求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值复习课程
备战2024年中考数学压轴题之二次函数篇(全国通用)专题13 二次函数-费马点求最小值(学生版)
第十三讲二次函数--费马点最值必备知识点费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点【结论】如图，点M 为锐角△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小【证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．∵△ABE 为等边三角形，∴AB ＝BE ，∠ABE ＝60°．而∠MBN ＝60°，∴∠ABM ＝∠EBN ．在△AMB 与△ENB 中，∵，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM ＝MN ．知识导航∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP 、BP 、CP ，求xAP+yBP+zCP 最小值解决办法：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=)(y CP yz BP AP y x ，如图所示，B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值。
例：点P 为锐角△ABC 内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP 、BP 、CP ，求3AP+4BP+5CP 的最小值【分析】将△APC 绕C 点顺时针转90°到△A 1P 1C ，过P 2作P 1A 1的平行线，交CA 1于点A 2，且满足A 2P 2：P 1A 1=3：4.在Rt △PCP 2中，设PC=a ，由△CA 2P 2∽△CA 1P 1得CP 2=3a/4，则PP2=5a/4。
专题67 费马点中三线段模型与最值问题(解析版)
专题67 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【精典例题】1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ． 2B ．C ． 3D ． 3【答案】D【详解】解：如图，∠将∠ABG绕点B逆时针旋转60°得到∠EBF，∠BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∠∠BFG是等边三角形．∠BF=BG=FG，．∠AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∠当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF∠BC交CB的延长线于F，∠∠EBF=180°-120°=60°，∠BC=4，∠BF=2，，在Rt∠EFC中，∠EF2+FC2=EC2，∠∠CBE=120°，∠∠BEF=30°，∠∠EBF=∠ABG=30°，∠EF=BF=FG，∠EF=13， 故选：D ．2、如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________【答案】【详解】如图，将∠MOG 绕点M 逆时针旋转60°，得到∠MPQ ，显然∠MOP 为等边三角形，∠，OM ＋OG ＝OP ＋PQ ，∠点O 到三顶点的距离为：ON ＋OM ＋OG ＝ON ＋OP ＋PQ ，∠当点N 、O 、P 、Q 在同一条直线上时，有ON ＋OM ＋OG 最小，此时，∠NMQ ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA∠NM 交NM 的延长线于A ，则∠MAQ=90°，∠∠AMQ ＝180°-∠NMQ=45°，∠MQ ＝MG ＝∠AQ ＝AM ＝MQ•cos45°=4，∠NQ ==故答案为：3、如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且∠ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．【答案】【详解】将∠BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到∠BNE ，∠BM =BN ，∠MBN =∠CBE =60°，∠MN=BM∠MC=NE∠AM +MB +CM =AM +MN +NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∠AB =BC =BE =6，∠ABH =∠EBH =60°，∠BH ∠AE ，AH =EH ，∠BAH =30°，∠BH =12AB =3，AH =∠AE =2AH =故答案为4、如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．【详解】如图将∠ABP绕点A顺时针旋转60°得到∠AMG．连接PG，CM．∠AB=AC，AH∠BC，∠∠BAP=∠CAP ，∠PA=PA ，∠∠BAP∠∠CAP （SAS ），∠PC=PB ，∠MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∠∠GAP 是等边三角形，∠PA=PG ，∠PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∠当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∠AP+BP+CP 的最小值为，∠∠BAM=60°，∠BAC=30°，∠∠MAC=90°，∠AM=AC=2，作BN∠AC 于N ．则BN=12AB=1，CN=25、如图，四边形ABCD 是正方形，∠ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.∠ 求证：∠AMB∠∠ENB ；∠ ∠当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；∠当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；∠ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.【答案】（1）∠AMB∠∠ENB ，证明略。
初三数学中考模型之费马点问题
∵ AH=BH=AB=12. ∴ ∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴ A、G、P 三点一线。
再连 PD 两点。 ∵ △ABH、△GHP 和△BDH 都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴ ∠PHD=30°,.
即 t 2 .综上， t PA PB PC 的取值范围为 3 t 2 .
“费马点”与中考试题
费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 费马点—— 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费尔马的结论：对于一个各角不超过 120°的三角形，费 马点是对各边的张角都是 120°的点，对于有一个角超过 120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
（2） 直线 BM 的解析式为 y 3x 6 3 （过程略）．
y
E
D
C
y F
E
MD
C
A
O Bx
A
O Bx
图4
（3）如何确定点 G 的位置是本题的难点也是关健所在．设 Q 点为 y 轴上一点，P 在 y 轴上运动的速
度为 v，则 P 沿 M→Q→A 运动的时间为 MQ AQ ，使 P 点到达 A 点所用的时间最短，就是 1 MQ＋AQ
（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA
到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短．
分析和解：（1）D 点的坐标（3， 6 3 ）（过程略）．
中考最值专题--费马点模型
中考最值专题--费马点模型【模型建立】在三角形中，有一点P到三个顶点距离之和最小，点p在三角形哪里？【问题分析】费马尔问题的思考：如何找到一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？【问题解决】费马点的确切定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1、如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2、如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
【模型总结】费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换. 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
费马点最值模型典例讲解例1. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．变式练习>>>1．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【注】本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转！变式练习>>>2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.例题3. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点最短值
求三角形内一点到三个顶点距离之与的最小值1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)则C(0,0)A(0,3)B(4,0)以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'则△BPP',△BCC'均为等边三角形所以PB=PP',PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'(2,-2√3)所以AC'=√[(0-2)²+(3+2√3)²]=√(25+12√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3)、2、已知三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:过A作AD⊥BC于D,设BC=x,则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x)²,解得x=6,AD=8,DC=15以D为坐标原点,BC为x轴,DA为y轴建立坐标系(如图) 则A(0,8)B(-6,0)C(15,0)以C为旋转中心,将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B',连接PP'、BB'、AB'则△CPP',△CBB'均为等边三角形所以PC=PP',PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'(9/2,-21√3/2)所以AB'=√[(0-9/2)²+(8+21√3/2)²]=√(415+168√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√(415+168√3)、【补充说明】(1)如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,(2)P 到A、B、C三顶点距离的与最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
三角形任意一点到三个顶点的距离
三角形任意一点到三个顶点的距离在平面几何学中，三角形是一个非常重要的概念。
我们知道，三角形由三条边和三个顶点组成。
本文将探讨三角形中的一个问题，即任意一点到三个顶点的距离。
首先，我们来介绍一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边连接而成的图形，在三角形中，每个顶点都与其他两个顶点通过一条边相连接。
三角形的三个顶点可以用大写字母A、B、C表示，相应的边则用小写字母a、b、c表示。
在三角形中，任意一点都可以与三个顶点构成三条线段，我们将分别计算这三条线段的长度，并称之为该点到三个顶点的距离。
以三角形ABC为例，我们假设任意一点为P，其到顶点A的距离为d1，到顶点B的距离为d2，到顶点C的距离为d3。
我们的目标是求出这三个距离的值。
为了计算这些距离，我们可以利用平面几何的相关知识。
根据勾股定理，我们知道，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，我们可以利用勾股定理来计算线段的长度。
以距离d1为例，我们可以将线段AP与线段AC看作直角三角形的两条直角边，线段AC为斜边。
根据勾股定理，可以得到以下等式：d1^2=AP^2+AC^2同理，我们可以得到以下等式：d2^2=BP^2+BC^2d3^2=CP^2+CA^2通过求解这三个等式，我们就可以得到d1、d2和d3的值。
在实际应用中，可以利用坐标几何的方法来计算这些距离。
首先，我们可以将三角形ABC的三个顶点坐标表示为A(x1,y1)、B(x2, y2)和C(x3,y3)。
假设任意一点P的坐标为P(x,y)。
根据坐标几何的知识，我们知道两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。
因此，我们可以得到以下等式：d1=√[(x-x1)^2+(y-y1)^2]d2=√[(x-x2)^2+(y-y2)^2]d3=√[(x-x3)^2+(y-y3)^2]通过计算上述等式，我们就可以得到任意一点到三个顶点的距离。
在实际应用中，计算这些距离可以帮助我们解决一些几何问题。
证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小设三角形的三个顶点分别为A, B, C，重心为G。
我们需要证明GA^2 + GB^2 + GC^2 最小。
根据重心的定义，重心G的坐标可以表示为三个顶点坐标的平均值：G = (1/3)(A + B + C)我们可以将A, B, C的坐标表示为向量形式：A = (x1, y1)B = (x2, y2)C = (x3, y3)则重心G的坐标可以表示为：G = (1/3)((x1, y1) + (x2, y2) + (x3, y3))= (1/3)((x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3))根据重心的性质，重心到三个顶点的距离的平方和可以表示为：GA^2 + GB^2 + GC^2 = (x1 - xg)^2 + (y1 - yg)^2 + (x2 - xg)^2 + (y2 - yg)^2 + (x3 - xg)^2 + (y3 - yg)^2其中，xg和yg分别是重心G的横纵坐标。
将重心的坐标代入上式，可以得到：GA^2 + GB^2 + GC^2 = (x1 - (1/3)(x1 + x2 + x3))^2 + (y1 - (1/3)(y1 + y2 + y3))^2 + (x2 - (1/3)(x1 + x2 + x3))^2 + (y2 - (1/3)(y1 + y2 + y3))^2 + (x3 - (1/3)(x1 + x2 + x3))^2 + (y3 - (1/3)(y1 + y2 + y3))^2化简上式，可以得到：GA^2 + GB^2 + GC^2 = (2/3)(x1^2 + x2^2 + x3^2 + y1^2 + y2^2 + y3^2) - (1/3)(x1(x2 + x3) + x2(x1 + x3) + x3(x1 + x2) + y1(y2 + y3) + y2(y1 + y3) + y3(y1 + y2))为了证明GA^2 + GB^2 + GC^2 最小，我们可以对上式进行进一步化简。
初三数学中考模型之费马点问题
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）. 【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
一点到三角形三个顶点距离之和最小值
一点到三角形三个顶点距离之和最小值在平面几何中，三角形是最基本的几何形状之一，它由三条线段组成，这三条线段称为边。
而三角形的三个顶点即为连接这三条边的点。
现在的问题是，给定一个点P和一个三角形ABC，如何确定点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小值呢？我们可以通过画图来观察一下这个问题的特点。
假设点P在三角形ABC的内部，我们可以发现，点P到三个顶点的距离之和是一个固定值，即三角形的周长。
但是，如果点P不在三角形ABC的内部，而是在三角形的外部，情况就变得复杂一些。
我们可以假设点P在三角形ABC的外部，且点P到三个顶点的距离之和最小。
那么，我们可以发现，点P到三个顶点的连线会与三角形的三条边相交。
以点P到边AB上的交点为例，我们可以发现，如果我们将点P沿着边AB的方向移动一点点，点P到三个顶点的距离之和会变小。
同理，点P到边AC和边BC上的交点也具有相同的性质。
这样一来，我们可以得出一个结论：点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小，当且仅当点P到三角形ABC的三条边上的交点重合。
这个交点有一个特殊的名字，叫做三角形ABC的费马点。
费马点是指在平面上给定一个点P，使得点P到三角形ABC三个顶点的距离之和最小。
费马点的特点是，它到三个顶点的连线夹角相等，即∠APB = ∠BPC = ∠CPA。
现在，我们来考虑一下如何求解费马点。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 首先，我们需要计算出三角形ABC的三条边的长度，假设分别为a、b、c。
2. 然后，我们可以根据三角形的边长和角度关系，利用三角函数来求解费马点的坐标。
3. 假设费马点的坐标为(x, y)，我们可以得到以下方程组：(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = a^2(x - xB)^2 + (y - yB)^2 = b^2(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = c^2其中，(xA, yA)、(xB, yB)、(xC, yC)分别为三角形ABC的三个顶点的坐标。
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC＝P 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE____________．PEDCBA ABCPABCPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABC内一点，则P A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝P是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则PA＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB＝，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋(＋2x)2＝)2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′EF P′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA【答案】1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABC内一点，则P A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC缩小到原来的，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12(A ＋2PB＋PC )，将△APC扩大到原来的C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
说明三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于周长而大于半周长
说明三角形内任意一点到三个顶点的距离之
和小于周长而大于半周长
三角形是几何学中的基本图形，具有独特的性质。
在三角形内部
任取一点O，连接OA、OB、OC到三个顶点A、B、C，我们来探讨这个
点到三个顶点的距离之和与三角形周长之间的关系。
首先，我们定义三角形ABC的周长为AB+BC+CA，并定义点O到三
个顶点的距离分别为d1、d2、d3。
根据三角形不等式，我们知道任意
两边之和大于第三边，即AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC。
那么根据
这个性质，我们可以得出结论：点O到三个顶点的距离之和小于三角
形的周长。
其次，我们来分析点O到三个顶点的距离之和与三角形半周长之
间的关系。
三角形半周长定义为周长的一半，即s=(AB+BC+CA)/2。
根
据几何学知识，我们知道点O到三个顶点的距离之和等于周长的两倍
减去三个边长：d1+d2+d3=2s-(AB+BC+CA)。
综上所述，我们得出结论：点O到三个顶点的距离之和小于三角
形的周长而大于三角形的半周长。
这个结论在几何学中具有重要意义，可以帮助我们理解三角形内部点的位置关系，对于解决相关问题有一
定的参考意义。
通过以上分析，我们了解了三角形内任意一点到三个顶点的距离
之和小于周长而大于半周长这一几何性质。
在实际问题中，我们可以
利用这个性质来解决一些与三角形相关的计算和证明问题，进一步拓
展我们的几何学知识。
愿本文能帮助您更好地理解这一性质，提升您
的数学学习能力。
2021届中考数学重难点--几何全套第8讲费马点最值模型--有详细解答
第八讲费马点模型费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC 的值最小.变式练习>>>1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+，求正方形的边长．变式练习>>>2．若P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC =60°，P A =3，PC =4, 求PB 的值.例题3. 如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值． 600mDA C P BH变式练习>>>3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道P A，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）例题4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G 点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，不要求证明）例题5. 如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接P A、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG＝RQ；②求P A+PC+PG的最小值，并求出当P A+PC+PG取得最小值时点P的坐标．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为______．AB CDME2. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（）A．+B．+C．4 D．33．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为．4．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC＝30°，点P为平面内一点．（1）∠ACB＝度；（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；（3）AP+BP+CP的最小值为．5．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里．6．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且P A＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数；（3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则P A+PB+PC的最小值为．7．如图l，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接P A、PB、PC，当AC＝3，AB＝6时，根据此图求P A+PB+PC的最小值．8．（1）阅读证明①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时P A +PB +PC 的值为△ABC 的费马距离．②如图2，已知点P 为等边△ABC 外接圆的上任意一点．求证：PB +PC ＝P A ．（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图3，在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；第二步：在上取一点P 0，连接P 0A ，P 0B ，P 0C ，P 0D ．易知P 0A +P 0B +P 0C ＝P 0A +（P 0B +P 0C ）＝P 0A + ； 第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC 的费马点P ，线段 的长度即为△ABC 的费马距离．（3）知识应用已知三村庄A ，B ，C 构成了如图4所示的△ABC （其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°），现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．答案例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。
三角形内一点到三个顶点距离之和
三角形内一点到三个顶点距离之和三角形是几何中最常见的图形，它有三个边和三个顶点组成。
在几何中，三角形内一点到三个顶点的距离之和是一个有趣的概念，它涉及到三角形的关系性和距离的概念。
在本文中，我们将探讨三角形内一点到三个顶点距离之和的概念，以及它的计算方法。
首先，让我们来看一个关于三角形内一点到三个顶点距离之和的定义：三角形内一点到三个顶点距离之和，即指三角形内一点到三个顶点的距离之和，等于三角形的周长。
也就是说，三角形内一点到三个顶点的距离之和等于三角形的周长。
其次，让我们来看一个关于三角形内一点到三个顶点距离之和的计算方法：首先，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中P为三角形内的一点，令AP、PB、CQ分别为P 到A、B、C的距离。
那么，三角形内一点P到三个顶点A、B、C的距离之和可以用下面的公式来表示：AP + PB + CQ = AB + BC + CA，其中AB、BC、CA分别为三角形的三个边的边长。
三角形内一点到三个顶点距离之和的概念与三角形的关系性和距离有关联。
由于三角形内一点P到三个顶点A、B、C的距离之和等于三角形的周长，因此可以推出，对于任意一个三角形，它的周长总是等于三角形内一点P到三个顶点A、B、C的距离之和。
此外，三角形内一点到三个顶点距离之和的概念也可以用来计算三角形的面积。
由于三角形的周长等于三角形内一点P到三个顶点A、B、C的距离之和，而三角形的面积又与周长和三角形内角的大小有关，因此可以通过计算三角形内一点P到三个顶点A、B、C的距离之和，来计算三角形的面积。
以上就是关于三角形内一点到三个顶点距离之和的概念及其计算方法的介绍。
三角形内一点到三个顶点距离之和的概念与三角形的关系性和距离有关联，可以用来计算三角形的周长和面积。
本文只是对三角形内一点到三个顶点距离之和的概念及其计算方法的简单介绍，其他更深入的内容，比如三角形内一点到三个顶点距离之和的具体应用，还需要进一步深入研究。
专题06 费马点最值问题(学生版)
专题06 费马点最值问题一．模型例题1．问题的提出：如果点是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点到的三顶点的距离之和的值为最小？问题的转化：把绕点逆时针旋转60度得到△，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：．问题的解决：当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点的位置 ．问题的延伸：如图2是有一个锐角为2，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．2．如图，中，，点为内一点，．若，则的最小值为3的等边，平面内存在点，则的取值范围为 ．P ABC ∆P ABC ∆PA PB PC ++APC ∆A AP C ''PP 'PA PB PC ++BP PP P C +'+''PA PB PC BP PP P C ++=+'+''P ABC ∆PA PB PC ++P 30︒P P ABC ∆AB AC =P ABC ∆120APB BAC ∠=∠=︒4AP BP +=PC ABC ∆P PA PC +4．问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至△，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知△为正三角形，有．故．因此，当、、、共线时，学以致用：（1）如图3，在中，，，，为内部一点，连接、、，则的最小值是 ．（2）如图4，在中，，，为内部一点，连接、、，求的最小值．（3）如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．ABC ∆P ABC ∆PA PBPC PA PB PC ++BPA ∆B 60︒BP A ''PP 'A C 'A C 'AB D 1BA BA BC '===120A BC A BA ABC ''∠=∠+∠=︒BP BP '=60P BP '∠=︒P BP 'PB P P '=PA PB PC P A P P PC A C '''++=++=…A 'P 'P C PA PB PC ++ABC ∆30BAC ∠=︒4AB =3CA =P ABC ∆PA PB PC PA PB PC ++ABC ∆45BAC ∠=︒3AB CA ==P ABC ∆PA PB PC PB PC ++P ABCD Q BC PA PD PQ PA PD PQ ++5．法国数学家费马提出：在内存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时的值为费马距离．经研究发现：在锐角中，费马点满足，如图，点为锐角的费马点，且，，，则费马距离为 ．6．在中，，点为内一点．（1）如图1，连接，，将沿射线方向平移，得到，点，，的对应点分别为点，，，连接．如果，，，则 ．（2）如图2，连接，，，当时，求的最小值．7．如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为 ．8．如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为 ．ABC ∆P PA PB PC ++ABC ∆P 120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒P ABC ∆3PA =4PC =60ABC ∠=︒ABC ∆90ACB ∠=︒P ABC ∆PB PC BCP ∆CA DAE ∆B C P D A E CE BP CE ⊥3BP =6AB =CE =PA PB PC 8AC BC ==PA PB PC ++ABC ∆3AB =2AC =60BAC ∠=︒P ABC ∆PA PB PC ++ABC ∆30ABC ∠=︒5AB =6BC =P ABC ∆PA PB PC PA PB PC ++9．如图，在中，，点为内一点，连接、、，当，时，则的最小值是 ．10．已知，如图在中，，，，在内部有一点，连接、、，则的最小值是 ．11．如图，在中，，，点在内，连接、、，则的最小值是 ．12．如图，中，，，，是内部的任意一点，连接，，，则的最小值为 ．13．如图，为正方形内的动点，若，则的最小值为 ．ABC ∆90ACB ∠=︒P ABC ∆PA PB PC 3AC =6AB =PA PB PC ++ABC ∆30ACB ∠=︒5BC =6AC =ABC ∆D DA DB DC DA DB ++ABC ∆30BAC ∠=︒AC =8AB =D ABC ∆DA DB DC DC DB ++ABC ∆30ABC ∠=︒4AB =5BC =P ABC ∆PA PB PC PA PB PC ++P ABCD 2AB =PA PB PC ++14．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．15．如图，点为等边三角形内一点，且，则的最小值为 ．16．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为 ．17．如图，在直角三角形内部有一动点，，连接，，，若，，求的最小值 ．ABCD M N AB BC BM CN =MN MN Rt MNQ ∆P P A D Q D ABC 120BDC ∠=︒AD BDABCD 4AB 6BC =M E BC MA MD ME ++ABC ∆P 90BAC ∠=︒PA PB PC 6AC =8AB =PA PB PC ++18．若点为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．当三角形的最大角小于时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”．即最小．（1）如图1，向外作等边三角形，．连接，相交于点，连接．①证明：点就是费马点；②证明：；（2）如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ．19．问题提出（1）如图①，在中，，将绕点顺时针旋转得到△，则 ；问题探究（2）如图②，在中，，，点为内一点，连接、、，求的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内部有一点，满足，连接、，点为内的任意一点，是否存在一点和一点，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．P ABC ∆120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒P ABC ∆120︒PA PB PC ++ABC ∆ABD ∆AEC ∆BE DC P AP P ABC ∆PA PB PC BE DC ++==MNG∆MN =75M ∠=︒3MG =O MNG ∆O MNG ∆ABC ∆2BC =ABC ∆B 60︒A B C '''CC '=ABC ∆3AB BC =30ABC ∠=︒P ABC ∆PA PB PC PA PB PC ++ABCD //AD BC 6AB =4AD =60ABC BCD ∠=∠=︒ABCD 120APD ∠=︒BP CP Q BPC ∆P Q PQ BQ CQ ++20．如图1，在中，，点为内一点．（1）连接，，将沿射线方向平移，得到，点，，的对应点分别为点，，，连接．①依题意，请在图2中补全图形；②如果，，，求的长．（2）如图3，连接，，，求的最小值．小慧的作法是：以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，那么就将的值转化为的值，连接，当点落在上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明．并直接写出当时，的最小值．21．（1）阅读材料：如图（1），四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，①求证：；②当点在何处时，的值最小；③当点在何处时，的值最小，并说明理由；（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图（2），、、、四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图．ABC ∆90ACB ∠=︒P ABC ∆PB PC BCP ∆CA DAE ∆B C P D A E CE BP CE ⊥3BP =6AB =CE PA PB PC PA PB PC ++A ABP ∆60︒AMN ∆PA PB PC ++CP PM MN ++CN P CN PA PB PC CP PM MN ++=++4AC BC ==PA PB PC ++ABCD ABE ∆M BD B BM B 60︒BN EN AM CM AMB ENB ∆≅∆M AM CM +M AM BM CM ++A B C D22．已知，在中，（1）如图1，当，求的值；（2）如图2，当，点是内一点，且，，求的度数；（3）如图3，当，，点是内一动点，则的最小值为 ．23．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求．（1）请你写出图2中，的最小值为 ；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形中，，在菱形内部有一点，请在图3中画出并指明长度等于最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形的边长为4，请直接写出当值最小时的长．ABC ∆30ACB ∠=︒2AB AC ==BC AB AC =P ABC ∆2PA =PB =3PC =APC ∠4AC =)AB CB CA =>P ABC ∆PA PB PC ++ABC ∆30ACB ∠=︒6BC =5AC =ABC ∆P PA PB PC PA PB PC ++APC ∆C 60︒EDC ∆PD BE BE PA PB PC ++ABCD 60ABC ∠=︒ABCD P PA PB PC ++ABCD PA PB PC ++PB24．已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．2142y x bx =-++1x =y A x C ABOC O 90︒A B O C ''''A C ABOC A B O C ''''OC D 'P AOC ∆PA PC PO ++CP。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值-求三角形内一点到三个顶点最短值.docx
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3 , BC=4 , AB=5 , P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值.AC∖∖ ∖ √∖∖ fVc解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为X轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△ BPC绕点B逆时钟旋转60°至厶BP'C',连接PP'、CC'、AC'则厶BPP'，△ BCC'均为等边三角形所以PB=PP' ，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[ （0-2）2+ （3+2√3 ）2]= √（25+12√3 ）即PA+PB+PC 的最小值等于AC'的长√ （25+12√3）.2、已知三角形ABC 中，AB=10 , AC=17 , BC=21 , P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值.解：过A作AD丄BC于D ,设BC=X ,贝U CD=21-x由勾股定理得AD2=102-x2=172-(21-x ) 2 ,解得x=6 , AD=8 , DC=15以D为坐标原点，BC为X轴，DA为y轴建立坐标系(如图) 则A (0 , 8) B (-6 , 0) C (15 , 0 )以C为旋转中心，将△ CPB绕点C逆时钟旋转60°至厶CP'B',连接PP'、BB'、AB'则厶CPP' , △ CBB'均为等边三角形所以PC=PP' , PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'≥AB'而B' (9/2 , -21√3/2 )所以AB'=√[ (0-9/2 ) 2+ (8+21√3/2 ) 2]= √(415+168√3).即PA+PB+PC 的最小值等于AB'的长√( 415+168√3 ).【补充说明】(1 )如图，以△ ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，贝U(1 ) AD、BE、CF 交于一点P,且∠ APB= ∠ APC= ∠BPC=120 , (2 ) P到A、B、C三顶点距离的和最小，且证明：∙∙∙AF=AB , ∠ FAC= ∠ BAE , AC=AE •••△AFC S ABE∙∙∙ CF=BE同理可证厶BCF S BDA , CF=AD∙∙∙ AD=BE=CF.•••△ AFC s ABE∙∙∙∠ AFC= ∠ ABE∙∙∙∠BPF= ∠ BAF=60 , ∠ BPC=120同理可证∠ APB= ∠ APC=120∙∙∙∠ APB= ∠ APC= ∠ BPC=120至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。
等边三角形内部一点到三个顶点的距离与边长的关系
等边三角形内部一点到三个顶点的距离与边长的关系等边三角形是一种具有三个边相等、三个角相等的特殊三角形。
在等边三角形中，三个顶点到其中一个顶点的距离是相等的，并且这个距离与边长有着特定的关系。
为了便于讨论，我们先假设等边三角形的边长为1。
首先，我们来考虑等边三角形内某一点到三个顶点的距离分别是多少。
假设这个点要到达顶点A、B、C的距离分别为d1、d2和d3。
由于等边三角形的边长相等，根据等边三角形的性质，d1、d2和d3的值应该是相等的。
也就是说，对于等边三角形中的任意一点，这个点到三个顶点的距离是相等的。
接下来，我们来讨论这个距离与边长的关系。
首先，我们可以通过构造正三角形的方式来得到一些相关的信息。
正三角形是一种特殊的等边三角形，其三个角都是60度，而且三个边长相等。
在正三角形中，由于三个边长相等，我们可以假设边长为1。
因此，正三角形中任意一点到三个顶点的距离应该是相等的，并且应该等于边长。
如果我们将正三角形等分为几个小三角形，然后计算其中一点到三个顶点的距离，就可以得到一些有关等边三角形的信息。
例如，我们可以将正三角形等分为4个小三角形。
在每个小三角形中，我们可以选择顶点和该小三角形的中心点之一之间的距离进行计算。
假设在一个小三角形中，选择顶点和中心点之间的距离为d。
根据三角形的性质，我们可以通过勾股定理计算出这个小三角形的底边长和高：底边长为1，高为d。
而在等边三角形中，三个角都是60度，因此我们可以用三角函数来计算这个小三角形的底边长和高。
根据正弦定理，我们可以得到公式：sin(60度) = d / 1。
解该等式，我们可以得到d = √3 / 2。
因此，在正三角形的构造中，我们可以得到一点到三个顶点的距离d与边长的关系：d = √3 / 2。
由于等边三角形具有三个边相等的性质，因此在任意等边三角形中，一点到三个顶点的距离d与边长的关系应该和正三角形相同。
综上所述，对于等边三角形内部的一点到三个顶点的距离与边长的关系是：d = √3 / 2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最
小值
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值
1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.
解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）
则C（0，0）A（0，3）B（4，0）
以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'
则△BPP'，△BCC'均为等边三角形
所以PB=PP'，PC=P'C'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'
而C'（2，-2√3）
所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√
（25+12√3）.
即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.
2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.
解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x
由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得
x=6，AD=8，DC=15
以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）
则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）
以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'
则△CPP'，△CBB'均为等边三角形
所以PC=PP'，PB=P'B'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'
而B'（9/2，-21√3/2）
所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√
（415+168√3）.
即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√
（415+168√3）.
【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE
∴△AFC≌ABE
∴CF=BE
同理可证△BCF≌BDA，CF=AD
∴AD=BE=CF.
∵△AFC≌ABE
∴∠AFC=∠ABE
∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°
同理可证∠APB=∠APC=120°
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°
至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。
（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点P到这三点的距离之和最短
解：如果三个点在同一直线上，P点为居中的那个点
如果三个点能组成三角形，这里的点P就是著名的“费马点”
这时的一般结论是：
当三角形有一个内角大于或等于120度的时候，费马点就是这个内角的顶点；
如果三个内角都小于120度，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
作法：设三点为A、B、C
1、作等边三角形ABD、等边三角形ACE
2、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点P
则P即为拟求作的点。