4.9刚体之质点与刚体的碰撞
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1 质点动能 ∆T =mv 2 − 1 mv 2 =1 mv 2 (2mL + J ) J − m 0 0 2 2 2 (mL2 + J ) 2 的增量为
2
O M ω v v0 m L
负号表示动能减少。 刚体转动动 ∆= 1 J ω 2 1 mv 2 mL2 J TJ = 0 2 2 (mL2 + J ) 2 能的增量为 系统机械能 ∆T = ∆T + ∆T = − 1 mv 2 J m J 0 2 mL2 + J 的增量为
负号表示系统 机械能减少。
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
1 2 J mv0 L mL2 [讨论] ω = 2 ∆T = mv0 2 − v = v0 , , = ωL 2 mL + J mL + J 2 mL + J 1 2 mL2 J 1 2 (2mL2 + J ) J ∆TJ =mv0 , ∆Tm = mv0 − 2 2 2 (mL2 + J ) 2 2 (mL + J ) O 2/3时，刚体就是质量均匀分布的直 ①当J = ML 杆，碰撞后质点的速度和杆的角速度分别为 M L 3m v0 3m ω= ω v= v0 , m+M L 3 3m + M m v v0 1 2 (6m + M ) M 质点、刚体和系统动 ∆Tm = mv0 − 2 (3m + M ) 2 能的增量分别为 1 2 M 1 2 3mM − . ∆TJ =mv0 , ∆T = mv0 2 2 3m + M 2 (3m + M )
②当J = ML2时，刚体退化为一个质点，位于杆的下端，而杆的 质量不计，碰撞后质点的速度和杆的角速度以及动能分别为 m v= v0 , ω = m v0 , ∆T = 1 mv 2 M − 0 m+M m+M L 2 m+M 这正好是质点完全非弹性碰撞的公式。 ③当J→0时，表示刚体退化为轻质杆，质点与杆发生 完全非碰撞后速度不变v→v0，刚体的角速度ω→v0/L， 动能的增量ΔTm→0，ΔTJ→0，ΔT→0。 ④当J→∞时，质点与刚体发生完全非弹性碰撞后就粘在静止的 刚体上，v→0，ω→0，ΔTm→-mv02/2，ΔTJ→0，ΔT→-mv02/2。
随着转动惯量比的增加，质点与刚体做完 全非弹性碰撞后的速度和角速度都按同样 的规律减小，因而用一条曲线表示。
刚体获得的转动动能随转动惯量比的增加先增加再减小，当转动 惯量比为1时，刚体获得的转动动能最大，最大转动动能为mv02/8。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
质点和系统损失的动能随转 动惯量比的增加而增加。
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
如图所示，一刚体长为L，质量为M，放在光滑的水平面上， 可绕通过其端点O转动，转动惯量为J。一质量为m的质点以初 速度v0与刚体的末端发生完全非弹性碰撞，求质点碰撞后的速 度和刚体的角速度，求质点损失的动能，刚体获得的动能和 系统损失的动能。 O [解析]对于质点和刚体组成的系统，在碰撞时要 受到端点O的作用力，此力在初速度v0的方向不 M L 一定为零，因此，系统的动量不一定守恒。 ω 但是不管力的大小和方向如何，对O点的力 m v 矩都为零，因此系统对O点的角动量守恒。 刚体的角速度为 v0 当质点与刚体发生完全非弹性碰撞后， mv0 L 质点和刚体具有相同的角速度，根据角 ω= 2 . mL + J 动量守恒定律可得mv L = (mL2 + J)ω，
0
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
如图所示，一刚体长为L，质量为M，放在光滑的水平面上， 可绕通过其端点O转动，转动惯量为J。一质量为m的质点以初 速度v0与刚体的末端发生完全非弹性碰撞，求质点碰撞后的速 度和刚体的角速度，求质点损失的动能，刚体获得的动能和 系统损失的动能。
mL2 刚体的角 ω = mv0 L 质点的 = ω L v = v0 2 mL2 + J 速度为 mL + J 速度为
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
1 2 J mv0 L mL2 [讨论] ω = 2 ∆T = mv0 2 − v = v0 , , = ωL 2 mL + J mL + J 2 mL + J 1 2 mL2 J 1 2 (2mL2 + J ) J ∆TJ =mv0 , ∆Tm = mv0 − 2 2 2 (mL2 + J ) 2 2 (mL + J )
2
O M ω v v0 m L
负号表示动能减少。 刚体转动动 ∆= 1 J ω 2 1 mv 2 mL2 J TJ = 0 2 2 (mL2 + J ) 2 能的增量为 系统机械能 ∆T = ∆T + ∆T = − 1 mv 2 J m J 0 2 mL2 + J 的增量为
负号表示系统 机械能减少。
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
1 2 J mv0 L mL2 [讨论] ω = 2 ∆T = mv0 2 − v = v0 , , = ωL 2 mL + J mL + J 2 mL + J 1 2 mL2 J 1 2 (2mL2 + J ) J ∆TJ =mv0 , ∆Tm = mv0 − 2 2 2 (mL2 + J ) 2 2 (mL + J ) O 2/3时，刚体就是质量均匀分布的直 ①当J = ML 杆，碰撞后质点的速度和杆的角速度分别为 M L 3m v0 3m ω= ω v= v0 , m+M L 3 3m + M m v v0 1 2 (6m + M ) M 质点、刚体和系统动 ∆Tm = mv0 − 2 (3m + M ) 2 能的增量分别为 1 2 M 1 2 3mM − . ∆TJ =mv0 , ∆T = mv0 2 2 3m + M 2 (3m + M )
②当J = ML2时，刚体退化为一个质点，位于杆的下端，而杆的 质量不计，碰撞后质点的速度和杆的角速度以及动能分别为 m v= v0 , ω = m v0 , ∆T = 1 mv 2 M − 0 m+M m+M L 2 m+M 这正好是质点完全非弹性碰撞的公式。 ③当J→0时，表示刚体退化为轻质杆，质点与杆发生 完全非碰撞后速度不变v→v0，刚体的角速度ω→v0/L， 动能的增量ΔTm→0，ΔTJ→0，ΔT→0。 ④当J→∞时，质点与刚体发生完全非弹性碰撞后就粘在静止的 刚体上，v→0，ω→0，ΔTm→-mv02/2，ΔTJ→0，ΔT→-mv02/2。
随着转动惯量比的增加，质点与刚体做完 全非弹性碰撞后的速度和角速度都按同样 的规律减小，因而用一条曲线表示。
刚体获得的转动动能随转动惯量比的增加先增加再减小，当转动 惯量比为1时，刚体获得的转动动能最大，最大转动动能为mv02/8。
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质点和系统损失的动能随转 动惯量比的增加而增加。
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
如图所示，一刚体长为L，质量为M，放在光滑的水平面上， 可绕通过其端点O转动，转动惯量为J。一质量为m的质点以初 速度v0与刚体的末端发生完全非弹性碰撞，求质点碰撞后的速 度和刚体的角速度，求质点损失的动能，刚体获得的动能和 系统损失的动能。 O [解析]对于质点和刚体组成的系统，在碰撞时要 受到端点O的作用力，此力在初速度v0的方向不 M L 一定为零，因此，系统的动量不一定守恒。 ω 但是不管力的大小和方向如何，对O点的力 m v 矩都为零，因此系统对O点的角动量守恒。 刚体的角速度为 v0 当质点与刚体发生完全非弹性碰撞后， mv0 L 质点和刚体具有相同的角速度，根据角 ω= 2 . mL + J 动量守恒定律可得mv L = (mL2 + J)ω，
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{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
如图所示，一刚体长为L，质量为M，放在光滑的水平面上， 可绕通过其端点O转动，转动惯量为J。一质量为m的质点以初 速度v0与刚体的末端发生完全非弹性碰撞，求质点碰撞后的速 度和刚体的角速度，求质点损失的动能，刚体获得的动能和 系统损失的动能。
mL2 刚体的角 ω = mv0 L 质点的 = ω L v = v0 2 mL2 + J 速度为 mL + J 速度为
{范例4.9} 质点与刚体的碰撞
1 2 J mv0 L mL2 [讨论] ω = 2 ∆T = mv0 2 − v = v0 , , = ωL 2 mL + J mL + J 2 mL + J 1 2 mL2 J 1 2 (2mL2 + J ) J ∆TJ =mv0 , ∆Tm = mv0 − 2 2 2 (mL2 + J ) 2 2 (mL + J )