高数D3_3泰勒公式

f (x0 )
f (x0 )(x x0 )

f
( x0 2!
)
(
x

x0
)2



f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
④
③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
④ 称为n 次泰勒多项式.
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余项Rn(x)估计：
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
若在公式成立的区间上 f (n1) (x) M , 则有误差估计式
Rn (x)
M (n 1) !
x
n1
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f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
第三章
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
一、泰勒公式 二、几个函数的马克劳林公式
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一、泰勒公式
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
y f (x)
特点:
x 的一次多项式
f (x0 ) f (x0 )
p1(x)
o x0 x
x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
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泰勒中值定理 :
阶的导百度文库 , 则对任一
,有
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )

f
( x0 2!
)
(
x

x0
)2



f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n Rn (x)

ex
1

x

x2 2!

x3 3!


xn n!

Rn (x)
其中
当 x = 1 时,误差估计式为
Rn (x)
1 e e 3 (n 1) ! (n 1) ! (n 1) !
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f (k) (x) sin(x k )
2
f
(k) (0)
(0 1)
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类似可得
cos x
1 x2 2!

x4 4!

(1)
m
x2m (2m)
!

R2m1(
x)
其中
cos[ x (m 1) ]
R2m1(x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
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f
(
2!
)
(
x

x0
)2
可见
( 在 x0 与x 之间)
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二、几个函数的马克劳林公式
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) ,则有
f (0)
f (0)x

f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
作业
P96 1; 3 ; 4 ;
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Rn (x)

M (n 1)!
x

x0
n1
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
已知
f
(k) (x)

(1)k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1,2,)
类似可得
ln(1 x) x x2 2

x3 3


(1)n1
xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
(0 1)
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①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x

x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在①式右端除Rn(x)外的 n 次多项式为

sin
k

2


0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2,) k 2m 1

sin
x

x
x3 3!

x5 5!

(1)m1 x2m1 (2m 1) !
R2m (x)
其中 R2m (x)
sin( x 2m21 )
(2m 1) !
x 2 m1