2017届高三数学一轮复习第六篇数列第4节数列求和及综合应用基丛点练理

第4节数列求和及综合应用

知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,6

裂项相消法求和3,10,11, 13

错位相减法求和4,9

数列的综合应用5,8,12,14

数列的实际应用7

1.数列{1+2n-1}的前n项和为( C )

(A)1+2n(B)2+2n

(C)n+2n-1 (D)n+2+2n

解析:由题意令a n=1+2n-1,

所以S n=n+=n+2n-1,故选C.

2.数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于( A )

(A)9 (B)8 (C)17 (D)16

解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17

=-1×8+17

=9.

故选A.

3.(2015鞍山校级四模)数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于( B )

(A)1 (B) (C) (D)

解析:因为a n=-,

所以S n=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.

所以S5=.故选B.

4.S n=+++…+等于( B )

(A) (B)

(C)(D)

解析:由S n=+++…+,①

得S n=++…++,②

①-②得,

S n=+++…+-

=-,

所以S n=.

5.(2015郑州二模)已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,则S n的最大值为( D )

(A) (B) (C) (D)

解析:因为等比数列{a n}的首项为,公比为-,

所以S n==1-(-)n,

当n取偶数时,S n=1-()n<1;

当n取奇数时,S n=1+()n≤1+=.

所以S n的最大值为.故选D.

6.(2016宁夏石嘴山高三联考)在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51= .

解析:因为数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),

所以a3-a1=0,

a5-a3=0,

…

a51-a49=0,

所以a1=a3=a5=…=a51=1.

由a4-a2=2,得a4=2+a2=4,

同理可得a6=6,a8=8,…,a50=50.

所以a1+a2+a3+…+a51

=(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50)

=26+

=676.

答案:676

7.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n= .

解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{a n},

由题意知,a1=10,a n+a n-1+a n-2=114,=a1·a n.

所以3a n-1=114,即a n-1=38.

(a1+5d)2=a1·(a n-1+d),

所以(10+5d)2=10×(38+d),即5d2+18d-56=0,

解得d=2或d=-(舍去).

所以a n-1=10+(n-2)×2=2n+6=38,所以n=16.

答案:16

8.对于每一个正整数n,设曲线y=x n+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令

a n=lg x n,则a1+a2+…+a99= .

解析:对y=x n+1求导得y′=(n+1)x n,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)·(x-1),

令y=0,得x n=,则a n=lg x n=lg ,

所以a1+a2+…+a99=lg(××…×(

=lg

=-2.

答案:-2

9.(2015高考山东卷)设数列{a n}的前n项和为S n,已知2S n=3n+3.

(1)求{a n}的通项公式;

(2)若数列{b n}满足a n b n=log3 a n,求{b n}的前n项和T n.

解:(1)因为2S n=3n+3,

所以2a1=3+3,

故a1=3,

当n≥2时,2S n-1=3n-1+3,

此时2a n=2S n-2S n-1=3n-3n-1=2×3n-1,

即a n=3n-1,

所以a n=

(2)因为a n b n=log3a n,

所以b1=,

当n≥2时,b n=31-n log33n-1=(n-1)·31-n.

所以T1=b1=;

当n≥2时,

T n=b1+b2+b3+…+b n

=+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],

所以3T n=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],

两式相减,得2T n=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n

=+-(n-1)×31-n

=-,

所以T n=-.

经检验,n=1时也适合.

综上可得T n=-.

10.(2015大连市高三一模)已知数列{a n}中,a1=1,其前n项的和为S n,且满足a n=(n≥2).

(1)求证:数列{}是等差数列;

(2)证明:S1+S2+S3+…+S n<.

证明:(1)当n≥2时,S n-S n-1=,

S n-1-S n=2S n S n-1,-=2,

从而{}构成以1为首项,2为公差的等差数列.

(2)当n≥2时,S n=<=·=(-).

从而S1+S2+S3+…+S n<1+{1-+-+…+-}<-<.

能力提升练(时间:15分钟)

11.(2016哈尔滨六中高三期中)数列{a n}满足a1=1,对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n,则++…+等于( B )

(A)(B)(C)2 (D)

解析: a n+1=a1+a n+n,a1=1,

a n=a n-1+n,

即a n-a n-1=n,a n-1-a n-2=n-1,…,a2-a1=2(n≥2),以上n-1个等式分别相加得