三角恒等变换练习题

三角恒等变换练习题

1．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

解：由cos β＝55，β∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2． ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23

＝1． ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2， ∴α＋β＝5π4

． 2．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3＝2． (1)求A 的值；

(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝

⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， 得sin α＝1517，又α∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45， 又β∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385

．

3．(2017·合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3

，π2． (1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－1tan α

的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12． ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝

⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12． (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32

． ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－321

2＝23． 4．(2017·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π12，x ∈R ． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝

⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π6＝－12． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725

， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250．

5．已知α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62． (1)求cos α的值；

(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α

2＋cos α

2＝62

， 两边同时平方，得sin α＝12．又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32

． (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2

． 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45

． 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－

32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310．