y ΩΩ(1,0)N l ΩA B 2BN NA =l ABCD AD AB ⊥ABD ⊥ABC 2AB BC AC ==4AD BC +=BC ⊥ABD E AC ABCD C BD E --2()(2)ln f x a x ax x =++-（1）讨论的单调性；（2）若在上存在最大值，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）『选修4-4：坐标系与参数方程』在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称． （1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．23．（10分）『选修4-5：不等式选讲』已知函数，且不等式的解集为．()f x ()f x (0,)a ()P a 234ln 2()42p a a a <<+-C 4cos ρθ=C D x D P D P sin 3ρθ=-cos 2ρθ=1d 2d 12d d +()|1||2|f x x x =-++()f x k <{|3}x x a -<<（1）求，；（2）若，证明：．——★ 参*考*答*案 ★——第Ⅰ卷k a m n k +=()()12f m f n +≥一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．『答案』A『解析』∵，∴．2．『答案』B『解析』∵，，∴．3．『答案』C『解析』抛物线的焦点坐标为，则，即，解得． 4．『答案』D『解析』由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量．5．『答案』C『解析』∵，∴，∴．6．『答案』A『解析』作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最小值； 直线过点时，取得最大值， 故．7．『答案』D『解析』，；，；，，∵为的倍数，∴输出的．12i z =-+2144i 34i z =--=--(2,2)A =-(0,)B =+∞(0,2)AB =28y x =(2,0)(2)lg(2)0f a =+=21a +=1a =--a b 1-a b 2B C =sin sin22sin cos B C C C ==2cos b c C =z x y =+(0,0)z 0z x y =+3(,3)2z 929[0,]2z∈51a =511536b =-=36a =633627b =-=27a =722745b =-=45545b =8．『答案』C『解析』令，则，， ∵，∴，∵，∴曲线在点处的切线方程为． 9．『答案』B『解析』 ． 10．『答案』D『解析』设一大二小与一大四小的灯球数分别为，，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为．11．『答案』A『解析』以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，则， 设，则，11x t x -=+11t x t -=+22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++2222)))(11((t f t t -'=+(0)2f '=(0)0f =()y f x =(0,(0))f 2y x=1sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+1112(1cos 2)sin(2)42π464x x x =+-=-+x y 360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩120240x y =⎧⎨=⎩2120236095817C C 107-=D D xyz-(0,0,0)D (1,1,0)B 1(0,1,2)C (1,1,0)DB =(02)DE t t =<≤1(0,1,2)C E t =--从而∵，∴． 12．『答案』C『解析』∵到渐近线的距离为，∴，则的内切圆的半径， 设的内切圆与切于点，则， ∵，∴，∴， 即，则，∴， ∵，∴．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．『答案』『解析』的展开式中的系数为．14．『答案』『解析』∵，∴的图象关于直线对称，又，且，∴． 15．『答案』1,|||s co DB C E 〉==〈02t <≤12t =F ||FH b =||OH a ==FOH △2a b cr +-=FOH △FH M ||2a b cMH r +-==2BF OB =2||||3FM BF c ==2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==33b a c =+22222)99(69b c a c ac a =-=++24390e e --=1e >38e +=2-6()3y x -5x y 161C ()23-=-π2()()f a x f a x +=-()f x x a =()sin f x x =0πa <<π2a =2『解析』设该圆锥的半径与高分别为，，则，即， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为． 16．『答案』『解析』由是上的奇函数，得，则，因为上单调递减，所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，由图可知，即，则．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）∵，∴数列是公差为的等差数列，∵，∴，，， ∵，，成等比数列，∴， ∴，∴或，∵，∴，．r h 32141ππ233r r h ⨯=2h r =2hr=[7,)2+∞2()log )f x x =R 2(0)log 0f ==1a =22()log )log f x x ==(0,)+∞()f x R ()f x ()g x 33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩2512log 2)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩72m ≥32n a n =-37m =1(2)n n a a d n -=+≥{}n a d 37a =172a d =-27a d =-673a d =+1a 2a 6a 2(72)(73)(7)d d d -+=-23d d =3d =0d =0d ≠3d =7(3)332n a n n =+-⨯=-（2）∵，∴，即，∴． 18．『答案』（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）①；②元．『解析』（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，∵，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖， 故所求的概率为．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为罐，记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元．19．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）∵，∴，∴，即，此即为的方程． （2）设直线的斜率为，则直线的方程为， 当时，或，不合题意； 当时，由，得， 设，，则，，1(552)m m m a a S m +==1110m a a +=32109m -=37m =960794070.027570110012012014016014018096077x ++++++==28012010014018014018094077x ++++++==12x x >22230.1(10.1C )0.027⨯-=(960940)3190035700+⨯=⨯=X (5700,0.1)XB 57000.1570EX =⨯=5701570⨯=2214x y +=k =3OP OQ ⋅=2(1)(1)43x x y -++=2244x y +=2214x y +=Ωl k l (1)y k x =-0k =3BN NA =13BN NA =0k ≠22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩222(1420)3k y ky k ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122214k y y k +=-+2122314k y y k =-+∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴．20．『答案』（1）证明见解析；（2． 『解析』（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，∴平面，因为平面，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面．（2）设，则， 四面体的体积， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故当时，四面体的体积取得最大值， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，2BN NA =22(1,)BN x y =--11()1,NA x y =-212y y =-1212214k y y y k +=-=-+22123214k y k -=-+10y ≠2512k =6k =±AD AB ⊥ABD ⊥ABC ABDABC AB =AD ⊂ABD AD ⊥ABC BC ⊂ABC AD BC ⊥2AB BC AC ==222AB BC AC +=AB BC ⊥ADAB A =BC ⊥ABD (04)AD x x =<<4AB BC x ==-ABCD 232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--403x <<()0f x '>()V f x =443x <<()0f x '<()V f x =43AD x ==ABCD B B xyz -则，，，，， 设平面的法向量为，则，即，令，得，同理，平面的法向量为，， 由图可知，二面角为锐角，故二面角21．『答案』（1）见解析；（2）证明见解析．『解析』（1）， 当时，，在上单调递减； 当时，由，得，在上单调递增； 由，得，在上单调递减． （2）易知，当02a <≤时，， 由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值，(0,0,0)B 8(0,,0)3A 8(,0,0)3C 84(0,,)33D 44(,,0)33E BCD (,,)x y z =n 0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2z =-(0,1,2)=-n BDE (1,1,2)=-m cos ,〈〉==m n C BD E --C BD E --2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->2a ≤-()0f x '<()f x (0,)+∞2a >-()0f x '>202a x +<<()f x (20,)2a +()0f x '<22a x +>()f x 2,)2(a ++∞0a >22a a +≥()f x (0,)a ()f x (0,)a当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，故， 设，， ∵，∴，∴在上单调递增， ∴，即，∵，且， ∴要证：，只需证， 即证， 设，则， 则在上单调递减，从而，即， 则，从而． 22．『答案』（1）；（2）『解析』（1）∵，∴，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为．（2）由（1）可设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，，2a >()f x (20,)2a +(2,)2a a +22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>224()(2)ln(2)24x x g x x x +-=++>2()1ln 22x x g x +'=++2x >()0g x '>()g x (2,)+∞()(2)4ln 2g x g >=()4ln 2p a >2314(34)(2)22a a a a +-=-+2a >23()42p a a a <+-2234ln 242a a a +--+<256ln024a a +--<256()ln(2)24x x h x x +-=->15()024h x x '=-<+()h x (2,)+∞()(2)ln 210h x h <=-<256ln024a a +--<23()42p a a a <+-234ln 2()42p a a a <<+-22(2)4x y ++=7-4cos ρθ=24cos ρρθ=224x y x +=22(2)4x y -+=D 22(2)4x y ++=(22cos ,2sin )P αα-+[0,2π)α∈sin 3ρθ=-cos 2ρθ=3y =-2x =从而，，，故的最小值为23．『答案』（1），；（2）证明见解析．『解析』（1）当时，由，得， 因为不等式的解集为，所以，解得， 当时，由，得，所以， 经检验，满足题意．（2）证明：因为，所以， 同理， 因为5m n k +==，所以．12sin 3d α=+22(22cos )42cos d αα=--+=-122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-12d d +7-5k =2a =2x ≤-()21f x x k =--<12k x +>-()f x k <{|3}x x a -<<132k +-=-5k =1x ≥() 2 15f x x =+<2x <2a =5k =2a =|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+()|21|f m m ≥+()|21|f n n ≥+()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=。
2021年高三上学期开学初检测数学(理)试卷含答案
2021年高三上学期开学初检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1．设全集，，，则（）A． B．C．D．2．若复数（是虚数单位），则A．B．C．D．3. 设是数列的前项和，若，则A．5 B．7 C．9 D．11 4．设f（x）＝，则f（f（－2））＝A．－1 B．C．D．5．的展开式中的有理项且系数为正数的项有( )A．1项 B．2项C．3项 D．4项6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋47．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．8．设，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.函数的图像与函数的图像（）A 有相同的对称轴但无相同的对称中心B 有相同的对称中心但无相同的对称轴C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴10．不等式组表示的点集为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则的概率为( )A． B． C． D．11、已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若，则点F到双曲线的渐近线的距离为( )A． B． C． D．12．对一定义域为D的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“敛1函数”的有( )A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.过函数f（x）＝－＋2x＋5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是________________.14、已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .15.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是 . 16．已知抛物线上一点，若以为圆心，为半径作圆与抛物线的准线交于不同的两点，设准线与x轴的交点为A，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分).参加人数AC E17．在中，角对应的边分别是,已知23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.(I)求角的大小；(II)若,,求△ABC 的面积.（12分）18．如图所示的多面体中，⊥平面，⊥平面ABC ，，且，是的中点． （Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. （12分）19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.（3）从该班中任意选两名学生，用表示 这两人参加活动次数之和，记“函数在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. （12分）20.椭圆的上顶点为 是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由.（12分）21.已知函数.(1)若的切线方程;(2) 若函数在上是增函数,求实数m 的取值范围;(3) 设点满足,判断是否存在点P (m,0),使得以AB 为直径的圆恰好过P 点，说明理由. （12分） 请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I）证明：；（II）若，，求的直径．（10分）A23. 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）。
2021-2022学年四川省泸州市高三(上)一诊数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年四川省泸州市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.“a>b”是“lna>lnb”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2.下列函数既是奇函数又是单调函数的是()A. y=sinxB. y=2cosxC. y=2xD. y=x33.设函数f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)+f(4−x)=0，f(0)=2，则f(2020)+f(2022)=()A. 4B. 2C. −2D. 04.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家们通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震级数M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的300倍，则两次地震的震级数大约相差(参考数据：lg3≈0.3)()A. 0.5B. 1.5C. 2D. 2.55.设集合A={x|−2≤x≤2}，B={y|y=√x}，则A∩B=()A. (0,2)B. [0,2)C. [0,2]D. [−2,+∞)6.已知命题p：平行于同一平面的两直线平行；命题q：垂直于同一平面的两直线平行．则下列命题中正确的是()A. p∧qB. p∨qC. p∧(￢q)D. (￢p)∧(￢q)7.某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC=60°，其中B到C的距离为70米．在A地测得C处的俯角为∠OAC=15°，最高点H的仰角为∠HAO=30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为()(参考数据：√6≈2.446)A. 40米B. 56米C. 65米D. 113米8. 如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为ℎ时，水流出所用时间为t ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( ) A. B. C. D.9. 已知函数f(x)=|cos2x|+cosx ，下列四个结论中正确的是( )A. 函数f(x)在(0,π)上恰有一个零点B. 函数f(x)在[0,π2]上单调递减C. f(π)=2D. 函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称10. 已知函数f(x)=(ax −me x )(ax −lnx)(其中e 为自然对数的底数)，若存在实数a 使得f(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. (−∞,1e 2) B. (e 2,+∞) C. (1e ,+∞) D. (1e 2,+∞) 11. 已知三棱锥S −ABC 的棱SA ⊥底面ABC ，若SA =2，AB =AC =BC =3，则其外接球的表面积为( )A. 4πB. 32π3C. 16πD. 32π 12. 已知cos(x +π4)=13，则sin2x =( )A. 79B. −79C. 29D. −29 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)={x,0≤x <11x,x ≥1的值域为______．14. 已知函数f(x)=asin2x −2√3cos2x 的一条对称轴为x =−π12，且f(x 1)f(x 2)=16，则|x 1+x 2|的最小值为______．15. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16. 已知当x ∈[0,1]时，函数f(x)=mx −2m 的图象与g(x)=√x +1的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在极坐标系Ox 中，正方形OBCD 的边长为2．(Ⅰ)求正方形OBCD 的边BC ，CD 的极坐标方程；(Ⅱ)若以O 为原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E ：x 2+y 2=5与边BC ，CD 分别交于点P ，Q ，求直线PQ 的参数方程．18. 已知函数f(x)=sin 2x −sinxcosx ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)把f(x)的图象沿x 轴向右平移π8个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集．19.已知函数f(x)=e x−ax2(其中e为自然对数的底数)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的导函数f′(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=cosx+x−f(x)，若x=0为g(x)的极小值点，求实数a的取值范围．20.如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD//BC，AD⊥DC，AD=2DC=2BC．(Ⅰ)求二面角A−CF−D的余弦值；(Ⅱ)判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由．21.如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知√2bcosB+acosC+ccosA=0．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若AB=CD=2，且_______，求线段AD的长．从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解．①△ABC的面积S=2；②AC=2√5．22.已知函数f(x)=|x+2|+|x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)<5的解集；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为m，若a，b，c均为正数，且a2+b2+c2=m.求证：a+ b+c≤3．23.已知曲线f(x)=ax3+bx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程是y+2=0．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)若对任意x1，x2∈[−2,3]，都有|f(x1)−f(x2)|≤m，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的定义域与单调性即可得出结论．本题考查了对数函数的定义域与单调性、简易逻辑的判定方法，属于基础题．【解答】解：lna>lnb⇒a>b，反之不成立．例如a<0时．∴“a>b”是“lna>lnb”的必要不充分条件．故选：C．2.【答案】D【解析】解：y=sinx，y=2cosx不是单调函数，不符合题意；y=2x不是奇函数，不符合题意；y=x3为奇函数且在定义域R上单调递增，符合题意．故选：D．结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，f(4−x)=f(x−4)，因为f(x)+f(4−x)=0，所以f(x)+f(x−4)=0，即f(x)=−f(x−4)，所以f(x+4)=−f(x)，即f(x)=f(x+8)，所以函数f(x)的周期为8，所以f(2020)=f(8×252+4)=f(4)，f(2022)=f(8×253−2)=f(−2)，令x =0，所以f(0)+f(4)=0，所以f(4)=−f(0)=−2，令x =2，则f(2)+f(2)=0，所以f(2)=0，所以f(−2)=f(2)=0，所以f(2020)+f(2022)=f(4)+f(−2)=−2+0=−2，故选：C ．根据条件求出函数的周期为8，然后有f(2020)=f(4)，f(2022)=f(−2)，通过赋值可求得结果．本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性，求值问题，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设某次地震释放出的能量为E 2，另一次为E 1，某次地震级数为M 2，另一次为E 1，故E 2=300E 1，代入关系式lgE =4.8+1.5M 可得，{lgE 2=4.8+1.5M 2lgE 1=4.8+1.5M 1， 故lgE 2−lgE 1=1.5(M 2−M 1)，即lg E2E 1=1.5(M 2−M 1)， ∵E 2=300E 1，∴1.5(M 2−M 1)=lg300=lg3+lg100=lg3+2≈2.3，∴M 2−M 1≈2.31.5≈1.5．故选：B ．根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的性质是解本题的关键，属于基础题． 5.【答案】C【解析】解：∵集合A ={x|−2≤x ≤2}，B ={y|y =√x}={y|y ≥0}，∴A ∩B ={x|0≤x ≤2}=[0,2]．故选：C ．求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：平行于同一平面的两条直线可以平行，也可以相交，还可以异面，故命题p不是真命题，￢p是真命题；命题q是线面垂直的性质定理，故命题q是真命题，￢q是假命题；故选项A是假命题，B是真命题，C是假命题，D是真命题；故选：B．根据线面平行的判定和性质，即可作出判断．本题考查了复合命题真假的判断，学生逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由余弦定理有BC2=AB2+AC2−2AC⋅ABcos∠BAC，所以4900=900+AC2−2×30×AC×cos60°，解得AC=−50(舍去)，AC=80，因为∠OAC=15°，可得∠AOC=75°，又∠HAO=30°，所以∠HAC=45°，所以∠AHC=60°，在△ACH中，由正弦定理有CHsin∠CAH =ACsin∠AHC，所以CHsin45∘=80sin60∘，解得CH=80√63≈65．故选：C．△ABC中，由余弦定理有BC2=AB2+AC2−2AC⋅ABcos∠BAC，可求出AC=80，在△ACH中，由正弦定理有CHsin∠CAH =ACsin∠AHC，可求出CH．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，属中档题．8.【答案】B【解析】解：函数ℎ=f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，ℎ随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，ℎ随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和ℎ的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：A：当x∈(0,π4]∪[3π4,π)时，cos2x>0，cosx∈[√22,1)∪(−1,−√22]，则f(x)=|cos2x|+cosx=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=0，∴cosx=12或cosx=−1，不符合题意，当x∈(π4,3π4)时，cos2x<0，cosx∈(−√22,√22)，则f(x)=|cos2x|+cosx=−cos2x+cosx=−2cos2x+cosx+1=0，∴cosx=−12或cosx=1，∴x=2π3，∴函数f(x)在(0,π)上恰有一个零点，∴A正确，B：∵f(π4)=|cosπ2|+cosπ4=√22，f(π2)=|cosπ|+cosπ2=1，∴f(π4)<f(π2)，∴函数f(x)在[0,π2]上单调递减不一定成立，∴B错误，C：∵f(π)=|cos2π|+cosπ=0，∴C错误，D：∵f(π2)=|cosπ|+cosπ2=1，∴函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称不正确，∴D错误，故选：A．分类讨论x∈(0,π4]∪[3π4,π)和x∈(π4,3π4)，再化简判断A，举特殊值判断B，求出f(π)判断C，求出f(π2)≠0判断D．本题考查余弦函数的单调性，零点的求法，以及对称性．先运用余弦二倍角公式化简函数是解决问题的关键，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由f(x)<0，得(ax−me x)(ax−lnx)<0，所以(a−me xx )(a−lnxx)<0，令g(x)=lnxx ，ℎ(x)=mexx，由题意知函数y=g(x)和函数y=ℎ(x)的图象，一个在直线y=a上方，一个在直线y=a 下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由g(x)=lnxx(x>0)，得g′(x)=1−lnxx2，所以当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max=g(e)=lnee =1e，由ℎ(x)=me xx，(x>0)ℎ′(x)=me x⋅x−me xx2=me x(x−1)x2当m<0时，在(0,1)上ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，在(1,+∞)上ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)有最大值，无最小值，不合题意，当m>0时，在(0,1)上ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，在(1,+∞)上ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=me，所以ℎ(1)>g(e)，即me>1e，所以m>1e2，所以m的取值范围为(1e,+∞)．故选：D．由题意可得(a−me xx )(a−lnxx)<0，令g(x)=lnxx，ℎ(x)=mexx，函数y=g(x)和函数y=ℎ(x)的图象，一个在直线y=a上方，一个在直线y=a下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=2，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=√3，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R=√3+1=2，三棱锥S−ABC外接球的表面积为：4π×4=16π．故选：C．由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．属于中档题．12.【答案】A【解析】解：因为cos(x+π4)=13，所以cosxcosπ4−sinxsinπ4=√22(cosx−sinx)=13，可得cosx−sinx=√23，两边平方，可得cos2x+sin2x−2sinxcosx=1−sin2x=29，则sin2x=79．故选：A．由已知利用两角和的余弦公式可求得cosx−sinx=√23，两边平方，根据同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．本题主要考查了两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．13.【答案】[0,1]【解析】解：当0≤x <1时，f(x)=x ， 故0≤f(x)<1， 当x ≥1时，f(x)=1x ， 故0<f(x)≤1， 故函数的值域为[0,1]， 故答案为：[0,1]．由分段函数的性质知，先求各段上的值域，再求并集即可． 本题考查了分段函数的值域，利用了分类讨论的思想，属于基础题．14.【答案】π6【解析】解：f(x)=asin2x −2√3cos2x =√a 2+12sin(2x −θ)， 由于函数f(x)的对称轴为x =−π12， 所以f(−π12)=−12a −3， 则|−12a −3|=√a 2+12， 解得：a =2，所以：f(x)=4sin(2x −π3)， 由于：f(x 1)⋅f(x 2)=16，当函数f(x)在x =x 1和x =x 2取最大值时， 所以：x 1=k 1π2+5π12，x 2=k 2π2+5π12，k ∈Z ；所以：|x 1+x 2|=|k 1π2+k 2π2+5π6|，可得其最小值为π6．当函数f(x)在x =x 1和x =x 2取最小值时， 所以：x 1=k 1π2−π12，x 2=k 2π2−π12，k ∈Z ；所以：|x 1+x 2|=|k 1π2+k 2π2−π6|，可得其最小值为π6．故答案为：π6．通过三角恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值求出结果．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．15.【答案】√3π6【解析】解：由三视图可知，几何体原图为半个圆锥，底面半径为1，高为√3．所以几何体的体积为12×13×π×12×√3=√36π．故答案为：√3π6．观察得到几何体原图，然后求解其体积即可．本题主要考查三视图还原几何体的方法，锥体体积的计算等知识，属于基础题．16.【答案】[−2,−12]【解析】解：在同一坐标系内画出函数f(x)=mx−2m的图象与g(x)=√x+1的图象，如图：，因为f(x)=mx−2m=m(x−2)，恒过定点A(2,0)，结合图象可得：k AC≤m≤k AB，即：2−01−2≤m≤1−00−2⇒−2≤m≤−12，故答案为：[−2,−12].画出两个函数的图象，结合图形即可求得结论．本题主要考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题．17.【答案】解：(I)正方形OBCD的边BC的极坐标方程为ρcosθ=2，θ∈[0,π4]，正方形OBCD的边CD的极坐标方程为ρsinθ=2，θ∈[π4,π2 ].(II)边BC的直角坐标方程为x=2，边CD的直角坐标方程为y=2，∵曲线E：x2+y2=5与边BC，CD分别交于点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴{x 1=2x 12+y 12=5，解得{x 1=2y 1=1，故P(2,1)，{y 2=2x 22+y 22=5，解得{x 2=1y 2=2，故Q(1,2)， ∴k PQ =2−11−2=−1，直线PQ 的倾斜角为34π，∴直线PQ 的参数方程为{x =tcos 34π+1y =tsin 34π+2，即{x =−√22t +1y =√22t +2(t 为参数)．【解析】(I)根据图形，即可直接求解．(II)根据已知条件，分别求出P ，Q 两点的坐标，再结合斜率公式，即可求解． 本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及参数方程的求解，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x −sinxcosx =12(1−cos2x)−12sin2x =−√22sin(2x +π4)+12，故函数的最小正周期为T =2π2=π．(Ⅱ)把f(x)的图象沿x 轴向右平移π8个单位得到函数g(x)=−√22sin2x +12的图象，由于g(x)≤0， 整理得sin2x ≥√22，即2kπ+π4≤2x ≤2kπ+3π4(k ∈Z)，整理得：kπ+π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z)．即不等式的解集为：{x|kπ+π8≤x ≤kπ+3π8}(k ∈Z)．【解析】(Ⅰ)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；(Ⅱ)利用函数的关系式的平移变换和三角函数的不等式的解法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x −2ax ，令F(x)=e x −2ax ，则F′(x)=e x −2a ，①当a ≤0时，F′(x)>0，②当a >0时，x ∈(ln2a,+∞)时，F′(x)>0，x ∈(−∞,ln2a)时，F′(x)<0， 综上：a ≤0时，f′(x)在R 上是增函数；当a>0时，f′(x)在(ln2a,+∞)上单调递增，在(−∞,ln2a)上单调递减；(Ⅱ)g(x)=cosx+x−f(x)=cosx+x−e x+ax2，则g′(x)=−sinx+1−e x+2ax，g′(0)=0，令G(x)=−sinx+1−e x+2ax，则G′(x)=−cosx−e x+2a，令ℎ(x)=G′(x)，则ℎ′(x)=sinx−e x，当x>0时，sinx≤1，e x>1，故ℎ′(x)<0，G′(x)是减函数，所以G′(x)<G′(0)=2a−2；①当2a−2≤0，即a≤1时，G′(x)<0，即G(x)在(0,+∞)上是减函数，不符合x=0是极小值，舍去；②当2a−2>0，即a>1时，因为G′(x)是减函数，且G′(0)>0，G′(ln(2a+3))=−cos[ln(2a+3)]−3<0，所以∃x0∈(0,ln(2a+3))，使得G′(x0)=0，当x∈(0,x0)时，G′(x)>0，即g′(x)是增函数，所以g′(x)>g′(0)=0，即g(x)在(0,x0)上是增函数，当x<0时，∀x∈(−π,0)，使得ℎ′(x)<0，G′(x)是减函数，故G′(x)>G′(0)=2a−2>0，从而g′(x)是增函数，所以g′(x)<g′(0)=0，即g(x)在(−π,0)上是减函数，综上：a的取值范围是(1,+∞)．【解析】(Ⅰ)分a≤0时和a>0时两种情况讨论，求出f′(x)=e x−2ax，令F(x)=e x−2ax，再次求导即可；(Ⅱ)令ℎ(x)=G′(x)=g′′(x)=−cosx−e x+2a，对其求导，得到x>0时，G′(x)是减函数，即有G′(x)<G′(0)=2a−2；讨论得到x∈(0,x0)时，G′(x)>0，即g′(x)是增函数，所以g′(x)>g′(0)=0，即g(x)在(0,x0)上是增函数；x<0时，∀x∈(−π,0)，使得ℎ′(x)<0，G′(x)是减函数，进而得到g(x)在(−π,0)上是减函数，即可求得a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．20.【答案】解：(Ⅰ)取AB中点G，连接BG、BD，因为AD//BC，AD⊥DC，AD=2DC=2BC，所以四边形BCDG是正方形，BD⊥AB，因为四边形ABEF为正方形，平面ABCD⊥平面ABEF ，所以BE ⊥AB ，BE ⊥BD ， 所以BA 、BD 、BE 两两垂直， 建系如图，不妨设BC =1， C(−√22,√22,0)，F(√2,0,√2)，A(√2,0,0)，D(0,√2,0)， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√22,−√22,√2)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√22,−√22,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,0)， 令m⃗⃗⃗ =(1,3,0)，n ⃗ =(−1,1,2)， 因为CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面CFA 的法向量， 因为CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以n ⃗ 是平面CFD 的法向量， 因为二面角A −CF −D 是锐角， 所以二面角A −CF −D 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=10⋅6=√1515． (Ⅱ)点D 不在平面CEF 上，理由如下： 假设点D 在平面CEF 上，因为C 在平面CEF 上， 所以平面CEF ∩平面ABCD =CD ， 又因为EF//平面ABCD ，所以EF//CD ，因为CG//AB//EF ，所以CD//CG ，与CD ∩CG =C 矛盾， 所以点D 不在平面CEF 上．【解析】(Ⅰ)用向量数量积计算二面角的余弦值；(Ⅱ)用反证法证明点D 不在平面CEF 上． 本题考查了二面角的计算问题，考查了点与平面的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵√2bcosB +acosC +ccosA =0，∴√2sinBcosB +sinAcosC +sinCcosA =0， ∴√2sinBcosB +sin(A +C)=0， ∴√2sinBcosB +sinB =0， ∵0<B <π， ∴sinB ≠0， ∴cosB =−√22， ∴B =34π．(Ⅱ)选①，∵△ABC 的面积S =2，∴S =12acsin3π4=2，即a =2√2，∴AC =√c 2+a 2−2accosB =2√5， ∴cos∠CAB =2×2×2√5=2√55， 又∵AC 平分∠BAD ， ∴cos∠CAD =22×2√5×AD=2√55， ∴AD =4．选②，∵AC =2√5，在△ABC 中，由余弦定理可得cosB =AB 2+BC 2−AC 22×AB×BC，解得BC =2√2，由正弦定理可得2√2sin∠BAC =2√5sin 3π4，∴sin∠BAC =√55， ∵AC 平分∠BAD ， ∴sin∠BAD =√55， ∵CD =2,AC =2√5，∴△ABC 是直角三角形，且∠ADC =90°， ∴AD =4．【解析】(Ⅰ)根据三角函数的和差公式就可求解．(Ⅱ)①首先根据面积公式求出BC ，再根据余弦定理求出AC ，最后根据角平分线即可求出结果．②首先根据余弦定理求出BC ，再根据正弦定理求出sin∠BAC ，再由角分线和正弦值即可求出结果．本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)<5，即|x +2|+|x −1|<5．∴{x <−2−x −2+1−x <5，①，或{−2≤x ≤1x +2+1−x <5，②，或{x >1x +2+x −1<5，③．解①求得−3<x <−2，解②求得−2≤x ≤1，解③求得1<x <2． 综上可得，不等式的解集为{x|−3<x <2}．(Ⅱ)证明：由|x +2|+|x −1|≥|x +2−x +1|=3． ∴m =3；可得a 2+b 2+c 2=3，∴(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca)≤3(a 2+b 2+c 2)=9， 当且仅当a =b =c =1时，等号成立， 所以a +b +c ≤3．【解析】(Ⅰ)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)利用绝对值不等式的几何意义，求解m 的最小值，然后利用基本不等式转化得证即可．本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=ax 3+bx ，得f′(x)=3ax 2+b ，由题意可得，{3a +b =0a +b =−2，解得a =1，b =−3．∴f(x)=x 3−3x ；(Ⅱ)由f(x)=x 3−3x ，得f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)． 当x ∈(−2,−1)∪(1,3)时，f′(x)>0，当x ∈(−1,1)时，f′(x)<0， ∴f(x)的单调增区间为(−2,−1)，(1,3)，单调减区间为(−1,1)． 函数的极大值为f(−1)=2，极小值为f(1)=−2， 又f(−2)=−2，f(3)=18，∴f(x)在[−2,3]上的最小值为−2，最大值为18．则对任意x 1，x 2∈[−2,3]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤18−(−2)=20． ∵对任意x 1，x 2∈[−2,3]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤m ，∴m ≥20． 即实数m 的取值范围是[20,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，由题意可得关于a ，b 的不等式组，求解可得a 与b 的值，则函数解析式可求；(Ⅱ)利用导数求f(x)在[−2,3]上的最值，可得|f(x 1)−f(x 2)|的最大值，结合题意可得实数m 的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．。
四川省部分学校2021-2022学年高三上学期开学考试数学(理科)试卷及答案
绝密★启用前 四川省部分学校2021-2022学年高三上学期开学考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数()()3i 14i z =+-，则复数z 的实部与虚部之和是（ ） A ．12-B ．4-C ．10D ．182．在等差数列{}n a 中，2458a a a +==，则10a =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．203．已知向量()3,a m =-，()2,3b =，若a b ⊥，则m =（ ） A ．2-B ．2C ．92-D ．924．已知集合{}|215A x x =->，()(){}|10B x x a x a =--+≥，若A B R =，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．(],4-∞D ．(],3-∞5．如果双曲线22221x y a b -=，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线()22210y C b b-=>，则该黄金双曲线C 的虚轴长为（ ） A ．2B ．4 CD．6．在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-7．六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a ，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）A3B3C．3 D．38．已知函数()(ln 2f x x ax =++，若()27f =，则()2f -=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．79．旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%B ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半C ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多D ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%10．已知函数()2cos 13f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 的三个相邻的零点分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，且1223x x x x λ-=-，则λ=（ ）A ．5B ．5或15C ．2D ．2或1211．已知函数()ln f x x x a =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞12．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=︒，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为8+O 表面积的最小值是（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π二、填空题13．已知函数()21,0,sin ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩则52π3f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N +=-∈，则9S =________．15．小华、小明、小李小章去A ，B ，C 三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去B 工厂的概率是________．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:10l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点（其中点A在x 轴上方），则AF FB=________．三、解答题17．北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.女志愿者考核成绩频率分布表若参加这次考核的志愿者考核成绩在[]90,100内.则考核等级为优秀. （1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；（2）补全下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关.参考公式：()()()()()2²n ad bc K a b a c c db d -=++++，其中n a bcd =+++. 参考数据：18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为ABC 外接圆面积的最小值．19．如图，在多面体ABCDEF中四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，22DE BF AB ==．（1）证明：平面//ABF 平面CDE ．（2）求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C ab a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =，点M ⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,P t 为椭圆C 上一点，过点2F 的直线l 与椭圆C 交于异于点P 的A ，B 两点，若PAB △的面积是7，求直线l 的方程．21．已知函数()2e 2ln 2xf x x x x x =--+-．（1）求函数()f x 图象在1x =处的切线方程． （2）证明：()0f x >．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 50ρθρθ-+=.（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()2,1P -，求PA PB +的值. 23．已知函数()2f x x =-. （1）求不等式()21f x x ≥-的解集； （2）若()1f x x a ≤++，求a 的取值范围.参考答案 1．B由复数乘法法则化复数为代数形式，得其实部与虚部后即得和． 解：由题意可得()()23i 14i 312i i 4i 711i z =+-=-+-=-，则复数z 的实部是7，虚部是11-，故复数z 的实部与虚部之和是7114-=-． 故选：B ． 2．C用基本量1,a d 表示题设条件，联立方程组可解得10a =，2d =，1019a a d =+即得解 解：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ，由2458a a a +==，得()()1113848a d a d a d ⎧+++=⎨+=⎩，解得10a =，2d =， 所以101918a a d =+=. 故选：C. 3．B转化a b ⊥为0a b ⋅=，用向量的坐标表示，即得解 解： ∵a b ⊥，∴630a b m ⋅=-+=，解得2m =. 故选：B. 4．A解不等式得集合,A B ，再由并集的结果确定不等关系，得参数范围． 解：由题意可得{}|3A x x =>，[)(],,1B a a =+∞⋃-∞-． 因为A B R =，所以13a -≥，即4a ≥．故选：A ．5．D由黄金双曲线的离心率求得b ，得虚轴长． 解：由题意可得22222221c a b a a +===⎝⎭，解得22b =，则b =C 的虚轴长为2b = 故选：D ． 6．C写出二项展开式的通项，令x 的指数为5，求出参数的值，代入通项即可得解. 解：732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，通项()()7321417722rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 令2145r -=，得4r =，故展开式中5x 项的系数为()44721635560C -=⨯=. 故选：C. 7．B由已知证得OE ⊥平面ABCD ，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案. 解：解：如图，连接AC ，BD ，ACBD O =，连接OE ．因为AE CE =，BE DE =，所以OE AC ⊥，OE BD ⊥，所以OE ⊥平面ABCD ．因为2AB BC AE a ===，所以AC =．因为四边形ABCD 是正方形，所以12AO AC ==，则OE ，故该正八面体的体积为()231223a ⨯⨯=．故选：B.8．B由已知代入求得(5n 22l a +=，再代入可求得()2f -的值. 解：解：∵函数()(ln 2f x x ax =++，∴()(2ln 2227f a =++=，∴(5n 22l a +=，∴()(2ln 222ln 22f a a -=--+-=+(ln 222523a ⎡⎤=-++=-+=-⎣⎦， 故选：B. 9．A利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断. 解：青年人占总游客人数比例为120%35%45%--=，则2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的比例为45%30%13.5%⨯=，故A 正确，选择自助游中年人比例为25%35%8.75%⨯=，8.75%213.5%⨯>，故B 错误， 选择自助游老年人比例为20%20%0.044%⨯==，即选择自助游的老年人和中年人的人数之和比为4%8.75%12.75%13.75%+=<，故C 错误， 2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为4%8.75%13.5%16.25%++=，故D 错误. 故选：A 10．D令()0f x =，可得233x k ππωπ+=±，由于1x ，2x ，3x 为三个相邻的零点，分两种情况讨论，即得解 解：由()0f x =，得2cos 103x πω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则233x k ππωπ+=±()k ∈Z .当1233x k ππωπ+=-()k ∈Z 时，2233x k ππωπ+=+()k ∈Z ，35233x k ππωπ+=+()k ∈Z ， 则1223x x πω-=，2343x x πω-=，故12λ=；当1233x k ππωπ+=+()k ∈Z 时，25233x k ππωπ+=+()k ∈Z ，37233x k ππωπ+=+()k ∈Z ， 则1243x x πω-=，2323x x πω-=，故2λ=. 综上，12λ=或2λ=. 故选：D 11．D由()0f x =分离参数得ln a x x =-+．引入新函数()ln g x x x =-+，由导数确定()g x 的单调性、极值，得出函数()g x 的变化趋势，从而得出结论， 解：令()ln 0f x x x a =-+=，得ln a x x =-+．设()ln g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-+=．由()0g x '>，得1x >；由()0g x '<，得01x <<．所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()()11g x g ≥=，即1a >．故选：D ． 12．B设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，根据题意得出4ah =，设ABC 的外接圆半径为r 、球O 的半径为R ，根据勾股定理得出2R 的表达式，结合基本不等式即可得出结果. 解：设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==. 因为120BAC ∠=︒，所以BC =，则该三棱柱的侧面积为(28ah =+4ah =. 设ABC 的外接圆半径为r ，则2sin BCr a BAC==∠.设球O 的半径为R ，则2222222164244h h h R r a h ⎛⎫=+=+=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当h =，故球O 的表面积为2416R ππ≥. 故选：B13．74根据分段函数及诱导公式即得.解：由题意可得52π52ππsin sin 333f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252π7134f f f ⎛⎛⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74.14．1022利用1(2)n n n a S S n -=-≥结合11a S =确定数列{}n a 是等比数列，得公比，由等比数列前n 项和公式计算． 解：因为()22n n S a n N +=-∈，所以()11222n n S a n --=-≥，所以()11222n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12n n a a -=．因为11122a S a ==-，所以12a =，则{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故()910921222102212S ⨯-==-=-．故答案为：1022． 15．718求出总的分配方法数，再按B 去1人或2人分类求得小华和小李都没去B 工厂的方法数，然后由概率公式计算． 解：由题意可知总的分配情况有2343C A 6636=⨯=种，其中满足条件的情况有1122223222C C A +C A 14=种，故所求概率1473618P ==． 故答案为：718．16．3+作出抛物线的准线，把,AF BF 转化为点到准线的距离，利用平面几何及三角函数的定义的方法求解． 解：由题意可知直线l 经过焦点F ，设其倾斜角为θ，则cos θ=．如图，直线l '是抛物线C 的准线，作AA l ''⊥，BB l ''⊥，BE AA '⊥，则AA AF '=，A E BB BF ''==，故AE AF BF =-，AB AF BF =+．因为cos cos 2AE BAE ABθ∠===2AF BF AF BF -=+，则AF FB =故答案为：3+17．（1）男志愿者人数为5，女志愿者人数为13；（2）列联表见解析，有.（1）由频率分布表可求得m ，a ，b ，从而得培训考核等级为优秀的女志愿者的人数，由频率分布直方图可得培训考核等级为优秀的男志愿者的人数. （2）补全列联表，计算2K ，与表中数据比较大小可得结论. 解：解：（1）由频率分布直方图可得，培训考核等级为优秀的男志愿者人数为()0.0150.015405+⨯⨯=， 由频率分布表可得，10.050.3250.30.0750.25m =----=，400.2510a =⨯=，400.0753b =⨯=， 培训考核等级为优秀的女志愿者人数为10313+=. （2）22⨯列联表如下：∵2805271335 4.587 3.84118624040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关. 18．（1）π3A =；（2）4π．（1）利用正弦定理和和差角公式求出1cos 2A =，即可求出角A 的大小；（2）由ABC的面积为12bc =．利用余弦定理和基本不等式求得a ≥ABC 外接圆的半径为r ，由正弦定理求得2r ≥，即可求出ABC 外接圆的面积的最小值解：（1）因为()2cos cos 0b c A a C --=，所以2sin cos sin cos cos sin 0B A C A C A --=，所以()2sin cos sin 0B A A C -+=，即2sin cos sin 0B A B -=．因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =． 因为0πA <<，所以π3A =．（2）由（1）可知π3A =，则sin A =． 因为ABC的面积为1sin 2bc A ==12bc =． 由余弦定理可得222222cos 12a b c bc A b c bc bc =+==+-≥=，则a ≥设ABC 外接圆的半径为r，则24sin a r A =≥=，即2r ≥， 故ABC 外接圆的面积2π4πS r =≥，当且仅当b c ==即当b c ==ABC 外接圆面积的最小值为4π．19．（1）证明见解析；（2（1）根据线面垂直的性质证得//DE BF ，再由线面平行的判定证得//BF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，从而由面面平行的判定得到平面//ABF 平面CDE ；（2）根据二面角的空间向量求解方法可求得答案．解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以//DE BF ．因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以//BF 平面CDE ．因为四边形ABCD 是正方形，所以//AB CD ．因为CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以//AB 平面CDE ．因为AB 平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB BF B =，所以平面//ABF 平面CDE ．（2）解：由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，则以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设1AB =，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2E ，()1,1,1F ，从而()1,1,1EF =-，()1,0,1CF =．设平面CEF 的法向量为(),,m x y z =，则00m CF x z m EF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，令1x =，得()1,2,1m =--． 平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =．故1cos ,6n mn m n m ⋅=== 即平面ABF 与平面CEF 20．（1）22143x y +=；（2）10x y ±-=． （1）利用待定系数法求出椭圆C 的标准方程；（2）对直线的斜率进行讨论：①当直线l 的斜率为0直接求出PAB △的面积；②当直线l 的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．用“设而不求法”表示出PAB △的面积，解得m ，即可求出直线l 的方程.解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得2222222,331,4,c ab a bc =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）因为()1,P t 在椭圆C 上，所以21143t +=，解得32t =． ①当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，则PAB △的面积为11343222AB t =⨯⨯=．因为PAB △，所以直线l 的斜率为0不符合题意． ②当直线l 的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my ++-=． 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+．故()212212134m AB y m +=-=+． 因为点P 到直线l的距离32m d ==， 所以()22121112234m AB d m +=⨯=+ 因为PAB △= 整理得4231320m m +-=，解得21m =，即1m =±．故直线l 的方程为1x y =±+，即10x y ±-=．21．（1）()2e 3e 1y x =--+；（2）证明见解析．（1）求出导函数()'f x ，计算斜率(1)f '后可得切线方程；（2）设()e 1x g x x =--，用导数证明()0>g x 在0x >时恒成立，即e 1x x >+，从而得ln 1x x >+，然后由不等式的性质可证明题设结论．解：（1）解：因为()2e 2ln 2x f x x x x x =--+-，所以()()21e 21x f x x x x'=+--+， 则()()111e 2212e 3f '=+--+=-．因为()1e 112e 2f =-+-=-，所以所求切线方程为()()()e 22e 31y x --=--，即()2e 3e 1y x =--+．（2）证明：设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-．由()0g x '>，得0x >；由()0g x '<，得0x <．所以()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号．因为e 1x x ≥+，所以ln e ln 1x x ≥+，所以ln 1x x ≥+，所以22ln 2x x ≥+．当0x >时，2e x x x x >+，所以2e 22ln 2x x x x x x +>+++，则2e 2ln 20x x x x x --+->，即()0f x >．22．（1）250x y -+=，()()22114x y ++-=；（2. （1）消参后，即可得到曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的普通方程；（2）首先写出直线l 的参数方程的标准方程的形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到t 的二次方程，利用韦达定理表示PA PB +.解：解：（1）因为2cos sin 50ρθρθ-+=，所以250x y -+=，所以直线l 的普通方程为250x y -+=（或25y x =+）.因为曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数）， 所以曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=.（2）由题意可知直线l的参数方程为2,1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将直线l 的参数方程代入曲线C的方程得2214⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即230t -=. 设A ，B 的参数分别是1t ，2t，则12t t +=，123t t =-. 故1212PA PB t t t t +=+=-===.23．（1）(],1-∞；（2）[]3,1--.(1)将()21f x x ≥-写成分段不等式组的形式，解不等式组即可；(2)根据题意将原不等式转化为21a +≤，解绝对值不等式即可. 解：解：（1）()21f x x ≥-等价于2,221x x x <⎧⎨-+≥-⎩或2,221,x x x ≥⎧⎨-≥-⎩解得1x ≤. 故不等式()21f x x ≥-的解集为(],1-∞.（2）()1f x x a ≤++，即21x x a -≤++，即21x x a --+≤. 因为22x x a a --+≤+，所以()1f x x a ≤++等价于21a +≤，解得31a -≤≤-.故a 的取值范围为[]3,1--.。
四川省泸州市2021届高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题 理(含解析)
四川省泸州市2021届高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（ ）A. {3}B. {0,1,2}C. {1,2}D.{0,1,2,3}【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）A. ()f x =B. ()2xf x -=C. ()ln f x x =D.3()f x x =【答案】B 【解析】 【分析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断．【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3.“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -=故选D5.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A. 异面B. 平行C. 相交D. 不确定【答案】B【解析】【详解】如图所示，直线a∥α，a∥β，α∩β=b，求证a∥b．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，则a∥c，同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由平行公理得：c∥d，则c∥β，又c在α内，α∩β=b，所以c∥b，又a∥c，所以a∥b．故答案为B．6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是A.221x y x=--B. 2sin41x x y x⋅=+C. ln x y x=D. ()22e x y x x=-【答案】D 【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0xy e =>恒成立∴2()2xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7.已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（ ） A. p q ∨B. ()p q ∧-C. p q ∧D.()p q ∨-【答案】C 【解析】 【分析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可．【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ， 过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ； ∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题； 命题q ：解方程200210x x --=，则12x =± 因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在222+++中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定x 32323+++的值为（ ）A. 3B.1312C. 6D. 22【答案】A 【解析】 【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【详解】解：令32323(0)m m +++⋯=>， 则两边平方得，则232323m +++⋯=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去． 故选：A ．【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．9.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是（ ）A .3tan ϕ=B. 最小正周期为2πC. 对任意x ∈R 都有()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D. 函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数图象得,,A ωϕ的值，得到()f x 的解析式，进而再判断每个命题的真假． 【详解】解：由图知：71,,4123T A T πππ==-∴=， 而2,2,3T x ππωω=∴==时，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭又在递减区域，22,Z 3k k πϕππ∴⋅+=+∈，而0,3πϕπϕ<<∴=，所以()sin 2,tan tan 333f x x ππϕ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以A 不正确，最小正周期222T πππω===，所以B 不正确， sin 2sin(2)sin 2()333f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 不正确； 函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得sin 2sin 263x x ππ⎡⎛⎫⎤-+=⎢⎪ ⎥⎭⎦⎝⎣，关于原点对称，所以④正确． 故选：D ．【点睛】考查三角函数的图象得函数解析式，及三角函数的性质，属于简单题． 10.若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nx f x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶中的水只有L 4a，则m 的值为（ ） A. 9 B. 7C. 5D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意，函数()nxy f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到． 【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数()nty f t ae ==，满足51(5)2nf aea ==可得11ln 52n =， 因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =， 即111ln k ln 524⋅=， 即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =．故选：C ．【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11.在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，2DPA π∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（ ）A.163π B.323π C.643π D. 16π【答案】B 【解析】 【分析】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P −ABCD 的外接球的体积．【详解】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，连结PO在PAD ∆中，2DPA π∠=，PA PD =，23AD =3,PE ∴=又由已知得1EF =， 设OF x =，在Rt OAF ∆中，224OA x =+，在截面PEF 中，221)x OP =+OP OA =2241)x x ∴+=+得0x =， ∴球的半径为2，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的体积为3432233ππ⋅=． 故选：B.【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P −ABCD 的外接球的体积，属于中档题．12.已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()71,2log 3B. ()52,2log 3--C. ()52log 3,1--D.71log 3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解．【详解】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3x g x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()131xh x g x =-=-， 函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根， 画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则k 0<，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--． 故选：B ．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 二、填空题 13.函数22log y x=-的定义域是 ．【答案】【解析】试题分析:由得.考点：函数的定义域.14.设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9 【解析】 【分析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果．【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===．故答案为：9．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.当0x x =时，函数()cos 22sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有最小值，则0sin x 的值为________.【答案】2±【解析】【分析】 利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：函数2()cos 22sin cos 22cos 2cos 2cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+-⎪⎝⎭， 根据二次函数的性质可知，当01cos 2x =-时，函数取得最小值，则0sin x =故答案为：±． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题．16.已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号）①每个面都是直角三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【解析】【分析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．【详解】解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确；②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确；③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确； 故答案为：①②④．【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题17.已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间；（2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围.【答案】（1）(1,3)-（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围.【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+， 因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-，故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x时，()0f x '<， 所以3a =-符合题意，且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立，所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞，【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin2A C b C c +=. （1）求B ；（2）已知2c =，AC 边上的高7BD =，求a 的值. 【答案】（1）3B π=（2）3a =或6a =【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积的应用求出结果．【详解】解:（1）由sin sin 2A C b C c +=， 所以sin sin 22B bC c π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos 2B b C c =，由正弦定理得sin sin sin cos 2B B C C =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠，所以sin cos 2B B =，即2sin cos cos 222B B B = 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos 02B ≠， 所以1sin 22B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为11sin 22S ac B BD b ==⋅， 代入2c =，3217BD =，3sin B =，得7b a =， 由余弦定理得22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入7b a =，得29180a a -+=， 所以3a =或6a =.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，若4AB BD ==，C 是圆锥底面所在平面内一点，2CD =，且AC 与圆锥底面所成角的正弦值为427.（1）求证：平面AOC ⊥平面ACD ；（2）求二面角B AD C--的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）21cos OFH ∠=【解析】【分析】 （1）首先找到AC 与圆锥底面所成角ACO ∠，求出,AC OC ，可得CD OC ⊥，结合圆锥的性质，可证明CD ⊥平面AOC ，进而可得平面AOC ⊥平面ACD ；（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量和平面ABD 的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角B AD C --的平面角的余弦值；解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FHAD ⊥交DC 于H ，连接HO ，得OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，通过三角形的边角关系求出OFH ∠的余弦.【详解】（1）证明：由4AB BD ==及圆锥的性质，所以ABD ∆为等边三角形，AO ⊥圆O 所在平面， 所以23AO =ACO ∠是AC 与底面所成角， 又AC 与底面所成角的正弦值为427， 在Rt AOC ∆中，14427AC ==222OC AC AO =-= 由2CD =，2OD =，在OCD ∆中，222OC CD OD +=，所以CD OC ⊥，圆锥的性质可知：AO ⊥圆O 所在平面，因为CD ⊂圆O 所在平面，所以AO CD ⊥，又AO ，OC ⊂平面AOC ，所以CD ⊥平面AOC ，又DC ⊂平面ACD ，故平面AOC ⊥平面ACD ；（2）解法一：在圆O 所在平面过点O 作BD 的垂线交圆O 于点E ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题可知，(0,2,0)B -，(0,2,0)D ，(0,0,23)A ， 由2OC =4DOC π∠=，所以(1,1,0)C ，设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =， 因为(1,1,3)AC =-，(0,2,23)AD =-， 所以2302230x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1z =，则(3,3,1)=m ，平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)n =， 所以21cos ,7||||m nm n m n ⋅〈〉==，二面角B AD C --21.解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，所以OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，在Rt OFD ∆中，因为4=AD ，6FOD π∠=， 所以1FD =，3OF =因为Rt Rt HFDACD ∆∆， 所以HF AC DF CD=，即7HF = 则22HD =故C 是HD 的中点，所以2OH =，在OFH ∆中，2222cos OH OF FH OF FH OFH =+-⨯∠， 即2243)7)237OFH =+-∠， 所以21cos 7OFH ∠=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及向量法求面面角，考查学生的计算能力，是中档题.20.已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x x R =+∈.（1）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且32()3g α+=，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）()f x 的最小值是12，此时x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z （2）423+ 【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数()f x 得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用两角和的正弦公式求得2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【详解】解：（1）2()2cos sin 2cos f x x x x =+，sin2cos21x x =++214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当2242x k πππ+=-+，即3()8x k k ππ=-∈Z 时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是-1，所以函数()f x 的最小值是1此时x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x所以()g x 的最小正周期为4π，故1()124g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为1()11243g παα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,242ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，111122244g πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11sin cos cos sin 1244244ππππαα⎤⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦113232⎛=⨯--⨯+ ⎥⎝⎭⎣⎦43+=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题．21.已知函数()ln f x x =，1()g x a x=+（其中a 是常数）. （1）求过点(0,1)P -与曲线()f x 相切的直线方程；（2）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在.请说明理由.【答案】（1）1y x =-（2）存在,2k e =, a =【解析】【分析】 （1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程，（2）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，转化为1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论求1ln kx x a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k ，a 的值即可． 【详解】解：（1）设过点(0,1)P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ，因()ln f x x =，则1()f x x'=，所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001f x x '=， 则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-，将(0,1)P -代入切线方程得0ln 0x =，所以01x =，所以切线方程为1y x =-；（2）假设存在实数1k ≠，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即111ln a x k x x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，取1x =，可知0k >，因为0x >，0a >，所以1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，令1()ln (0)kx m x x x a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则2()1(1)k aakx a km x a ax a ax '-+=-=++，由()00m x '=得20a kx ak -=.（1）当20k a <<时，()00,x x ∈时，()00m x '<，则()m x 在01,x a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '>，则()m x 在()0,x +∞上为增函数， 则()min 02()1ln 0k am x m x a k ==--≥， 即2ln 1kaa k +≤，令2()ln (k ah a a a k =+>， 则233122()k a kh a a a a '-=-=，由()00h a '=，得0a a =>，)0a a ∈时，()0h a '<，则()h a在区间)0a 上为减函数， ()0,a a ∈+∞时，()0'>h a ，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a >，使得()1h a ≤，故只能min ()1h a =.所以()min 012()ln 12h a h a k==+=， 所以2k e =，此时a 只有唯一值2e e. （2）当2k a ≥时，()00m x '>，所以()m x 在(0,)+∞上为增函数，所以0lim ()ln 0x m x a →=≥，则1a ≥， 故1k >. 所以满足1a k ≤≤的a 不唯一综上，存在实数2k e =，a 只有唯一值2e ，当0x >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22.如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭ （2）3πθ=【解析】【分析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ，所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=，则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭； （2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭， 点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+， 即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23.设()|-3||4|f x x x =+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值. 【答案】（1）[2.5,4.5]（2）65a =【解析】【分析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值． 【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<， 当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立，当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤，综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>， 所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号）， 又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
四川省泸州市2024届高三上学期数学(理科)一诊模拟(二)试题含解析
泸州高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（理科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2=+28<0A x x x -，{}4,2,0,2,4B =--，则A B ⋂=（）A.{}2,0- B.{}4,2,0,2-- C.{}0,2 D.{}2,0,2,4-【答案】A 【解析】【分析】解出集合A 中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为{}{}2=+28<0=4<<2A x x x x x --，{}4,2,0,2,4B =--，所以{}2,0A B ⋂=-.故选：A2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A.2B.9C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】利用指数式和对数式的关系可得a 的值，再根据换底公式可得.【详解】因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l //βD.若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】【分析】举例说明判断ACD ；利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断D.【详解】对于A ，若,αβ相交，令a αβ⋂=，当l a //，且,l l αβ⊄⊄时，满足//l α，l //β，显然,αβ不平行，A 错误；对于B ，//l α，则存在直线b α⊂，使得//l b ，而l β⊥，则b β⊥，因此αβ⊥，B 正确；对于C ，若αβ⊥，令m αβ= ，当l β⊂且l m ⊥时，满足l α⊥，而l 与β不平行，C 错误；对于D ，若αβ⊥，令⋂=c αβ，当//l c ，l α⊄时，有//l α，此时l //β或l β⊂，l 与β不垂直，D 错误．故选：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L （有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L （安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时C.8小时D.12小时【答案】D 【解析】【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.【详解】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n>所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）．A.()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意求出,p q 为真命题时的范围，进而根据,p q 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则21440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q 真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A6.已知πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】以π6α+为整体，结合倍角公式可得πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式运算求解.【详解】因为22πππ31cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7.若1a b >>，01c <<，则A.c c a b < B.c cab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8.在梯形ABCD 中，//,2,1AB CD AB AD CD CB ====，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积最大时，其外接球的表面积为（）A.9π4B.5π2C.9π2D.5π【答案】D 【解析】【分析】如图所示，过点C 作CE AB ⊥，由余弦定理得AC =ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，记O 为外接球球心，半径为R ，其中ACD 的外接圆的圆心为1O ，结合球的截面的性质，求得外接球的半径254R =，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，因为ABCD 为等腰梯形，且2,1AB CD ==，所以12BE =，且π3B =，由余弦定理得2222cos 33AC AB BC AB BC π=+-⋅=，可得AC =因为222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，此时BC ⊥平面ACD ，记O 为外接球球心，半径为R ，其中ACD 的外接圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ACD ，所以1//OO BC ，取BC 的中点E ，因为OB OC =，且1BC =，所以O 到平面ACD 的距离12d =，又因为ACD 的外接圆半径12π2sin 3ACr ==，所以22254=+=R r d ，所以球O 的表面积为24π5πS R ==.故选：D.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A.32B.2C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.【详解】将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10.如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A.)kmB.)kmC.)km D.)km 【答案】B 【解析】【分析】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在BED 中，利用余弦定理求出2BD ，即得2AF ，在直角三角形AFC 中，根据勾股定理可得AC .【详解】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在直角三角形AEB 中，tan 30AB BE =3333==()km ，在直角三角形CED 中，tan 45CDED CD ===)33km ，在BED 中，2222cos150BD BE ED BE ED =+-⋅⋅ 39272333()2=+-⨯⨯-63=，在直角三角形AFC 中，22222AC AF FC BD FC =+=+263(333)=+75=，所以)53km AC =.故选：B.【点睛】本题考查了方向角，考查了余弦定理的应用，属于基础题.，11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A.2B.3C.1D.e【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A.21- B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．【答案】2【解析】【分析】直接利用定积分0sin S xdx π=⎰求解.【详解】由题得00sin (cos )|cos (cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰.所以所求的图形的面积为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.14.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.【答案】23【解析】【详解】试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，考点：三视图点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】25；【解析】【详解】f(x)＝sin x －2cos x 5525sin cos 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.16.如图，已知在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，点G 是11A D 上的动点，下列结论中正确的有________________.①11//C D 平面ABH ②1AC ⊥平面1BDA ③直线EF 与1BC 所成的角为30︒④三棱锥1G DBC -的体积最大值为83【答案】②③④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理判定①错②对；根据异面直线夹角的求法判定③对；利用三棱锥体积公式判定④对.【详解】对于①：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11AB C D ∥，则A ，B ，1C ，1D 四点共面，即11C D 在平面ABH 上，故①错；对于②连接BD AC ，，1AB ，1A B ，1AC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1CC ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，∵1AC CC C = ，AC ，1CC ⊂面1ACC ，∴BD ⊥面1ACC ，又1AC ⊂面1ACC ，∴1AC BD ⊥，又∵11A B AB ⊥，11B C ⊥面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，∴111B C A B ⊥．∵1111AB B C B ⋂=，1AB ，11B C ⊂面11AB C ，∴1A B ⊥面11AB C ，∵1AC ⊂平面11AB C ，∴11A B AC ⊥，又1AC BD ⊥，1A B BD B ⋂=，1A B ，BD ⊂面1A BD ，∴1AC ⊥面1BDA ，故②正确；对于③：取AD 中点I ，连接FI EF EI ，，，1AD ，在1ADD 中，∵F ，I 分别为1DD ，DA 的中点，∴1FI AD ∥，又11AD BC ∥，∴1FI BC ∥，∴EF 与1BC 所成角为IFE ∠，在IFE △中，IF =，EI =，EF ===∴cos 2IFE =∠，∴EF 与1BC 所成的角为30︒，故③正确；对于④：当G 位于1A 点时，三棱锥1G DBC -的体积最大，故1111111111111G DBC ABCD A B C D A ABD C CBD B A C B D A C DV V V V V V ------=----311822224323=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin a b B C c A B ++=-.（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.【小问1详解】依题意，sin sin sin sin a b B C c A B++=-，由正弦定理得222,a b b c a b bc c c a b ++=-=+-，222c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3A =.【小问2详解】1π23BAD CAD A ∠=∠==，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b +=+=+=，所以()3312344151527b c b c b c c b c b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当()123,293b c c b c b bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩时等号成立.18.已知函数()322f x x ax bx =-++（1）若其图象在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=，求a ，b 的值；（2）若1是函数()f x 的一个极值点，且函数()f x x在[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，0b =（2）,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦【解析】【分析】（1）由题意()132f a b =-+=，且()1321f a b '=-+=，由此即可得解.（2）一方面：由题意()1320f a b '=-+=，且()232f x x ax b '=-+至少有两个零点（否则()f x 单调递增没有极值点）；另一方面：由题意3222()22220f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--=≥ ⎪⎝⎭在[]2,3上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.【小问1详解】点()()1,1f 在切线10x y -+=上，()132f a b ∴=-+=，①()232f x x ax b '=-+，()1321f a b '=-+=，②联立①②解得1a =，0b =.【小问2详解】依题意有()232f x x ax b '=-+，()1320f a b '=-+=，23b a =-，且()()22412234690a a a a ∆=--=-+>，3a ∴≠；又2()223f x x ax a x x =-++-，3222()2222f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则[]2,3x ∈时，32220x ax --≥，即3222x a x -≤，令3222()x g x x-=，23x ≤≤，求导得34()20g x x '=+>，所以()g x 单调递增，min 7()(2)2a g x g ∴≤==；又3a ≠，所以a 的取值范围为,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦ .19.已知函数()22cos cos (0,)f x x x x a a R ωωωω=++>∈，再从条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-﹔条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2﹐这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，求：（1）函数()f x 的解析式；（2）已知()π26g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）π3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再由三角函数的性质分别转化三个条件，即可得解；（2）先求出()g x 的解析式，再由正弦函数的性质即可确定m 的取值范围，即可得最大值.【小问1详解】由题意，函数()22cos cos 2cos 21f x x x x a x x aωωωωω=++=+++π2sin 216x a ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若选①：()f x 的最大值为1，则211a ++=，则2a =-，若选②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-,则由ππ20126ωω⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，不符合正弦函数对称轴的要求，不合题意；若选③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则函数()f x 的最小正周期2ππ2T ω==,可得1ω=；所以只能选择条件①③作为已知，此时()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；【小问2详解】由题意，()ππππ22sin 2212sin 416666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当[]0,x m ∈，则πππ4,4666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，则ππ7π4666m -<-≤，所以π03m <≤，所以m 的最大值为π3.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，,O E 分别是,BC PA 的中点，平面α经过点,,O D E 与棱PB 交于点F ．（1）试用所学知识确定F 在棱PB 上的位置；（2）若22PB PC BC AB ====，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）靠近B 的三等分点处（2）23【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；（2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】过P 作直线l 与BC 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接,OG OG 与PB 的交点即为点F ．因为底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，所以AD BC ∥，且2AD OB =．又l BC ∥，所以l AD ∥，因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，所以2PF BF =．故F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处．【小问2详解】因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD ．取AD 中点Q ，连接OQ ，易知,,OQ OC OP 两两相互垂直，如图，分别以,,OQ OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,A B C D P --，()()(0,2,0,1,0,0,0,1,AD CD CP ===- ．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,m CD m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，则2y =，所以()2,1m = ．((21211120,1,21,1,2,,3232266EF PF PE PB PA ⎛⎫=-=-=-----=--- ⎪⎝⎭ ．设EF 与平面PCD 所成角为θ，则223sin cos ,3333EF m EF m EF m θ⋅=〈〉==⋅⨯ ，所以EF 与平面PCD 所成角的正弦值为23．21.已知函数()()ln ,e ==x f x x g x （7e 2.18x =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数）（1）求函数()()()1F x f x g x =--的单调区间；（2）若不等式()()()110xf x k x g f x ⎡⎤⎣+-⎦-≤在区间[)1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导函数的单调性及零点确定导函数大于0、小于0的解集，即可得解；（2）转化不等式为()2ln 10x x k x --≤在区间[)1,+∞上恒成立，构造函数，利用端点处的函数值及导数，分类讨论即可得解.【小问1详解】由题意，()()()()10ln 1,ex F x x f x g x x -=---=>，则()()101e ,x F xx x -'-=>，由11,e x y y x --==在()0,∞+上均单调递减，所以()F x '在()0,∞+上单调递减，又()1101F =-='，所以当()0,1x ∈时，()0F x '>，当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以函数()F x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；【小问2详解】不等式()()()110xf x k x g f x ⎡⎤⎣+-⎦-≤即()()12ln 1ln 10ln ex x x k x x x k x --+=--≤在区间[)1,+∞上恒成立，令()()()2ln 1,1p x x x k x x =--≥，则()()ln 21,1p x x kx x '=-+≥，()10p =，所以()112p k '=-，若()1120p k '=->，即12k <时，此时存在01x >使得当()01,x x ∈时，()0p x '>，函数()p x 在()01,x 上单调递增，()()10p x p >=，不合题意；若12k ≥时，()()ln 21ln 1,1p x x kx x x x '=-+≤-+≥，令()()ln 1,1t x x x x =-+≥，则()110t x x'=-≤，所以()t x 单调递减，()()10t x t ≤=，所以()0p x '≤，当且仅当121k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立，所以()p x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10p x p ≤=，符合题意；综上，实数k 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是端点效应及多次求导的应用，在进行多次求导时，要清楚每次求导的作用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.如图，在极坐标系Ox 中，圆O 的半径为2，半径均为1的两个半圆弧12,C C 所在圆的圆心分别为1π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是半圆弧1C 上的一个动点，N 是半圆弧2C 上的一个动点.（1）若2π3O ON ∠=，求点N 的极坐标；（2）若点K 是射线()π03θρ=≥与圆O 的交点，求MOK 面积的取值范围.【答案】（1）11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据图形关系可确定1ρ=，极角11π6θ=，由此可得点N 的极坐标；（2）利用θ表示出OM 和MOK ∠，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到1πsin 226MOK S θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由2π3O ON ∠=知：21O O ON ==，6πAON ∠=，∴点N 的极角为π11π2π66-=，∴点N 的极坐标为11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知：2OK =，π2sin π2OM θθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，π3MOK θ∠=-，1πsin 2sin sin 23MOK S OK OM MOK θθ⎛⎫∴=⋅∠=- ⎪⎝⎭ 2131132sin sin cos sin 3cos cos 2sin 222222θθθθθθθθ⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π,π2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π13π2,666θ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，π1sin 21,62θ⎛⎫⎡⎫∴+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，30,2MOK S ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x R ∈，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)()1,-+∞(2)()2,3-【解析】【分析】（1）由于不等式可24x x -<+，可平方后求解；（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，利用不等式的三角不等式求得24x x -++的最小值，然后解不等式可得a 的范围．【详解】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-.【点睛】本题考查绝对值不等式的问题，解绝对值不等式常用方法是根据绝对值的定义去绝对值符号后再求解，如果对两边均非负的不等式可平方去绝对值符号．绝对值三角不等式在求含绝对值的最小值时用处较大，而且是常用方法．。
四川省泸州市泸县第一中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)
四川省泸州市泸县第一中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合{|04}A x Z x =∈≤≤，{|(1)(3)0}B x x x =+-≤，则AB =（ ）A. {}0123，，，B. {}123，，C. {}|03x x ≤≤D.{}1|4x x -≤≤【答案】A 【解析】集合{}{|04}0,1,2,3,4A x Z x =∈≤≤=，()(){}{|130}13B x x x x x =+-≤=-≤≤，则{}0,1,2,3A B =，故选A.2.复数2z i =+，其中i 是虚数单位，则=z ( )B. 1C. 3D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义求解.【详解】=z = A.【点睛】本题考查复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.已知x 为实数，则“21x<”是“2x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B21x <解得0x <或2x >，所以“21x<”是“2x >”的必要不充分条件. 故选B.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 3π4+B. 4π4+C. 6π4+D. 8π4+【答案】B 【解析】分析：由三视图可知该组合体为14个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可. 详解：由三视图易知，该组合体为：上面是14个球，下面是半个圆柱.表面积为：1111422224π44222ππππ⨯+⨯⨯+++⨯=+.故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n n S S a +=+，则10a =（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024【答案】B∵12n n n S S a +=+，∴12n n a a +=，∴{}n a 是以1为首项，公比为2的等比数列．91012512a =⨯=，故选B6.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. 12πC.D. 10π【答案】B 【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的圆，且高为所以其表面积22212S πππ=+=，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.7. 从0，1，3，5，7，9六个数中，任取两个做除法，可得到不同的商的个数是 （ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 19【答案】D 【解析】 【分析】选出的数字的一个是0时，0只能做分子，不能做分母，有1种结果；当选出数字没有0时，五个数字从中任选两个，共有25A 种结果，而在这些结果中，有相同的数字重复出现，把所有的结果减去重复的数字，得到结果.【详解】选出数字的一个是0时，0只能做分子，不能做分母，有1种结果0； 当选出数字没有0时，五个数字从中任选两个，共有25A 种结果，而在这些结果中，有相同的数字重复出现，13和39，31和93， ∴可以得到不同的商的个数是252119A -+=，故选D.【点睛】本题主要考查分类计数原理、排列的应用及位置有限制的排列问题，属于中档题.有关元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置. 8.已知函数()xf x e = ,令3123(sin ),(2),(log 3)4a f b f c f π-===，则,,a b c 的大小关系为( ) A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在[)0,+∞上单调递增；将,,a b c 的自变量都转化到[)0,+∞内，通过比较自变量大小得到,,a b c 的大小关系.【详解】()f x 定义域为R 且()()x x f x e e f x --===()f x ∴为R 上的偶函数当0x ≥时，()xf x e =，则()f x 在[)0,+∞上单调递增3sin428a f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3128b f f -⎛⎫== ⎪⎝⎭； ()()1222log 3log 3log 3c f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2101log 388<<<< ()21log 38f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b >> 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.9.已知三棱锥P-ABC 中，PA=4，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 16π B. 32πC. 64πD. 128π【答案】C 【解析】 【分析】 在底面ABC 中，利用余弦定理求出cos BAC ∠，得到sin BAC ∠，再由正弦定理得到ABC 的外接圆半径，利用勾股定理，得到三棱锥外接球的半径，得到其表面积.【详解】∵底面ABC 中，2AB AC ==，6BC =，∴1cos 2BAC ∠=-∴sin BAC ∠=∴ABC的外接圆半径1 22r ==， PA ⊥面ABC∴三棱锥外接球的半径(222222162PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积2464S R ππ==． 故选C ．【点睛】本题考查球的几何特性，正余弦定理解三角形和求外接圆半径，属于简单题.10.已知椭圆222210)x y a b a b +=>>（的两个焦点分别为12F F 、，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 【分析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值，由此可得到关于,a c 的不等式，从而可得结果.【详解】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值． ∵椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴102F P F 中，10290F P F ∠>︒， ∴Rt 02OP F 中，0245OP F ∠>︒，∴b c <，∴222a c c -<，∴222a c <，∴2e >， ∵01e <<，∴212e <<．椭圆离心率的取值范围是22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.11.过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是（ ）A. [3,0)(0,3]-⋃B. (,22][22,)-∞-⋃+∞C. (,3][3,)-∞-⋃+∞D. [22,0)(0,22]-⋃【答案】D 【解析】试题分析：由题可知，点B 的横坐标4B p x ≤时，满足OB FB ≤，此时22B p py -≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[22,0)(0,22]-⋃.故选D. 考点：抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系.12.定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x -'>，则当24a <<时，有（ ）A. ()()()222log af f f a <<B. ()()()222log af f f a <<C. ()()()22log 2af f a f <<D. ()()()2log 22af a f f <<【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意都有()()4f x f x =-，∴函数()f x 对任意都有，∴函数()f x 的对称轴为，∵导函数满足()()20x f x -'>，∴函数()f x 在上单调递增，上单调递减，∵，∴，∵函数()f x 的对称轴为，∴，∵，∴∴∴，∴，∴()()()22log 2af f a f <<，故选C.考点：（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知双曲线221(0)4x y m m -=>3，则其渐近线方程为__________.【答案】y =【解析】分析：离心率公式计算可得m ，再由渐近线方程即可得到所求方程.解析：双曲线221(0)4x y m m -=>2,b c ==∴由题意可得c ea === ∴解得2m =.∴双曲线方程为22124x y -=.∴渐近线方程为y =.故答案为y =.点睛：区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中222a b c =+ ，而在双曲线中222c a b =+.14.()()341212x x +-展开式中4x 的系数为_____________. 【答案】48 【解析】 【分析】先由()()()()()()333342221212?141214214x x x x x x x+-=--=---，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为()()()()()()333342221212?141214214x x x x x x x +-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 系数为()223448C -=.故答案为48【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型. 15.若(0,)2x π∈，则2tan tan()2x x π+-的最小值为 .【答案】【解析】1(0,)2tan tan()2tan 2222tan x x x x xππ∈⇒+-=+≥当且仅当122tan tan tan 2x x x =⇒=时取等号.16.若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，①()()20f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数 ②())0f x x x =>，b c a +>b c b c a >+>())0f x x x =>是保三角形函数③()02f x sinx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，02a b c π>+>>，()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝⎭是保三角形函数④()02f x cosx x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212cos cos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数 综上所述，为保三角形函数的是②③【点睛】要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 2sin c A =. （1）求角C 的大小；(2)若c =ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【答案】(1)3C π=；(2)7+.【解析】分析：（1)由题意结合正弦定理可得sinC =，则3C π= .（2）结合(1)的结论和三角形 面积公式可得12ab =，由余弦定理有2213a b ab +-= ，据此可得7a b +=，则ABC ∆的周长为7+.详解：（1)2csinA =及正弦定理得，a sinA c sinC ==，∵0sinA ≠，∴sinC = ， ∵ABC ∆是锐角三角形，∴3C π= .（2）123S absin π∆==12ab = ①∵3c C π==.由余弦定理得2213a b ab +-= ②由①②得：()249a b +=，所以7a b +=，故ABC ∆的周长为713+.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中a b c 、、的值.(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记ξ为身高在(]1.501.70，的学生人数,求ξ的分布列和数学期望；(Ⅲ)若变量S 满足-<+)>0.6826PS （μσμσ≤且22)0.9544P S μσμσ-≤+（,则称变量S 满足近似于正态分布2(,)N μσ的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布(1.6,0.01)N 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由. 【答案】(I) 见解析;（Ⅱ）见解析；(Ⅲ) 见解析. 【解析】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人数,再利用概率公式求这批学生的身高高于1.70 的概率.分别利用面积相等求出a 、b 、c 的值. (II)先求出从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.501.70，的概率，再利用二项分布写出ξ的分布列和数学期望. (Ⅲ)先分别计算出-<X +P μσμσ≤（）和22)P S μσμσ-<≤+（，再看是否满足-<+)>0.6826P S μσμσ≤（且22)0.9544PS μσμσ-<≤+>（,给出判断.详解： (I)由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15. 记X 为学生的身高，结合图1可得:2(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100f X f X <≤=<≤==， 13(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100f X f X <≤=<≤==,1(1.50 1.60)(1.60 1.70)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=,又由于组距为0.1,所以0.2a =， 1.3 3.5b c ==， （Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，可得: 从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.501.70，的概率 (1.50 1.70)(1.50 1.60)+(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤<≤=.因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ，故ξ的分布列为:()3()?0.3?0.70,1,2,33n nn P n C n ξ-====00.027+10.189+20.441+30.343=2.1E ξ⨯⨯⨯⨯（）（或=30.7=2.1E （））ξ⨯(Ⅲ)由 1.60.01N （，），取=1.60=0.1μσ， 由（Ⅱ）可知，-<X += 1.50 1.70)0.70.6826PP X μσμσ≤<≤=>（）（, 又结合(I)，可得:-2<X +2= 1.40 1.80)PP X μσμσ≤<≤（）（ =2 1.70<X 1.80 1.50 1.70)0.960.544f P X ⨯≤+<≤=>（）（，所以这批学生的身高满足近似于正态分布(1.60.01N ，）的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.点睛：(1)本题不难，但是题目的设计比较新颖，有的同学可能不能适应. 遇到这样的问题,首先是认真审题，理解题意，再解答就容易了. (2)在本题的解答过程中，要灵活利用频率分布图计算概率.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，60DAB ∠=︒，PA ABCD 平面⊥，24AP AB AD ===，线段AB 与PC 的中点分别为,E F（1）求证：//BF PDE 平面 （2）求二面角A PB D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）155【解析】 【分析】 （1）设PD 中点为S ，连接,ES FS ，可证四边形SEBF 为平行四边形，从而得到BF ∥平面PDE .（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）设PD 的中点为S ，连接,ES FS ， 因为,S F 分别为,PD PC 的中点，所以1,2SFDC SF DC =. 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以,AB DC AB CD =，又12EB AB =，所以,SFEB SF EB =，所以四边形SEBF 为平行四边形.故ES BF，而BF⊄平面PDE，SE⊂平面PDE，所以BF∥平面PDE.（2）以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()0,0,0,4,0,0,1,3,0,0,0,4A B D P，故()()4,0,4,3,3,0PB DB=-=-，设平面PBD的法向量为(),,n x y z=，则30x zx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取()1,3,1n=，又平面PAB的法向量()0,1,0m=，所以315cos,551m nm nm n===⨯，而二面角A PB D--的平面角为锐角，故二面角A PB D--的平面角的余弦值为155. 【点睛】（1）线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 20.已知函数()322(,)f x x ax bx a b R =++-∈ ．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在点()(2,2)f 处的切线方程为11160x y --=，若对任意的1[,]x e e∈ 恒有()2ln f x t x ≤'-，求t 的取值范围（e 是自然对数的底数）．【答案】(1) 当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在2(,),(0,)3a-∞-+∞上单调递增，在2(,0)3a -上单调递减；当0a <时，()f x 在2(,0),(,)3a-∞-+∞上单调递增，在2(0,)3a -上单调递减；(2) 232e et -≥ 【解析】 试题分析：（1）求导数，分0,00a a a =><和三种情况分别讨论导函数的符号，从而得到函数的单调情况．（2）根据导数的几何意义可得1,12a b =-=，从而()231f x x x '=-+．故由题意得2231ln t x x x ≥-+-对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．设()231ln x x x x ϕ=-+-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据单调性可求得()()2max 3x e e e ϕϕ==-，从而可得232e e t -≥．试题解析：（1）当0b =时，()322f x x ax =+-，所以()232(32)f x x ax x x a ='=++．令()0f x '=，解得0x =或23a x =-， ①当0a =时，()230f x x ='≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a>时，23a-<，列表得：所以()f x在()2,,0,3a⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭上单调递增，在2,03a⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；③当0a<时，23a->，列表得：所以()f x在()2,0,,3a⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减．综上可得，当0a=时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()2,,0,3a⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭上单调递增，在2,03a⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；当0a<时，()f x在()2,0,,3a⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减．（2）因为()322f x x ax bx=++-，所以()232f x x ax b=++'，由题意得()()212411284226f a bf a b⎧=++=⎪⎨=++-='⎪⎩，整理得4120a ba b+=-⎧⎨+=⎩，解得121ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()231f x x x'=-+，因为()2lnf x t x≤'-对任意的1,x ee⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2231ln t x x x ≥-+-对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()231ln x x x x ϕ=-+-，则()()()2131161x x x x x xϕ-+=--='， 所以当11,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当1,2x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增． 因为()22132,3ee e e e e ϕϕ-⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以()()2max 3x e e e ϕϕ==-，所以223t e e ≥-，解得232e et -≥．所以实数t 的取值范围为23[,)2e e-+∞．点睛：（1）不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角函数式及绝对值结构的不等式在某个区间A 上恒成立(存在性)，求参数取值范围．（2）解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若()f x a ≥或()g x a ≤恒成立，只需满足()min f x a ≥或()max g x a ≤即可，然后利用导数方法求出()f x 的最小值或()g x 的最大值，从而问题得解． 21.已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 另一个焦点是1F ，且1294MF MF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2F PQ ∆的内切圆面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）916π. 【解析】 【分析】（1）利用将M 点的横坐标c 代入直线32y x =，求得M 点的坐标，代入12MF MF ⋅的坐标运算，求得c 的值，也即求得M 点的坐标，将M 的坐标代入椭圆，结合222a b c =+，解方程组求得22,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得2F PQ ∆的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.【详解】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点()2,0F c ，则点3,2c M c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵12339·2,?0,224MF MF c c c ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1c =又222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 解得2243a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）知，()11,0F -，过点()11,0F -的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为48a =，又21·4?2F PQ S a r ∆=（r 为三角形内切圆半径），∴当2F PQ ∆的面积最大时，其内切圆面积最大.设直线l 的方程为：1x ky =-，()()1122,,,P x y Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()2243690kyky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩∴2121221··234F PQS F F y y k ∆=-=+t =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t∆=+令()13f t t t=+，()21'3f t t=-当[)1,t ∈+∞时，()'0f t >， ()13f t t t =+在[)1,+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t∆=≤+，当1t =时取等号， 即当0k =时，2F PQ ∆的面积最大值为3，结合21·4?32F PQ S a r ∆==，得r 的最大值为34， ∴内切圆面积的最大值为916π. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22143x y +=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (1)求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 上的动点，求△PAB 面积的最大值．【答案】（1）2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），20x y --=（22【解析】 【分析】（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出AB =PAB ∆面积最大值只需求出点P 到直线l距离的最大值；通过假设()2cos P αα，利用点到直线距离公式得到d =，从而得到当()sin 1αϕ-=时，d 最大，从而进一步求得所求最值.【详解】（1）由22143x y+=，得C 的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）由()sin sin cos 42πρθρθθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，得直线l 的直角坐标方程为20x y --= （2）在20x y --=中分别令0y =和0x =可得：()2,0A ，()0,2B -AB⇒=设曲线C 上点()2cos P αα，则P 到l 距离：d ====，其中：cos ϕ=，sin ϕ=当()sin 1αϕ-=，max d =所以PAB ∆面积的最大值为122⨯= 【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()212,f x x x m m N =+--∈，且()3f x <恒成立.（1）求m 的值；（2）当11[,0),[,0)22a b ∈-∈-时，()()2f a f b +=-，证明：1140a b++≤. 【答案】（1）0m =（2）见证明【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可将()3f x <转化为：123m +<，结合m N ∈可求得m ；（2）由（1）知()212f x x x =+-，根据()()2f a f b +=-可整理得()()1a b -+-=，从而可得：()1111a b a b a b ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得114a b +≤-，从而证得结论. 【详解】（1）()2122122212212f x x x m x x m x x m m =+--=+--≤+-+=+，当且仅当()()21220x x m +-≥且2122x x m +≥-时，取等号()3f x ∴<恒成立可转化为：123m +<恒成立，解得：21m -<<m N ∈ 0m ∴=（2）由（1）知：()212f x x x =+-∴当1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，1,02b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，有()21241f a a a a =+-=+，()21241f b b b b =+-=+由()()2f a f b +=-得：41412a b +++=- ()()1a b ∴-+-=()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=-++=-+++≤-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当12a b ==-时，取等号 114a b∴+≤-，即：1140a b ++≤ 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用、利用基本不等式证明的问题，关键是能够将恒成立问题转变为函数最值求解的问题，易错点是忽略基本不等式成立的前提条件，属于常考题型.。
泸州市高2021级高三(一模)第一次教学质量诊断性考试理科数学试卷及答案
泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试数学（理科）本试卷分第1卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分，第1卷1至2页，第11卷3至4页共150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I 已知操合A=｛寸x=k +½,kEZ },B={xlx ＝卢叶，kEZ }则（）A.B�AB.A�BC.A=BD.AnB=02.已知命题p:VxE R, x 2＋卢＞2，命题q:3;飞0E R,In x 0 = -2,则下列命题是真命题的为（）A.(-,p)AqB.pAqC.pA(-,q)D.(-,p)A(-,q)3 函数y=-x 的图象与函数／（x)= 2•·,g(x) = log 2 x, h(x) = x 3的图象交点的横坐标分别为a,b, c,则（）A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(正视图侧视图俯视图A.工8.3冗—C. 2冗D.4冗225.“碳中和“是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放矗，实现二氧化碳“零排放＇，，某地区二氧化碳的排放揽S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式S=ab'，已知经过3a4年，该地区二氧化碳的排放怪为—-（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧4 化碳排放党为色（亿吨），则该地区要实现“碳中和“，至少需要经过（（参考数据：lg2� 0.30, lg3;::: 0.48)3 A.13年B.14年C.15年D.16年6."sin(a -/3）＝0”是“tana= tan/3”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件2·'-17.函数f(x)=�·sinx 的图象大致为（2x+ 1y兀尤A. B.y了C.D.尤8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA..l 底面ABCD,PA=AB, E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，则下列结论一定正确的是（pcA.平面AEF 上平面PBCc.直线EFI ／平面PCDB.平面AEF..l 平面ABCDD.直线EF..l 平面PAB II 9.希cos(a + /J)＝－—,cos a cos[J=—，则cos(2a-2/3) = ()14. 1461 3 7 1 A.－ B.— C.—D._'!_714 98 910.已知菱形ABCD 的边长为6,乙BAD =60°,将t::,.BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A-BD-P 为120°,则此时三棱锥P-ABD 的外按球的表面积为（A.21冗B.28丘冗C.52冗D.84冗II 已知函数f(x)= 2sin ((i)气）（(i)>O)在(o,f)上存在最值且在（气，冗）上单仍则(J)的取值范围是（）A.（B ［片，片］c.［飞］D.［彗］峙）12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,当xE[0,l]时，／（x)=2x-1,给出下列结论：(I)函数f(x)的图象关于点(2,0)对称；（2)函数f(x)的图象关于直线x=3对称：(3)函数f(x)在（1,3)上是增函数；（4)/(6) < /(5.. 5) < /(-7).其中正确结论的个数为（）A.IB.2C.3D.4第11卷（非选择题共90分）注意事项：(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用05毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．(2)本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．13 若函数f(x)对一切实数X,y都满足／（x+y)-j、(y)=(x+2y)x且f(l)＝0，则j、（O)=14.已知一个圆锥的体积为3冗，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为x-215.函数f(x)＝—-－（x e [0,l)U(l, 2]）与函数y=2sin冗x+l(O� x �4)的图象的所有交点的横坐标与纵坐x-1标之和等千16.过点(O,m)有两条直线与曲线y=-=-+lnx相切，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）已知函数f(x)= 2sin2 mx+2✓3sinmxcosmx-l(m > 0)的相邻两对称轴间的距离为冗．(I)求函数／（x）的解析式；2冗(lI)将函数／（x）图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移—－个单位长度得到函数g(x)的图象右g[20＋勹＝－今。
2021年四川省泸州市东新中学高一数学理联考试题含解析
2021年四川省泸州市东新中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则C=（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 60°或120°参考答案：B【分析】直接由已知结合余弦定理求解．【详解】解：在△ABC中，由，可得，∵，∴．故选：B．2. 在表示的平面区域内的一个点是（）A. B. C.D.参考答案：D3. 式子cos的值为（）A．B．C．D．1参考答案：B【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】观察三角函数式，恰好是两角和的余弦的形式，由此逆用两角和的余弦公式可得【解答】解：原式=cos（）=cos=；故选B．4. 已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点()A．成钝角三角形 B．成锐角三角形C．成直角三角形 D．在一条直线上参考答案：D5. 函数是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是( )A．（，）B．（，）C．（，1） D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（），故选：C．点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．3参考答案：D【考点】向量的模．【分析】求出线段AB的长，从而求出向量的模即可．【解答】解：数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度即||=3，故选：D．【点评】本题考查了向量求模问题，是一道基础题．8. 设a、b、c是非零向量，下列命题正确的是( )A．(a·b)·c＝a·(b·c)B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60°D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60°参考答案：D对于A，数量积的运算不满足结合律，A错；对于B，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|·cos<a，b>＋|b|2，B错，对于C、D，由三角形法则知|a|＝|b|＝|a－b|组成的三角形为正三角形，则<a，b>＝60°，∴D正确．9. 在平面直角坐标系中，角α的终边经过点（﹣，），则sinα的值为（）A．B．﹣C．﹣D．参考答案：D 【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：角α的终边经过点（﹣，），可得r=，则sinα==．故选D．10. 若、是异面直线，、是异面直线，则、的位置关系是（）Ａ．相交、平行或异面Ｂ．相交或平行Ｃ．异面Ｄ．平行或异面[来源:学科网]参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是____________．参考答案：略12. 已知，，且，则向量与夹角为★；参考答案：13.若点在角的终边上，则______________（用表示）．参考答案：略14. 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一部分跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生单调达标率是．参考答案：0.88【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量，根据样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率．【解答】解：∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150，∵次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1﹣）=132，∴全体高一学生的达标率为=0.88．【点评】本题考查频率分步直方图的应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清图中所给的条件，知道小长方形的面积就是这组数据的频率．15. 设等比数列{a n}的公比为q，T n是其前n项的乘积，若25（a1+a3）=1，a5=27a2，当T n取得最小值时，n=．参考答案：6【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列通项公式和前n项公式求出首项和公比，从而求出，由此能求出当T n取得最小值时，n的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，T n是其前n项的乘积，若25（a1+a3）=1，a5=27a2，∴，解得，q=3，∴，当a n=≥1时，n＞7，＜1，∴当T n取得最小值时，n=6．故答案为：6．16. 函数的单调递增区间是 . 参考答案：[-1，1）略17. 二次函数y=x2+x﹣1，则函数的零点个数是．参考答案：2【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】令二次函数y=x2+x﹣1=0，根据△＞0，可得结论．【解答】解：令二次函数y=x2+x﹣1=0，则△=1+4=5＞0，故函数有两个零点，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试理科数学(一模)试题 含答案
四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}240A x x x =−≤，{}21,B x x n n ==−∈N ，则A B ⋂=（ ） A ．{}3B ．{}1,3C ．{}1,3,4D ．{}1,2,3,42．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知3log 5a =，1ln 2b =， 1.11.5c −=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭”，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中S N叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（参考数据：0.210 1.58≈）A ．1559B ．3943C ．1579D ．25125．右图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）A ．10πB ．8πC ．9πD6．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x −=，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．A ，B 是函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个交点，且A ，B 两点间距离的最小值为3π，则ω的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．函数3e ex xxy −=+（其中e 是自然对数的底数）．的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．四点B ，D ，E ，F 在同一平面内 B ．三条直线BF ，DE ，1CC 有公共点 C ．直线1AC 与直线OF 不是异面直线D ．直线1AC 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线 10．已知方程22log 0xx −−=的两根分别为1x ，2x ，则下列关系正确的是（A ．1212x x <<B ．122x x >C ．1201x x <<D ．121x x =11．已知三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．163π C ．8π D ．203π12．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>，若存在实数0(1,0)x ∈−，且012x ≠−，使()012f x f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2,53⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3(3,5)3⎛⎫⋃⎪⎝⎭C ．18,67⎛⎫⎪⎝⎭D ．18,4(4,6)7⎛⎫⋃⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上） 13．已知函数23,0()21,0xx x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f −的值为______． 14．曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1tan 3α=，则tan()αβ−=______．16．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），给出下列结论： ①平面11A D P ⊥平面1A AP ； ②多面体1CDPD 的体积为定值； ③直线1D P 与BC 所成的角可能为3π； ④1APD △可能是钝角三角形．其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知函数2()2cos12xf x x =−+．（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，求tan α的值； （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，且关于x 的方程()0g x m −=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围． 18．已知曲线()sin f x kx x b =+在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为230x y −−=． （Ⅰ）求k ，b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上零点的个数，并证明． 19．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin()sin 2B Ca A B c ++=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =△△，求AD ．20．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点（不含A ，B ），在平面SGD 内过点G 作//GP 平面SBC 交SD 于点P ．（Ⅰ）写出作GP 的步骤（不要求证明）； （Ⅱ）若3BAD π∠=，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中点，求平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值．21．已知函数1()ln f x x m x m x=−−−，其中[]1,e m ∈，e 是自然对数的底数． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）设关于x 的不等式1()ln f x x x kx n x≤−−+对[]1,e x ∀∈恒成立时k 的最大值为[](),1,e c k n ∈∈R ，求n c +的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 是圆心在()0,2，半径为2的圆，曲线2C 的参数方程为4x ty t π⎧=⎪⎨⎛⎫=− ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数且02t π≤≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线2C 与坐标轴交于A ，B 两点，点P 为线段AB 上任意一点，直线OP 与曲线1C 交于点M （异于原点），求OMOP的最大值． 23．选修4-5：不等式选讲若0a >，0b >，且223a b ab ++=，已知ab 的最小值为k ． （Ⅰ）求k 的值（Ⅱ）若0x ∃∈R 使得关于x 的不等式2x m x k −+−≤成立，求实数m 的取值范围．四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13．3； 14．2； 15．34； 16．①②④． 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为2()2cos12x f x x =−+cos x x =−2sin 6x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()6f παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以1sin cos 22ααα−=，即cos αα−=，所以tan 9α=−； （Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象， 所以函数()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==−⎪⎝⎭， 关于x 的方程()0g x m −=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解求m 范围，等价于求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域， 因为02x π≤≤，所以52666x πππ−≤−≤， 所以1()2g x −≤≤，故m 的取值范围为[]1,2−． 18．解：（Ⅰ）因为()sin cos f x k x kx x '=+， 所以sin cos 2222f k k k ππππ⎛⎫'=+⨯=⎪⎝⎭， 又因为sin 2222k f k b b ππππ⎛⎫=⨯+=+⎪⎝⎭， 曲线()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为230x y −−=． 所以2k =，3b =−； （Ⅱ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点， 因为()2sin 2cos f x x x x '=+，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为单调递增函数且图象连续不断， 因为(0)30f =−<，302f ππ⎛⎫=−>⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点． 19．解：（Ⅰ）由A B C x ++=可得：sin()sin()sin A B C C π+=−=，sinsin cos 222B C A Aπ+−==， 又sin()sin 2B C a A B c ++=，得sin cos 2Aa C c =，由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2A A =， 所以2sincos cos 222A A A =，因为022A π<<，所以cos 02A≠， 所以1sin 22A =，即26A π=，所以3A π=．（Ⅱ）解法一：设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC △的AC 边上的高为2h ， 因为3ABD ADC S S =△△，3c =，1b =， 所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅， 所以12h h =，AD 是ABC △角A 的内角平分线，所以30BAD ∠=︒， 因为3ABD ADC S S =△△，可知34ABD ABC S S =△△， 所以131sin 30sin 60242AB AD AB AC ⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒，所以AD =． 解法二：设03BAD παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则3DAC πα∠=−，因为3ABD ADC S S =△△，3c =，1b =， 所以11sin 3sin 223c AD b AD παα⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯− ⎪⎝⎭， 所以sin sin 3παα⎛⎫=−⎪⎝⎭，所以1sin cos sin 22ααα=−，tan 3α∴=， 因为03πα<<，所以30BAD ∠=︒，3ABD ADC S S =△△，可知34ABD ABC S S =△△， 所以131sin 30sin 60242AB AD AB AC ⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒，所以AD =．解法三：设AD x =，BDA α∠=，则ADC πα∠=−，在ABC △中，由3c =，1b =及余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+−，所以a =因为3ABD ADC S S =△△，可知34BD DC ==， 在ABD △中2222cos AB BD AD BD AD α=+−⋅⋅，即2639cos 162AD AD α=+−⋅⋅在ADC △中，271cos()162AD AD πα=+−⋅−，即271cos 16AD AD α=++⋅，所以AD =． 20．解：（Ⅰ）第一步：在平面ABCD 内过点G 作//GH BC 交CD 于点H ； 第二步：在平面SCD 内过点H 作//HP SC 交SD 于P ； 第三步：连接GP ，GP 即为所求．（Ⅱ）解法一：因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点， 而//GH BC ，所以G 是AB 的中点，连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ， 因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD △的外心， 所以M 与O 重合，因为OD =2SD =，所以SO =，23OC AC ==，过O 作//OE GB 交BC 于E ，分别以OG ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则S ⎛ ⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33SB ⎛= ⎝⎭，()BC =−，设平面SBC 的法向量为(,,)nx y z =，则303330n SB x y zn BC y ⎧⋅=+−=⎪⎨⎪⋅=−+=⎩，取z =1x =，y =所以(1,3,n =因为SO ⊥平面ABD ，所以平面SDG ⊥平面ABD ，又AB DG ⊥， 所以GB ⊥平面SGD ，故()0,1,0GB=为平面SGD 的法向量，设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为θ， 则3cos 26n GB n GBθ⋅===， 故平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值为2． 解法二：延长DG ，CB 交于I ，连接SI ，因为//GP 平面SBC ，平面SBC ⋂平面SGD SI =，GP ⊂平面SGD ，所以//GP SI ， 又P 是SD 的中点，则G 是DI 的中点，又//GB DC ，所以B 是CI 的中点， 故IB BC SB ==，所以IS SC ⊥，因为SO ⊥平面ABD ，所以平面SDG ⊥平面ABD ， 又AB DG ⊥，所以GB ⊥平面SGD ， 所以CD ⊥平面SGD ，所以CD SI ⊥，即SI ⊥平面SDC ， 所以CSD ∠为二面角C SI D −−的平面角， 在Rt CSD △中，2SD CD ==，故4CSD π∠=故平面SBC 与平面SGD 所成的锐二面角的余弦值为2．21．解：（Ⅰ）因为[]()1()ln 0,1,e f x x m x m x m x =−−−>∈， 所以22211()1m x mx f x x x x −+'=+−=，因为0x >，[]1,e m ∈， 所以①当240m ∆=−≤即12m ≤≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，②当240m ∆=−>即2m e <≤时，方程210x mx −+=的两根为：1x =，2x = ()f x 的增区间为()10,x ，()2,x +∞，综上①当12m ≤≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，②当2e m <≤时，()f x 的增区间为0,2m ⎛ ⎪⎝⎭，2m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）原不等式分(1ln )ln m x x x x n k x+−++⇔≤， 因为[]1,e m ∈，[]1,e x ∈，所以(1ln )ln 1ln ln m x x x x n x x x x n x x+−+++−++≥， 令1ln ln ()x x x x n g x x+−++=， 即2ln ()x x n g x x −+−'=，令()ln p x x x n =−+−，即1()10p x x'=−+>， 所以()p x 在[]1,e x ∈上递增；①当(1)0p ≥，即1n ≤时，因为[]1,e n ∈，所以1n =，当[]1,e x ∈，()0p x ≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增， 所以min ()(1)c g x g n ===，故22n c n +==；②当(e)0p ≤即[]e 1,e n ∈−时，因为[]1,e x ∈，()0p x ≤，即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以min 2()(e)e n c g x g +===， 故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦； ③当(1)(e)0p p <，即(1,e 1)n ∈−时，因为()ln p x x x n =−+−在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数0(1,e)x ∈，使得()00p x =，即00ln n x x =−， 则当()01,x x ∈时，()0p x <，即()0g x '<；当()0,e x x ∈时，()0p x >，即()0g x '>，故()g x 在()01,x 上单减，()0,e x 上单增，所以()0000min 00001ln ln 1()ln x x x x n c g x g x x x x +−++====+， 所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++−=+， 设()0001()(1,e)u x x x x =+∈，则2020011()10x u x x x −'=−=>， 所以()u x 在[]1,e 上递增，所以12,e e n c ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭． 综上所述，22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦． 22．解：（Ⅰ）解法一：设曲线1C 与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E ，设曲线1C 上任意点(,)F ρθ，连接OF ，EF ，则OF EF ⊥，在OEF △中，4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭； 解法二：曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +−=，即2240x y y +−=，所以曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=； （Ⅱ）曲线2C的参数方程为4x t y t π⎧=⎪⎨⎛⎫=− ⎪⎪⎝⎭⎩，因为曲线2C 与两坐标轴相交， 所以点(2,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的极坐标方程为cos sin 2002πρθρθθ⎛⎫+−=≤≤ ⎪⎝⎭， 12sin cos OP ρθθ==+，24sin OM ρθ==， sin cos 4sin 2OM OP θθθ+=⨯22sin 2sin cos θθθ=+ 1cos 2sin 2θθ=−+214πθ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭， 所以当38πθ=时，OM OP1． 23．解：（Ⅰ）由3222ab a b =++≥，2320−≥，≥≤（舍去）， 当且仅当1a =，2b =时取得“=”，即k 的最小值为2；（Ⅱ）由2k =，2()(2)2x m x x m x m −+−≥−−−=−， 因为0x ∃∈R 使得关于x 的不等式2x m x k −+−≤成立， 所以22m −≤，解得：222m −≤−≤，即m 的取值范围是[]0,4．。
四川省泸州市2021年高中招生统一考试数学试卷
四川省泸州市2021年高中招生统一考试数学试卷（非课改县区） 数学试卷（考试时刻：只完成A 卷120分钟，完成A 、B 卷150分钟）说明：1．本次考试试卷分为A 、B 卷，只参加毕业考试的考生只需完成A 卷，要参加升学考试的考生必须加试B 卷．2．A 卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷（1至2页）为选择题，第Ⅱ卷（3至6页）为非选择题，满分为100分．B 卷（7至10页）为非选择题，满分为50分．A 、B 卷满分为150分．A 卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1．第Ⅰ卷共2页，答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上．考试终止后，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题（共60分，每小题3分）以下每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出并把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.1．在－2，0，2，1，43，－0.4中，正确的个数为 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．3的倒数为A ．－3B ．3C ．31-D ．31 3．运算()023≠÷x x x 的结果为A ．5xB ．6xC ．52xD ．x 4．现在我市人口约有4580000人，用科学记数法表示为A ．458×104B ．45.8×105C ．4.58×106D ．0.458×1075．函数11-=x y 中，自变量x 的取值范畴为A ．1-≠xB ．1≠xC ．1>xD ．1-<x 6．不等式2x ≥x ＋2的解集为A ． x ＞2B ． x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤2 7．把12-x 分解因式为A ． ()21-x B ．()21+x C ．()()11-+-x x D ．()()11-+x x8．下列图形中，是中心对称图形的是A ．等边三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正五边形9．某装修公司到科维商场买同样一种多边形的地砖平铺地面，在以下四种地砖中，你认为该公司不能买A ．正三角形地砖B ．正方形地砖C ．正五边形地砖10．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴 上墨水（如图1），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是 A ．等边三角形 B ．四边形C ．等腰梯形D ．菱形 11．已知P （－1，2），则点P 所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．用换元法解方程()()0122222=-+++x x x x ，若设x x y +=2，则原方程可变形为A ．0122=++y yB ．0122=+-y yC ．0122=-+y yD ．0122=--y y 13．两圆的半径分别是4cm 和5cm ，圆心矩为9cm ，则两圆的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．外离 D ．内含14．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对9位学生的鞋号进行了抽样调查. 其号码为：24、22、21、24、23、20、24、23、24. 经销商最感爱好的是这组数据中的A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差 15．下列方程中，没有实数根的是A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 16．如图2，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找到一点C ，测 得CD ＝30m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC ＝5m ，过点A 作AB ∥DE 交EC 的延长线于B ，测出AB ＝6m ，则池塘的宽DE 为A ．25mB ．30mC ．36mD ．40m 17．如图3，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∠BOD ＝120°，则∠BCD 为 A ．120° B ．90°C ．60°D ．30°18．如图4，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建 A ．在AC 、BC 两边高线的交点处 B ．在AC 、BC 两边中线的交点处A BCD E 图2 A BC D 图3O · CC ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处19．已知一个矩形的面积为24cm 2，其长为ycm ，宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是20．如图5，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 依照图中数据，运算耕地的面积为 A ．600m 2 B ．551m 2C ．550 m 2D ．500m 2泸州市二OO 五年初中毕业考试暨高中时期学习招生统一考试（非课改县区）图5数学试卷（A 卷）第Ⅱ卷 （选择题 共40分）注意事项：1．第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直截了当答在试卷上．二、（本题共15分，每小题5分）21．运算：2251220+⎪⎭⎫⎝⎛--．22．如图6，在⊙O 中，弦AB 与DC 相交于E ，且AE ＝EC ，求证：AD ＝BC ．23．解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y xA BC图6 D OE ·三、（本题共15分，第24题7分，第25题8分）24．某篮球队在平常训练中，运动员甲的3分球命中率是70%，运动员乙的3分球命中率是50%. 在一场竞赛中，甲投3分球4次，命中一次；乙投3分球4次，全部命中. 全场竞赛立即终止，甲、乙两人所在球队还落后对方球队2分，但只有最后一次进攻机会了，若你是那个球队的教练，问：（1）最后一个3分球由甲、乙中谁来投，获胜的机会更大？（2）请简要说说你的理由．25．随着社会的进展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提早做好防洪预备工作，某市正在长江边某处常显现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD ，如图7所示，依照图中数据运算坝底CD四、（本题10分）26．如图8，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，AC ＝CF ，CD⊥AB 于D ，且交⊙O 于G ，AF 交CD 于E ． （1）求∠ACB 的度数； （2）求证：AE ＝CE ； （3）求证：AC 2＝AE •AF ．泸州市二0O 五年初中毕业考试暨高中时期学习招生统一考试（非课改县区）图7 ⌒ ⌒A B 图8数学试卷（B 卷）注意事项：本卷共4页，用钢笔或圆珠笔直截了当答在试卷上.一、填空题（本题共15分，每小题3分） 1．已知∠α＝32°，则它的余角＝ 度．2．一个等腰三角形的两边分别为8cm 和6cm ，则它的周长为 cm ． 3．若1x 、2x 为方程0122=--x x 的两根，则2121x x x x -+＝ ． 4．如图1，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于P ，PA＝4cm ， PD ＝2cm ，则⊙O 的直径为 cm ．5．如图2是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n 根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S ＝ （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．二、（本题共13分，第6题6分，第7题7分）图1图26．如图3，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平等四边形．图37．为了确保我市国家级卫生都市的称号，市里对要紧街道的排污水沟进行改造. 其中光明施工队承包了一段要开挖96米长的排污水沟，开工后每天比原打算多挖2米，结果提早4天完成任务，问原打算每天挖多少米？三、（本题10分）D D8．一天上行6点钟，汪老师从学校动身，乘车内市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时刻内的行程S（km）（即离开学校的距离）与时刻（h）的关系可用图4中的折线表示，依照图4提供的有关信息，解答下列问题：（1）开会地点离学校多远？（2）求出汪老师在返校途中路程S（km）与时刻t（h）的函数关系式；（3）请你用一段简短的话，对汪老师从上午6四、（本题12分）9．如图5，抛物线)0(2≠++=acbxaxy与x轴、y轴分别相交于A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线)0(2≠++=acbxaxy的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22．（1）求：通过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判定△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．泸州市二OO五年初中毕业考试暨高中时期学习招生统一考试（非课改县区）数学试题参考答案及评分意见说明：1．假如考生的解法与下面提供的参考解答不同，凡正确的，一律记满分；若某一步显现错误，则可参照该题的评分意见进行评分．2．评阅试卷，不要因解答中显现错误而中断对该题的评阅，当解答中某一步显现错误，阻碍了后继部分，但该步的解答未改变这一道题的内容和难度，在未发生新的错误前，可视阻碍的程度决定后面部分的记分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半；明显笔误，可酌情少扣；如有严峻概念性错误，就不记分，在一道题解答过程中，对发生第二次错误起的部分，不记分．3．涉及运算过程，承诺合理省略非关键性步骤．4．以下解答中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．A卷一、选择题（本题共60分，每小题3分）21．解：原式＝22+-………………（每化简正确一项给一分）3分21＝13-……………………………………………………5分222．证明：在△AED和△CEB中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CEB AED EC AE C A …………………………………………………………3分 ∴△AED ≌△CEB ……………………………………………………… 4分 ∴AD ＝BC …………………………………………………………………5分 23．解：①＋②，得3x ＝15 ………………………………………………………………… 2分 ∴ x ＝15 ………………………………………………………………3分 把x ＝5代入①，得y ＝2…………………………………………………4分 ∴⎩⎨⎧==25y x 是原方程组的解…………………………………………………5分24．解法一：（1）最后一个三分球由甲来投 ……………………………………………3分 （2）因甲在平常训练中3分球的命中率较高………………………………7分 解法二：（1）最后一个3分球由乙来投 ……………………………………………3分 （2）因运动员乙在本场中3分球的命中率较高 …………………………7分25．解：在Rt △ADF 中，∠D ＝60°，AFDFD =cos ……………………1分∴DF ＝AF ·cot D＝9×cot60°＝9×3333=……………………………………………………3分 又在Rt △BEC 中∵∠C ＝45°， ∴△BEC 为等腰三角形∴EC ＝BE ＝9……………………………………………………………6分 在矩形AFEB 中，FE ＝AB ＝10………………………………………7分 ∴DC ＝DF ＋FE ＋EC ＝91033++ ＝())(3319m +答：坝底DC 的宽为()m 3319+………………………………………8分 26．（1）解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°……………………2分 （2）证明：∵AB 为直径，且AB ⊥CG∴AC =AG ………………………………………………………………3分 又∵AC ＝CF ∴AG ＝CF∴∠ACG ＝∠CAF ，∴AE ＝CE ……………………………………6分（3）连结CF ，由（2）可知：AG ＝AC ，∴∠ACE ＝∠AFC …………8分 又∵∠CAE ＝∠FAC ，∴△AEC ∽△ACF ……………………………9分∴ACAF AE AC = ∴AC 2＝AE ·AF …………………………………………………………10分B 卷一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．58 2．2或20 3．3 4．10 5．2n(n ＋1)二、（本题共13分，第6题6分，第7题7分）6．第一种：可画为□EFGH ………………………………………………3分 第二种：可画为□DEBG ………………………………………………6分 （或画为□AHCF ）7．解：设原打算每天挖x 米，……………………………………………1分 由题意，得429696++=x x ……………………………………………3分 解之，得8,621-==x x ………………………………………………5分 经检验，8,621-==x x 差不多上原方程的根，但工作效率为负数不合题意， 因此只取6=x …………………………………………………………6分 答：原打算每天挖6米．…………………………………………… 7分三、（本题10分）8．解：（1）开会地点离学校有60千米……………………………………2分（2）设汪老师在返校途中S 与t 的函数关系式为S ＝kt ＋b （k ≠0）． 由图可知，图象通过点（11,60）和点（12,0）∴⎩⎨⎧=+=+0126011b k b k ………………………………………………………4分 解之，得⎩⎨⎧-==60720k b ……………………………………………………5分 ∴S ＝－60t ＋720（11≤t ≤12）……………………………………7分（3）汪老师由上午6点钟从学校动身，乘车到市里开会，到了40公里处时，发生了堵车，堵了约30分钟才通车，在8占钟准里到达会场开了3个小时的会，会议一终止就返校，结果在12点钟到校．………………………10分 （注：只要叙述合情合理都给全分）四、（本题12分）9．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ………………………………………………………………2分 解之，得⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a∴322++-=x x y …………………………………………………………3分（2）由（1）可知4)1(2+--=x y∴顶点坐标为D （1,4）…………………………………………………4分 设其对称轴与x 轴的交点为E ∵OC AO S AOC •=∆21 3121⨯⨯= 23=……………………………………………………………5分 ()OE DE DC S OEDC ⨯+=21梯形 ()14321⨯+= 27=…………………………………………………………6分 DE EB S DEB ⋅=∆21 4221⨯⨯= 4=……………………………………………………………7分 DEB OEDC AOC ABDC S S S S ∆∆++=梯形四边形42723++=9=………………………………………………………8分（3）△DCB 与△AOC 相似………………………………………9分证明：过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ∵D （1,4）∴Rt △DFC 中，DC ＝2，且∠DCF ＝45°在Rt △BOC 中，∠OCB ＝45°，BC ＝23∴∠AOC ＝∠DCB ＝90°……………………………………10分 12==CO BC AO DC ………………………………………………11分 ∴△DCB ∽△AOC ……………………………………………12分 （注：其他解法只要过程和结果正确，仍给全分）。
高三数学上学期开学考试试题理_4
泸县第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题理第I卷〔选择题60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.设复数满足，那么在复平面内的对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.假设集合，那么=A. B. C. D.3.设等比数列的前项和为，，且与的等差中项为20，那么A. 127B. 64C. 63D. 324.为两条不同的直线，为两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是A. 假设，，那么B. 假设，，且，那么C. 假设，，且，，那么D. 假设直线与平面所成角相等，那么5.假设展开式二项式系数之和为32，那么展开式中含项的系数为A. 40B. 30C. 20D. 156.随机变量服从正态分布且,那么A. B. C. D.7.函数的零点一定位于区间A. B. C. D.8.?算法统宗?是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌〞就是其中一首：一个公公九个儿，假设问生年总不知，自长排来差三岁，一共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，那么A. 23B. 32C. 35D. 389.某人在微信群中发了一个8元“拼手气〞红包，被甲、乙、丙三人抢完，假设三人均领到整数元，且每人至少领到1元，那么甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.10.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法．如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．假设输入n，x的值分别为5，2，那么输出v的值是A.64B. 68C. 72D. 13311.将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，那么的最小正值为A. B. C. D.12.在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 0第II卷〔非选择题90分)二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高三数学上学期开学考试试题理 2
卜人入州八九几市潮王学校泸县第一2021届高三数学上学期开学考试试题理一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1．(12)(2)i i ++=〔〕A ．45i +B ．5iC ．-5iD ．23i +2．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，那么CB →=〔〕A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA -D ．2CD CA +3．在52)-的展开式中，2x 的系数为〔〕．A ．5-B ．5C ．10-D ．104．设a ∈R ，那么“1a >〞是“2a a >〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()21x f x x =--，那么不等式()0f x >的解集是〔〕．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞6．某的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或者游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，那么该既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是〔〕A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．假设C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，那么双曲线C 的方程为〔〕A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221xy -=8．2tan θ–tan(θ+π4)=7，那么tan θ=〔〕 A ．–2B ．–1C ．1D ．29．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，那么f (x )〔〕A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 10．假设2233x y x y ---<-，那么〔〕A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<11．设函数()f x =sin 〔5x ωπ+〕(ω＞0)，()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在〔0,2π〕有且仅有3个极大值点 ②()f x 在〔0,2π〕有且仅有2个极小值点 ③()f x 在〔0,10π〕单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.假设对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，那么m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
四川省泸州市泸县第一中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理.doc
四川省泸州市泸县第一中学2021届高三数学上学期开学考试试题理第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则A. B. C. D.2.若复数满足，是虚数单位则||=A. 1B.C.D. 23.已知等比数列满足，，则其前6项的和为A. B. C. D.4.依照某发展中国家2021年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.以下关于该国2021年家庭收入的判断，一定正确的是A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的5.双曲线的焦距是A. B. C. D.6.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是A. B. C. D.7.若向量,,则A. 5B. 6C. 7D. 88.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是A. B. C. D.9.箱子里有大小相同且编号为1，2，3，4，5的五个球，现随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是A. B. C. D.10.函数的图像大致是A. B.C. D.11.已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则=A. －7B. －9C. －11D. －1312.已知直线与中心在原点的双曲线交于两点，是的右焦点，若，则的离心率为A. B. C. 2 D.第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则________．14.在的展开式中，的系数为__________．15.某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．16.已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．三、解答题：共70分。
四川省泸县第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理
四川省泸县第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．1,0,1,2D ．{}1,0,1,4-2．已知复数11iz =+，则z =（ ） A ．22B ．1C ．2D ．23．已知函数()22x xf x -=-，则()2log 3f =（ ）A ．2B ．83C ．3D ．1034．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ） A ．－3B ．3C ．3±D ．95．已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤7．已知log e a π=，lneb π=，2e lnc π=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<8．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．4010．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．31011．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥12．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24eD ．21e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期开学考试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期开学考试数学（理）试题含答案一、选择题60分（每题5分，共12小题）1．设全集，集合，，则(∁)＝（）A. B. C. D.2．设，则（）A. B. C. D.3．方程的根所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.(3，＋∞)4. 已知，，，则（）A． B． C． D．5．给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.6．已知函数，则函数的大致图像为（）7．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则＝（）A. B. C. D.8．已知是锐角中的对边，若，，的面积为，则为（）A． B． C． D．9．已知函数，且，则的值是（）A． B． C． D．10．同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是减函数”的一个函数可以是（）A ．B ．C ．D ．11.直线与分别和曲线()()2sin 0,0,0,0,f x A x B A B x πωωω⎡⎤=+>>>∈⎢⎥⎣⎦，相交于和，且，则下列描述正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题20分（每题5分，共4小题）13. 设的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c.若，则b= .14．已知f (x )是偶函数，它在上的值域．19．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且。
（1）求；（2）若，求的取值范围。
20．（本小题满分12分）已知函数．（1）试将函数化为的形式，并求该函数的对称中心；（2）若在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且，求的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在一点，使得过的直线与椭圆交于、两点，且满足为定值？若存在，请求出定值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22. （满分12分）已知关于的函数，其中，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间内有极值，求的取值范围；（Ⅲ）当时，若有唯一零点，试求．（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，，；以下数据供参考：，，，）红兴隆管理局第一高级中学xx －xx 学年度第一学期开学考试高三理科数学试卷答案一、选择题：【答案】BACAC ADCDD DB二、填空题【答案】13、1 14、15、-1 16、6 17、【答案】解：(I) 由得即；由（为参数），消去参数，得；曲线的直角坐标方程为；直线的普通方程； ------5分(II) 设直线交曲线于，则，消去得，，，； 843624)(1||212212=-⨯=-++=x x x x k AB所以，直线被曲线截得的线段的长为.-------10分18、【答案】（1），k ∈Z ；（2） ．19. 【答案】略20.【答案】解：（1）由条件得()2cos 22cos 212cos 212sin 2136f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………3分由，解得于是所求对称中心为．………………………………………………6分（2）由解得，所以．…………………………………………………9分又为锐角三角形，故，所以，于是的取值范围是．………………………………………………………………12分21.【答案】（1）；（2）存在点，使得为定值．【解析】（1）由题意知右焦点到直线的距离，∴，则． ①又由题意，得，即， ②由①②解得，，所以椭圆的方程为．（2）假设存在点，使得为定值，设， 当直线与轴重合时，有202222220001821111(3)(3)(9)x QA QB x x x ++=+=+--， 当直线与轴垂直时，，由，解得，此时，所以存在点，使为定值10．根据对称性，只需考虑直线过点，设，，又设直线的方程为，与椭圆的方程联立，化简得，所以，．又222222221111111116(1)(QA m y y m y x y ===+++． 同理， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y QA QB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得．综上所述，存在点，使得为定值．【命题意图】本题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意，的定义域为，又， …………1分（1）当时，∵恒成立，∴在上单调递减；（2）当时，由得，；由得，，∴在上单调递减，在上单调递增……4分（Ⅱ）∵，∴的定义域为．∴．…………5分令．（）∴．（）（1）当时，∵恒成立，∴在上单调递增，又，∴在内存在一个零点，也是的零点．∴在内有极值；（2）当时，当时，，即恒成立，综上所述，若在内有极值，则实数的取值范围是8分（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知在上单调递减，又，∴当时，．∴．又由（）及（）知，在上只有一个极小值点，记为，且当时，单调递减，当时，单调递增，由题意，即为．∴∴消去，得．令，则当时，单调递增，单调递减，且，．∴，∴．…………12分29945 74F9 瓹25396 6334 挴24949 6175 慵20931 51C3 凃VO23694 5C8E 岎ou36112 8D10 贐D31647 7B9F 箟24056 5DF8 巸K7。
泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试 理数
泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1,2A x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，11,22B x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（）A ．B A ⊆B ．A B ⊆C ．A B =D ．A B =∅2．已知命题:R p x ∀∈，2212x x+>，命题0:R q x ∃∈，0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．函数y x =-的图象与函数()2x f x =，2()log g x x =，3()h x x =的图象交点的横坐标分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．a c b <<4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视图侧视图俯视图A ．2πB ．32πC ．2πD ．4π5．“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为34a （亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为3a （亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年6．“sin()0αβ-=”是“tan tan αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数21()sin 21x x f x x -=⋅+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，则下列结论一定正确的是（）A ．平面AEF ⊥平面PBCB ．平面AEF ⊥平面ABCDC ．直线//EF 平面PCDD ．直线EF ⊥平面PAB 9．若11cos()14αβ+=-，1cos cos 14αβ=，则cos(22)αβ-=（）A ．67B ．1314C ．7198D ．79-10．已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --为120︒，则此时三棱锥P ABD -的外接球的表面积为（）A ．21πB ．C ．52πD ．84π11．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在最值，且在2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，给出下列结论：（1）函数()f x 的图象关于点(2,0)对称；（2）函数()f x 的图象关于直线3x =对称；（3）函数()f x 在(1,3)上是增函数；（4）(6)(5.5)(7)f f f <<-．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．13．若函数()f x 对一切实数x ，y ()()(2)f x y f y x y x +-=+且(1)0f =，则(0)f =__________．14．已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为__________．15．函数2()([0,1)(1,2])1x f x x x -=∈- 与函数2sin 1(04)y x x π=+≤≤的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和等于__________．16．过点(0,)m 有两条直线与曲线1ln y x x=+相切，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->的相邻两对称轴间的距离为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()f x 图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移23π个单位长度得到函数()g x 的图象，若2237g πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．18．（本小题满分12分）已知32x =是函数2()11ln f x x x a x =-+的极值点．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在(1,)c 上存在最小值，求c 的取值范围．19．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知12sin sin cos sin cos b B c A B a B C =+．（Ⅰ）求a b的值；（Ⅱ）若6a =，AD 为ABC △的内角平分线，且AD CD =，求cos C 的值．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，平面PBC ⊥平面ABCD ，O ，E 分别是BC ，PA 的中点，平面α经过点O ，D ，E 与棱PB 交于点F ，2PB PC CD ===．（Ⅰ）求PF FB的值；（Ⅱ）求直线AF 与平面CDE 所成角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数()sin 220,2f x a x x x π⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()0f x <恒成立．（Ⅰ）求实数a 的最大值；（Ⅱ）若函数()()tan m x f x x =+有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为33sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线21cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（Ⅰ）求2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知点(2,0)M ，曲线3C 的极坐标方程为3πθ=，3C 与1C 的交点为P ，与2C 的交点为O ，Q ，求MPQ △的面积．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||2|1f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式()5f x ≤的解集；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为m ，且a b m +=（0a >，0b >）．求证：221113a b a b +≥++．。
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2020年高三开学考试理科数学一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分。
1．(12)(2)i i ++=（ ） A ．45i +B ．5iC ．-5iD ．23i +2．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →=（ ） A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA -D ．2CD CA +3．在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=8．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2B ．–1C ．1D ．29．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10．若2233x y x y ---<-，则（ ）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.12C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 13．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．14．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第15~19题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第20、21题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
15．(12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.16．(12分)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．17．(12分)如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.18．(12分)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．19．(12分)已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．（二）选考题：共10分。
请考生在第20、21题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
20．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．21．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2020年高三开学考试 理科数学参考答案1．B2．C3．C4．A 5．D6．C7．D8．D9．D10．A11．36 12．1631314．(15．（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.16.(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<ABCS <<.故ABC S的取值范围是 17．证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==， 设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为11222m n m n⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --2131()22-=.18．（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++ 00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点19．解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k=．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-． 所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．20．解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2πα=时，l 与O 交于两点． 当2πα≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =l 与O1<，解得1k <-或1k >，即,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）l的参数方程为,(x tcos t y tsin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，344ππα<< )． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A B P t t t +=，且A t ，B t 满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(),x y满足,.P P x t cos y t sin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,2222x sin y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ (α为参数，344ππα<< )． 21．解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(]0,2．。