七年级上册压轴题

人教版七年级上册期末压轴题
1、小知识：如图，我们称两臂长度相等（即 CA=CB ）的圆规为等臂圆规．当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角∠ACB=x °，则底角∠CAB=∠CBA=（90﹣）°．
请运用上述知识解决问题：如图，n 个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：∠A 1C 1A 2=160°，∠A 2C 2A 3=80°，∠A 3C 3A 4=40°，∠A 4C 4A 5=20°，…
（1） ①由题意可得∠A 1A 2C 1
= _________ °； ②若 A 2M 平分∠A 3A 2C 1，则∠MA 2C 2= ____ °； （2） ∠A n+1A n C n = ______ °（用含 n 的代数式表示）；（3）当 n ≥3 时,设∠A n ﹣1A n C n ﹣1的度数为 a, ∠A n+1A n C n ﹣1的角平分线 A n N 与 A n C n 构成的角的度数为 β，那么 a 与 β 之间的等量关系是 ________ ，请说明理由．（提示：可以借助下面的局部示意图）
解：（1）①10；②35；
（2）
°；（注：写成的不扣分，丢掉括号的不扣分）
（3） α﹣β=45°；理由：不妨设∠C n ﹣1=k ．
根据题意可知， C 中，由小知识可知∠A ． ∴∠A n+1A n C n ﹣1
．在 △ A
n A n ﹣ 1 n ﹣ 1 n ﹣ 1 A n C n ﹣ 1
= =180 ° ﹣ α = ．
在A n+1A n C n 中，由小知识可知∠A n+1A n C n =
．
∵A n N 平分∠A n+1A n C n ﹣1，
∴∠1= ∠A ． ∵∠A n+1A n C n =∠1+∠C n A n N ，
∴．
∴
∴α=45°+β．
∴α﹣β=45°．
2、有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 x 1，只显示不运算，接着再输入整数 x 2后则显示|x 1﹣x 2|的结果．比如依次输入 1，2，则输出的结果是|1﹣2|=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．
（1） 若小明依次输入 3，4，5
，则最后输出的结果是 ；
（2） 若小明将 1 到 2011 这 2011 个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为 m ，则 m 的最大值为 _________ ； （3） 若小明将 1 到 n （n ≥3）这 n 个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后
结果设为 m ．探究 m 的最小值和最大值．
解：（1）根据题意可以得出：||3﹣4|﹣5|=|1﹣5|=4； 故答案为：4．
（2） 由于输入的数都是非负数．当 x 1≥0，x 2≥0 时，|x 1﹣x 2|不超过 x 1，x 2中最大的
数．对 x 1≥0， x 2≥0，x 3≥0， 则||x 1﹣x 2|﹣x 3|不超过 x 1，x 2，x 3中最大的数．小明输入这 2011 个数设次序是 x 1，x 2，x 2011，
n+1 A n C n ﹣ 1 = =
=45 ° + β ．
相当于计算：||||x1﹣x2|﹣x3|﹣x2011|﹣x2011|=P．因此P 的值≤2011．另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数．
|x1﹣x2|与x1+x2奇偶性相同．因此P 与x1+x2+…+x2011的奇偶性相同．但
x1+x2+…+x2011=1+2+2011=偶数．于是断定P≤2010．我们证明P 可以取到2010．对
1，2，3，4，按如下次序|||1﹣3|﹣4|﹣2|=0．
|||（4k+1）﹣（4k+3）|（4k+4）|﹣（4k+2）=|0，对k=0，1，2，均成立．因此，1﹣2009
可按上述办法依次输入最后显示结果为0．
而后||2009﹣2010|﹣2011|=2010．所以P 的最大值为2010．故答案为：2010；
（3）对于任意两个正整数x1，x2，|x1﹣x2|一定不超过x1和x2中较大的一个，对于任意三个正整数x1，x2，x3，||x1﹣x2|﹣x3|一定不超过x1，x2和x3中最大的一个，以此类推，设小明输入的n 个数的顺序为x1，x2，…x n，
则m=|||…|x1﹣x2|﹣x3|﹣…|﹣x n|，m 一定不超过x1，x2，…x n，中的最大
数，所以0≤m≤n，易知m 与1+2+…+n 的奇偶性相同； 1，2，3 可以通过
这种方式得到0：||3﹣2|﹣1|=0；任意四个连续的正整数可以通过这种方式
得到0：
|||a﹣（a+1）|﹣（a+3）|﹣（a+2）|=0（*）；
下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k 为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算．当n=4k 时，1+2+…+n 为偶数，则m 为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当n=4k+1 时，1+2+…+n 为奇数，则m 为奇数，除1 外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1 开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当n=4k+2 时，1+2+…+n 为奇数，则m 为奇数，从1 开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n 和n﹣1，则最小值为1，从2 开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1 和n，最大值为n﹣1；
当n=4k+3 时，1+2+…+n 为偶数，则m 为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，则最小值为0，从3 开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2 和n，则最大值为n﹣1．
3、当整数k 为何值时，方程9x﹣3=kx+14 有正整数解？并求出正整数解
解：移项，得9x﹣kx=14+3，合并同类项，得（9﹣k）x=17，系数化为1，得x=，
∵是正整数，
∴9﹣k=1 或17，
∴k=8 或﹣8 时，原方程有正整数解；当
k=8 时，x=17；当k=﹣8 时，x=1．
4、如图，已知A、B、C 是数轴上三点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12．
（1）写出数轴上点A、B 表示的数；
（2）动点P、Q 分别从A、C 同时出发，点P 以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点
Q 以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN= CQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
①求数轴上点M、N 表示的数（用含t 的式子表示）；
②t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点．
解：（1）∵C 表示的数为6，BC=4，
∴OB=6﹣4=2，
∴B 点表示2．
∵AB=12，
∴AO=12﹣2=10，
∴A 点表示﹣10；
（2）①由题意得：AP=6t，CQ=3t，如图
1 所示：∵M 为AP 中点，
∴AM=AP=3t，
∴在数轴上点M 表示的数是﹣10+3t，
∵点N 在CQ 上，CN=CQ，
∴CN=t，
∴在数轴上点N 表示的数是6﹣t；
②如图2 所示：由题意得，AP=6t，CQ=3t，分两种情况： i）当点P 在点O
的左侧，点Q 在点O 的右侧时，OP=10﹣6t，OQ=6﹣3t，
∵O 为PQ 的中点，
∴OP=OQ，
∴10﹣6t=6﹣3t，解得：
t= ，
当t= 秒时，O 为PQ 的中点；
ii）当P 在点O 的右侧，点Q 在点O 的左侧时，OP=6t﹣10，OQ=3T﹣6，
∵O 为PQ 的中点，
∴OP=OQ，
∴6t﹣10=3t﹣6，
解得：t= ，此时AP=8＜10，
∴t= 不合题意舍去，
综上所述：当t=秒时，O 为PQ 的中点．
5、如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．
（1）如图1，若CE 恰好是∠ACD 的角平分线，请你猜想此时CD 是不是∠ECB 的角平分线？只回答出“是”或“不是”即可；
（2）如图2，若∠ECD=α，CD 在∠BCE 的内部，请你猜想∠ACE 与∠DCB 是否相等？并简述理由；
（3）在（2）的条件下，请问∠ECD 与∠ACB 的和是多少？并简述理由．解：（1）是，∵∠ACD=90°，CE 恰好是∠ACD 的角平分线，
∴∠ECD=45°，
∵∠ECB=90°，
∴∠DCB=90°﹣45°=45°，
∴∠ECD=∠DCB，
∴此时CD 是不是∠ECB 的角平分线；
（2）∠ACE 与∠DCB 相等；
∵∠ACD=∠ECB=90°，∠ECD=α，
∴∠ACE=90°﹣α，∠DCB=90°﹣α，
∴∠ACE=∠DCB；
（3）∠ECD+∠ACB=180°，理由如下：∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB =∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°．。