2017-2018学年人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.3.1 正弦函数的图象与性质1 Word版含解析
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(四) Word版含答案
1.3.1正弦函数的图象与性质(四)学习目标1.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义知识点二φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1观察下面图(1)、图(2)中函数y ＝sin(x ＋π3)，y ＝sin(x －π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin x图象的形状和位置，你有什么发现？思考2观察下面图(3)、图(4)中函数y ＝sin(2x ＋π3)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，比较它们与函数y ＝sin(x ＋π3)图象的形状和位置，你又有什么发现？思考3观察下面图(5)、图(6)中函数y ＝2sin(2x ＋π3)，y ＝12sin(2x ＋π3)的图象，比较它们与函数y＝sin(2x ＋π3)的图象的形状和位置，你又有什么发现？梳理(1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有的点向____(当φ＞0时)或向______(当φ＜0时)平行移动______个单位长度而得到的. (2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)图象上所有点的横坐标______(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标______)而得到的.(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A＞1时)或________(当0＜A＜1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x 的值域为________，最大值为______，最小值为______.知识点三由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤知识点四“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象思考用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图象的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质类型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式.反思与感悟(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可.跟踪训练1把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R类型二用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例2利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图.反思与感悟(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点.(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象. 跟踪训练2已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图象.类型三由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式.反思与感悟若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0. “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2.“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π. “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2.“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则()A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 类型四函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用例4已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5).(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围.反思与感悟有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值.1.函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是()A.2π，－2，π4B.4π，－2，π4C.2π，2，－π4D.4π，2，－π42.下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是()3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B.关于直线x ＝π4对称 C.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D.关于直线x ＝π3对称 4.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，3π2，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值.3.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值答案精析问题导学 知识点一 A 2πωω2πωx ＋φφ 知识点二思考1函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考2函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的． 梳理(1)左 右 |φ|(2)缩短 不变 (3)伸长 缩短 A [－A ，A ]A －A 知识点三 |φ||φω| 知识点四思考用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω. 知识点五R [－A ，A ]2πωx ＝π2ω＋k π－φω(k ∈Z )奇偶 题型探究例1解y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――→向左平移6π个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x . 跟踪训练1C例2解依次令x 2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：描点，连线，如图所示．跟踪训练2解(1)∵x ∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]．列表如下：(2)描点，连线，如图所示．例3解(逐一定参法) 由图象知，振幅A ＝3，又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练3A例4解(1)∵图象最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数的增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 跟踪训练4解(1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8， 得φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8 (k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )． 当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.当堂训练1．D2.A3.A4.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 5．解(1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，将点(－2,0)代入得sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ， ∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。
人教版数学高一B版必修4优化练习1.3.1正弦函数的图象与性质1
1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质（1）5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.用“五点法”画y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图时，正确的五个点应为（ ）A.（0，0），（2π，1），（π，0），（23π，-1），（2π，0）B.（0，0），（2π-，-1），（-π，0），（23π-，1），（-2π，0）C.（0，1），（2π，0），（π，1），（23π，-1），（2π，-1）D.（0，-1），（2π-，0），（π，-1），（23π，0），（2π，0）提示：在［0，2π］上，y=sinx 有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.答案：A2.正弦函数y=sinx 的单调增区间是（ ）A.［2kπ，2kπ+π］，k ∈ZB.［2kπ-2π，2kπ+2π］，k ∈Z C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k ∈Z D.［2kπ+2π，2kπ+23π］，k ∈Z解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B 项.答案：B3.函数y=2sin2x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 解析：根据奇函数的定义f （-x ）=-f （x ）知，函数y=2sin2x 是奇函数. 答案：A4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.解析：因为sin ｘ的最大值为1，最小值为-1，所以sin ｘ+4的值域为［3，5］. 答案：［3，5］10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.y=sinx 的图象的大致形状是图1-3-1中的（ ）图1-3-1答案：B2.在［0，2π］上，满足sinx≥21的x 取值范围是（ ） A.［0，6π］ B.［6π，65π］C.［6π，32π］ D.［65π，2π］解析：由正弦函数y=sinx 的图象知，当x ∈［6π，65π］时，sinx≥21.答案：B 3.函数y=sin （42π+-x ）的最小正周期是（ ） A.π B.2π C.4π D.2π 解析：y=sin （2x -+4π）=-sin （2x -4π），ω=21，所以周期T=ωπ2=4π. 答案：C 4.比较大小: （1）sin47_________________cos 35； （2）sin （18π-）_________________sin （10π-）.解析：（1）∵cos 35=sin （2π+35），又2π＜47＜2π+35＜23π，y=sinx 在［2π，23π］上是减函数，∴sin 47＞sin （2π+35）=cos 35， 即sin 47＞cos 35.（2）∵-18102πππ-<-<-＜0，sinx 在［2π-，0］上是增函数， ∴sin （18π-）＞sin （10π-）.答案：（1）＞ （2）＞5.若sinx=321+-m m ，且x ∈［6π-，6π］，则m 的取值范围是_________________.解析：因为x ∈［6π-，6π］，所以|sinx|≤21，即｜321+-m m ｜≤21⇒2｜1-m ｜≤｜2m+3｜.所以4（1-m ）2≤（2m+3）2⇒m≥-41.答案：［41-，+∞)6.求函数f （x ）=cos 2x+sinx 在区间［4π-，4π］上的最小值.解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=-sin 2x+sinx+1=-（sinx 21-）2+45，∵4π-≤x≤4π，∴22-≤sinx≤22. ∴当sinx=22-时， f （x ）min =-（22-21-）2+45=221-. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知a=sin1019π，b=cos （1013π-），c=sin 1013π，d=cos 1029π，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A.a ＞b ＞c ＞dB.a ＜b ＜c ＜dC.a ＞c ＞b ＞dD.a ＜c ＜b ＜d解析：由题意，a=sin （2π-10π）=-sin 10π； b=cos （10132ππ-）=cos 5sin 107ππ-=；c=sin （π+103π）=-sin 103π；d=cos （3π-10π）=-cos 10π=-sin 52π.∵y=sinx 在［0，2π］上单调递增，∴y=-sinx 在［0，2π］上单调递减.又∵0＜10π＜5π＜103π＜52π＜2π，∴a ＞b ＞c ＞d.答案：A2.已知α、β∈（0，2π），且cosα＞sinβ，则α+β与2π的大小关系是（ ） A.α+β＞2π B.α+β＜2πC.α+β≥2πD.α+β≤2π解析：因为α、β∈（0，2π）,则2π-α∈（0，2π），又cosα＞sinβ，所以sin （2π-α）＞sinβ，而sinx 在（0，2π）上是增函数，所以2π-α＞β，故α+β＜2π.答案：B3.(2006高考江西卷,文2)函数y=4sin(2x+3π)+1的最小正周期为（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 解析：最小正周期为T=22π=π.答案：B4.已知y=f （x ）是周期为2π的函数，当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin 2x ，则f （x ）=21的解集是（ ）A.｛x ｜x=2kπ+3π，k ∈Z ｝ B.｛x ｜x=2kπ+35π，k ∈Z ｝C.｛x ｜x=2kπ±3π，k ∈Z ｝D.｛x ｜x=2kπ+（-1）k 3π，k ∈Z ｝解析：当x ∈［0，2π］时，由sin 2x =21得2x =6π或65π，即当x ∈［-π，π］时，2x =6π或6π-，所以x=3π或3π-.所以x=2kπ±3π（k ∈Z ）.答案：C5.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈（0，2π）时，f （x ）=sinx ，则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21C.23-D.23解析：f （35π）=f （π+32π）=f （32π）=f （π-3π）=f （-3π）=f （3π）. ∵当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sinx,∴f （3π）=sin 3π=23,f(35π)= 23.答案：D6.观察正弦曲线，得到不等式sinx ＞1在区间［0，π］内的解集为（ ） A.［0,π］ B.{2π} C.∅ D.{0,2π,π} 解析：∵sinx 的值不大于1, ∴sinx ＞1的解集为∅. 答案:C7.下列四个函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ） A.y=｜sin2x ｜ B.y=sin2x C.y=｜sinx ｜ D.y=sinx 解析：y=｜sinx ｜的图象如图，符合题目要求.答案：C8.函数y=sinx-|sinx|的值域为_________________. 解析：y=⎩⎨⎧+<<++≤≤πππππππ222,sin 2,22,0k x k x k x k （k ∈Z ），∴y ∈［-2，0］.答案：［-2，0］9.函数y=2sin （4π-x ）的单调增区间是_________________. 解析：y=2sin （4π-x ）化为y=-2sin （x 4π-）.∵y=sinu （u ∈R ）的单调减区间是［2kπ+2π，2kπ+23π］（k ∈Z ）,∴y=-2sin （x-4π）的单调增区间由下面的不等式确定:2kπ+2π≤x -4π≤2kπ+23π（k ∈Z ）,得2kπ+43π≤x≤2kπ+47π（k ∈Z ）.故函数y=2sin （4π-x ）的单调增区间是［2kπ+43π，2kπ+47π］（k ∈Z ）.答案：［2kπ+43π，2kπ+47π］（k ∈Z ）10.求函数y=2cos 2x+5sinx-4的最大值和最小值. 解：y=2cos 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2=-2（sinx-45）2+89， ∵sinx ∈［-1，1］,∴当sinx=-1,即x=2kπ-2π（k ∈Z ）时，y 有最小值-9， 当sinx=1即x=2kπ+2π（k ∈Z ）时，y 有最大值1.11.若函数f （n ）=sin 6πn （n ∈Z ），求f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2 008）的值.解：∵sin 6πn =sin(6πn +2π)=sin 612+n π,∴f （n ）=f （n+12）. ∴f(n)=sin6πn 是周期函数,周期为12.又∵f （1）+f （2）+f （3）+…+f （12）=0，且2 008=12×167+4,∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2 008）=f （1）+f （2）+f （3）+f （4） =sin 6π+sin 62π+sin 63π+sin 64π=23+3.。
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.3.1正弦函数的图象与性质.2含解析
第 2 课时正弦型函数y=A sin(ωx+φ)课时过关 ·能力提高1.已知函数f(x)= sin(ω> 0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A .对于点对称B .对于直线x= 对称C.对于点对称 D .对于直线x= 对称分析 :由已知得= π,因此ω=2,即 f(x) =sin.又 f= 0,因此 f(x) 的图象对于点对称.答案 :A2.为了获得函数y= sin的图象,只要把函数y= sin的图象()A .向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度分析 :y= sin y= sin= sin.答案 :B3.函数 y= 2sin的单一递加区间是()A .(k∈ Z)B.(k∈ Z)C.(k∈ Z)D.(k∈ Z )答案 :B4.已知正弦函数在一个周期内的图象如下图,则它的表达式应为()A. y= sinB.y= sinC.y= sinD.y= sin答案 :A5.先将函数y=f (x)图象上全部点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到本来的 2 倍 ,再将整个图象沿 x 轴向左平移个单位长度,获得的曲线与y= sin x 的图象同样 ,则 y=f ( x)的表达式为 ()A. y= sinB.y= sinC.y= sinD.y= sin分析 :依据题意 ,将 y= sin x 的图象沿x 轴向右平移个单位长度后获得y= sin的图象,再将此函数图象上各点的横坐标缩短为本来的,纵坐标不变 ,获得y= sin的图象,即得y=f (x)的分析式 .答案 :D6.对于函数f(x)= sin,有以下命题 :①函数的图象对于直线x=-对称;②函数的图象对于点对称;③函数的图象可看作是把y=sin 2 x 的图象向左平移个单位长度而获得;④函数的图象可看作是把y= sin的图象上全部点的横坐标缩短到本来的(纵坐标不变 )而获得 .此中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 :C★7.已知函数 f(x) =sin,此中 k≠ 0,当自变量 x 在任何两个整数间(包含整数自己)变化时 ,起码含有 1 个周期 ,则最小的正整数k 是()A.60B.61C.62D.63分析 :∵k≠0,∴函数 f(x)= sin的周期T=.又 T≤1,∴|k| ≥20π>62.8.∴最小的正整数k= 63.答案 :D8.已知函数y=A sin(ωx+ φ)(A> 0,ω>0,0< φ< π)的图象中最高点(距原点近来 )的坐标是 (2, ),由这个最高点到相邻最低点的曲线与x 轴交于点 (6,0), 则此函数的分析式应为.答案 :y=sin★9.设ω> 0,且函数 f(x)= sin ωx 在上单一递加,则ω的取值范围是.分析 :由于 x∈,ω> 0,ωx∈∴∴0<ω≤. ,答案 :10.对于函数f(x)= 4sin(x∈R )有以下命题 :①由 f( x1)=f (x2)=0,可得 x1-x2必是π的整数倍 ;②y=f (x)的表达式可改写为y=4cos;③y=f (x)的图象对于点对称;④y=f (x)的图象对于直线x=-对称.此中真命题的序号是(注 :把你以为正确的命题的序号都填上).分析 :如下图为y=4sin的图象.函数图象与x 轴的交点平均散布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题 ;函数f(x)的图象与x 轴的每一个交点,都是函数图象的一个对称中心,因此③是真命题 ;函数图象的对称轴都一定经过图象的最高点或最低点,因此直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;由诱导公式可知4cos= 4sin= 4sin,因此命题②是真命题 .因此应填②③ .答案 :②③11.已知函数f(x)= 2sin.(1)求 f(x)的最大值 M、最小值 N 和最小正周期 T;(2)写出函数 f(x)图象的对称轴和对称中心 .解 :(1)M= 2,N=- 2,T== π.(2)令 2x+ =k π+ (k∈ Z),得 x=(k∈ Z),即对称轴是直线x=(k∈ Z).令 2x+ =k π(k∈ Z),得 x=(k∈ Z),即对称中心是(k∈ Z).★12.已知f(x)=- 2asin+ 2a+b ,x∈,能否存在常数a,b ∈ Q,使得f(x) 的值域为{ y|- 3≤y≤ -1}? 若存在 ,求出 a,b 的值 ;若不存在 ,请说明原因 .解 : 由于≤x≤ ,因此≤2x+,因此 -1≤sin.若存在这样的有理数a,b,则当 a> 0 时 ,因此当 a< 0 时 ,因此综上 ,a,b 存在 ,且 a=- 1,b= 1.。
数学人教B版必修4教案1.3.1 正弦函数的图象与性质含答案
、
、能够认识以上这些函数与正弦函数
过正弦函数
、明确
的
函数，
，称为
单位时间内往复振动的次数，
动的频率；
在函数中，
的图
的五
图象
的图象
倍得到的
为振幅变换
)
)的简图
X-
X+
其中
｜个单位长度而得到
置不一样，这一变换称为相位变换＝
sin＝
的图象
（当
（当
平移
sin
再作图
换称为周期变换
(ω>1
或伸长
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是
A＋)
y－D)
2＋
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的
正弦型函数
=
＋的简图
=sin的图象（简图）。
人教版高中数学B版必修4练习1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)一、基础过关1． 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20 3． 下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x2|D ．y ＝|sin x | 4． 下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝sin x －1B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |5． 已知f (x )＝sin(πx －π)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数6． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是_____． 7． 若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，求f (x )的解析式．8． 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x .二、能力提升9． 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.3210．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 11．已知周期函数f (x )是奇函数，6是f (x )的一个周期，且f (－1)＝1，则f (－5)＝________. 12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝|2sin x ＋k |，x ∈R .(1)当k ＝0时，求f (x )的最小正周期；(2)当k ＝1时，作出函数f (x )的简图，借助图象判断f (x )的最小正周期．答案1．D 2.B 3.C 4.D 5.D 6.17．f(x)＝sin|x|，x∈R8．(1)奇函数(2)偶函数(3)奇函数9．D10.711.－112．解∵sin x＋1＋sin2x≥sin x＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，∴对x∈R都有sin x＋1＋sin2x>0.∵f(－x)＝ln(－sin x＋1＋sin2x)＝ln(1＋sin2x－sin x)＝ln(1＋sin2x＋sin x)－1＝－ln(sin x＋1＋sin2x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．13．解(1)当k＝0时，f(x)＝2|sin x|，函数图象如图所示：观察图象可知，当k＝0时，函数f(x)＝2|sin x|的周期为π.(2)当k＝1时，f(x)＝|2sin x＋1|，函数图象如图所示：观察图象可知，当k＝1时，函数f(x)＝|2sin x＋1|的周期仍为2π.。
数学人教B版必修4教案1.3.1 正弦函数的图象与性质2含答案
【学习目标】1、“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象；2、会用图象变换法由y=sinx 得y=Asin(ωx+φ)的图象. 【温故知新】回顾正弦函数y=sinx 的图像，定义域、值域、周期。
1、“五点法”作图【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。
（板书课题：函数的图象）【新知梳理】在正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 中， 叫振幅， 叫周期， 叫频率，叫相位， 叫初相。
【课堂探究】 建构数学 自主探究：自主探究：用“五点法”在同一直角坐标系画出x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。
【设计意图】观察函数x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像得出参数 的作用 一、A 的作用：研究x A y sin =与x y sin =图像的关系 例1、用“五点法”在同一直角坐标系画出x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。
【跟踪训练】1、 函数x y sin 4=怎样由x y sin =变换得到？2、求函数y=8sinx 的最大值、最小值和最小正周期。
【设计意图】通过练习熟练掌握A 在正弦型函数中所起到作用。
二、ω的作用：研究x y ωsin =与x y sin =图像的关系 例2、用“五点法”在同一直角坐标系画出x y 2sin =，x y 21sin =与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。
【设计意图】观察函数x y 2sin =，x y 21sin =与x y sin =的图像得出参数ω的作用 【跟踪训练】1、 函数x y 4sin =怎样由x y sin =变换得到？2、求函数4sinxy =的最大值、最小值和最小正周期。
【设计意图】通过练习熟练掌握ω在正弦型函数中所起到作用。
三、ϕ的作用：研究)sin(ϕ+=x y 与x y sin =图像的关系 例3、用“五点法”在同一直角坐标系画出)3sin(π+=x y ，)4sin(π-=x y 与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(二) Word版含答案
1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin2x |.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为()A.π2B.πC .2πD .4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是()A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是() A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理(1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x )非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理sin x 周期2k π (k ∈Z 且k ≠0)2π知识点三思考1正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立． 梳理奇原点题型探究例1解(1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1解(1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2解(1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3解因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4解∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3 ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练40当堂训练1．D2.D3.B4.±π5.22。
人教版高中数学B版必修4练习1.3.1正弦函数的图象与性质(三)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)一、基础过关1． 若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定2． 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，543． 函数y ＝|sin x |的一个单调增区间 是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π4． 下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5． 函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )6． 函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________．7． 函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．8． 求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.二、能力提升9． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．310．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．11．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．三、探究与拓展13．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是_____．答案1．D 2.C 3.C 4.C 5.A6.⎣⎡⎦⎤π2，π7.[0,2]8． (1)[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )(2)⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z 9．B 10.sin 3<sin 1<sin 211．解 f (x )＝cos 2x ＋sin x＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 12．解 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．1992π 解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在[0,1]上至少含49 34个周期， 即⎩⎨⎧ 49 34T ≤1T ＝2πω，解得ω≥1992π.。
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案
1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。
2018版高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1-3-1 正
1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.知识点一 几何法作正弦曲线阅读课本了解在直角坐标系中，用正弦线比较精确地画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]内的图象的具体操作过程.思考 如何由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？梳理 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫做正弦曲线. (2)几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的操作流程.①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线.③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份. ④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得到y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象.知识点二五点法作正弦曲线思考1同学们观察，在y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有几个？思考2如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？梳理“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤(1)列表(2)描点画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_______________________.(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.类型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图.类型二 利用正弦函数图象求定义域例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域.反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.1.用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π32.下列图象中，y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象是( )3.y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________.4.函数y ＝2sin x －1的定义域为____________.5.请用“五点法”画出函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象.1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图. (2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x 轴的交点. 2.作函数y ＝a sin x ＋b 的图象的步骤3.用“五点法”画的正弦函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.答案精析问题导学 知识点一思考 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．知识点二思考1 五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 思考2 在精确度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，这种方法叫做“五点法”．梳理 (2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) 题型探究例1 解 (1)取值列表：描点连线，如图所示．跟踪训练1 解 取值列表如下：描点、连线，如图所示．例2 解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4， 作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈[－4，－π)∪(0，π)．跟踪训练2 解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z }．当堂训练1．B 2.D 3.2 4.[π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z5．解 令X ＝2x －π6，则x 变化时，y 的值如下表：描点画图：将函数在⎣⎡⎦⎤π12，13π12上的图象向左、向右平移即得y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．。
人教版数学高一B版必修4同步训练1.3.1正弦函数的图象与性质
1.3 三角函数的图象与性质 1．3.1 正弦函数的图象与性质知识点一：正弦函数的图象1．正弦函数y ＝sinx(x ∈R )的图象关于______对称．A ．y 轴B ．直线x ＝π2C ．直线x ＝πD ．直线y ＝0 2．函数f(x)＝x －sinx 零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．无数个 3．函数y ＝sinx ，x ∈R 的对称中心为__________． 知识点二：正弦函数的性质4．下列四个函数中，为周期函数的是 A ．y ＝3sinx B ．y ＝3xC ．y ＝sin|x|(x ∈R )D ．y ＝sin 1x (x ∈R 且x ≠0)5．函数y ＝sin(x ＋π4)在下列哪个区间上是递减的A ．[π4，5π4] B ．[－π，0]C ．[－π4，3π4]D ．[－π2，π2]6．函数f(x)＝cos(πx －π2)－1，则下列命题正确的是A ．f(x)是周期为1的奇函数B ．f(x)是周期为2的偶函数C ．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D ．f(x)是周期为2的非奇非偶函数7．(2010江西高考，文6)函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域为 A ．[－1,1] B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]8．函数y ＝－sin x3的定义域是__________．9．求使下列函数取得最小值的自变量x 的集合，并写出最小值．(1)y ＝－2sinx ，x ∈R ；(2)y ＝－2＋sin x3，x ∈R .知识点三：正弦型函数10．(2010湖北高考，文2)函数f(x)＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为A.π2B ．πC ．2πD ．4π 11．(2010四川高考，理6)将函数y ＝sinx 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)12．用五点法作出函数y ＝2sin(x －π3)＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．能力点一：函数图象的应用13．已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π314．(2010重庆高考，理6)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π615．(2010江西高考，文12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y ＝sin2x ，y ＝sin(x ＋π6)，y ＝sin(x －π3)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误．．的图象是16．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图． (1)求出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图象关于x ＝2对称，求g(x)的解析式．能力点二：函数性质的应用17．把函数y ＝sinx(x ∈R )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是A ．y ＝sin(2x －π3)，x ∈RB ．y ＝sin(x 2＋π6)，x ∈RC ．y ＝sin(2x ＋π3)，x ∈RD ．y ＝sin(2x ＋2π3)，x ∈R18．函数f(x)＝(12)x －sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．419．函数f(x)＝sin(π4－2x)的单调增区间为__________.20．方程sinx ＝lgx 的实根有__________个．21．求函数y ＝sin 2x －sinx ＋1在x ∈[π3，3π4]上的最大值和最小值．22．(2010广东高考，文16)设函数f(x)＝3sin(ωx ＋π6)，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知f(α4＋π12)＝95，求sinα的值．23．已知函数y ＝12sinx ＋12|sinx|.(1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． (3)指出这个函数的单调增区间．24．已知曲线y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，且此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(3π8，0)．若φ∈(－π2，π2)，(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．答案与解析基础巩固1．B 2.A 3.(kπ，0)，k ∈Z 4.A5．A y ＝sin(x ＋π4)的递减区间是2kπ＋π2≤x ＋π4≤2kπ＋3π2，k ∈Z ，即2kπ＋π4≤x ≤2kπ＋5π4，k ∈Z ，∴选项A 符合要求．6．D ∵f(x)＝cos(πx －π2)－1＝sinπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2.又∵f(－x)≠±f(x)， ∴f(x)为非奇非偶函数．7．C 令t ＝sinx ，则t ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，t ∈[－1,1]，∴y ∈[－54，1]．8．[6kπ－3π，6kπ]，k ∈Z9．解：(1)因为对于y ＝sinx ，x ∈R ，当x ＝2kπ＋π2(k ∈Z )时有最大值1，所以对于y ＝－2sinx ，x ∈R ，当x ＝2kπ＋π2(k ∈Z )时有最小值－2，x 的集合为{x|x ＝2kπ＋π2，k ∈Z }．(2)因为对于y ＝sinx ，x ∈R ，当x ＝2kπ－π2(k ∈Z )时有最小值－1，把x3当作一个整体，相当于上式中的x ，则有当x 3＝2kπ－π2(k ∈Z )时，y ＝－2＋sin x 3有最小值，即当x ＝6kπ－3π2(k ∈Z )时，y ＝－2＋sin x 3，x ∈R 有最小值－3，x 的集合为{x|x ＝6kπ－3π2，k ∈Z }．10．D11．C 函数y ＝sinx 的图象上的点向右平行移动π10个单位长度可得函数y ＝sin(x －π10)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin(12x －π10)的图象，所以所求函数的解析式是y ＝sin(12x －π10)．12．解：(1)列表：(2)描点．(3)作图，如下图．周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝12π，相位为x －π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为[2kπ＋5π6，2kπ＋11π6]，k ∈Z ，增区间为[2kπ－π6，2kπ＋5π6]，k ∈Z .将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y ＝2sin(x －π3)＋3的图象．能力提升13．A14．D 由图象知T ＝π，∴ω＝2. ∴y ＝sin(2x ＋φ)．又由于y ＝sin(2x ＋φ)图象过点(π3，1)，∴sin(2π3＋φ)＝1.∴2π3＋φ＝2kπ＋π2，∴φ＝2kπ－π6(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝－π6.15．C 函数y ＝sin2x 取最小值－1时x 的值为x ＝kπ－π4(k ∈Z )，y ＝sin(x ＋π6)取最小值－1时x 的值为x ＝2kπ－2π3(k ∈Z )，y ＝sin(x －π3)取最小值－1时x 的值为x ＝2kπ－π6(k ∈Z )，因此三个函数中没有两个函数有相同的最低点，所以C 错误．16．解：(1)由图知A ＝2.周期T ＝7－(－1)＝8， ∴2πω＝8，ω＝π4. ∵点(1,2)在图象上，∴2＝2sin(π4·1＋φ)，即sin(φ＋π4)＝1.∴φ＝π4.∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(π4x ＋π4)．(2)在y ＝g(x)的图象上任取一点P(x ，y)，则点P 关于x ＝2的对称点P ′(4－x ，y)在y ＝f(x)的图象上，∴y ＝2sin[π4·(4－x)＋π4]，即y ＝2sin(5π4－π4x)． ∴g(x)的解析式为g(x)＝2sin(5π4－π4x)．17．C 18．B19．[3π8＋kπ，7π8＋kπ]，k ∈Zf(x)＝sin(π4－2x)＝－sin(2x －π4)，由π2＋2kπ≤2x －π4≤3π2＋2kπ，k ∈Z ， 得3π8＋kπ≤x ≤7π8＋kπ，k ∈Z . 20．321．解：y ＝sin 2x －sinx ＋1 ＝(sinx －12)2＋34.∵x ∈[π3，3π4]，∴由正弦函数的图象知22≤sinx ≤1. 而函数y ＝(t －12)2＋34在[22，1]上单调递增，∴当sinx ＝22时，f(x)min ＝3－22；当sinx ＝1时，f(x)max ＝1.22．解：(1)由题设可知f(0)＝3sin π6＝32.(2)∵f(x)的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f(x)＝3sin(4x ＋π3)．(3)由f(α4＋π12)＝3sin(α＋π3＋π6)＝3cosα＝95，∴cosα＝35.∴sinα＝±1－cos 2α＝±45.拓展探究23．解：(1)y ＝12sinx ＋12|sinx|＝⎩⎨⎧ sinx ，0x ∈[2kπ，2kπ＋π](k ∈Z )，x ∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z ).函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ，2kπ＋π2](k ∈Z )．24．解：(1)依题意，A ＝2， T ＝4×(3π8－π8)＝π.∵T ＝2π|ω|＝π，ω>0，∴ω＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又曲线上的最高点为(π8，2)，∴sin(2·π8＋φ)＝1.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin(2x ＋π4)．(2)列出x 、y 的对应值表作图如下：。
2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测九
课时跟踪检测（九） 正弦型函数y = Asin (ωx +φ）层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C. 2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6， ∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32. 答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32. 将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2， ∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4. ∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A. 12，1π B ．2，1πC. 12，π D ．2，π解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π，故选A.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，如图所示．(1)求出f (x )的解析式；(2)若g (x )与f (x )的图象关于x ＝2对称，求g (x )的解析式． 解：(1)由题图知A ＝2，∵周期T ＝8， ∴2πω＝8，∴ω＝π4.∵点(－1,0)在图象上， ∴0＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4×(－1)＋φ， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝0，∴φ＝π4. ∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x ＝2的对称点P ′为(4－x ，y )．又∵点P ′在y ＝f (x )的图象上，∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4·(4－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－π4x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.。
人教B版高中数学必修四高一作业设计：1.3.1正弦函数的图象与性质(一)
§1．3 三角函数的图象与性质1．3．1 正弦函数的图象与性质(一)课时目标1．掌握“五点法”作图，能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象．2．能借助正弦函数的图象解决有关问题．1．正弦函数图象的画法(1)几何法—借助三角函数线；(2)描点法—五点法．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上起关键作用的点有以下五个：______，________，________，__________，________．(3)利用五点法作函数y＝A sin x(A>0)的图象时，选取的五个关键点依次是：________，________，________，________，________．2．正弦曲线的简单变换(1)函数y＝－sin x的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称；(2)函数y＝sin x与y＝sin x＋k图象间的关系．当k>0时，把y＝sin x的图象向上平移k个单位得到函数y＝sin x＋k的图象；当k<0时，把y＝sin x的图象向下平移|k|个单位得到函数y＝sin x＋k的图象．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝x sin x 的部分图象是( )3．在[0,2π]上sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23πD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π 4．下列是函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间的是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π5．已知函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤5π2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数f (x )＝sin x ＋|sin x |的值域是________．9．函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是________．10．函数y ＝log 2 1sin x－1的定义域为_____________________________________．三、解答题11．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x 的简图．12．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R ．能力提升13．求函数f(x)＝lgsin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．1．“五点法”是我们画三角函数图象的基本方法，描出上述五个关键点，根据曲线的趋势连成线，或者用这种思想求三角函数解析式．2．正弦函数图象是研究正弦函数性质的主要依据，本节主要借助正弦曲线来求解简单的三角不等式．§1．3 三角函数的图象与性质 1．3．1 正弦函数的图象与性质(一)答案知识梳理1．(2)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1 (2π，0) (3)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，A (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－A (2π，0) 作业设计1．D 2．A 3．B 4．C5．C [数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π2×2＝4π．]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．] 7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x ． 8．[0,2]解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ， (sin x ≥0)，0， (sin x <0).∴f (x )的值域是[0,2]．9．π2解析 f (x )＝sin(x ＋φ)是偶函数，∴f (0)＝sin φ＝±1，∵φ∈[0，π]，∴φ＝π2．10．⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋56π，2k π＋π(k ∈Z ) 解析 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 2 1sin x －1≥0sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12sin x >0，由[0,2π]内正弦函数的图像，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π．∴函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋56π，2k π＋π(k ∈Z )． 11．解 利用“五点法”作图 列表：描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
北师大版2017-2018学年高中数学必修四全册课下能力提升试题含答案
北师大版2017-2018学年高中数学必修四全册课下能力提升试题目录课下能力提升(一) 周期现象角的概念的推广 (1)课下能力提升(二) 弧度制 (5)课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义9 课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 .. 12 课下能力提升(五) 正弦函数的图像 (16)课下能力提升(六) 正弦函数的性质 (20)课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质 (24)课下能力提升(八) 正切函数的定义正切函数的图像与性质 .. 27 课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式 (31)课下能力提升(十) 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像的画法 (34)课下能力提升(十一) 函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质 (38)课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用 (43)课下能力提升(十三) 从位移、速度、力到向量 (48)课下能力提升(十四) 向量的加法 (53)课下能力提升(十五) 向量的减法 (58)课下能力提升(十六) 数乘向量 (63)课下能力提升(十七) 平面向量基本定理 (68)课下能力提升(十八) 平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示 (73)课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示 (77)课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积 (81)课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示 (85)课下能力提升(二十二) 向量应用举例 (90)课下能力提升(二十三) 求值问题 (95)课下能力提升(二十四) 化简、证明问题 (100)课下能力提升(二十五) 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数 (104)课下能力提升(二十六) 两角和与差的正切函数 (108)课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用 (113)课下能力提升(二十八) 半角公式及其应用 (117)阶段质量检测(一) 三角函数 (121)阶段质量检测(二) 平面向量 (130)阶段质量检测(三) 三角恒等变形 (138)课下能力提升(一)周期现象角的概念的推广一、选择题1．－435°角的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α是第二象限的角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k³360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k³360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k³360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k³360°，k∈Z}4．已知α是第四象限角，则α2是()A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角二、填空题5．与2 011°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k³90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N ＝________．7．若角α与β的终边互相垂直，则α－β＝________．8．终边落在阴影部分的角的集合是________．三、解答题9．已知角α的终边与60°角的终边相同，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°范围内的角．10.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ，并判定其所在的象限．答案1．解析：选D设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k³60°，k∈Z，当k＝1时，α＝－75°，∵－75°角为第四象限角，∴－435°角的终边在第四象限．2．解析：选A法一：取特值α＝120°，则180°－120°＝60°，是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°，α是第二象限角，而－α与α关于x轴对称，故－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得－α＋180°，位于第一象限，如下图．3．解析：选C 由于－457°＝－1³360°－97°＝－2³360°＋263°， 故与－457°角终边相同的角的集合是{}α|α＝－457°＋k ³360°，k ∈Z＝{}α|α＝263°＋k ³360°，k ∈Z .4．解析：选D 如下图，带4的标号在第二、四象限，故α2是第二或第四象限角．5．解析：与2 011°终边相同的角为2 011°＋k ³360°，k ∈Z . 当k ＝－5时，211°为最小正角；当k ＝－6时，－149°为绝对值最小的角． 答案：211° －149°6．解析：对于M ，当k ＝－1时，α＝－126°； 当k ＝0时，α＝－36°； 当k ＝1时，α＝54°； 当k ＝2时，α＝144°.故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{}－126°，－36°，54°，144° 7．解析：∵角α与β的终边互相垂直， ∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．即α＝β＋90°＋k ³360°或α＝β－90°＋k ³360°，k ∈Z . ∴α－β＝±90°＋k ³360°，k ∈Z . 答案：±90°＋k ³360°，k ∈Z8．解析：在－180°～180°范围内，阴影部分表示－45°≤α≤120°，故所示的角的集合为{α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z }．答案：{}α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z9．解：与60°角的终边相同的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ³360°，k ∈Z }， 当k ＝0时，α＝60°；当k ＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以，集合S 在－360°～360°范围内的角为60°，－300°.10.解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ³360°，k ∈Z ， 则θ＝k ·180°7，k ∈Z .∵180°<2θ＋45°<270°，∴67.5°<θ<112.5°， 即67.5°<k ³180°7<112.5°，k ∈Z .∴k ＝3，或k ＝4.∴θ＝540°7，或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°，故角θ的终边在第一或第二象限．课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k³π2，k ∈Z ，B ＝{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k ³π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10.如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C.3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π³73)＝－14π3rad.4．解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C.5．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z . 答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：209．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．10．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ³π3＋t ³|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3³4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4³12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3³4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3³4＝8π3.课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性一、选择题1．如果－315°角的终边过点(2，a )，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－55D ．±2 2．cos 9π4等于( ) A ．－22B.22C ．－1D ．13．已知角α的终边过点(x ，－6)，若sin α＝－1213，则x 等于( )A.52B ．－52 C ．±25D ．±524．设A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题5．sin (－330°)＝________．6．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________． 7．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则 sin α＝________，cos α＝________．8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________． 三、解答题9．已知f (x ＋3)＝－1f （x ），求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．10．已知cos α<0，sin α<0. (1)求角α的集合； (2)判断sin α2，cos α2的符号．答案1．解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝22， ∴22＝24＋a 2，解得a ＝±2， 又－315°是第一象限角， ∴a ＝22．解析：选B cos9π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝cos π4＝22. 3．解析：选D sin α＝－6x 2＋62＝－1213，解得x ＝±52.4．解析：选D ∵A 是第三象限角，∴A 2是第二、四象限角．又|sin A 2|＝－sin A2≥0，∴sin A 2≤0，易知A2为第四象限角．5．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案：126．解析：∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0， ∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }7．解析：如右图，点P (2m ，－3m )(m <0)在第二象限，且r ＝－13m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m－13m ＝31313.cos α＝2m r ＝2m－13m ＝－21313.答案：31313 －213138．解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32³32＋12³12＝1. 答案：19．解：∵f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且6是它的一个周期．10．解：(1)由cos α<0，sin α<0可知，α的终边落在第三象限． ∴角α的集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，即α2落在第二或第四象限．①当α2为第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0；②当α2为第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0.课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12C.12D.322．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A.3B ．－ 3 C.33D ．－333．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3 ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3，()n ∈ZA ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④ 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________．6．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值等于________．8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________．三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α），(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．答案1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.3．解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确．5．解析：sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫8π－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13，又∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－29．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12³32³1212³12＝－32.10．解：(1)f (α)＝－sin α³cos α³（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α；(2)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6³2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.课下能力提升(五) 正弦函数的图像一、选择题1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )2．下列各组函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝－sin xD ．y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 3．方程x 2＝sin x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．函数y ＝－3sin x ＋2的最小值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．5 二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫π3，3在函数f (x )＝a sin x 的图像上，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．6．函数y ＝sin |x |，x ∈[－π，π]的图像与直线y ＝12有________个不同的交点．7．若函数y ＝12sin x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤3π2的图像与直线y ＝－12围成一个封闭的平面图形，则这个图形的面积是________．8．在[0，2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围是________．三、解答题9．画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图．10．求方程lg x ＝sin x 实根的个数．答案1．解析：选B y ＝sin x ――→关于y 轴对称y ＝－sin x ――→向上平移一个单位y ＝1－sin x . 2．解析：选D ∵sin(x ＋2π)＝sin x ， ∴y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 的图像相同． 3．解析：选C在同一平面直角坐标中画出y ＝x 2与y ＝sin x 的图像，由图可知有两个交点． 4．解析：选B 因为sin x 的最大值为1，所以y ＝－3sin x ＋2的最小值为－3＋2＝－1.5．解析：∵3＝a sinπ3＝32a ∴a ＝2，f (x )＝2sin x ， ∴f (π2)＝2sin π2＝2.答案：26．解析：数形结合知有4个交点．答案：47．解析：作出图形(如图)由图形可知，所求面积为2π³12＝π.答案：π8．解析：如下图，在同一坐标系内作出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝12的图像，知满足sinx ≥12的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π69．解：步骤：①列表：②描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，⎝⎛⎭⎫2，1，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－3，(2π，－1)五个点．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．10．解：在同一坐标系内画出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数．由图像知方程有三个实根．课下能力提升(六) 正弦函数的性质一、选择题1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π43．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________．6．函数y ＝11＋sin x的定义域是________．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，(x ∈R )．若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 8．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数为________． 三、解答题9．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间．答案1．解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像，易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π. 3．解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 4．解析：选D ∵f (x )的最小正周期为π， ∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12，b ＝±1.答案：12±16．解析：要使11＋sin x有意义，则有1＋sin x ≠0.∴x ≠－π2＋2k π，k ∈Z答案：{x |x ≠－π2＋2k π，k ∈Z }．7．解析：∵f (a )＝2，∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1. ∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：08．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图，可知有3个交点，则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：39．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.则当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，y 最大为2，当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时，y 最小为1.∴函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1，2]．10．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，14．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．M P B ．M P C ．M ＝P D ．M ∩P ＝∅ 二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________． 6．比较大小：sin 3π5________cos π5.7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________． 8．函数y ＝11－cos x 的值域是________．三、解答题9．求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调减区间．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．答案1．答案：C2．解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴M P .5．解析：∵f (－x )＝－x ³cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]． ∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12.①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34.②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.课下能力提升(八) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________．7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________． 8．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．答案1．解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.5．解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示．令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)． 答案：18．解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 9．解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5.10．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式一、选择题1．tan(π－2x )等于( )A ．－sin 2xB ．－cos 2xC ．tan 2xD ．－tan 2x 2．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－m C.1m D ．－1m3．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( )A.12B ．－22 C.22D ．－124．已知角α终边上有一点P (5n ，4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A.54B.45 C ．－45D ．±45二、填空题5．化简tan （α＋π）tan （α＋3π）tan （α－π）tan （－α－π）＝________．6．已知角α的终边上一点P (3a ，4a )(a <0)，则tan(90°－α)的值是________． 7．sin 25π，cos 5π6，tan 75π从小到大的顺序是________．8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________．三、解答题9．求值：cos 210°cos （－420°）tan 330°tan 390°sin 750 °cos 900°.10．已知角α终边上一点A 的坐标为(3，－1)， 求sin 2（2π－α）tan （π＋α）cos （π－α）tan （3π－α）tan （－α－π）.答案1．答案：D2．解析：选A tan(3π2－α)＝tan(π2－α)＝cot α＝m .3．解析：选C tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°. 由条件可知f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3³15°)＝cos 45°＝22. 4．解析：选C 由三角函数定义知tan α＝y x ＝4n 5n ＝45.∴tan(180°－α)＝－tan α＝－45.5．解析：原式＝tan αtan αtan α（－tan α）＝－1.答案：－16．解析：∵P (3a ，4a )(a <0)，∴tan α＝43，sin α＝－45，cos α＝－35，∴tan(90°－α)＝sin （90°－α）cos （90°－α）＝cos αsin α＝34.答案：347解析：cos 56π＝－cos π6＜0，tan 75π＝tan 25π＞tan π4＝1， 而0＜sin 25π＜1，∴从小到大为cos 56π<sin 25π<tan 75π.答案：cos 56π<sin 25π<tan 75π8．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.答案：59．解：原式＝cos （180°＋30°）cos （－360°－60°）tan （360°－30°）tan （360°＋30°）sin （720°＋30°）cos （720°＋180°）＝（－cos 30°）cos 60°（－tan 30°）tan 30°sin 30°cos 180°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－3333³12³（－1）＝－3210．解：∵x ＝3，y ＝－1，∴r ＝（3）2＋（－1）2＝2.∴sin α＝y r ＝－12.原式＝sin 2（－α）tan α（－cos α）tan （－α）tan （－α）＝－sin 2αtan αcos αtan α tan α＝－sin 2αsin α＝－sin α＝12.课下能力提升(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的画法一、选择题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的相位和初相分别是( )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π32．(山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π43．要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝4二、填空题5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移π3个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是________．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．7．(天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 8．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．三、解答题 9.图中曲线是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像． (1)确定该图像对应的f (x )的表达式；(2)若f (x )＝a ，在[0，7π12]上有解，求a 的取值范围．10．把函数y ＝f (x )的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝12sin x 的图像，试求函数y ＝f (x )的解析式．答案1．解析：选C ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin ⎣⎡⎦⎤π－⎣⎡⎭⎫－2x ＋π3＝2sin(2x ＋2π3)，∴相位和初相分别为2x ＋2π3，2π3.2．解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.3．解析：选A 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3可化为y ＝sin[π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3]＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝sin (x ＋π6)的图像向右平移π6个单位长度．4．解析：选C 由图像易求得A ＝2，B ＝2，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，即得y ＝2sin(2x＋φ)＋2，又x ＝π6时，y ＝4，即得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，对比各选项知C 正确．5．解析：先伸缩后平移，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图像→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3的图像，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.6．解析：将函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度后变为函数y ＝sin(x －π6＋π3)＝sin(x ＋π6)，再向上平移2个单位长度，即函数解析式为y ＝sin(x ＋π6)＋2. 答案：y ＝sin(x ＋π6)＋27．解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2.答案：28．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin 2(x ＋5π12)，故将y ＝sin 2x 的图像向左。
2017-2018学年高中数学人教B版必修4 同步导学案：第1
第2课时 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1.了解正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等.(重点)2.会用“图象变换法”作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.(难点)[基础·初探]教材整理1 正弦型函数阅读教材P 44“例6”以上内容，完成下列问题.1.形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，初相为φ，值域为[－|A |，|A |]，|A |也称为振幅，|A |的大小反映了y ＝A sin(ωx ＋φ)的波动幅度的大小.已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.【解析】 由函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T ＝2πω＝10π，初相为π7.【答案】 10π 3π7教材整理2 A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响 阅读教材P 44“例6”～P 48以上内容，完成下列问题. 1.φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响：2.ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的影响：3.A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响：4.用“变换法”作图：y ＝sin x 的图象――→向左 φ＞0 或向右 φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象 ――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象.( )(2)要得到函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍.( )(3)将函数y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A (A >0)倍，便得到函数y ＝A sin x 的图象.( )(4)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝cos x 的图象.( )【解析】 (1)×.将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，便得到函数y ＝sin[ω(x －φ)]＝sin(ωx －ωφ)的图象，而不是函数y ＝sin(ωx －φ)的图象，故此说法是错误的.(2)×.要得到函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的1ω倍，而不是ω倍，故此说法是错误的.(3)√.(4)√.函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象，因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，故正确.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图，并说明它与y ＝sin x 的图象之间的关系.【导学号：72010024】【精彩点拨】 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x ＋π3取0，π2，π，3π2，2π即可找到五点.【自主解答】 列表：利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图.从图可以看出，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是用下面方法得到的.y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象.用五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.[再练一题]1.作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的图象. 【解】 令X ＝2x －π4，列表如下：(1)(2016·遵义高一检测)要得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将y ＝3sin 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π8个单位D.向右平移π8个单位(2)(2016·石家庄高一检测)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，则所得图象的解析式为( )A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B.y ＝－sin 2xC.y ＝cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(3)(2016·济宁高一检测)已知函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位，这样得到的曲线和y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________.【精彩点拨】 (1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x ”的加减来判断； (2)可利用横坐标伸缩到1ω(ω>0)倍时，解析式中“x ”换为“ωx ”；(3)可利用纵坐标变为A (A >0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A . 【自主解答】 (1)y ＝3sin 2x 的图象【答案】 (1)C (2)C (3)f (x )＝－12cos 2x三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：(1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.[再练一题]2.为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，其中正确的是________.【解析】 y ＝sin x ――→向左平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6. 【答案】 ③如图131所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象，确定其一个函数解析式.图131【精彩点拨】 解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.【自主解答】 由图象，知A ＝3，T ＝π，又图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，∴所求图象由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到，∴y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. [再练一题]3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图象如图132所示，求此函数的解析式.图132【解】 由图象可知A ＝2，T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π，∴y ＝2sin(πx ＋φ).代入⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. [探究共研型]探究【提示】 与正弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝ 2k ＋1 π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝ 2k ＋1 π－2φ2ω(k ∈Z ).探究2 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心？【提示】 与正弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π).(1)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称，求出φ的值及f (x )的所有的对称轴方程及对称中心的坐标.【精彩点拨】 利用正弦函数的性质解题.【自主解答】 (1)∵f (x )为偶函数，φ＝k π＋π2，又φ∈(0，π)，∴φ＝π2.(2)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称，∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ，∴tan φ＝1，φ＝k π＋π4(k ∈Z ).又φ∈(0，π)，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 由2x ＋π4＝k π，得x ＝k π2－π8(k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质较为综合，在历年高考题中都有所体现.围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等都有考查.2.有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用. [再练一题]4.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－π3＝0，故①错，②正确.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确.函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的图象，故④错.【答案】 ②③1.函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( )A.3,4B.3，π2C.π2，4 D.π2，3 【解析】 由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，∴振幅是3，周期T ＝2ππ2＝4.【答案】 A2.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )【导学号：72010025】A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 C.y ＝sin 12xD.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 【解析】 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再将此图象向左平移π3个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象，选D.【答案】 D3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是( )A.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －π6B.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋π6C.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫7x ＋π42 D.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫7x －π42 【解析】 由已知得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT ＝7，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋π6.故选B.【答案】 B4.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的一条对称轴是____.(填序号)①x ＝－π2；②x ＝0；③x ＝π6；④x ＝－π6.【解析】 由正弦函数对称轴可知.x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ， x ＝k π＋π6，k ∈Z ， k ＝0时，x ＝π6.【答案】 ③5.已知函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值.【解】 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值， 即sin φ＝1或sin φ＝－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，∴3π4ω＋π2＝k π(k ∈Z )， 解得ω＝4k 3－23，k ∈Z ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，又ω>0，∴0<ω≤2. ∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2或23.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.将函数y ＝sin 3x 的图象向左平移π4个单位长度，所得函数的解析式是( )A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3π4 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 【解析】 y ＝sin 3x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4.故选D.【答案】 D2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，故要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位.【答案】 D3.函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )【导学号：72010026】A.12 B.22 C.32D.6＋24【解析】 因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，所以2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数过⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1点，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.【答案】 A4.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( )A.x ＝k π＋π3(k ∈Z )B.x ＝k π－π3(k ∈Z )C.x ＝k π3＋π9(k ∈Z ) D.x ＝k π3－π9(k ∈Z ) 【解析】 由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z .【答案】 C5.将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6，π3 B.π3，π6 C.2π3，5π6D.π6，π12【解析】 函数f (x )的图象向左平移φ个单位得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象，向右平移φ个单位得函数h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6的图象，于是，2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，于是φ的最小值分别为π6，π3.故选A.【答案】 A 二、填空题6.(2016·梅州质检)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象如图133所示，则φ＝________.图133【解析】 由题意得T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，ω＝45.又由x ＝34π时y ＝－1得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ， －2π5<35π＋φ<85π， ∴35π＋φ＝32π， ∴φ＝910π.【答案】910π 7.若g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________. 【解析】 当0≤x ≤π3时，π6≤2x ＋π6≤5π6，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以1＋a ≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ≤2＋a ，由1＋a ＋2＋a ＝7，得a ＝2.【答案】 2 三、解答题8.(2016·济宁高一检测)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，最大值为3；当x ＝6π时，最小值为－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间.【解】 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，所以T ＝10π，所以ω＝2πT ＝15，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ.因为点(π，3)在此函数图象上，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋φ＝3. 又因0≤φ≤π2，有φ＝π2－π5＝3π10，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π，k ∈Z 时，函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增.所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z ). 9.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R .(1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值. 【解】 (1)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴方程是x ＝π3＋k2π，k ∈Z ；由2x －π6＝k π，k ∈Z 解得对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k 2π，0，k ∈Z ；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z 解得单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值为－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值为2.[能力提升]1.为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π3个单位长度【解析】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 故C 项正确. 【答案】 C2.已知方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0， 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2a ，所以原题等价于函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与函数y ＝1－2a 的图象在[0，π]上有两个交点，如图，所以3≤1－2a <2，解得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－323.(2016·苏州高一检测)已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π上的函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，f (x )的图象如图134所示.图134(1)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π上的解析式； (2)求方程f (x )＝22的解. 【解】 (1)由图知：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝2π，则ω＝2πT ＝1，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝π3，所以在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.同理在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3内可得x 1＝5π12，x 2＝－π12.因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称，有x 3＝－π4，x 4＝－3π4.则f (x )＝22的解为－π12，－π4，－3π4，5π12.。
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1 含解析
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质课时过关·能力提升1.函数y=-5cos(3x+1)的最小正周期为()A. B.3π C. D.答案:C2.函数f(x)=sin cos(2x-π)()A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:f(x)=sin cos(2x-π)=cos x·(-cos 2x)=-cos x·cos 2x,于是f(-x)=-cos(-x)·cos(-2x)=-cosx·cos 2x=f(x),故f(x)是偶函数.答案:B3.函数y=-cos的单调递增区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析:令2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),所以所求函数的增区间为(k∈Z).答案:D4.先把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y1=cos x+1的图象,再向左平移1个单位长度,得y2=cos(x+1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1)的图象,故相应的图象为A.答案:A5.下列函数中,图象的一部分如图所示的是()A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos答案:D6.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为()A. B. C. D.解析:由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知,f=0,即3cos=0.∴+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+(k∈Z).∴|φ|的最小值为.答案:A7.函数y=4cos2x+4cos x-1的值域是.解析:y=4cos2x+4cos x-1=4-2.由于-1≤co s x≤1,所以当cos x=-时,y min=-2;当cos x=1时,y max=7,因此函数的值域是[-2,7].答案:[-2,7]8.已知f(n)=cos,n∈N+,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=.答案:-1★9.一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点离地面2 m(如图所示),则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)=2)的函数关系式为.解析:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2,所以只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.在Rt△O1PQ中,cos θ=,所以y(t)=-8cos θ+8.而,所以θ=t,所以y(t)=-8cos t+8,所以h(t)=-8cos t+10.故填h(t)=-8cos t+10.答案:h(t)=-8cos t+1010.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值;(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解:(1)由题意知f(x)的周期T=π,故=π,∴ω=2.∴f(x)=2cos 2x.∴f=2cos.(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f的图象,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).★11.已知函数f(x)=-+a cos x+sin2x的最大值为2,求实数a的值.解:f(x)=-,且0≤cos x≤1.当0≤≤1,即0≤a≤2时,cos x=时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=.由=2,解得a=3或a=-2,均不合题意,舍去.当<0,即a<0时,cos x=0时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.由=2,解得a=-6.当>1,即a>2时,cos x=1时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.由=2,解得a=.综上,a的值为-6或.★12.求函数y=sin+cos的周期、单调区间和最值.解:y=sin+cos=cos+cos=cos+cos=2cos,故周期T=.令2kπ≤4x-≤2kπ+π,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,因此,所求函数的单调递减区间为(k∈Z).同理可求得单调递增区间为(k∈Z).因为-1≤cos≤1,所以-2≤2cos≤2.故所求函数的最大值为2,最小值为-2.。
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质2 含解析
第2课时正切函数的图象与性质课时过关·能力提升1.函数y=tan的定义域是()A.B.C.D.解析:由已知应有x-≠kπ+(k∈Z),即x≠kπ+(k∈Z),故定义域为.答案:D2.函数y=3tan的一个对称中心是()A. B.C. D.(0,0)解析:令x+(k∈Z),解得x=kπ-(k∈Z).取k=0,可得函数的一个对称中心为.答案:C3.如图,函数y=tan在一个周期内的图象是()解析:函数y=tan的周期为2π,故选项B,D错误;又函数图象过点,故选项C错误.答案:A4.直线y=a与函数y=tan的图象相邻两交点之间的距离等于()A.B.πC.D.与a有关解析:相邻两交点之间的距离恰好为函数y=tan的一个周期T,即T=.答案:C★5.若将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图象重合,则ω的最小值为()A. B. C. D.解析:将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位,得y=tan.又∵平移后函数的图象与y=tan的图象重合,∴=kπ(k∈Z),即=kπ(k∈Z).∴当k=0时,ωπ=,即ω的最小值为.故选D.答案:D6.在区间内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C7.函数y=tan的周期是.解析:周期为T=.答案:8.若函数y=tan ωx在区间上是增函数,则ω的取值范围是.解析:显然应有ω>0,且其最小正周期≥π,即≥π,所以0<ω≤1.答案:0<ω≤19.已知函数f(x)=A tan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f=. 解析:由题图,知,∴T=,∴ω=2,∴f(x)=A tan(2x+φ).将代入,得A tan=0,即tan=0.又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=A tan.又f(0)=1,∴A tan=1,∴A=1.∴f(x)=tan.∴f=tan=tan.答案:10.下面命题中,正确命题的序号是.①y=的最小正周期是;②y=4tan的图象向右平移个单位长度,可得y=4tan 2x的图象;③函数f(x)=3tan在区间内是增函数.答案:②③11.已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的定义域、值域;(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.解:(1)由x-+kπ,k∈Z,解得x≠+2kπ,k∈Z.故所求函数的定义域为,值域为R.(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.∵f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数.由-+kπ<x-+kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.∴函数的单调递增区间为(k∈Z),无单调递减区间.★12.若x∈,求函数y=+2tan x+1的最值及相应的x值.解:y=+2tan x+1=+2tan x+1=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1.∵x∈,∴tan x∈[-,1].故当tan x=-1,即x=-时,y取最小值1;当tan x=1,即x=时,y取最大值5.。
2017-2018学年人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
1.2.3同角三角函数的基本关系式课时过关·能力提升1.若cos α=,则(1+sin α)(1-sin α)等于()A.B.C.D.+sin α)(1-sin α)=1-sin2α=cos2α=.2.化简的值为()A.1B.-1C.2D.-2==-1.3.若角x的终边位于第二象限,则函数y=的值可化简为()A.1B.2C.0D.-1==1-1=0.4.设sin,且α是第二象限的角,则tan等于()A.B.C.±D.±α是第二象限的角,∴是第一、三象限的角.∵sin>0,∴是第一象限的角.∴cos,∴tan.5.如果tan θ=2,那么sin2θ+sin θcos θ+cos2θ的值是()A. B. C. D.2θ+sin θcos θ+cos2θ=1+sin θcos θ=1+=1+=1+.6.已知α∈,且sin αcos α=-,则sin α+cos α的值是()A.B.-C.±D.±α∈,所以sin α>0,cos α<0,且|sin α|<|cos α|,从而sin α+cos α<0.又(sin α+cosα)2=1+2sin αcos α=1+2×,从而sin α+cos α=-.7.化简的结果是.==-cos.cos8.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则cot θ的值是.sin θ+cos θ=,①两边平方,得1+2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=-.因为θ∈(0,π),所以cos θ<0<sin θ.由于(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,所以sin θ-cos θ=.②联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,所以cot θ==-.9.已知sin α-cos α=,则tan α的值为.sin α-cos α=,∴(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=,∴sin αcos α=,于是,即,∴tan α=或tan α=3.或10.若sin α,cos α是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.且Δ=(2m)2-16m≥0,即m≤0或m≥4.又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,∴=1+2×,∴m=1±.又m≤0或m≥4,∴m=1-.-11.化简:.===.因此当α是第一、三象限的角时,原式=4;当α是第二、四象限的角时,原式=-4.★12.已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求sin3θ+cos3θ的值;(2)求tan θ+的值.,知Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,得a≤0或a≥4,且由①2-②×2,得a2-2a-1=0,∴a=1-或a=1+(舍).∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.(1)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan θ+==--1.★13.求证:.=====右边.故原等式成立.。
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1.3三角函数的图象与性质
1.3.1正弦函数的图象与性质
第1课时正弦函数的图象与性质
课时过关·能力提升
1.已知函数f(x)=-sin x,下列结论错误的是()
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是减函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
f(x)=-sin x的图象可知,f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,故C错.
2.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是()
A.B.(π,2π)
C.D.(0,π)
y=|sin x|的图象(图略),易知其一个单调递增区间是.
3.函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是()
A.[1,3]
B.[-1,3]
C.[-3,1]
D.[-1,1]
x∈时,sin x∈[-1,1],-2sin x+1∈[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].
4.若f(x)=4sin(ω>0)的最小正周期是π,则f的值等于()
A.4
B.0
C.-4
D.2
=π,所以ω=2,即f(x)=4sin,于是f=4sin=4.
★5.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为()
A.B.C.πD.2π
f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.
∵f(x)=2sin x的周期为2π,
∴|x1-x2|的最小值为π.
6.若f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2-sin x,则当x<0时,f(x)=.
x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=-x2-sin x.
2-sin x
7.当函数f(x)=2sin(0≤x≤2π)取最大值时,x=.
f(x)取最大值时,x-=2kπ+(k∈Z),
∴x=2kπ+(k∈Z).
又∵0≤x≤2π,∴x=.
8.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的周期函数,若f(x)=则f=.
,得f=f
=f=sin=sin=sin.
9.求函数f(x)=sin2x+6sin x-1在上的最值.
(x)=sin2x+6sin x-1=(sin x+3)2-10.
因为x∈,所以0≤sin x≤1,
因此当sin x=0时,f(x)取最小值-1;当sin x=1时,f(x)取最大值6.
10.若f(x)=a sin x+b-1的最大值是5,最小值是-1,求a,b的值.
x∈R,所以-1≤sin x≤1.
当a>0时,sin x=1时,f(x)取最大值,sin x=-1时,f(x)取最小值,即
当a<0时,sin x=1时,f(x)取最小值,sin x=-1时,f(x)取最大值,即
综上,a=3,b=3或a=-3,b=3.
★11.设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知f,求sin α的值.
由题设可知f(0)=3sin.
(2)∵f(x)的最小正周期为,ω>0,∴ω==4.
∴f(x)=3sin.
(3)∵f=3sin=3cos α=, ∴cos α=.
∴sin α=±=±.。