第10章 相关与回归分析_PPT幻灯片
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第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
《相关与回归分析》PPT课件
--精品--
相关分析与回归分析
返回总目录
相关分析
1. 相关关系的概念及分类
（1）相关关系的概念
返回本章
变量之间的依存关系可以分为函数关系和相关关系两种。函 数关系是指变量之间保持着严格的依存关系，呈现一一对应 的特征。而相关关系是指变量之间保持着不确定的依存关系。 线性相关用于双变量正态分布的资料。
--精品--
典型的散点图
y
y
反向变化 y
负相关
y
同向变化
正相关
0
x0
(a) 0<r<1
(b) -1<r<0 x 0
y
y
y
x0
(c) r≈ 1 y
x (d) r≈ -1
0
无伴随变化趋势
x0
无伴随变化趋势 x 0
无伴随变化趋势
x0
(e) r≈ 0
(f) r≈ 0
--精品--
(g) r≈ 0
曲线相关 /无线性相关
--精品--
返回本章
回归分析和相关关系之间的联系
回归分析和相关分析都是对变量之间不严格依存关系的分析， 在理论基础和方法上具有一致性。只有存在相关关系的变量才能进 行回归分析，相关程度越高，回归分析结果越可靠。
①方向一致：一组数据得出的b和r ，符号一致。
②假设检验等价：对于同一个样本，假设检验得到的tb和 tr值
相等
③回归可以解释相关：决定系数r2 =SS回/SS总 ，则r2就越接近1，
说明相关性好。
--精品--
回归分析和相关关系之间的区别
资料要求不同： —线性相关要求两个变量X和Y服从双变量正态分布的随机变量 —线性回归要求Y是服从正态分布的随机变量，而X不一定。
相关分析与回归分析
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相关分析
1. 相关关系的概念及分类
（1）相关关系的概念
返回本章
变量之间的依存关系可以分为函数关系和相关关系两种。函 数关系是指变量之间保持着严格的依存关系，呈现一一对应 的特征。而相关关系是指变量之间保持着不确定的依存关系。 线性相关用于双变量正态分布的资料。
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典型的散点图
y
y
反向变化 y
负相关
y
同向变化
正相关
0
x0
(a) 0<r<1
(b) -1<r<0 x 0
y
y
y
x0
(c) r≈ 1 y
x (d) r≈ -1
0
无伴随变化趋势
x0
无伴随变化趋势 x 0
无伴随变化趋势
x0
(e) r≈ 0
(f) r≈ 0
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(g) r≈ 0
曲线相关 /无线性相关
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返回本章
回归分析和相关关系之间的联系
回归分析和相关分析都是对变量之间不严格依存关系的分析， 在理论基础和方法上具有一致性。只有存在相关关系的变量才能进 行回归分析，相关程度越高，回归分析结果越可靠。
①方向一致：一组数据得出的b和r ，符号一致。
②假设检验等价：对于同一个样本，假设检验得到的tb和 tr值
相等
③回归可以解释相关：决定系数r2 =SS回/SS总 ，则r2就越接近1，
说明相关性好。
--精品--
回归分析和相关关系之间的区别
资料要求不同： —线性相关要求两个变量X和Y服从双变量正态分布的随机变量 —线性回归要求Y是服从正态分布的随机变量，而X不一定。
相关分析与回归分析 PPT
距离相关分析通过计算广义距离 度量样品或变量间得相似程度。
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
45
处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
31
例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
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距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
相关与回归分析PPT课件
不完全相关
变量之间存在着不严格的依存关系，即因 变量的变动除了受自变量变动的影响外， 还受其他因素的影响。它是相关关系的主 要表现形式。
不相关
自变量与因变量彼此独立，互不影响，其 数量变化毫无联系。。
相关分析的主要内容包括：
（1）确定现象之间有无相关关系，以及 相关关系的表现形态。
（2）确定相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数字模型，并进行
• 学习目的：
（1）掌握相关分析与相关系数的概念、相关系 数的计算方法
（2）掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘 估计方法
（3）掌握回归方程的显著性检验
（4）利用回归方程进行预测
• 重点：（1）相关系数； （2）一元线性回归的基本原理。
• 难点：（1）相关系数的计算方法； （2）回归方程的显著性检验。
相关关系的测定
相关图
将变量之间的伴随变动绘于坐标图上 所形成的统计图。又称散点图。
简单相关图
根据未分组资料的原始数据直接 绘制的相关图。
分组相关图 根据分组资料绘制的相关图。
180
Y
170
身高
160
150
30
40
பைடு நூலகம்
50
60
70
80
90
体重
X
三、相关系数
（一）相关系数的含义和公式
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
30
40
50
60
70
80
90
体重
100
线性负相关
80
60
40
非线性相关
20
0
200
300
400
500
第10章相关分析及回归分析
第八章相关与回归分析一、本章重点1.相关系数的概念及相关系数的种类。
事物之间的依存关系，能够分为函数关系和相关关系。
相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。
2.相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数和进行相关系数的推断。
相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方式是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着紧密的关系,取得样本相关系数后还要对整体相关系数进行科学推断。
3.回归分析，着重掌握一元回归的大体原理方式，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。
用最小平方式估量回归参数，回归参数的性质和显著性査验，随机项方差的估量，回归方程的显菁性査验, 利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。
4.应用相关与回归分析应注意的问题。
相关与回归分析都有它们的应用范围，必需明白在什么情形下能用，什么情形下不能用。
相关分析和回归分析必需以定性分析为前提，不然可能会闹岀笑话，在进行预测时选取的样本要尽可能分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情形下才能进行，若是条件发生了转变，原来的方程也就失去了效用。
二、难点释疑本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。
为了辜握大体计算的内容,最少应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全数计算题。
初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy. Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。
若是能自己把这些公式推证一下，弄清其关系，那就更易记住了。
三、练习题（一）填空题1事物之间的依存关系，按照其彼此依存和制约的程度不同，能够分为（）和（）两种。
2.相关关系按相关关系的情形可分为（）和（）;按自变量的多少分（）和（）；按相关的表现形式分（）和（）；按相关关系的紧密程度分（）、（）和（）；按相关关系的方向分（）。
回归与相关分析PPT课件
yi y 2
（dfT＝
i
• 离回归平方和SSE（剩余平方和，残差平 方和）：
SSE yi yˆi 2
i
n－2）
第23页/共93页
（dfE＝
•回归平方和SSR：
SS＝R 1） i yˆi y 2
（dfR
SSR的意义：根据等式SSy＝SSE＋SSR可知， 如果SSR的值较大，SSE的数值便比较小，说 明回归的效果好；反之，如果SSR的值较小， SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。
yˆ 1散点图和回归直线图
y ( ug / kg )
21 20 19 18 17 16 15
3
y = 10.987+1.5508x R2 = 0.6516
x ( ug / L )
4
5
6
7
某农药的水中含量与
鱼体中含量的关系
第21页/共93页
三、线性回归的显著性检验
第17页/共93页
（四）一元线性回归方程建立的基本步 骤（4步）
• 根据资料计算8个一级数据
• Σx , Σx2, x , Σy , Σy2 , y , Σxy , n
• 计算3个二级数据：SSx , SSy , SP
• 计算参数的估计值a和b，并写出回归方程
a y bx b SP SSx
yˆ a bx
第31页/共93页
• 2、β的置信区间
• b 的标准误为：sb se SSx
•而
b
t
sb
t (n 2)
• 所以 β的置信区间为：
(b t sb , b t sb )
第32页/共93页
•（二）对α＋βx的区间估计 • 对α＋βx的区间估计，即是对总体 均值（期望值）的区间估计。 • 当x＝xi 时，估计标准误为：
第10章 直线回归与相关分析
是α+βxi的估计值
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验： 回归关系的假设测验： 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时，我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法： 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法：t测验或F测验
由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， 由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的 [31.7，44.2]；如要在x 31.7或 44.2的 区间外延，则必须有新的依据。 区间外延，则必须有新的依据。
整理后可得： 整理后可得：
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
2
上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验： 回归关系的假设测验： 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时，我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法： 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法：t测验或F测验
由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， 由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的 [31.7，44.2]；如要在x 31.7或 44.2的 区间外延，则必须有新的依据。 区间外延，则必须有新的依据。
整理后可得： 整理后可得：
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
2
上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组
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直线相关
相关 ---- 变量间的互依关系
直 线 相 关 (linear correlation) ： 简 单 相 关 (simple correlation)，用于双变量正态分布资料。
图10-2 相关系数示意图
散点呈椭圆形分布，
X、Y 同时增减---正相关
（positive correlation)；
2. 计算检验统计量
0.8012
t
4.017
1 (0.8012 )2
11 2
n 2 11 2
3. 确定 P 值下结论（根据 t 值或查附表 11 r 界值表）
t＝4.017>t0.05（9）=3.69,按 ＝0.05 水准拒绝 Ho，…
五、总体相关系数的区间估计（了解）
必须先对 r 作 z 变换
170
47
173
42
160
44
155
41
173
47
188
50
178
47
183
46
180
49
165
43
166
44
பைடு நூலகம்
1891
500
Xy 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185
x2 28900 29929 25600 24025 29929 35344 3684 33489 32400 27225 28561 326081
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂 量与动物死亡率等。
两种关系：
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量 (independent variable) X变化而变化。
—— 回归分析
互依关系： 变量Y与变量 X间的彼此依赖关系 。
—— 相关分析
内容：
线性相关 线性回归
X、Y 此增彼减---负相关
(negative correlation) 。
散点在一条直线上，
X、Y 变化趋势相同----
完全正相关;
反向变化----完全负相关。
非线性相关
图10-2 相关系数示意图
X、Y 变化互不影响----零
相关(zero correlation)
一、 相关系数概念
相关系数(correlation coefficient)，又称积差 相 关 系 数 （ coefficient of product – moment correlation），或 Pearson 相关系数（软件中常 用此名称）
Y: 因变量(dependent variable)；通常也称为“反应变量”(response variable)
散点图
心率
40 30 20 10
0 0
5
10
15
20
图10-3 温度与蛙的心率之间关系的散点图
X
25 温度
直线回归
函数关系： 确定。例如园周长与半径：y=2πr 。 回归关系：不确定。例如血压和年龄的关系，称为直线回
六、进行线性相关的注意事项
• 1、相关系数ρ>0表示正相关，相关系数ρ<0表示
负相关，相关系数ρ=0表示无线性相关，并不表 示没有任何关系。 • 2、资料要求双变量正态分布。 • 3、对相关系数要做假设检验 • 4、相关未必有真联系，两变量间相关关系是一种 共变关系，不一定就代表因果关系。 • 5、分层资料别盲目合并
长之间的相关系数。
解：由例 10-1 已算得,
lXX
x2 ( x)2 326081 1891 2 1000 .909
n
11
lXY
xy
(
x)(
n
y)
86185
1891 500 11
230 .455
lYY ＝82.727
按公式 r
230 .455
0.8012
1000 .999 82.727
z tanh1 r 或 z 1 ln (1 r)
2 (1 r)
r tanh z
或
e2z 1 r
e2z 1
公式中 tanh 为双曲正切函数；tanh-1 为反双曲正切函数，
r 的取值范围 -1<r<1,相应的 z 值范围 -∞< z < +∞。
按正态近似原理，z 的 1－ 可信区间为：
(z u/2 n 3 , z u/2 n 3 )
实例
例 10-3 有人研究了温度对蛙的心率的影响，得到表 10-2 中所示的资料，试进行回归分析。
对象 1 2 3 4 温度（x） 2 4 6 8 心率（y） 5 11 11 14
5 6 7 8 9 10 11 10 12 14 16 18 20 22 22 23 32 29 32 34 33
X: 自变量(independent variable)；通常也称为“解释变量”(explanatory variable) 只有一个自变量，称简单回归（simple regression）； 多个自变量，称多元回归(multiple regression)
四、相关系数的假设检验
r≠0原因：① 由于抽样误差引起，ρ=0 ② 存在相关关系， ρ≠0
公式 t r 0 ＝ r
，υ＝n-2
Sr
1 r2
n2
Sr---- 相关系数的标准误
例 10-1 资料，身高与前臂长之间是否有直线相关关系。
解：1. 建立假设并确定检验水准
H0: ＝0；H1: ≠0； ＝0.05。
y2 2209 1764 1936 1681 2209 2500 2209 2116 2401 1849 2116 22810
前臂长（cm）
散点图
50 45 40 35
150 155 160 165 170 175 180 185 190 身高（cm)
图 10-1 11名男青年身高与前臂长散点图
例10.1 就 10-1 资料(见表 7-1)试计算身高与前臂
说明相关的密切程度和方向的指标。
r ——样本相关系数
二、相关系数的意义
r X X Y Y lXY X X 2 Y Y 2 lXlX YY
r无单位，-1 ≤ r ≥ 1。r 值为正 ——正相关， 为负 ——负相关；
（与后面回归系数b的符号相同）
|r|=1 --- 完全相关， |r|=0 --- 零相关。
三、 相关系数的计算
• 例10.1 从男青年总体中随机抽取11名男青年
组成样本，分别测量每个男青年的身高和前臂长， 测量结果如表10-1所示，试计算身高与前臂长之 间的相关系数。
表10-1 12名男青年身高与前臂长的测量结果
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
合计
身高（x) 前臂长（y）